Automatización de Procesos Industriales (REPASO TEORIA DE CONTROL) Ingeniero de Organización. Curso 1 o

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1 Automatización de Procesos Industriales (REPASO TEORIA DE CONTROL) Ingeniero de Organización. Curso 1 o Jose Mari González de Durana Dpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU Vitoria-Gasteiz Marzo 2002

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3 Indice 1. Modelos de procesos continuos Procesos de tiempo contínuo La realimentación en los sistemas de control Elementos básicos un sistema de control Diseño de los sistemas de control Nociones de estabilidad, rapidez y precisión Clasificación de los sistemas de Control Modelo de función de transferencia Modelo de estado Linealización Transformaciones entre modelos Respuesta temporal Diagramas de bloques Grafos de flujo de señal Cálculo de la respuesta temporal Sistema de primer orden Sistema de segundo orden Respuesta del modelo de estado Análisis Modal Respuesta de frecuencia Respuesta de frecuencia Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal Diagramas de Nyquist Diagramas de Bode Trazado por computador Criterio de estabilidad de Nyquist Márgenes de fase y de ganancia Lugar de las raíces Fundamento del método Reglas básicas del trazado del lugar de las raíces Trazado del lugar de las raíces por computador Ejemplos

4 4 INDICE 5. Funcionamiento de los sistemas de control Especificaciones de funcionamiento Análisis del error Sensibilidad a las variaciones de los parámetros Sensibilidad a las variables perturbadoras Indicies de comportamiento de los sistemas Estabilidad de los sistemas de control Controlabilidad y Observabilidad Sistemas de Tiempo Discreto Introducción Sistemas de tiempo discreto Sistemas intrínsecamente discretos Sistemas controlados por computador Sistemas de tiempo continuo muestreados Reconstrucción de la señal muestreada Teorema del muestreo Teorema de Shannon El elemento de retención de orden cero (ZOH) La transformada estrella La transformada z Propiedades y teoremas de la transformada z Transformadas de algunas funciones elementales Transformada z de diferencias finitas Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z Obtención de la transformada z inversa Método de integración compleja Método de la división directa Método de expansión en fracciones simples Método de resolución numérica de la ecuación diferencia Modelos matemáticos de los sistemas de tiempo discreto Filtros digitales Sistemas continuos muestreados Modelo de estado de tiempo discreto Sistemas controlados por computador Estabilidad en el plano z Diseño del controlador digital Equivalencia al muestreo y retención Invariancia al impulso Invariancia al escalón Integración numérica Coincidencia de polos y ceros Transformación bilineal Métodos modernos de diseño

5 Capítulo 1 Modelos de procesos continuos Los procesos continuos o, mejor dicho, de tiempo continuo, son los que admiten modelos matemáticos relativamente simples, basados en ecuaciones diferenciales. Estos modelos muchas veces son lineales, o admiten ser linealizados, por lo que se obtienen con relativa facilidad y son exactos (siempre y cuando las hipótesis supuestas sean ciertas). Suelen representar el comportamiento de sistemas físicos que siguen leyes físicas elementales. Los procesos continuos pueden controlarse utilizando controladores analógicos o digitales dando lugar, respectivamente, a sistemas de control analógicos a sistemas controlados por computador Procesos de tiempo contínuo Tiempo continuo significa que la variable independiente de las ecuaciones del modelo matemático es el tiemp t del proceso y que éste varía de forma continua en un intervalo de R. Las ecuaciones diferenciales del modelo son, en general, ecuaciones en derivadas parciales (EDP) pero muchas veces se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) e incluso a veces a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y con coeficientes constantes. Esto da lugar a la siguiente clasificación de los sistemas de tiempo contínuo: Sistemas de parámetros distribuidos (EDP) Sistemas de parámetros concentrados (EDO) Sistemas lineales (EDO lineales) Sistemas lineales de parámetros constantes (EDO lineales con coeficientes constantes) De todos ellos los últimos son los más simples y para ellos se ha desarrollado una teoría matemática muy potente basada en el Algebra Lineal. Esto es importante para el ingeniero ya que puede calcular con facilidad la solución de muchos problemas que aparecen en algunas ramas técnicas como por ejemplo Circuitos eléctricos Sistemas mecánicos Sistemas térmicos Sistemas de flúidos 5

