Stochastic models for the spot and future prices of commodities with high volatility and mean reversion

Transcripción

1 MPRA Muni Ponal RP Ai oai ol fo po an fuu pi of ooii wi ig olailiy an an ion Vio Manul Gaía la Vga an Anonio Ruiz-Poa Uniia Guaalajaa CUCA 0. Oob 009 Onlin a p://pa.ub.uni-unn./377/ MPRA Pap No. 377 po 0. Jun 00 07:38 UTC

2 Molo oáio paa l Pio po y l uuo Cooii on Ala Volailia y Rión a la Mia Vío Manul Gaía la Vga INANALITICA A CV Anonio Ruiz Poa Uniia Guaalajaa CUCA Oub Run La aluaión iao ooii aia pia qui ola l ubyan on ión a la ia y ala olailia. Daollao fóula paa obn pio po l ooiy l fuuo y l alo all uopo ob l po y ob l fuuo n uno al y n uno nual al igo uilizano olo fao. Aba T piing of ooiy iai qui a unlying a b oll wi an ion an ig olailiy. W lop lo foula o pi po of ooiy i fuu an o pi a all opion on po an on ooiy fuu in al wol an un ik nualiy by uing a fao ol. Claifiaión JL: G G3 Palaba Cla: Muno Ral Muno Nual al Rigo Rión a la Mia Kywo: Ral wol Rik Nual wol an ion Diión: A. Pin Maaik 6 Pio Col. Capulp Moal Méxio D Méxio. Tl: ail: io.gaia@finaliia.o Diión: Piféio No 799 Móulo M Nil Núlo Uniiaio lo B C.P Zapopan Jalio Méxio. Tl: x. 59 -ail: anoniop@ua.ug.x

3 Molo oáio paa l Pio po y l uuo Cooii on Ala Volailia y Rión a la Mia. Inouión Taiionaln auía qu paa alua iao ooii poían uiliza lo io upuo qu paa alua opion ob aion. llo poqu lo pio lo ooii opoan ana oáia. in bago a oao qu lo pio lo ooii pnan ión a la ia y ala olailia. a aaíia qu no la pnan lo pio la aion an qu la aluaion aiional an inauaa. n aíulo aollao olo on un fao igo paa ibi l pio po un ooiy. n lo io upono qu n lo pio l ooiy pnan ión a la ia y olailia inia. Lo aollo aáio an n l Muno Ral MR y n l Muno Nual al Rigo MNR. l MNR inopoa la aión al igo qu in un agn pnaio l ao un inionia. Aiionaln l MNR l qu no piiá alua iao ob ooii. Coo pu oba n la Tabla lo ooii on n u ayoía pouo qu on uilizao oo aia pia n poo pouio. Po ano u pio on funión la ofa y ana y bin abio qu n l lago plazo o pio inn a ga a nil poio ióio lo qu ono oo ión a la ia. Coaza y waz 994 Bbin Cougnou guin y oll 995 y Ro 995 an oao n una la ión a la ia n lo pio lo ooii. Oa aaíia uy ipoan lo ooii u ala olailia. gún la uu Inuy Aoiaion 009 obé la Tabla paa un opaaio la olailia anualizaa n 007 y 008 ifn ooii agíola igo aíz oya ngéio ga naual pólo y álio ob oo. Poo oba qu oo lo ooii pnaon una ayo olailia n l año 008 qu n 007. La olailia l ao aionaio n 007 poó n 5.% y fu no qu la ualquia o ooii y n 008 fu 35.6% olan upano a la olailia l oo. La ayoía lo abajo ob ooii an olao la olailia oo onan. n Jaill Ronn y Topaii 004 ola l pio l ga naual n l MR no aolla l MNR on fao y uano ión a la ia y olailia onan. n nuo aíulo o aollao nuo olo baao n l olo o auo ya qu no a piio inopoa olailia inia no a piio inlui l aollo n l MNR y un olo qu no pi pio po ngaio. n aíulo o popuo nuo olo fao on olailia inia.

