VOLATILIDAD DE LOS PRECIOS DE MERCADOS DE FUTUROS DE COMMODITIES PRIMARIOS

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1 VOLATILIDAD DE LOS PRECIOS DE MERCADOS DE FUTUROS DE COMMODITIES PRIMARIOS Gabriel Hernández Aranda 1, Fabián Soriano Se invesiga empíricamene la volailidad de los precios fuuros de doce producos primarios coizados en Esados Unidos enre , considerando los modelos de heeroscedasicidad auoregresivos generalizados y sus exensiones asiméricas: Threshold-GARCH y GARCH-Exponencial. Se apoya la hipóesis de exisencia de heeroscedasicidad en odas las series de reornos. Y se evidencia persisencia, variabilidad y asimería ane impacos de diferenes signos en la volailidad de la mayoría de commodiies. Exise inesabilidad en los parámeros de los modelos de volailidad condicional en odos los commodiies, excepuando el cacao; con un evenual quiebre en julio de 1997, que define el inicio de la crisis Asiáica. El análisis de la correlación de los esimadores recursivos α y β del modelo GARCH(1,1) muesra efecos poco similares en la volailidad enre la mayoría de commodiies. Los modelos asiméricos TGARCH(1,1) y EGARCH(1,1) se presenan como dominanes esadísicos al modelo base GARCH(1,1), evidenciando el sesgo en especificación que involucra uilizar modelos de volailidad siméricos produciendo subesimación o sobreesimación de la varianza. Se los recomienda apropiados para la obención de la volailidad implícia en la valoración de opciones y desarrollo de esraegias dinámicas de coberuras para la adminisración del riesgo de esos acivos subyacenes. By considering he Generalised Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy models and heir asymmeric exensions: Threshold-GARCH and Exponenial-GARCH, his documen empirically invesigaes he volailiy of welve primary producs daily fuures prices quoed in he Unied Saes in he period Lending suppor for hypohesis of heeroskedasiciy in all daily reurns series, persisence and asymmery in volailiy is demonsraed for mos commodiies. Exceping cocoa, here is no sabiliy in he parameers of he condiional volailiy models; wih a possible break in July 1997, which defines he beginning of he Asian crisis. The rolling GARCH(1,1) α and β esimaors correlaion analysis shows lile similar effecs in volailiy beween mos commodiies. The asymmeric models TGARCH(1,1) and EGARCH(1,1) appear as bes saisical fi wih respec o he symmeric model GARCH(1,1). This demonsraes he misspecificaion ha involves he use symmerical models of volailiy which produces underesimaion or overesimaion of he variance. These wo models are recommended as appropriae o esimae he implici volailiy in opions valuaion and he developmen of dynamic hedging sraegies and risk managemen of his ype of underlying asses. 1 Economisa, con mención en Gesión Empresarial, especialización: Secor Público, año 004; ghernand@espol.edu.ec Direcor de Tesis. Economisa, con mención en Gesión Empresarial, especialización Finanzas, Escuela Superior Poliécnica del Lioral, año 000; Maesría en Finanzas en Chile, Universidad de Chile, año 003. Profesor de ESPOL desde 003.

2 INTRODUCCIÓN Las flucuaciones de precios de un produco primario pueden ener efecos imporanes en la economía de un país o una región económica. Esas pueden ser aun más considerables si el mercado de bienes exporables es poco diversificado. Exisen facores que en su mayoría son impredecibles, y se asocian ano a la ofera como a la demanda de producos primarios que pueden afecar el precio de uno o varios de esos mercados: sequías, inundaciones, guerras, problemas políicos inernos o exernos, ec., pueden ener efecos caasróficos ano en el precio como en la disponibilidad de los producos primarios. Las Bolsas de producos de relevancia mundial surgen dada la necesidad de deerminar el precio de los commodiies. En esas se coizan diariamene los precios de disinos producos primarios, y se negocian para ese ipo de acivos subyacenes derivados como fuuros, opciones, ec. Esos precios en muchos casos son referenciales para el comercio inernacional. El crecimieno y mayor complejidad del mismo, son razones por las que exise mayor énfasis en lograr una eficiene adminisración del riesgo asociado a esos producos, en los que exisen imporanes oporunidades de inversión. Es así que el uso de derivados financieros se ha hecho frecuene debido al inerés de los especuladores, arbirajisas y los operadores de coberura de riesgo. Por lo que la valoración de riesgo ha sido objeo de invesigación, especialmene en la lieraura economérica, surgiendo así los modelos de volailidad heerocedásicos auorregresivos. Esa invesigación se mosrará empíricamene la aplicación de los modelos de volailidad ipo GARCH para los reornos de los precios fuuros de doce commodiies 3 ; luego se realiza un análisis de sensibilidad considerando un evenual quiebre en Julio de 1997 por la presencia de la crisis asiáica; poseriormene se realizan esimaciones recursivas de los parámeros de la volailidad de coro y largo plazo para el modelo GARCH (1,1) en odos los commodiies; y finalmene se presenan las conclusiones. 3 METALES: cobre, oro, plaa; GRANOS: maíz, soya, rigo; BEBIDAS SUAVES: azúcar, cacao, café; ENERGÍA: peróleo, heaing oil, gas naural.