6 6 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Amplificadores electrónicos Sistemas de control Robótica Sistemas dinámicos lineales en general Los paquetes informáticos denominados Computer Aided Control System Design (CACSD) son de gran ayuda para estos menesteres. Algunos de ellos son Matlab y Scilab. Parámetros y variables En los modelos matemáticos las magnitudes que evolucionan en el tiempo se llaman variables del sistema o, a veces, señales. Estas variables son funciones de la variable independiente t, que representa el tiempo. Las magnitudes que no evolucionan (o cuya evolución no se tiene en cuenta) se llaman parámetros del sistema. En cada uno de los sistemas físicos que vamos a estudiar (mecánicos, eléctricos, térmicos, de fluidos, térmicos y mixtos) existe un conjunto de variables y parámetros que lo caracterizan. En los sistemas eléctricos, por ejemplo, las variables son el voltaje, la carga, la intensidad, el flujo magnético, etc. mientras que los parámetros son la resistencia, el coeficiente de autoinducción, la capacidad, etc. En los sistemas mecánicos de translación las principales variables que intervienen son la fuerza f, el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleración a siendo sus parámetros significativos la masa m, el componente de rozamiento b y el componente de elasticidad k. En los sistemas mecánicos de rotación estas variables son el momento T, el desplazamiento angular θ, la velocidad angular ω y la aceleración α siendo sus parámetros significativos el momento de inercia J, el componente de rozamiento B y el componente de elasticidad K. En los sistemas térmicos las variables son el flujo calorífico q y la temperatura θ, y las variables la resistencia térmica R t y la capacitancia térmica C t. Y, por último, en los sistemas de fluidos las variables son el caudal f y la presión p y sus parámetros la resistencia del fluido R f, la inductancia del fluido L f y la capacitancia del fluido C f [?, sec. 2.2]. Clase de Sistema Variables Parámetros Sistemas Mecánicos (tras.) f, x, v, a m, k, b Sistemas Mecánicos (rot.) T, θ, ω, α m, k, b Sistemas Eléctricos v, i, φ R, L, C Sistemas Térmicos θ, q R t, C t Sistemas de Fluidos p, f R f, C f A pesar de las diferencias que existen entre las variables que caracterizan a las distintas clases de sistemas físicos, existen ciertas semejanzas fundamentales que pueden y deben ser aprovechadas de manera que la modelización resulte sencilla y a ser posible unificada para todos los sistemas La realimentación en los sistemas de control Un sistema de control sirve para controlar el valor de ciertas variables de salida por medio de otras variables de entrada. Hay dos procedimientos para ello denominados control en lazo abierto y control en lazo cerrado. Veamos cómo funcionan en el caso monovariable.

7 1.3. ELEMENTOS BÁSICOS UN SISTEMA DE CONTROL 7 En el control en lazo abierto (figura 1.1) la entrada u(t) actúa directamente sobre el dispositivo de control (controlador) C del sistema para producir el efecto deseado en la variables de salida, aunque sin comprobar el valor que toma dicha variable. w(t) u(t) C P y(t) Figura 1.1: Control en lazo abierto Un sistema de control en lazo cerrado tiene una entrada u(t), llamada de referencia o de consigna, que sirve para introducir en el sistema el valor deseado para la salida y(t). Esta salida se mide con un de captador M y dicha medida y m (t) se compara con el valor u(t) de la entrada de referencia. La diferencia ɛ(t) = u(t) y m (t) entre ambos valores incide sobre el dispositivo controlador C y la salida de éste, v c (t), sobre el elemento actuador A el cual a su vez ejerce la debida acción sobre planta P en el sentido de corregir la diferencia ɛ(t). En la figura 1.2 se ha representado un sistema de control en lazo cerrado. Con un razonamiento intuitivo podemos llegar a la conclusión de que el sistema en lazo cerrado responde mejor ante la presencia de la entrada perturbadora w(t). Y así es en muchos casos. Sin embargo, hay que ser muy cautos ante este tipo de razonamientos ya muchas veces que pueden fallar. No es posible predecir el comportamiento del sistema con feedback sin conocer previamente su modelo matemático. w(t) u(t) ɛ(t) + C v c (t) A v(t) + P y(t) y m (t) M Figura 1.2: Sistema de control en lazo cerrado El procedimiento de medir la señal de salida y restarla de la de entrada se llama realimentación negativa. El lazo que se forma al realizar la realimentación suele denominarse lazo o bucle de regulación Elementos básicos un sistema de control Los sistemas de control se pueden realizar con diversas tecnologías (mecánica, neumática, electrónica, etc.) pero sus elementos esenciales, indicados a continuación, son siempre los mismos. Advertimos, no obstante, que la terminología puede ser algo engañosa en ciertos contextos, quizás por utilización inadecuada, por traducción defectuosa del Inglés o por uso generalizado de algunos términos. Así, en nuestra área de conocimiento el término controlar se usa en el sentido de gobernar o conducir, mientras que en el lenguaje coloquial se dice a veces controlar con otro significado.