4 Tabla. Volailia Cooii Cooiy Tigo 33.4% 50.5% Maíz 3.7% 4.4% oya.3% 4.8% Ga Naual 45.% 45..4% Pólo 9.% 5.6% Cob 3.4% 4.% Oo 6.6% 9.3% l o aíulo á oganizao la iguin ana. n la ión aollao la fóula aa paa l pio po ualqui ooiy paa la ia y aianza oniional l po paa l pio l fuuo y l pio l all opión opa uopo ob l pio po l ooiy n l MR. n la ión 3 pnao la oponin fóula n l MNR qu l uno qu no piiá alua oan iao ob ooii. Doao qu la fóula aa l pio po y l fuuo n l MNR on iénia a la fóula l MR xpo po la apaiión un éino onan. La ión 4 onluy.. Valuaión n l Muno Ral. Poo paa Obn Pio po l poo popuo paa ola l pio po l ga naual á baao n l olo Jaill Ronn y Topaii 004. La ifnia funanal qu o auo olaon u poo n l MR. n aíulo aollao l olo ano n l MR oo n l MNR. Po ano l poo popuo paa ola l pio po l ooiy l iguin f on l pio po l ooiy n uión l oponn iníio y opon a la pa oáia ia qu á pnaa po l poo 0 La uaión un poo on ión a la ia ipo Vaik Onin-Ubk uyo alo ión a la ia lago plazo o y on loia ión > 0. Inuiian la xpión lo qu ugi qu i no a o l abio n

5 l alo pao ía poiio n oa palaba ía poiio y po ano nía a ubi aia o u alo lago plazo. Po l onaio i ayo a o l abio n l alo pao ía ngaio n oa palaba ía ngaio y po ano nía a baja aia o u alo lago plazo. Noo la uaión qu i in a o in a. La oluión un poo Onin-Ubk iila a la oluión una uaión ifnial no oogéna pi on. La olailia inia á aa po y l inno un oiino bowniano ána. La funión oáia ib la iaión l ipo. l nil quilibio inia pnin Paa obn la oluión uilizao l la Iö 3 auino qu qu obuo pja la uaión y qu i auio qu p la xpión 3 qua aí p 4 Hao l iguin abio aiabl nó qu no la aa iné inanána lib igo ipln una aiabl auxilia paa po aplia l la Iö a la uaión 4 Cab noa qu la foa funional la uaión ia qu gnn pio ngaio l ooiy. 3

6 p p 5 Paa failia l aollo aáio paa nona la oluión p uao Po ano obno [ ] a úlia xpión onoia oo l olo Vaik. La ia anfoa n un poo Onin-Ubk la ana iguin: Po ano on obno Dpjano [ ] [ ] obno 6 La oluión a 6 iila a la oluión una uaión ifnial no oogéna pi on. Po ano poo a a l iguin abio aiabl y apliao l la Iö a uilizano l poo oáio la uaión 6 a ab 4

7 5 7 Ingao la uaión 7 Dpjano la uaión anio y oano qu obno Dpjano la uaión anio obno 8 n onunia Dao qu y qu y pjano ou qu 9 La ingal n l xponn la uaión 9 oáia. l o qu l inno iga una iibuión pobabilia noal 0 no inia qu la ingal oáia abién igu una iibuión pobabilia noal.

8 o a u z aá poibl obn una pnaión á xplíia. pzao po noa qu a ingal oáia una aiabl alaoia qu finio aí Aiio finio A Po ano la uaión 9 pu ibi la iguin ana ánono una pnaión xplíia l pio po l ooiy A 0 x Obo la uaión 0 qu l pio po l ooiy una aiabl alaoia lo ual no piiá alula u ia oniional y u aianza oniional aino uo la funión gnaiz ono la iibuión pobabilia noal paa lo ual pio bo alula la panza y la aianza. 0 Va Coo ulao non abo qu 0 f Po ipliia auio qu qu l oponn qu ola la aionalia pn n lo pio lo ooii y qu inluy n la uaión y qu qu la olailia inia l poo oáio l pio po l ooiy y qu inluy n la uaión on onan. Aí alulao A y 6

