Aplicación 2: Diversificación de las inversiones (problema de selección de cartera)

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1 Aplicación : Divesificación de las invesiones (poblema de selección de catea) Hecho empíico: Cuanto mayo es el valo espeado (endimiento) de una invesión NO es cieto que sea más apetecible. (Si invesoes neutales al iesgo, sí.) Po la avesión al iesgo: la gente tata de evita invesiones en las que (el dto espeado puede se alto, peo) el iesgo de sufi pédidas también es alto Cómo fomaliza esto? Mediante la max de la utilidad espeada, teniendo en cuenta qué pate de iqueza invetiá en activos cuya entabilidad es cieta y en activos incietos 88

2 . El poblema de selección de catea (un activo incieto y dineo) Un individuo con iqueza w desea inveti z, epotaá un dto po invetido de con pob y de 0 z w, en un activo incieto. Este activo le p con pob p w z, la mantiene en dineo (cuyo dto es ceo) (no hay inflación en la economía). El esto de su iqueza, Poblema de diseño de catea: Cómo detemina la invesión óptima * z? Respuesta: Riqueza final en cada estado de la natualeza es: 89

3 w ) w z + z( + w + z w w z + z( + ) w + z La situación incieta es, pues, la loteía w + z, w + z; p, ) ( p Poblema (de diseño de catea) del individuo max Eu pu( w + z) + ( p) u( w + z z ) CPO: 90

4 Eu 0 pu ( w + z) + ( p) u ( w + z) (3) z Compoba que la CSO se veifica siempe que el individuo sea aveso al iesgo Deteminemos el cambio de utilidad espeada del pime invetido. Evaluamos CPO (3) paa z 0 (i.e., en téminos discetos, paa el pime invetido): Eu z z 0 pu ( w) + ( p) u ( w) 0 i.e. u w)[ p + ( p) ] 0 (4) ( 9

5 y dado que u ( w) > 0, sign de (4) dependeá del dto espeado del activo: Eu * Si p + ( p) < 0, entonces < 0 z 0 z z 0 Si el activo tiene dto espeado negativo, la utilidad espeada cuando se inviete el pime en él. Y dado que u < 0, la utilidad sigue cuando se siguen invitiendo adicionales: el individuo no inviete nada en el activo (mantiene todo en dineo). Catea óptima es ( 0, w) o, simplemente, w. 9

6 Eu z Eu * Si p + ( p) > 0, entonces > 0 z > 0 z z 0 93

7 Si el activo tiene dto espeado positivo, la cantidad invetida en él seá estictamente positiva, * con lo cual w z es lo que mantendá en dineo El individuo siempe queá inveti algo en el activo incieto, independientemente de lo aveso que sea al iesgo. La catea óptima es ( z *, w z * ) 94

8 En este contexto, Cómo afectan los impuestos (s/ los endimientos) a la invesión en activos incietos? * Sea z la invesión óptima en el activo incieto sin impuestos y impuestos: z la invesión óptima con Poposición. Un impuesto sobe el endimiento de un activo incieto aumenta la invesión en él, z > * z. Demo: Sup que el individuo cotiza al tipo impositivo t, 0 < t < dto neto en cada estado de la natualeza seá, esp., ( t) y ( t). 95

9 CPO que detemina invesión óptima * z sin impuestos es p u w + z) + ( p) u ( w + z) 0 (5) ( la cual pemite obtene * z. CPO que caacteiza invesión óptima z con impuestos es p u w + z( t) ) + ( p) u ( w + z( t) ) 0 (6) ( de donde se obtiene z. 96

10 Compaando (5) y (6), y teniendo en cuenta que ( t) y ( t), se puede demosta que z * z. En efecto, t z z * t veifica la CPO sin impuestos (5): Intoduciendo z z t * en (6), esulta * z z p u ( w + ( t) ) + ( p) u ( w + ( t) ) t t * 0 i.e. * p u ( w + z ) + ( p) u ( w + z ) * 0 97

11 que coincide con la CPO sin impuestos dada en (5). Queda así demostado que z > * z. z z * t, i.e. Explicación: Cuando se fija un impuesto, la ganancia en el estado bueno es meno (se tata de un impuesto sobe la ganancia cuando el dto es positivo), peo también la pédida en el estado malo es meno (el impuesto se conviete en una subvención sobe la pédida cuando el dto es negativo). El impuesto consigue educi la vaianza (iesgo)! y hace así más apetecible el juego paa un individuo aveso! Multiplicando po ( t) la invesión en el activo incieto cuando no hay impuesto, lo que el individuo consigue, en un contexto de impuestos, es epoduci los mismos dtos (una vez 98