3 EVIDENCIA EMPÍRICA A coninuación se deallan las fuenes esadísicas, el ipo de daos a usar, la frecuencia a considerar; y el comporamieno de las series de daos de precios fuuros y sus respecivos reornos logarímicos usando esadísica descripiva. Con las series de reornos logarímicos y los modelos planeados GARCH, TGARCH y EGARCH se realizaron las esimaciones empíricas. La abla a coninuación resume los commodiies considerados, las fechas de sus conraos, y las bolsa de producos en EEUU en que se negocian esos conraos. TABLA 1 FECHAS DE COTIZACIONES Y BOLSA DE PRODUCTO Commodiy Fechas para las que se coizan conraos de fuuros Bolsa de Produco Cobre odos los meses COMEX Oro febrero, abril, agoso, ocubre, diciembre COMEX Plaa marzo, mayo, julio, sepiembre, diciembre COMEX Maíz, Trigo marzo, mayo, julio, sepiembre, diciembre CBOT Soya enero, marzo, mayo, julio, agoso, sepiembre, noviembre CBOT Azúcar marzo, mayo, julio, ocubre CSCE Cacao, Café marzo, mayo, julio, sepiembre, diciembre CSCE Peróleo, Heaing Oil odos los meses NYMEX Gas Naural odos los meses NYMEX ELABORACIÓN: El Auor Se consideraron los precios fuuros diarios de cierre, el inervalo es enre Abril 30 de 1991 hasa Sepiembre 1 de 004 con aproximadamene daos para cada mercado. Los reornos logarímicos de los precios se calcularon: lnr = lnp lnp -1. TABLA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DE LOS RETORNOS DE LAS SERIES PERÍODO: ABRIL 30 DE SEPTIEMBRE 1 DE 004 Esadísico Media Mediana Máximo Mínimo Sd. Dev. Skewness Kurosis Cobre 0, , ,083-0,1163 0,0146-0, ,6101 Oro 0, , ,0889-0,0567 0,008 0, ,318 Plaa 0, , ,099-0,1184 0,0147-0,843 8,1506 Maíz 0, , ,0851-0,11 0,0141-0,0770 7,744 Soya -0, , ,0763-0,1743 0,0146-1,839 16,1105 Trigo 0, , ,0794-0,1957 0,0165-0, ,5889 Azúcar -0, , ,355-0,349 0,09-0, ,1018 Cacao 0, , ,174-0,1001 0,0198 0,653 5,3857 Café -0, , ,377-0,06 0,076 0, ,8945 Peróleo 0, , ,143-0,1654 0,017-0,99 7,083 Heaing Oil 0, , ,1155-0,097 0,05-0, ,161 Gas Naural 0, , ,344-0,3757 0,037-0,484 10,7944 ELABORACIÓN: El Auor La abla anerior muesra la esadísica descripiva de las series de reornos. Todas son lepocúricas con una ala probabilidad de ocurrencia de episodios alejados de lo considerado como normal (ouliers).