9 A Va Po ano uiuyno la xpión n la uaión 0 obno on abo qu 0 f A 3 La uaión 3 la fóula aa paa obn l pio po l ooiy n uión n l uno al. Noo la xpión 3 qu paa obn l pio po l ooiy l píoo ipo iguin bo uiliza l pio po l píoo ipo anio y aí uian. Aiionaln no pao ia qu la aianza la aiabl alaoia a ulo onan gún la xpión. Obo qu la aianza jó pn l ipo poqu o auio qu la olailia inia onan y poqu l inno n l ipo onan.. Mia Coniional y Vaianza Coniional 7

10 Haino uo la funión gnaiz ono la iibuión pobabilia noal n oa palaba abino qu [ ] xpion y la panza oniional Va y oano la á aa po [ ] 4 La aianza oniional Va á aa po [ ] [ ] 5.3 Pio l uuo o owa l Cooiy Auino qu la aa iné lib igo inanána onan lo pio fowa on igual a lo pio lo fuuo. l alo un onao fuuo o fowa fin aí V [ K] K on K l pio jiio l onao fuuo. Tabién fin oo panza oniional aí V [ K ] [ ] K on l pio fuuo l po l ooiy. Igualano aba xpion V obno K [ ] K Po ano 6 n la uaión 6 ua qu l pio l fuuo l ooiy igual a la panza oniional l pio fuuo l po l ooiy. a uaión alia la ipói 8

11 fiinia n l ao lo ual ignifia qu ipoibl obn ganania in igo abiaj n l ao lo po y fuuo ooii. i la laión n 6 uia igno iguala n luga iguala lo pulao poían opa l aio po o fuuo baao y n l aio ao obnino una uilia lib igo. o no poía ua uo ipo y lo pio l po y l fuuo nían a iguala y upli la uaión 6. n oa palaba a xpión no inia qu l pio l fuuo un iao ingao l pio pao l po n l fuuo..4 Cálulo l Pio l Call uopo ob l Pio po l Cooiy Uilizano la oología Blak & ol 973 a oninuaión aollao una fóula aa paa alua una opión uopa opa all ob l pio po l ooiy. abo qu po finiión l pio un all uopo alula la iguin ana [ ] ax K 0 on K l pio jiio y au onan la aa iné inanána lib igo y au onan y á ao po la uaión 3. x [ ax A K ] 0 Aoa olo I I I 7 I la iguin ana I A K A K A π x x K 8 I A K u> A u π u A 9 u 9

12 Coo onunia o álulo finaln obno la fóula aa paa alua un all uopo uyo aio ubyan l pio po l ooiy olao on un fao on ión a la ia Con I I on bo oa n una qu y A K 0 K A A K y x a b π x la iibuión noal auulaa on ia a 0 y aianza b. 3. Valuaión ual al Rigo 3. Poo Popuo paa Obn Pio po Roo qu la uaión aa po la xpión qu o uilizao paa ola l pio po l ooiy. La uaión ia qu o pio abajo l poo guio po n l Muno Ral MR y aá una aiabl ao qu no pna ningún inuno finanio qu oi n lo ao. l poo guio po un poo oáio on ión a la ia ipo Vaik Onin-Ubk uyo alo ión a la ia lago plazo o y on loia ión > 0. La olailia inia pnin l ipo á aa po y l inno un oiino bowniano ána. La funión oáia ib la iaión l nil quilibio inia pnin l ipo. Cab noa qu inluy lo fo aionalia pn n lo pio lo ooii. La oía aluaión iao oiginaa n la oología Blak & ol 973 i qu bo uiliza aguno no abiaj paa nona l pio l iao n l Muno Nual al Rigo MNR. Aiionaln Cox y Ro 976 y 0