8 8 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Entradas: son los terminales que tiene el sistema de control por los que puede recibir estímulos que influyen en su evolución. Pueden ser Entradas de mando o de control: sirven para introducir órdenes. Entradas de referencias o consigna: son entradas de mando que imponen los valores deseados a sus correspondientes salidas. Entradas perturbadoras: son entradas que reciben estímulos indeseados. Salidas: son los terminales que tiene el sistema de control para emitir la respuesta, es decir, para que la respuesta pueda ser observada por el hombre o medida por una máquina. Planta: es el objeto que se desea controlar. Es un conjunto de componentes y piezas ensamblados entre sí y que cumplen una determinada función. Proceso: es una serie de operaciones que se realizan sobre uno o varios objetos con un fin determinado. Perturbaciones: Son alteraciones que se pueden producir en los componentes de una planta o proceso. Controlador Es un dispositivo que procesa la señal ɛ(t), es decir la diferencia entre la entrada de referencia u(t) y la medida de la salida y m (t), y produce una señal de salida v(t) adecuada para controlar la planta. Actuador Es el dispositivo que convierte la señal de salida del controlador v c (t) en otra señal v(t), posiblemente de distinta naturaleza y generalmente de mayor potencia, y la aplica a la planta o proceso. Captador Es el dispositivo de medida. Convierte la señal de salida y(t) en otra magnitud (generalmente eléctrica) y m (t), apta para ser restada del valor de la entrada u(t). Ejercicio Describir el funcionamiento de los siguientes sistemas de control e identificar todos los elementos básicos de cada uno de ellos. 1. Sistema de control de la temperatura de una habitación utilizando una estufa eléctrica con termostato. 2. Sistema de control del nivel de un depósito de agua utilizando un flotador y una válvula. 3. Control de la trayectoria que sigue de un ser humano al desplazarse. 4. Control de posición de un cañón. 5. Control del nivel de un depósito. 6. Regulación de la velocidad de un motor. 7. Control de la posición angular de un motor con reductor. 8. Regulación de la velocidad de la máquina de vapor.