4 ESTIMACIÓN EMPÍRICA MODELO GARCH(1,1) 4 Todos los mercados presenan coeficienes significaivos para esa ecuación de la volailidad en los reornos de los precios fuuros para el período, por lo que esa depende ano del rezago del residuo al cuadrado y de su varianza de predicción pasada. El es de coeficienes Wald en la úlima columna de la abla prueba si la suma de los coeficienes de los esimadores α y β es esadísicamene igual a uno, α + β = 1. Al cumplirse en el caso del peróleo, el proceso de la varianza puede ser infinio o no esacionario, implicando cambio persisenes en la volailidad de sus precios. TABLA 3 MODELO GARCH (1,1) PERÍODO: ABRIL 30 DE SEPTIEMBRE 1 DE 004 Mercado µ ω α β α + β Log Lhood Tes de Wald Cobre 3,83E-05,66E-06 0,0447 0,943 0, ,30 19,4405 * (0,8645) (0,0000) (0,0000) (0,0000) Oro -9,76E-05 1,8E-07 0,0415 0,960 1, ,17 3,9597 ** (0,3791) (0,000) (0,000) (0,000) Plaa -1,39E-04 1,36E-06 0,0339 0,9606 0, ,698 14,3545 * (0,5318) (0,000) (0,000) (0,000) Maíz,14E-04 5,88E-06 0,0740 0,8995 0, ,995 5,461 * (0,387) (0,000) (0,000) (0,000) Soya 1,48E-05,77E-06 0,08 0,9081 0, ,399 1,0033 * (0,9407) (0,000) (0,000) (0,000) Trigo -1,67E-04,74E-05 0,0903 0,8149 0, ,038 5,9588 * (0,4914) (0,000) (0,000) (0,000) Azúcar 5,98E-06 1,85E-04 0,375 0,4146 0, , ,3519 * (0,9857) (0,000) (0,000) (0,000) Cacao -1,47E-05 3,08E-06 0,043 0,9513 0, ,650 9,7618 * (0,9614) (0,000) (0,000) (0,000) Café -6,7E-04,49E-05 0,0869 0,886 0, ,077 78,3611 * (0,14) (0,000) (0,000) (0,000) Peróleo 1,31E-04 1,97E-06 0,0418 0,9557 0, ,990,3865 (0,6654) (0,000) (0,000) (0,000) Heaing Oil,81E-04 5,94E-06 0,070 0,9197 0,99 841,693 8,3496 * (0,3731) (0,000) (0,000) (0,000) Gas Naural 5,94E-04 7,1E-05 0,191 0,7759 0, ,8 15,5338 * (0,1679) (0,000) (0,000) (0,000) ELABORACIÓN: El Auor Tes de Wald, Ho: α + β = 1; * 5% de probabilidad; ** 10% de probabilidad Noa: Los valores enre parénesis corresponden al p-value para el coeficiene esimado. 4 En ese modelo, se predice la varianza para el período ponderando la media a largo plazo (consane, ω), la varianza de predicción (σ -1) de los períodos aneriores y las noicias acerca de la volailidad observada en los períodos previos, medidos como los rezagos de los residuos al cuadrado(ε -1): r = µ + ε (1) ε / Φ -1 ~ N(0, σ ) q j= 1 p j j + i= 1 σ = ω + α ε β σ () i i

5 ESTIMACIÓN EMPÍRICA MODELO TGARCH(1,1) 5 Los resulados de las esimaciones muesran que odos los mercados de commodiies a excepción del cacao y peróleo permien una especificación asimérica de la volailidad. De esos diez mercados, ocho (cobre, oro, plaa, soya, rigo, café, heaing oil y gas naural) ienen signo negaivo en el coeficiene γ, mienras que los dos resanes ienen signo posiivo (azúcar y maíz). ESTIMACIÓN EMPÍRICA DEL MODELO EGARCH(1,1) 6 Los resulados para esa especificación evidenciaron que los coeficienes esimados de la varianza condicional: la consane ω y los coeficienes α y β son significaivos. En esa especificación de la varianza, odos los mercados a excepción del maíz y azúcar, capuran la asimería ane impacos en la volailidad de los reornos dependiendo de su signo. El cobre, oro, plaa, soya, rigo, cacao, café, heaing oil y gas naural ienen γ posiivo, y el peróleo por el conrario iene γ negaivo. Los modelos GARCH(1,1), TGARCH(1,1) y EGARCH(1,1), logran explicar la varianza condicional de los reornos de los fuuros de commodiies aquí examinados. En odos los commodiies a excepción del cobre y cacao predomina una o ambas especificaciones asiméricas de la volailidad a la especificación simérica 7. 5 La especificación asimérica de la volailidad, Threshold-ARCH [Zakoian 1990], y [Glosen, Jaganahan, y Runkle 1993] capura la asimería dependiendo del signo del shock: σ = ω + α ε 1 + γε 1d 1 + β σ (3) 1 donde 1 si ε 1 < 0 d 1 = 0 c. o. v. De esimarse γ negaivo, la volailidad será menor cuando los precios del commodiy esán a la baja y mayor cuando los precios se encuenren al alza. De ser γ posiivo la volailidad será mayor cuando los precios esán a la baja y menor cuando esén al alza. 6 La especificación GARCH Exponencial (Nelson 1991), la varianza depende de la magniud ano de los residuos como de la varianza para predicción, y el signo de los residuos rezagados: ε 1 ε 1 ln( σ ) = ω + β ln( σ 1) + α α + γ (4) σ 1 π σ 1 Cuando γ es posiivo, implica que exisirá una mayor volailidad cuando el shock es posiivo y menor volailidad cuando el shock es negaivo. 7 A excepción de los commodiies cobre y cacao, los valores obenidos de la función de verosimiliud de uno o ambos modelos asiméricos fueron mayores a los obenidos en el modelo simérico.