12 deducidos los impuestos) que obtenía antes de impuestos. Po lo tanto, el impuesto educe el dto espeado (neto), peo también educe el iesgo Cuando hay impuestos, basta con que el individuo aumente la invesión en el activo incieto paa pode obtene el mismo dto de antes y así contaesta el efecto del impuesto (y, sin embago, sopota menos iesgo). Y aumentaá la invesión poque el iesgo es meno! 99

13 . El poblema de selección de catea con un activo incieto y un activo seguo (distinto del dineo (y, po tanto, con un dto positivo)) Sup que el individuo no mantiene nada de su iqueza w en dineo como sucedía hasta ahoa (es un activo que ofece endimiento nulo! si sup que no existe inflación). En la economía existen dos tipos de activos financieos: un activo cieto (con un dto que no depende de los estados de la natualeza) y un activo incieto (con un dto aleatoio). El individuo inviete z en el activo con iesgo (cuyo dto puede se con pob y p p ) y el esto, w z, en el activo seguo (cuyo dto es > 0). (En el caso, 0.) s s con pob 00

14 Poblema de selección de catea: Cantidad de ecusos z a inveti en el activo incieto? Analicemos este poblema en cada uno de los tes casos posibles po sepaado: Individuo aveso al iesgo max Eu pu( z( + ) + ( w z)( + s )) + ( p) u( z( + ) + ( w z)( + z s )) CPO c..a. activo con iesgo es Eu 0 pu ( )[ + ( + s )] + ( p) u ( )[ + z ( + s )] 0

15 Es deci, Eu 0 u ( )[ p + ( p) z s ] donde p + p) E( ~ ) ( (La suficiencia de la CPO está gaantizada po el sign de la ª deivada: Compoba) Definición (Pima de iesgo de un activo): La PR de un activo es su dto espeado menos el dto libe de iesgo, E( ~ ) s Poposición: 0

16 (i) Si p ( p <, i.e., si E [ ~ ] < 0, el dto espeado del activo incieto no supea la + ) s s etibución del activo seguo la PR es negativa z * 0 Cuando PR < 0, el individuo inviete toda la iqueza en el activo seguo (ii) Si p ( p >, i.e., si E[ ~ ] > 0, PR > 0... los individuos mantendán + ) s s cantidades positivas del activo con iesgo, z * > 0 Individuo neutal al iesgo, u ( ) 0 Poposición: 03

17 (i) Si la PR del activo incieto es 0, E ( ~ ) 0 (activo seguo), el individuo es indifeente s fente a todas las cateas posibles, es deci, cualquie catea z (fomada po cualquie popoción activo incieto-activo seguo ) satisface la CPO (ii) Si la PR es distinta de 0, E ( ~ ) 0, el individuo compaá (vendeá) el activo incieto si la PR es positiva (negativa) s El individuo es amante del iesgo, u ( ) > 0, Poposición: Establece esta poposición 04

18 La catea óptima es única y el signo de z dependeá de la PR del activo incieto (Compoba) Eu En definitiva, la CPO 0 z detemina la divesificación del iesgo que asume el individuo OJO: La solución del poblema de selección de catea depende del tipo de activos que estemos consideando. Existen activos en los que, po su natualeza, no es posible mantene una posición cota, con lo cual, en este caso, tendíamos que incopoa en el análisis una esticción de no negatividad en la cuantía de la invesión en el activo incieto, z 0. 05

19 3. El poblema fomal de selección de catea en el caso geneal (Ve Antelo (003), pp. 346 y ss.) *** Salvo que un nuevo activo esté pefectamente coelacionado con el potfolio (en este caso el individuo está compando más de lo mismo), la contibución del nuevo activo al iesgo de la catea es meno que la vaianza de la nueva catea al evalua un activo, al inveso le impota tanto el dto espeado como el iesgo debe considea el efecto del activo sobe el dto y sobe el iesgo de la catea divesificada del inveso. 06

20 es peciso estima las coelaciones (covaianzas) ente la entabilidad del activo y las de los otos activos de la catea Gacia o inteés de la divesificación: Mientas que el dto espeado de la catea es igual a la suma pondeada de los dtos espeados de sus componentes, la vaianza de la catea es meno a la suma pondeada de las vaianzas de los activos que la componen La base paa divesifica una catea de valoes, en el supuesto de que los dtos de los activos sigan una distibución nomal, es un pa de elaciones estadísticas. 07

21 Consideemos dos v.a. y v (pueden epesenta los dtos de dos activos financieos), con medias v μ y μ, esp., y vaianzas y, esp. Sea coeficiente de coelación es ρ. la covaianza, con lo cual el La media μ y la vaianza de la v.a. v constuida como una pondeación de las dos anteioes (catea), v αv + ( α) v, con α (0,) son: μ αμ + α) ( μ α + ( α ) + α ( α ) ρ 08

