ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS

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1 AEXO I COCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS E este aeo se compila alguos de los coceptos sísmicos básicos pero ecesarios. Se itroduce los tipos de movimietos vibratorios, así como su descripció y otació matemática. Posteriormete se eplica las series de Fourier y la trasformada de Fourier. Fialmete se distigue los coceptos espectro de Fourier y el espectro de respuesta, aalizado las distitas formas que preseta estos espectros e suelo y roca. AI. MOVIMIETO VIBRATORIO: AMPLITUD Y FASE - Tipos U terremoto se puede cosiderar como ua carga cíclica rápida y de relativa larga duració que iduce e el terreo u movimieto vibratorio cuya amplitud fluctúa e ua rago amplio de frecuecias. E este apartado se describe los tipos de movimietos vibratorios y se itroduce las epresioes matemáticas que se utiliza para la caracterizació del movimieto odulatorio. Los movimietos vibratorios se clasifica e movimietos periódicos y movimietos o periódicos. Los movimietos periódicos so aquellos que se repite e itervalos regulares de tiempo. E caso cotrario los movimietos vibratorios se cosidera o periódicos. Ejemplos de movimietos vibratorios o periódicos so los producidos por el tráfico o los terremotos (fig.ai.). Estos movimietos vibratorios y periódicos se puede represetar mediate series harmóicas.,8,6 Desplazamieto relativo (m,4, -, -,4 -,6 -, Tiempo (seg) Figura AI. Movimieto odulatorio típico del suelo tras u terremoto. 7

2 Por lo tato, el movimieto producido por u terremoto se puede represetar como suma de series de movimietos harmóicos simples o siuosoidales, supoiedo que la vibració se repite asimismo después de ua zoa e la que o se produce igú movimieto, coocida como quiet zoe (fig. A.). Figura AI. Represetació del movimieto tras u terremoto como ua fució periódica usado ua zoa artificial e la que o se produce igú movimieto. La fució se repite idefiidamete tras el período T f [4]. - Descripció matemática A cotiuació se describirá el movimieto harmóico simple y se itroducirá su otació matemática e dos formas que so equivaletes: la otació trigoométrica y la otació compleja. La otació trigoométrica describe el movimieto segú la siguiete otació: () t A ( ω t + φ) u si (ec. A.I. ) dode A represeta la amplitud, ω la frecuecia circular y φ el águlo de fase. La frecuecia circular describe el ratio de oscilació e radiaes por uidad de tiempo. El cocepto de águlo de fase se puede eplicar como la catidad de tiempo que separa los picos y los putos cero respecto a ua fució seo pura. El movimieto es ulo cuado ωt+φ, es decir par valores de t ω/φ. Para valores de t + ω/φ la fució siuosoidal se desplaza hacia la izquierda del eje de ordeadas (fig. AI.3). Figura AI 3. Amplitud y período de vibració e u movimieto harmóico simple. Ifluecia del águlo de fase e la posició de la siusoide [4]. 8

3 El cocepto de frecuecia circular se eplica cosiderado el movimieto de rotació circular de u vector de amplitud A. El movimieto u (t) es la compoete vertical de este vector: u () t Asi( ωt) (ec. A.I. ) Figura AI 4. Represetació del vector de rotació de u movimieto harmóico simple co águlo de fase ulo. El tiempo que este vector de rotació realiza u giro completo se cooce como período de vibració, T y se epresa como: π ω T (ec. A.I. 3) La frecuecia de oscilació epresa el úmero de ciclos por uidad de tiempo y se epresa como: T ω π f (ec. A.I. 4) El movimieto harmóico simple tambié puede epresarse como suma de ua fució seo y ua fució coseo (fig. AI.5): u ( t) a cos ( ωt) + bsi( ωt) (ec. A.I. 5) Figura AI 5. La suma de ua fució seo y coseo de igual frecuecia produce u siusoide de igual frecuecia cuya amplitud y fase depede de las amplitudes de las fucioes seo y coseo. 9

4 Figura AI 6. Represetació del vector de rotació de u movimieto harmóico simple. La suma de las compoetes verticales de las compoetes seo y coseo e (a) es igual a la compoete vertical de la resultate e (b) E la figura AI.6.b (coocida como diagrama de Argad) se observa como el movimieto a + b resultate tiee ua amplitud igual a y forma u águlo co el vector b φ ta - (a/b). Por tato el movimieto resultate sigue la ecuació: () t A ( ω t + φ) u si (ec. A.I. 6) E alguos casos los aálisis matemáticos se simplifica mediate el uso de fucioes complejas del tipo e iα cosα + isiα que costa de ua parte real Re (e iα ) cosα y otra imagiaria Im (e iα ) siα. De esta forma se obtiee la otació compleja del movimieto: u e iωt + e iωt e iωt e iωt a ib a + ib iωt iωt () t a bi e + e (ec. A.I. 7) De uevo, si aplicamos el diagrama de Argad, se observa que el movimieto harmóico simple se puede describir como suma de dos vectores uitarios e iω t y e -iω t que rota a velocidades agulares ω y ω respectivamete (fig. AI.7). Figura AI 7. Represetació del vector de rotació de u movimieto harmóico simple. La suma de las compoetes verticales de las compoetes seo y coseo e (a) es igual a la compoete vertical de la resultate e (b)