9 1.4. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Diseño de los sistemas de control Como hemos visto, la fase de análisis de un sistema tiene por objeto la obtención de un modelo matemático a partir de observaciones y experiencias obtenidas a partir de un sistema real. El problema inverso consiste en la síntesis o diseño y construcción, si procede, de un determinado sistema a partir de un supuesto modelo. Este problema se denomina realización. La realización tiene en general una mayor dificultad que el análisis, precisando de la utilización de conceptos matemáticos de cierta complejidad. La realización tiene además la dificultad añadida del montaje y puesta a punto ya que resulta prácticamente imposible construir un sistema cuyo funcionamiento sea exactamente igual al previsto en el modelo. Por ello suele ser necesario un proceso de aproximaciones sucesivas con repetidas fases de análisis-síntesis Nociones de estabilidad, rapidez y precisión Tanto en la fase de análisis como en la de síntesis resulta de gran utilidad disponer de métodos de medida que permitan cuantificar el comportamiento dinámico de los sistemas. Estas medidas se efectúan en términos de las denominadas especificaciones de funcionamiento de los sistemas dinámicos de las cuales las más relevantes son estabilidad, precisión y rapidez [Ogata 82, sec. 10.1]. Estas especificaciones tratan de dar una medida del mayor o menor grado de buen funcionamiento del sistema. La estabilidad es la especificación más importante ya que es exclusiva, es decir, es una condición necesaria para el funcionamiento del sistema. Todo el mundo tiene una noción intuitiva de estabilidad. Cuando hablamos de la estabilidad (o inestabilidad) de un barco, de un avión, de un automóvil o de cualquier otro objeto dinámico, sabemos más o menos a qué nos estamos refiriendo. La inestabilidad puede provocar una rápida parada o, en ocasiones, puede conducir al deterioro e incluso a la destrucción del sistema. La rapidez y la precisión son virtudes, esencialmente contrapuestas, exigibles en mayor o menor medida a los sistemas de control. Parece lógico, por ejemplo, que una máquina herramienta realice sus operaciones de forma rápida y precisa; sin embargo se puede ver intuitivamente que ciertas operaciones de gran precisión no pueden ser además muy rápidas Clasificación de los sistemas de Control Causalidad Los sistemas de control se pueden clasificar atendiendo a diferentes propiedades. Se dice que un sistema es causal si existe una relación de causalidad entre entradas y salidas. Los sistemas físicos existentes en la Naturaleza son siempre causales. Atendiendo a esta propiedad tenemos Sistemas causales Sistemas no causales Número de variables Un sistema se denomina monovariable cuando tiene una única variable de entrada y una única variable de salida. En los demás casos se llama multivariable. Tenemos asi, Sistemas monovariables

10 10 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Sistemas multivariables Linealidad Según que las ecuaciones diferenciales sean lineales o no lo sean: Sistemas lineales Sistemas no lineales Evolución en el tiempo Sistemas de tiempo continuo Sistemas de tiempo discreto Sistemas de eventos discretos Los sistemas de tiempo continuo son aquellos en que las magnitudes se representan por funciones continuas de la variable real tiempo. En los sistemas de tiempo discreto las magnitudes sólo pueden tomar un número finito de valores y son funciones de la variable discreta tiempo. Los sistemas de eventos discretos, hoy día llamados sistemas comandados por eventos (event-driven systemas) o sistemas reactivos, son los que están comandados esencialmente por señales eventuales. Esto es, no existe un período que marque las transiciones de las variables sino que éstas evolucionan únicamente cuando en el sistema suceden ciertos sucesos o eventos con ellas relacionados. Invariancia de los parámtros. Sistemas estacionarios Sistemas no estacionarios Un sistema invariante en el tiempo o sistema estacionario es aquel cuyos parámetros no varían con el tiempo. La respuesta de un sistema estacionario es independiente del instante de tiempo en el que se aplique la entrada y los coeficientes de la ecuación diferencial que rige el funcionamiento del sistema son constantes. Un sistema no estacionario es el que tiene uno o más parámetros que varían con el tiempo. El instante de tiempo en que se aplica la entrada al sistema debe conocerse y los coeficientes de su ecuación diferencial dependen del tiempo. Determinismo Según que la evolución del sistema pueda o no ser determinada con antelación: Sistemas estocásticos Sistemas deterministas Cuando se conocen exactamente las magnitudes que se aplican a las entradas y leyes que rigen la evolución del sistema, su comportamiento futuro es predecible. Un sistema se denomina determinista cuando, dentro de ciertos límites, su comportamiento futuro es predecible y repetible. De otro modo el sistema se denomina estocástico, por contener variables aleatorias. Localización de los parámetros:

11 1.6. MODELO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 11 Sistemas de parámetros concentrados Sistemas de parámetros distribuidos En los primeros los parámetros se suponen concentrados en puntos concretos del sistema mientras que en los segundos están distribuidos espacialmente. Ejercicio En los siguientes sistemas de control identificar las entradas y salidas e indicar cómo se controlan y como obtiene la respuesta. Fuerza actuando sobre una masa Bicicleta Climatizador de un automóvil Máquina tragaperras Máquina herramienta funcionando con un autómata. Ejercicio Poner ejemplos de otros sistemas de control y repetir con ellos el ejercicio anterior Modelo de función de transferencia El modelo matemático de función de transferencia se obtiene aplicando la transformación de Laplace a las ecuaciones diferenciales que modelizan un sistema lineal de parámetros constantes. Si el sistema es monovariable la ecuación diferencial que lo describe es de la forma (??): a n (n) y (t) a 2 ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 0 y(t) = b m (m) u (t) b 2 ü(t) + b 1 u(t) + b 0 u(t) Apliquemos la transformación de Laplace a las variables u(t) e y(t): L[u(t)] = U(s) L[y(t)] = Y (s) (1.1) Para hallar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial (1.1) es necesario conocer los valores de las condiciones iniciales, es decir, los valores de la función y de sus derivadas desde primer orden hasta orden n 1 en el instante t = 0. Sean estos valores los siguientes: y 0, ẏ 0, ÿ 0, (n 1) y 0 (1.2) Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la ecuación (1.1) obtenemos: a n [s n Y (s) s n 1 y 0... (n 1) y 0 ] a 2 [s 2 Y (s) sy 0 ẏ 0 ] + a 1 [sy (s) y 0 ] + a 0 Y (s) = U(s)[b m s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 ] (1.3) Pasando los términos correspondientes a las condiciones iniciales al segundo miembro queda Y (s)(a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 ) = U(s)(b m s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 ) +s n 1 (n 2) (n 1) (1.4) a n y s[a n y a 2 y 0 ] + a n y a 2 ẏ 0 + a 1 y 0

12 12 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS y haciendo la ecuación puede escribirse de la forma c n 1 = a n y 0... c 1 = a n (n 2) y a 2 y 0 c 0 = a n (n 1) y a 2 ẏ 0 + a 1 y 0 (1.5) Y (s) = b ms m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 U(s) (1.6) + c n 1s n c 2 s 2 + c 1 s + c 0 a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (1.7) Se define la función de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la salida Y (s) y de la entrada U(s) del sistema cuando todas las condiciones iniciales son nulas. Es decir G(s) = b ms m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n a 2 s 2 = b(s) (1.8) + a 1 s + a 0 a(s) Entonces la expresión de la transformada de Laplace de la salida del sistema puede escribirse Y (s) = G(s)U(s) + c(s) a(s) (1.9) El polinomio denominador a(s) de la función de transferencia se denomina polinomio característico del sistema. La ecuación a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 (1.10) que resulta de igualar a cero el polinomio característico se denomina ecuación característica del sistema. Sistemas multivariables La generalización del concepto de función de transferencia a sistemas multivariables se realiza por medio de la matriz de funciones de transferencia. La matriz de funciones de transferencia de un sistema con q entradas y p salidas es una matriz g 11 (s)... g 1j (s)... g 1q (s) G(s) = g i1 (s)... g ij (s)... g iq (s) g p1 (s)... g pj (s)... g pq (s) (1.11) cuyos elementos son funciones racionales. El elemento g ij de esta matriz denota la función de transferencia existente entre la salida y i y la entrada u j del sistema: g ij (s) = Y i(s) U j (s) (1.12)