22 Ejemplo: ; Dados activos con dtos i.i.d. ( μ μ ; ρ ), una catea con popoción de los dos activos ( α 0,5) ofeceá el dto μ αμ + ( α) μ, i.e. el mismo dto que cualquiea de los dos activos. Sin embago, el iesgo de la catea se REDUCE ya que: (i) Si ρ 0 (cuando el dto de uno de los valoes, el del oto también ), el iesgo de la > 5 catea es 0,5 + 0,5 + 0,5 ρ 0,5 + 0, (no sabemos ealmente si se educe o no el iesgo, poque estamos consideando activos positivamente coelacionados: y en este caso combina educe el iesgo?) (Ve inicio de páafo comentaio en ojo) 09

23 (ii) Si ρ 0, el iesgo de la catea se educe a la mitad del iesgo de cualquiea de los dos activos ya que 0,5 + 0,5 0,5 ( iii) Si ρ 0, el iesgo de la catea aún se educe más que en el caso (ii) po cuanto < 0,5 + 0,5 0,5 ρ 0,5 0,5. Esta iesgo es lo que se conoce como efecto divesificación ( no pongas todos los huevos en la misma cesta ) *** Sup que el individuo puede inveti en A activos,,,a, y sea θ a el pocentaje de iqueza que destina al activo a, a,..., A. El dto del activo a viene dado po la v.a. ~ a. 0

24 La entabilidad de la catea (potfolio) P es A a a a A a a a P P E E ) ( ~ ) ~ ( θ θ y el iesgo A a A a aa a a A a a a P P P E E ) ( ~ ] ) ~ [( θ θ θ siendo a a a la covaianza ente los activos a y a, )] )( [( a a a a a a E

25 o, altenativamente, P E[( ~ P P ) ] E θa ( ~ a a ) θaθa a a ρ a a a A A A aa donde aa ρ aa es el coeficiente de coelación ente los activos a y a. a a Si 0 (>0) (<0), los dtos de los dos activos aa positivamente coelacionados) (negativamente coelacionados) no están coelacionados ente sí (están Dado que existen múltiples cateas P que ofecen vaiabilidad, el poblema del inveso es elegi la catea que inda una el mismo valo espeado y/o la misma μ P máxima paa una dada o bien la que ofezca una P mínima paa una μ P dada. Éstas son las cateas eficientes. P

26 Paa esolve el poblema, tenemos que caacteiza: () Las pefeencias del individuo () El conjunto de opotunidades de catea.. Pefeencias del individuo Si la f.u.e. (en función de la iqueza o endimiento) u ( ~ ) del individuo es de clase, podemos apoximala (alededo del endimiento medio ) me diante una seie de Taylo hasta el témino de gado : u ( ~ ) u( ) + u ( )( ~ ) + u ( )( ~ ) +... () Si tomamos espeanzas en (), 3

27 E [ u( ~ )] u( ) + u ( ) E( ~ ) + u ( ) E( ~ ) +... u( ) u ( ) ~ +... () Es deci, la utilidad espeada depende de la entabilidad espeada y de la vaianza. (Esto es impotante poque es más fácil medi la media y la vaianza de una catea o activo que la utilidad espeada) En el espacio (dto, iesgo), las cuvas de indifeencia se obtienen de () sin más que deiva 4

28 [ ] ~ ~ ) ( d u E d ) ( d ) ( )d ( ~ u u u + + ~ d ) ( ) ( d u u + 0 Teniendo en cuenta que si la UMa del dineo es dececiente, podemos escibi ) ( ) ( ) ( u u ρ, esulta [ ] ~ d d ( ~ ) d u E ρ i.e., [ ] ( ~ ) ρ ~ E u 5

29 μ ~ ρ ~ lo cual significa que la f.u.e. del individuo puede apoximase po una función lineal de μ y (o de μ y ). De aquí esulta ( ~ ) E[ u ρ ~ μ ~ ( ~ )] + con lo cual, dμ d ~ > ~ 0 6

30 Las cuvas de indifeencia del individuo tienen pendiente positiva poque (si bien el dto es un bien), el iesgo es un mal 7

31 μ ~ ~ El citeio de elección ente el activo a y el activo a es af a E[ u( ~ )] E[ u( ~ )] μ ρ μ ρ a a ~ a ~ a ~ a ~ a 8

32 Caso paticula de activos ( a, ) con entabilidades espeadas y y va. y Si θ a es el % de iqueza que desti na al activo a, a,, la catea P ( θ, θ) se caacteiza po P θ + θ y P + θ θθ θ + siendo la covaianza ente ~ y ~, [( ~ )( ~ E )] 9

33 o, lo que es lo mismo, P θ + θ + θ θ ρ donde, como siempe, ρ es el coeficiente de coelación, ρ. (Activos coelacionados positivamente) [Caso algo ao y poco compatible con la divesificación : paa divesifica, se inviete en dos activos positivamente coelacionados?] Si los activos están pefectamente coelacionados, ρ, entonces la catea se caacteiza po P θ + θ 0

