Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1

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1 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 1 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 16 Sep Sep 2013

2 Estructuras Algebraicas La Estructura como Variable Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicas definidas dentro de sage que podemos utilizar. Una de las más sencillas es el conjunto de los números enteros Z. En sage este conjunto se denota por ZZ. Si escribimos ZZ el programa nos responderá Integer Ring, es decir anillo de los números enteros. ZZ es una variable más del sistema.

3 Estructuras Algebraicas Operaciones con Enteros Vamos a hacer algunas operaciones básicas en los números enteros. La suma, resta y multiplicación se realizan con los símbolos habituales +, - y *. Si escribimos a = 6*7*8*9 print a obtendremos 3024.

4 Estructuras Algebraicas División La división requiere un poco más de explicación, porque podemos hacer la siguiente operación: print a/16 y obtenemos 189 porque la división es exacta, pero si hacemos print a/10 obtenemos En este caso la división no es exacta y nos ha dejado la operación en forma fraccionaria.

5 Estructuras Algebraicas Cociente y Resto El realidad este operador en los números enteros no es como en otros lenguajes, el cociente de la división. Para obtener el cociente de la división tenemos que poner print a//10 con lo que obtenemos 302. El resto de la división se calcula utilizando el símbolo %.

6 Estructuras Algebraicas El conjunto de los números racionales se denota QQ y el de los números reales RR. El conjunto de los números reales RR utiliza representaciones decimales finitas del número. Cuando tenemos un elemento en un conjunto y queremos llevarlo a otro, lo que hacemos es utilizar el nombre de la estructura, así por ejemplo a = 1/3 b = RR(a) print a print b nos dará los resultados 1 3 y

7 Estructuras Algebraicas En realidad si escribimos RR nos dice Real Field with 53 bits of precision, es decir, cuerpo de los números reales con 53 bits de precisión. Es una precisión suficientemente buena para la mayoría de nuestras necesidades. Si en alguna ocasión necesitamos ampliarla (o reducirla) es posible.

8 Estructuras Algebraicas Si intentamos forzar a que un elemento esté dentro de una estructura en la que no puede estar, obtenemos un error, por ejemplo, si ponemos ZZ(2/3) lo que obtenemos es un error TypeError Traceback (most recent call last) /home/leandro/docencia/amd12/quickref/<ipython console> in <module>() /usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/structure/parent.so /in sage.structure.parent.parent. call (sage/structure/parent.c:7886)() /usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/rings/rational.so /in sage.rings.rational.q_to_z._call_ (sage/rings/rational.c:23746)() TypeError: no conversion of this rational to integer

9 Listas Listas Los objetos en sage se pueden agrupar en listas. Una lista no es mas que una estructura en la que tenemos unos objetos en posiciones concretas. Por ejemplo milista = [1,2,3] asigna a la variable milista la lista formada por los números 1, 2 y 3. Los elementos están numerados desde 0, así milista[0] tendrá el valor 1, milista[1] tendrá el valor 2 y milista[2] tendrá el valor 3. Los valores milista[n] se pueden usar como variables ordinarias y hacer cualquier operación sobre ellas.

10 Listas Recorriendo Listas La gran ventaja de tener los números en una lista, es que podemos recorrer los elementos de la lista. Si ponemos minuevalista = [1,4,7,-1] for x in minuevalista: print x*x Nos escribirá los elementos 1,16,49 y 1.

11 Listas for,in,:,etc. Hay varios puntos importantes en el código: minuevalista = [1,4,7,-1] for x in minuevalista: print x*x Utilizamos for para recorrer la lista y decimos cómo queremos llamar a los elementos: los llamaremos x. Por tanto x irá recorriendo cada uno de los valores de la lista. Después ponemos : y la siguiente ĺınea tiene que estar desplazada a la derecha un número de espacios. Ese desplazamiento hace a sage reconocer que esas intrucciones están en el bucle.

