Tarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4

Transcripción

1 Tarea 4 Soluciones Extracto del libro Baldor. Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy, 4a son términos. 3x Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo -. Así, +a, +8x, +9ab son términos positivos y x, 5bc y 3a son términos negativos. 2b El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así, a equivale a +a; 3ab equivale a +3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo. El coeficiente es uno cualquiera, generalmente el primero, de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5; en 3a 2 x 3 el coeficiente es 3. La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy; en 33 y 4 la parte literal es x3 y 4. 2ab ab El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra (relativo a una variable). Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sis factores literales. Así, el término 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1;el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es = 2; el término a 2 b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es = 3; 5a 4 b 3 c 2 es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es = 9. El grado de un término con relación a una letra (relativo a una variable) es el exponente de dicha letra. Así el termino bx 3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x; 4x 2 y 4 es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y. 1

2 1. En las siguientes expresiones algebraicas indica cuántos términos hay en cada una y cuáles son: 1. x 3 (xy + 5x) Sol. Tiene 1 término con 2 factores. El segundo factor (xy + 5x) tiene dos términos. 2. x x x 2 17 Sol. Tiene 5 términos. 3. Ahora agrupando términos semejantes de las expresiones en 1) y 2) responde nuevamente la pregunta. x 4 y + 5x 4 Sol. Tiene 2 términos. 4x x Sol. Tiene 4 términos. 2. En las siguientes expresiones algebraicas indica cuáles son los grados de cada término: a 0 + a 1 x + a 2 x 5 con a 0, a 1 y a 2 constantes reales. Sol. El primer término a 0 tiene grado cero. El segundo término +a 1 x, tiene grado 1, pues es el exponente de su factor literal x es uno. El tercer término a 2 x 5 es de grado quinto, pues el exponente de factor literal x es 5. xy 2 + 5x x 6 y 3 Sol. El primer término xy 2 es de tercer grado, pues la suma de los exponentes de su factor literal es = 3. El segundo término 5x es de primer grado, pues el exponente de su factor literal es uno. El tercer término x 6 y 3 es de noveno grado, pues la suma de los exponentes de su factor literal es = De las expresiones del problema 1, dí cuales son los grados relativos a la variable x en cada término y cuáles son los relativos a la variable y. x 4 y + 5x 4 Sol. El primer término x 4 y es de cuarto grado con respecto a x y es de primer grado con respecto a y. El segundo término 5x 4 es de primer grado con respecto a x y de grado creo con respecto a y. 2

3 x x x 2 17 Sol. El primer término x 2 es de segundo grado con respecto a x y de grado cero con respecto a y. El segundo término 17x es de primer grado con respecto a x y de grado cero con respecto a y. El tercer término 16 es de grado cero con respecto a x y a y. El cuarto término 5x 2 es de segundo grado con respecto a x y de grado cero con respecto a y. El quinto término 17 es de grado cero con respecto a x y a y. 4. Cómo se definene las siguientes expresiones (en términos de sumas y multiplicaciones): a 6. Es multiplicar 6 veces a, es decir, a 6 = a a a a a a. 6a. Es sumas 6 veces a, es decir, 6a = a + a + a + a + a + a. nx. Es sumar n veces x, es decir, nx = x } + x + {{ x x }. n veces x n xm. Tenemos, x n es multiplicar n veces x, es decir, x n = x } x {{ x... x}. n veces Y, x m es multiplicar m veces x, es decir, x m = x } x {{ x... x}. Entonces, m veces x n x m, es multiplicar n veces x multiplicado por multiplicar m veces x, es decir, x n x m = } x {{... x} x } {{... x} = } x {{... x} = x n+m. n veces m veces n+m veces Propiedades de los números reales Sean a, b, c R, 1. (Ley asociativa para la suma) a + (b + c) = (a + b) + c. 2. (Existencia de una identidad para la suma) a + 0 = 0 + a = a. 3. (Existencia de inversos para la suma) a + ( a) = ( a) + a = 0. 3