34 y P θ + θ + θθ ( θ θ ) P θ + θ + Poposición: Si los activos están pefecta y positivamente coelacionados, la catea P se caacteiza poque: Su entabilidad es una combinación lineal convexa de las entabilidades de los activos (esto siempe seá cieto) Su iesgo (desviación típica) es también una comb lineal convexa de las desviaciones típicas de los dos activos la popoción de activos con la que se constuye la catea es θ 0 y θ * *

35 Demostación: El poblema consiste en min θ θ θ, θ +, s.a: θ +θ θ a función objetivo es lineal: la solución se obtiene como L θ, y teniendo en cuenta la esticción θ +θ, i.e., θ θ, esulta θ θ implica que θ ( θ ) θ. Po lo tanto, θ. Entonces,

36 Si >, θ < 0, con lo cual lo óptimo es θ 0, en cuyo caso θ Si <, lo óptimo es θ, con lo cual θ < 0. Entonces 0 θ y θ Es deci, las cateas óptimas son las de extemos. Este esultado extaño se deiva de lo ao de este caso paa divesifica y educi con ello el iesgo (combina dos activos que están + coelacionados??) (Ve al inicio de páafo comentaio en ojo) Gáficamente (sup, p.e., activo tiene mayo endimiento y también mayo iesgo que activo ) 3

37 P P P 4

38 (Activos coelacionados negativamente) Si los activos están pefectamente coelacionados, peo negativamente, ρ, la catea se caacteiza po P θ + θ y P θ + θ + θθ ( ) ( θ θ ) P θ θ Poposición: Si los activos están pefecta y negativamente coelacionados, la catea P se caacteiza poque: La entabilidad de la catea (continúa siendo) una combinación lineal convexa de las entabilidades de los activos 5

39 El iesgo se educe combinando los dos activos, peo no de cualquie foma como sucedía antes (sino de una foma muy conceta) Cuál? Obsevando la expesión de P, se ve que: El iesgo (desviación típica) de P no es una combinación lineal convexa de las desviaciones típicas de los dos activos (como sucedía en el pime caso) La composición óptima de la catea es θ * * y θ + + Demostación: El poblema consiste en min θ θ θ, θ, s.a: θ +θ 6

40 θ Como la función objetivo es lineal, la solución se obtiene como θ, y teniendo en cuenta ( θ la esticción θ θ, esulta ) θ θ. Finalmente, de la esticción + θ θ, esulta θ +. Es deci, cuanto más se invieta en el activo (que es el de meno iesgo) más educe el iesgo de la catea sin afecta con ello a la entabilidad de la misma) Gáficamente: 7

41 P θ P θ P P (Activos incoelacionados) Si los activos no están coelacionados, ρ 0, la catea P se caacteiza po P θ + θ 8

42 y P θ + θ + θθ (0) θ θ + θ θ + P La catea óptima, en caso de activos incoelacionados, es Poposición: Si los activos están incoelacionados, la catea P se caacteiza poque: La entabilidad de la catea (continúa siendo) una combinación lineal convexa de las entabilidades de los activos 9

43 El iesgo se educe combinando los dos activos, (peo no de cualquie foma como sucedía antes, sino de una foma muy conceta) de la siguiente foma: θ * * y θ +. + Demostación: El poblema consiste en min θ θ θ, θ +, s.a: θ +θ ( θ A pati de la función auxilia de Lagange, L θ + θ + λ θ ), las CPO que esultan son: 30

44 0 + λ θ θ θ θ L 0 + λ θ θ θ θ L 0 θ θ λ L Resolviendo, se obtiene el esultado planteado. 3

45 Gáficamente: P θ P P θ P 3

46 θ Además, dado que < 0 ( + ) con meno iesgo. * * θ y 0 ( + ) >, se inviete más en el activo. Conjunto de opotunidades de catea Consideemos A activos, a,,..., A, no coelacionados pefectamente y sup que todos los individuos tienen las mismas valoaciones de los iesgos y dtos de estos activos (el aspecto analizado en el apatado () es común paa todos ellos), Entonces el conjunto de opotunidades de catea o combinaciones (, μ) es un conjunto convexo (dado que incluye activos no pefectamente coelacionados) del siguiente tipo 33

47 μ Fontea eficiente Conjunto de opotunidades de catea Ahoa bien, no todas las cateas de este conjunto son válidas paa el individuo (las que dominan a otas son las eficientes). 34

48 Poblema de catea es un poblema del tipo max P ρ P A θ E[ ~ a a a A A ] ρ θ θ Cov[ ~ a a a a a, ~ a ] A θa s.a. a θa 0, a,..., A y paa esolve este poblema se han popuesto, además de la función objetivo muchas otas (Ve Antelo (003), p. 35.) P P ρ, 35

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