6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Se dividió la muesra en dos grupos y se realizó un análisis de sensibilidad considerando un evenual quiebre en los parámeros de la varianza condicional causado por la crisis asiáica que afeco los mercados bursáiles mundiales en La abla a coninuación muesra los resulados del Tes de Wald. TABLA 6 TEST DE QUIEBRE ESTRUCTURAL (TEST DE WALD) Primer Periodo: 30 de Abril de de Julio de 1997 Segundo Periodo: 7 de julio de de sepiembre de 004 Mercado MODELOS GARCH(1,1) TGARCH(1,1) EGARCH(1,1) Cobre 1,895 7,154 19,3744 Oro 63, , ,585 Plaa 13,641 19,5955 9,1679 * Maíz 17,9016 4,7761,169 Soya 4,1748 * 9,8805 * 16,6741 Trigo 169, , ,5151 Azúcar 319, , ,8185 Cacao 6,0680 * 6,0394 * 1,49 * Café 43, ,93 177,861 Peróleo 0,6801 3, ,860 Heaing Oil 7,5638 7,353 34,948 Gas Naural 11,14 18, ,7363 ELABORACIÓN: El Auor Ho: Parámeros de la ecuación de la volailidad son iguales en ambos períodos. * no se rechaza la Ho con 95% de confianza El cacao se muesra como el único commodiy que presena esimadores esables para las dos submuesras y para los res modelos de volailidad. Al realizar nuevamene las reesimaciones considerando separadamene los dos inervalos se pudo observar que para el primer período exise un buen ajuse de los modelos asiméricos de la volailidad condicional TGARCH(1,1) y EGARCH(1,1). A excepción del cobre, cacao y peróleo, en el reso de commodiies predomina una o ambas especificaciones asiméricas de la volailidad condicional a la especificación simérica 8 GARCH(1,1). Para el segundo período exise un buen ajuse de los modelos asiméricos de la volailidad condicional. En odos los commodiies a excepción del rigo predomina una o ambas especificaciones asiméricas de la volailidad condicional a la especificación simérica 9. 8 A excepción de los commodiies cobre, cacao y peróleo, los valores obenidos de la función de verosimiliud de uno o ambos modelos asiméricos fueron mayores que los obenidos en el modelo simérico. 9 A excepción del commodiy rigo, los valores obenidos de la función de verosimiliud de uno o ambos modelos asiméricos fueron mayores que los obenidos en el modelo simérico.