12 Listas El comando range Las listas de números [ 0,1,2,3,...,n-1] se pueden generar con el comando range(n) Si escribimos range(10) nos devolverá la lista [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Podemos usarlo directamente for j in range(10): print j Nos escribirá todos los números desde el 0 al 9.

13 Listas El comando range (II) Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5]. Notemos que el número 6 no se alcanza, en range(a,b) el primer valor de la lista será a y el último b 1. También podemos hacer listas que en cada paso sumen una cantidad distinta de 1, por ejemplo range(7,12,2) Nos escribirá [ 7,9,11]. También podemos is hacia abajo, por ejemplo range(10,0,-1)

14 Listas Comandos para Listas Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamos a ver algunos: Si milista es una variable que contiene una lista, entonces su longitud es len(milista) Si queremos saber el número de veces que un valor aparece en una lista, milista.count(x) nos dice el número de veces que x aparece en milista (que también puede ser 0) El comando sum(milista) nos dice cuanto suman todos los elementos de la lista y prod(milista) su producto.

15 Listas Una Programación Elegante Podemos crear listas como sigue: c = [x^2 for x in range(5)] Esto nos proporciona la lista [ 0, 1, 4, 9, 16] y la asigna a la variable c. Podemos incluso añadir condiciones: c = [sqrt(x^2-7) for x in range(5) if x^2-7 > 0] asignará a c la lista [sqrt(2), 3].

16 Los Números Enteros Números en una Base Dado un número entero, podemos representarlo en diferentes bases. Habitualmente lo representamos en base 10, pero con sage podemos transformarlo en cualquier otra base. Si ponemos a = ZZ(100) bin(a) hex(a) Obtenemos respectivamente las representaciones binarias y hexadecimal del número, 0b y 64.

17 Los Números Enteros Listas de Cifras Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con lascifras = a.digits(2) Las cifras van desde la menos significativa hasta la más significativa. El número de cifras podemos saberlo con len(lascifras) o directamente a.ndigits(2). Lo que se ha hecho para la base 2, se puede hacer para cualquier base.

18 Los Números Enteros Divisibilidad Una de las propiedades más interesantes de los números enteros es la divisibilidad. Para ver si dos números son divisibles entre sí, podemos calcular el resto y ver que es cero o utilizar un comando especial que nos lo dice: a = ZZ(10) b = ZZ(5) b.divides(a) nos devolverá True.

19 Los Números Enteros Divisores de un Número También podemos calcular la lista de divisores de un número. Nos dará los divisores positivos. El comando es 150.divisors() Nos devolverá la lista [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150] Esta lista se puede asignar a una variable, recorrerla, o cualquier otra operación que queramos hacerle.

20 Los Números Enteros Números Primos Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Podemos preguntarnos si un número es primo de diferentes formas, por ejemplo 1.is_prime() 2.is_prime() nos devolverán respectivamente False y True. Esto es lo mismo que is_prime(1) y is_prime(2).

21 Los Números Enteros Factorización Podemos descomponer un número en producto de sus factores primos, lo que se conce como factorización. Si ponemos por ejemplo factor( ) Nos devolverá

22 Polinomios El Anillo de Polinomios Se pueden definir también estructuras más complejas, por ejemplo los polinomios. Podemos asignar a una variable toda una estructura algebraica, por ejemplo: var( x ) R = PolynomialRing(QQ, x ) S = PolynomialRing(RR, x ) nos asignará a R el conjunto de los polinomios con coeficientes en los números racionales y variable x. En el caso de S serán los polinomios con coeficientes reales.

23 Polinomios Polinomios Con las anteriores definiciones, podemos poner p = R(x^2-2) q = S(x^2-2) Podemos preguntar a sage si p y q son iguales, p == q Nos devolverá True, es decir, son el mismo polinomio, pero su comportamiento es diferente.

24 Polinomios Polinomios (II) Si escribimos factor(p) factor(q) Obtenemos respectivamente (x 2 2) (x ) (x ) Eso es porque como polinomio con coeficientes en Q el polinomio es irreducible, pero como polinomio con coeficientes reales no lo es.

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