13 Haion y Kp 979 pofunizaon n la oología paa alua iao bajo nualia al igo. Po ano énian bo anfoa la uaión l MR al MNR y aí poo alua oan ualqui iao pnin oo l alo pao bajo l MNR u funión pago onao al pn a la aa iné lib igo. Paio la uaión la ual á pnaa n l MR y ia qu pio aquí Aun uano a una aiabl ao qu no oi n lo ao poo onui un iao qu nga oo ubyan a n oa palaba onuio una opión opa o all y uilizano l la Iö Obno 3 Oa ana xpa qu no ayuaá n lo álulo poio µ 4 Po ano la uaion 3 y 4 poo obn la iguin quiaia y µ 5 6 iguino lo aguno no abiaj bo foa un poafolio on o aio paa po liina qu l únio fao igo pn n l poafolio. Dbo onui un poafolio on aio lo ual án opion opa y. Aiio bo og l núo unia qu no aa aio n l poafolio. Ho llaao Θ al núo unia qu

14 no l aio y o llaao Θ al núo unia qu no l aio n l poafolio. l alo aual l poafolio á ao po. n oa palaba Π Θ Θ Po ano l abio n l alo l poafolio uan l inan bio a fluuaion l ao á ao po Π Θ Θ Θ µ Θ µ Θ Θ on o finio qu y qu obno µ µ µ Π C C µ Π C C liinano éino igual lo oin anio llgao a la iguin xpión µ µ on obin qu µ µ λ Coo a faion on laan inpnin la fa niino poo gnaliza λ la iguin ana 7 uiuyno la xpion 5 y 6 n la uaión 7 obno λ µ

15 3 λ Dpjano la xpión anio obno la iguin uaión ifnial paial guno on 0 λ Ronano éino obno 0 λ Aoa finio λ 8 Po ano uiuyno la xpión 8 n la uaión ifnial paial pia obno la iguin uaión ifnial paial guno on 0 D aquí uio qu la uaión ia qu pio aquí anfoa n la iguin xpión n l MNR 30 Noo qu ay o nua aiabl qu apan n la uaión 30 qu no aban pn n la uaión y. La xpión á finia n la uaión 8 y poo oba qu a xpión inluy a λ ia qu o finio n la uaión 7. Dbo alaa qu λ fin oo l pio ao po unia igo la aiabl ao. Gnaln λ poía una funión y po paa failia lo álulo poio auio qu λ onan. La aiabl l inno un oiino bowniano ána n l MNR azón po la ual l o inluio l paa iinguilo la aiabl qu opon al MR. Paa po obn una fóula xplíia paa l pio po l ooiy n l MNR uilizao l la Iö y la xpion y 30.

16 3 auino qu - qu obuo pja la uaión i auio qu ρ la xpión 3 qua aí ρ 3 Hao l iguin abio aiabl paa po aplia l la Iö a la uaión 3 [ [ ρ ] ] [ ρ ] 33 Paa failia l aollo aáio paa nona la oluión [ [ ρ ] ]. Po ano obno [ ] uao ipoan noa qu a úlia xpión l olo Vaik y paa po a u aollo aáio niao anfoa a xpión a un poo Onin- Ubk paa lo ual finio [ ]. Po ano on obno 4

17 5 [ ] Dpjano obno [ ] 34 La oluión a 34 iila a la oluión una uaión ifnial no oogéna pi on. Po ano poo a a l iguin abio aiabl y apliao l la Iö a uilizano l poo oáio la uaión 34 a ab [ ] 35 Ingao la uaión 35 l Dpjano la uaión anio y oano qu obno Dpjano la uaión anio obno [ ] W 36 on λ n onunia W

18 6 Roo qu n a úlia xpión o uilizao qu y qu Dpjano la uaión anio nonao qu 37 La ingal n l guno xponn la uaión 37 oáia. l o qu l inno iga una iibuión pobabilia noal 0 no inia qu la ingal oáia abién igu una iibuión pobabilia noal. o a u z aá poibl obn una pnaión á xplíia. pzao po noa qu a ingal oáia una aiabl alaoia qu finio aí Aiio finio A Po ano la uaión 37 pu pna la iguin ana A 38 Obo la uaión 38 qu l pio po l ooiy una aiabl alaoia lo ual no piiá alula u ia oniional y u aianza oniional aino uo la funión gnaiz ono la iibuión pobabilia noal paa lo ual pio bo alula la panza y la aianza. 0