7 ESTIMACIÓN RECURSIVA DE LOS COEFICIENTES α y β Se realizaron esimaciones recursivas de los esimadores α, β y (α+β) de la varianza condicional para el modelo simérico GARCH(1,1) en cada uno de los commodiies y se analizaron las correlaciones enre aquellos esimadores α, β y (α+β) recursivos para commodiies perenecienes a un mismo grupo. Los resulados en general no son del odo concluyenes dada la moderada a baja correlación exisene enre los esimadores recursivos ano α como β que conforman la volailidad de coro plazo y largo plazo. Se puede concluir que para los commodiies analizados, ano los efecos a coro plazo como los de largo plazo de los shocks ienen efecos en la volailidad, para la mayoría de los casos, poco similares. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Se analizó la volailidad de los reornos de los precios fuuros de cierre de doce commodiies primarios 10 que coizan en la bolsas de producos de Esados Unidos. El inervalo escogido corresponde desde Abril 30 de 1991 hasa Sepiembre 1 de 004 eniendo en promedio cerca de daos para cada uno los mercados. Todas las series de los reornos son lepocúricas si se las compara con una disribución normal, con una ala probabilidad de ocurrencia de episodios alejados de lo normal o ouliers. Se procede a analizar los modelos de volailidad de heerocedasicidad auorregresivos para las series de reornos. La especificación GARCH(1,1) presena coeficienes significaivos para odas la series; por lo que la volailidad de los precios de los fuuros para el período, depende ano del rezago del residuo al cuadrado y de su varianza de predicción pasada. Para el modelo TGARCH (1,1), odos los commodiies a excepción del cacao y peróleo permien una especificación asimérica de la volailidad. Finalmene, el modelo EGARCH (1,1), odos los mercados a excepción del maíz y azúcar, logran capurar la asimería ane impacos posiivos o negaivos en la varianza de los reornos. 10 (METALES: cobre, oro, plaa; GRANOS: maíz, soya, rigo; BEBIDAS SUAVES: azúcar, cacao, café; ENERGÍA: peróleo, heaing oil, gas naural)

8 Separando la muesra en dos inervalos, el primero enre abril 30 de 1991 hasa julio 03 de 1997 y el segundo desde julio 7 de 1997 hasa sepiembre 1 de 004, se realiza un análisis de sensibilidad ane cambios en los parámeros de la volailidad (es de wald), considerando un evenual quiebre en julio de 1997 inicio de la crisis asiáica. Según los resulados, el único commodiy que presena esimadores esables para las dos submuesras y para los res modelos de volailidad es el cacao. Adicionalmene se realizan esimaciones recursivas de los esimadores α, β y (α+β) de la varianza condicional de cada uno de los commodiies, y se analizan las correlaciones enre aquellos esimadores recursivos α (de coro plazo), β (de largo plazo) del modelo GARCH (1,1) en los commodiies perenecienes a un mismo grupo. Concluyendo que la relación de volailidad enre dos diferenes commodiies de una misma clasificación es poco similar para la mayoría de los casos dada la moderada correlación exisene enre los esimadores recursivos de sus parámeros α y β. Por lo que se recomienda que es imporane comprender las caracerísicas de la volailidad de las flucuaciones de los precios de los commodiies, ya que eso provee información muy úil para propósios ano de políica, como de adminisración de riesgo de porafolio. Especialmene en la valoración de opciones, cuyo supueso primordial asume una volailidad consane, debería considerarse una volailidad heerocedásica. El mercado para derivados de commodiies es muy poco desarrollado en los países oferenes, quienes enfrenan muchos problemas écnicos, barreras fundamenales, y una muy imporane, la credibilidad. Resularía muy ineresane que poseriores esudios demuesren la facibilidad de que algún conglomerado de países oferenes de commodiies de alguna región económica considere la posibilidad de crear un mercado de commodiies en común. Hablando en ese caso para las regiones económicas de Lainoamérica, que en conjuno poseen diversos producos primarios a ser negociados en una misma zona. En érminos económicos se mejoraría la eficiencia en el comercio inernacional de esos producos. En ese senido ano enre países oferenes (inernamene) y los mayores demandanes que son los países indusrializados, exisiría mayor coberura conra movimienos adversos en los precios, que afecan a ambos.