4 4. (Ley conmutativa para la suma) a + b = b + a 5. (Ley asociativa para la multiplicación) a (b c) = (a b) c. 6. (Existencia de una identidad para la multiplicación) a 1 = 1 a = a; (Existencia de inversos para la multiplicación) a a 1 = a 1 a = 1, para a (Ley conmutativa para la multiplicación) a b = b a. 9. (Ley distributiva) a (b + c) = a b + a c. 5. Usándo las propiedades de los números reales demuestra las leyes de los signos: ( )(+) = ( ). Aquí lo que en realidad se quiere probar es que a, b R tal que a, b > 0, entonces ( a) b = (a b). Demostración. Tenemos la expresión ( a) b + a b. Usamos la ley distributiva: ( a) b + a b = ( a + a) b Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma. ( a) b + a b = (0) b Usamos el resultado: a R, a 0 = 0 ( a) b + a b = 0 4

5 Sumamos el inverso aditivo de a b, es decir, (a b) en ambos lados, Ley asociativa, Que es lo que queriamos. (( a) b + a b) (a b) = (a b) ( a) b + (a b (a b)) = (a b) ( a) b + (0) = (a b) ( a) b = (a b) ( )( ) = (+). Lo que en realidad queremos probar es que a, b R tal que a, b > 0, entonces ( a) ( b) = a b. Demostración. Tenemos la expresión ( a) ( b) + [ (a )b], usamos la ley asociativa de la multiplicación Ley distributiva, ( a) ( b) + [ (a b)] = ( a) ( b) + ( a) b ( a) ( b) + [ (a b)] = ( a) [( b) + b] Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma, ( a) ( b) + [ (a b)] = ( a) (0) Usamos el resultado: a R, a 0 = 0 Sumamos (a b) a ambos lados, ( a) ( b) + [ (a b)] = 0 ( a) ( b) + [ (a b)] + (a b) = (a b) Usamos la ley asociativa de la suma ( a) ( b) + ( (a b) + (a b)) = (a b) 5

6 Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma, ( a) ( b) + (0) = (a b) Usamos la existencia de una identidad para la suma, Y llegamos a lo que queriamos. ( a) ( b) = (a b) 6. Explica muy brevemente (en uno o dos párrafos cortos) por qué se puede decir que los axiomas de una teoría son como los artículos de la constitución mexicana para un juicio legal. Axioma. Teorema. proposición clara y evidente que no necesita demostración. proposición o declaración inicial que es generalmente aceptada como verdadera sin demostración (verdad evidente por sí misma) y de la cual se pueden derivar declaraciones o teoremas posteriores utilizando la deducción lógica. es una proposición que puede demostrarse de forma lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anterioridad. proposición por medio de la cual, partiendo de un supuesto, se afirma una verdad que no es evidente por sí misma. Los artículos son como axiomas, pues son tus hipótesis y sobre ellos demuestras si el acusado es culpable o no. 7. Dí cuál es la noción, según la geometría euclidiana, de distancia entre dos punto A y B. Sol. A cada dos punto A y B se les asocia su distancia que es un real positivo que se denota por AB. Euclides pensó en distancia como el radio de un círculo. Alternativa.Definimos la distancia entre dos punto A y B como la longitud del segmento de la recta que los une. 6

7 8. Considera los punto A y B. Define lo que es la mediatriz de estos puntos. La mediatrizde un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Una manera de caracterizarla es como el conjunto de puntos P que cumplen que la distancia a cada extremo A, B es la misma, esto es, P A = P B. 9. Enuncia los criterios de congruencias de triángulos. Dos triángulos son congruentes cuando sus tres ángulos y lados también lo son. LLL.Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes. LAL.Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. ALA. Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. LLA.Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes. 10. Da la construcción de la bisectriz de un ángulo (utiliza solamente técnicas de regla y compás). Demuestra que efectivamente esta es la bisectriz del ángulo (usa sólo los axiomas de Euclides y los criterios de congruencia de triángulos). Sol. Sea B el vértice del ángulo dado. Con centro en B trazamos un arco que corte a los lados del ángulo en A y C. Después, con centros en A y en B, cuyo radio r > 1 AC trazamos arcos que se intersectan en un punto D. El punto 2 D se encuentra sobre la bisectriz por lo que la recta por B y D es la bisectriz. En efecto los triángulos BAD y BCD son congruentes por el criterio LLL, luego sus ángulos correspondientes son iguales; en particular: CBD = ABD, por lo que la recta por B y D es la bisectriz. 7