5 AI. AÁLISIS ESPECTRAL - Serie de Fourier El movimimieto vibratorio puede ser muy complejo, por lo tato se requiere métodos para trabajar co movimietos secillos equivaletes. Fourier, matemático fracés, mostró que toda fució que cumpla ciertas codicioes puede ser epresada como suma de series de fucioes siuosoidales de diferete amplitud, frecuecia y fase (fig. AI.8). Figura AI 8. Proceso a partir del cual las series de Fourier puede represetar cargas complicadas a través de solucioes harmóicas secillas (a) Carga real (b) Sumatorio de series de cargas harmóicas secillas (c) Cálculo de la respuesta para cada carga harmóica (d) Represetació de la respuesta como sumatorio de series de respuestas harmóicas (e) Respuesta real Las epresioes utilizadas so: () t a + ( a cos t + b ω t) los coeficietes de Fourier so a,a,b : si ω (ec. A.I. 8) a a b T f T f T f T f T f T f () t () t () t dt cosω tdt (ec. A.I. 9) siω tdt Dode T f es el período a partir del cual se repite la fució idefiidamete. - Trasformada de Fourier E aplicacioes y problemas igeieriles los datos dispoibles cosiste e parámetros de carga o de movimieto descritos por u cojuto de datos fiitos y o fucioes aalíticas y por eso se recurre a los sumatorios y o a la itegració. La trasformada de Fourier discreta es la epresió matemática que permite obteer la fució (t) a partir de los datos dispoibles: X iωtk ( ω ) t ( tk ) e t ( ( tk ) cosωtk i( tk ) siωtk ) k dode t k k t, ω ω π/ν t k (ec. A.I. )

6 La trasformada de Fourier se puede ivertir, es decir, a partir de itervalos equiespaciados de frecuecia, se puede epresar ua fució temporal. Se logra co la trasformada de Fourier discreta iversa, de epresió: X iωtk ( tk ) ω X ( ω ) e ω ( X ( ω ) cosωtk + ix ( ω ) siωtk ) (ec. A.I. ) Estas epresioes so programables pero costosas computacioalmete. La trasformada rápida de Fourier es u algoritmo [3] que reduce este tiempo cosiderablemete. - Espectro de Fourier El espectro de Fourier es la represetació de la amplitud o la fase respecto a la frecuecia. Por ejemplo, el espectro de Fourier de amplitud muestra la distribució de la amplitud de u movimieto sísmico fuerte respecto a la frecuecia (o el período) y epresa el coteido frecuecial de u terremoto. El espectro de Fourier e suelos es más fuerte e períodos altos (o bajas frecuecias) mietras que el de roca es más fuerte e períodos bajos (fig. AI.9) Figura AI 9. Espectro de amplitud de Fourier para la compoete E-W del movimieto odulatorio e registros fuertes sobre u afloramieto de roca tipo areisca (Gilroy o. ) y sobre u suelo aluvial de 65 m (Gilroy o. ). Gilroy, Califoria, durate el terremoto de Loma Prieta, 989 [4].

7 AI. 3 ESPECTRO DE RESPUESTA El espectro de respuesta represeta la máima respuesta de u sistema de u solo grado de libertad (SDOF, Sigle Degree Of Freedom ) a u movimieto de etrada como fució de la frecuecia y de la razó de amortiguació del sistema. La respuesta de u sistema SDOF frete al movimieto del suelo se utiliza para modelar la respuesta de las estructuras. U sistema SDOF está caracterizado por ua masa, m, por u amortiguamieto, c d y por ua rigidez k (fig. AI.). Figura AI. Sistema de u solo grado de libertad (SDOF system) co la masa m, la rigidez k y el amortiguamieto c d. La aceleració del suelo es u g(t). La ecuació que rige el movimieto de este sistema depede de la aceleració del suelo u g (acció sísmica) segú: Dode suelo. u, u mu+ cd u+ ku m u (ec. A.I. ) g y u so la aceleració, la velocidad y el desplazamieto del sistema relativos al Los espectros de respuesta de suelos muestra mayor coteido de largos períodos (bajas frecuecias) que se traduce e mayores velocidades y desplazamietos espectrales (fig. AI.). Figura AI. Espectros de respuesta para la compoete E-W del movimieto odulatorio e registros fuertes sobre u afloramieto de roca tipo areisca (Gilroy o. ) y sobre u suelo aluvial de 65 m (Gilroy o. ). Gilroy, Califoria, durate el terremoto de Loma Prieta, 989 [4]. 3