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10 ANEXO 1 MODELO TGARCH (1,1) PERÍODO: ABRIL 30 DE SEPTIEMBRE 1 DE 004 Mercado µ ω α γ β Log Lhood. Cobre 7,97E-05,7E-06 0,0515-0, , ,959 (0,789) (0,000) (0,000) (0,0996) (0,000) Oro -,4E-05 1,75E-07 0,0603-0, , ,18 (0,85) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Plaa 6,39E-05 1,E-06 0,0546-0, , ,18 (0,7713) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Maíz 1,83E-04 5,86E-06 0,0651 0,009 0, ,076 (0,4181) (0,000) (0,000) (0,0366) (0,000) Soya 1,85E-04,89E-06 0,146-0, , ,87 (0,3655) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Trigo 8,55E-05 1,54E-05 0,0965-0,0893 0, ,697 (0,7537) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Azúcar -6,60E-05 1,91E-04 0,178 0, , ,983 (0,8588) (0,000) (0,000) (0,0900) (0,000) Cacao -1,04E-05 3,07E-06 0,045-0, , ,656 (0,977) (0,000) (0,000) (0,8900) (0,000) Café -1,10E-04 3,03E-05 0,1395-0, , ,149 (0,7851) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Peróleo,37E-04 4,15E-06 0,0681-0,0043 0, ,913 (0,4565) (0,000) (0,000) (0,6539) (0,000) Heaing Oil 5,77E-04 6,5E-06 0,0983-0, , ,933 (0,0791) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Gas Naural 1,15E-03 6,56E-05 0,146-0, , ,960 (0,0334) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) ANEXO MODELO EGARCH (1,1) MUESTRA GENERAL Período: Abril 30 de Sepiembre 1 de 004 Mercado µ ω α γ β Log Lhood. Cobre,45E-05-0,058 0,1104 0, , ,75 (0,9138) (0,000) (0,000) (0,0491) (0,000) Oro 8,74E-05-0,1888 0,1080 0, , ,71 (0,4365) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Plaa 1,95E-04-0,1065 0,0606 0, , ,544 (0,3577) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Maíz 1,63E-04-0,3718 0,1595-0, , ,975 (0,4545) (0,000) (0,000) (0,7883) (0,000) Soya,53E-04-0,587 0,1781 0, , ,566 (0,1967) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Trigo,01E-04-0,4458 0,1135 0, , ,945 (0,4576) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Azúcar -,39E-04-1,0569 0,885-0,0054 0, ,97 (0,4958) (0,000) (0,000) (0,4618) (0,000) Cacao -4,69E-05-0,1854 0,1103 0,0158 0, ,85 (0,8770) (0,000) (0,000) (0,0645) (0,000) Café 1,16E-04-0,3303 0,1511 0,0756 0, ,373 (0,771) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Peróleo 1,39E-05-0,1317 0,1015-0, , ,036 (0,9654) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Heaing Oil 6,0E-04-0,408 0,1570 0,0767 0, ,196 (0,0541) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000) Gas Naural 5,8E-04-0,4718 0,541 0,0379 0, ,989 (0,3188) (0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

11 ANEXO 3 CORRELACIONES ENTRE ESTIMADORES α RECURSIVOS METALES GRANOS Series Acobre Aoro Aplaa Series Amaíz Asoya Arigo Acobre 1,0000-0,0576 0,836 Amaíz 1,0000-0,0453-0,457 Aoro -0,0576 1,0000-0,1549 Asoya -0,0453 1,0000 0,1819 Aplaa 0,836-0,1549 1,0000 Arigo -0,457 0,1819 1,0000 BEBIDAS SUAVES ENERGÍA Series Aazúcar Acacao Acafé Series Aperóleo Ah.Oil Agas Na. Aazúcar 1,0000-0,1440 0,4848 Aperóleo 1,0000 0,4686-0,156 Acacao -0,1440 1,0000-0,3651 Ah.Oil 0,4686 1,0000-0,4768 Acafé 0,4848-0,3651 1,0000 Agas Na. -0,156-0,4768 1,0000 ANEXO 4 CORRELACIONES ENTRE ESTIMADORES β RECURSIVOS METALES GRANOS Series Bcobre Boro Bplaa Series Bmaíz Bsoya Brigo Bcobre 1,0000-0,0175 0,84 Bmaíz 1,0000 0,1796-0,5514 Boro -0,0175 1,0000-0,0853 Bsoya 0,1796 1,0000-0,0758 Bplaa 0,84-0,0853 1,0000 Brigo -0,5514-0,0758 1,0000 BEBIDAS SUAVES ENERGÍA Series Bazúcar Bcacao Bcafé Series Bperóleo Bh.Oil Bgas Na. Bazúcar 1,0000-0,093 0,1948 Bperóleo 1,0000 0,5561-0,58 Bcacao -0,093 1,0000-0,4011 Bh.Oil 0,5561 1,0000-0,4551 Bcafé 0,1948-0,4011 1,0000 Bgas Na. -0,58-0,4551 1,0000