19 Va Va Coo ulao non abo qu 0. Paa failia lo álulo auio qu qu l oponn qu ola la aionalia pn n lo pio l ooiy n uión y qu inluy n la y qu uaión qu la olailia inia l poo oáio l pio po l ooiy y qu inluy n la uaión 30 on onan. Aoa alulao la xpión 8 a ab λ λ 39 aí oo A y qu poo oba n la xpion y pian. Aoa poo po a iplifia la uaión 38. Nó qu al ab auio qu λ onan non gún la xpión 39. o no pi a la iguin iplifiaión n l pi xponn la uaión 38 Po ano la uaión 38 pu iplifia la iguin ana A A a La uaión 40 la fóula xplíia l pio po l ooiy n l MNR. Aiio obo qu la uaión 40 iénia a la xpión 3 qu pna l pio po l ooiy n l MR a x a 40 xpo qu n la xpión 40 a apaio l éino onan. 3. Mia Coniional y Vaianza Coniional x 7

20 8 La fóula xplíia la panza oniional uilizaá paa obn la fóula aa l pio l fuuo l ooiy n la ión 3.3. Haino uo la funión gnaiz ono la iibuión pobabilia noal y aino uo la xpion 37 y aí oo la uaión non la panza oniional á aa po [ ] a 4 Po ano la aianza oniional á aa po [ ] [ ] Va a 4 No olio la uaión 39 qu λ y la xpión qu 3.3 Pio l uuo o owa l Cooiy n l MNR lo pio lo fuuo on igual a la panza l pio po n l fuuo bajo l poo nual al igo y auino qu la aa iné lib igo inanána onan lo pio fowa on igual a lo pio lo fuuo. Po ano uilizano la xpión 4 obno la fóula xplíia paa alula l pio l fuuo l ooiy n l MNR a ab [ ] a 43 Obo qu la uaión 43 iénia a la xpión 6 qu pna l pio l fuuo l ooiy n l MR [ ] a xpo qu n la xpión 43 a apaio l éino onan a. 3.4 Cálulo l Call ob l uuo on óula Blak

21 9 abo qu igu una iibuión pobabilia lognoal y qu [ ] po ano l pio l fuuo abién igu un poo lognoal. n un poo lognoal abo qu igu una iibuión pobabilia noal. La fóula Blak 976 paa alua un all n l ipo 0 qu n n ob l fuuo uya ia a a apliaa a nuo ao quaía la iguin ana [ ] 0 0 ax 0 O K [ ] K 44 Paa po aolla lo álulo iguin o uilizao una xpión alnaia a la uaión 43 paa. La xpión iguin no failiaá l uo logaio a ab A 45 on K l pio jiio la aa iné inanána lib igo 0 á aa po la uaión 45 N la iibuión pobabilia noal ána auulaa 0 la infoaión n 0 y y án aa po k f 0 0 k f 46

22 0 k f 0 0 k f 47 Noo qu la aianza anual l niino lo pio lo fuuo. La fóula Blak au qu igu una iibuión pobabilia noal uya aianza á aa po. Paa fo laia a úlia xpión l pouo po. Poo oba qu la aíz uaaa na n l álulo y aí qu uilizao la uaión 45 paa alula V a[ 0 ] 48 Paa alula V a[ 0 ] niao pio alula [ 0 ]. Po ano [ ] [ ] 0 0 D la xpión 38 y la uaión A obno qu x Po ano [ ] [ ] [ ] 0 0 D aquí obno

23 [ ] 0 49 Po ano [ ] lin Va 0 lin } 0 [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0 Va 50 abo qu [ ] Va. Auio qu onan y ao qu la infoaión á iponibl n 0 alulao lo iguin [ ] Va [ ] 5 Al pinipio a ión nionábao qu la fóula Blak 976 no iba a pii alua un all uopo n l ipo 0 qu n n ob l fuuo uya ia a a. Dbo ala qu la opion ob fuuo ooii ipo uopo qu gulan alúan gnaln nán n la ia fa qu l fuuo ubyan. Po ano paa aplia la fóula ia aiba a ao la fa niino la opión ía igual a la fa niino l fuuo. n

24 oa palaba y po ano 0. o no lla a qu la xpión 5 iplifiaía paa qua aí Va [ ] [ ] 0 No olio qu la xpión l pouo po. 4. Conluion Coo nionábao al iniio aíulo l poo popuo paa ola l pio po l ooiy á baao n l olo popuo po Jaill Ronn y Topaii 004. La ifnia funanal qu o auo olaon u poo n l MR auino un alo gión a la ia lago plazo onan y olailia onan y n aíulo aollao nuo olo ano n l MR oo n l MNR y auino olailia inia pnin l ipo. l aollo n l MNR l qu no piiá alua iao ob ooii. n la Tabla poo oba la pinipal ifnia n l olo JRT y l olo uilizao n aíulo. La pinipal onibuion aíulo a la liaua finania aian n qu o aollao fóula aa paa l pio po ualqui ooiy l pio l fuuo l pio la opión uopa opa all ob l po l ooiy Tabla. Cuao Copaaio Molo ao Molo Rión MR MNR Vola. Rión LP Aíulo Í Í Í Dinia 0 JRT 004 Í Í NO Conan Conan aí oo l pio la opión uopa opa ob l fuuo l ooiy. Ho poio aolla a xpion uano un olo un fao igo qu inopoa ión a la ia y olailia inia. Una bilia l olao l pio lo ooii on un fao qu oo poo ui la uaión 5 [ ] la aianza anual lo pio lo fuuo in a o onfo l niino la opión in a infinio. La inuiión aá fnóno qu n l lago plazo la ión a la ia oina y la aianza lo fuuo in a la aianza l alo ión a la ia lago plazo qu n nuo olo un fao o oo pu oba n la uaión. a aía n la aianza a lago plazo una bilia ipoan lo olo un fao ya qu l olo ía inapopiao paa alua opion ob fuuo lago plazo. Oa liiaión ipoan lo olo un fao qu iplian qu lo abio n lo pio po y n lo pio lo fuuo y fowa paa oo lo niino

25 án pfan olaionao. o ignifiaía qu oo lo pio un ip n la ia iión lo ual laan onai lo ao l ao. a liiaión pu ia i piio qu lo abio n lo pio po pnan á un fao. a oao qu lo olo o y fao inn un jo pño qu lo un fao uano a olao l pio ooii oo l ob y l pólo. o pu n waz 997. Rfnia Bbin H. J.. Cougnou P. J. guin an M. M. oll 995. Man Rion in quilibiu A Pi: in fo uu T uu. Jounal of inan 50 pp Blak T Piing of Cooiy Cona. Jounal of inanial onoi Vol. 3 No. - pp Blak. an M. ol 973. T Piing of Opion an Copoa Liabilii. T Jounal of Poliial onoy Vol. 8 No. 3 pp Bnnan M. J. 99. T Pi of Connin an Valuaion of Cooiy Coningn Clai in D. Lun an B. Oknal.: oai Mol an Opion Valu No Hollan. Coaza G. an uao. waz 994. T aluaion of Cooiy Coningn Clai. Jounal of Diai pp Cox J. an pn A. Ro 976. T Valuaion of Opion fo Alnai oai Po. Jounal of inanial onoi 3 pp ylan Alxan an H. Gan 998. Piing Pow Diai. RIK pb. uu Inuy Aoiaion 009. uu Inuy pp Gan H. an V. N. Nguyn 003. Analying Volailiy ufa fo ngy Cooii. C Woking Pap. Gibon Rajna an uao. waz 989. Valuaion of Long T Oil-link A. Anon Gaua ool of Managn UCLA Woking Pap #6-89. Gibon Rajna an uao. waz 990. oai Connin il an Piing of Oil Coningn Clai. Jounal of inan 45 pp Haion M. an D. Kp 979. Maingal an Abiag in Mulipio uii Mak. Jounal of onoi Toy 0 pp Jaill Paik u I. Ronn an ai Topaii 004. Valuaion of Cooiy- Ba wing Opion. Managn in 507 pp Ro pn A Hging Long Run Coin: xi in Inopl Mak Piing. Pliinay af. 3

26 waz uao T oai Baio of Cooiy Pi: Ipliaion fo Valuaion an Hging. Jounal of inan 5 pp