13 1.7. MODELO DE ESTADO 13 Los sistemas de ecuaciones diferenciales admiten una representación más general que las dadas por los modelos de función de transferencia o de estado. Aplicando la transformación de Laplace al sistema (??) obtenemos P (s)x(s) = Q(s)U(s) Y (s) = R(s)X(s) + W (s)u(s) (1.13) que se denomina descripción polinómica del sistema 1.7. Modelo de estado El modelo matemático de un sistema lineal monovariable de parámetros constantes es una ecuación diferencial ordinaria lineal junto con otra ecuación algebraica a n (t) (n) x (t) a 2 (t)ẍ(t) + a 1 (t)ẋ(t) + a 0 (t)x(t) = u(t) (1.14) y(t) = b m (t) (m) x (t) b 2 (t)ẍ(t) + b 1 (t)ẋ(t) + b 0 (t)x(t), (1.15) o bien un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Entonces es siempre posible despejar la derivada de orden máximo y obtener una expresión de la forma ẋ = f(t, x), (1.16) que suele llamarse forma normal. Haciendo los cambios x 1 := x, x 2 := ẋ, x 3 := ẍ,..., el sistema se pueden escribir en la forma ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du A R n n B R n q C R p n D R p q (1.17) en donde x 1 u 1 x 2 x =. u = u 2. y = y 2. x n u q x p y 1 x i, u j, y k R i = 1... n, j = 1... q, k = 1... p. (1.18) La primera ecuación de (1.17) se llama ecuación de estado y la segunda, ecuación de salida Linealización La teoría de los sistemas lineales es aplicable a cualquier clase sistema dinámico cuyo comportamiento pueda expresarse en la forma ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du Los sistemas físicos son en general no lineales. La mayor dificultad que surge en el estudio de estos sistemas es que no existen clases de sistemas no lineales, mediante las cuales su estudio

14 14 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS podría asemejarse al de los sistemas lineales, sino que han de ser estudiados de forma individual y utilizando métodos particulares en cada caso. Por ello los resultados que se obtienen no son generales sino que están circunscritos al ámbito del sistema objeto de estudio. En muchos casos el único método existente para el estudio de un sistema no lineal dado, aparte de la experimentación en el propio sistema, es la simulación. Los actuales paquetes de CACSD (diseño asistido por computador de sistemas de control) permiten simular con facilidad una gran variedad de sistemas no lineales. Un método muy importante para el estudio de los sistemas no lineales es el de Linealización. Este método permite que algunos sistemas no lineales puedan ser considerados como lineales dentro de un entorno alrededor de cierto punto, o trayectoria, de funcionamiento. La importancia de este método radica en que al convertir un sistema no lineal dado en otro lineal, pueden aplicarse al mismo todos los resultados de la teoría de Sistemas Lineales con lo que su estudio resulta sistemático y los resultados obtenidos son generales en el ámbito de los sistemas lineales. Sea un sistema dinámico no lineal definido por el sistema de ecuaciones no lineales de primer grado ẋ = f(x, t), x(t 0 ) = x 0 (1.19) donde f está definida en algún subconjunto abierto Ω I R n R. Se dice que el sistema descrito por (1.19) tiene un punto de equilibrio aislado x e R n si se cumple 1. f(x e, t) = 0, t I 2. f(x, t) 0, t I x x e en algún entorno de x Como x e es independiente de t, podemos escribir para alguna función g. De aquí que ẋ = d dt (x x e) = f((x x e ) + x e, t) = g(x x e, t) ẋ = g( x), x = x x e (1.20) Entonces x = O es un punto de equilibrio de (1.20). Por tanto, podemos considerar siempre el origen como un punto de equilibrio, sin más que realizar un simple cambio de coordenadas. Si un sistema evoluciona con pequeñas desviaciones alrededor de un punto de funcionamiento o estado de equilibrio (x 0, u 0 ), puede admitir ser linealizado en ese punto. De forma más general, el sistema puede admitir ser linealizado a lo largo de una trayectoria (x 0 (.), u 0 (.)) en el espacio de estado. Vamos a suponer que el sistema está expresado en forma de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado, en general no lineales, denominadas ecuaciones de estado: ẋ = f(x(t), u(t), t), x R n, u R q (1.21) y que {x 0 (.), u 0 (.)} es una solución nominal del sistema, que representa una trayectoria en el espacio de estado. Consideremos primeramente el caso monovariable ẋ = f(x(t), u(t), t), x R, u R

15 1.8. LINEALIZACIÓN 15 Supongamos que perturbamos la solución de forma que x(t) = x 0 (t) + δx(t), u(t) = u 0 (t) + δu(t) (1.22) y que las potencias (δx) i, (δu) i, i > 1, son muy pequeñas comparadas con δx, δu. Es decir Derivando (1.22) tenemos de donde (δx) i = o(δx, δu), (δu) i = o(δx, δu), i > 1 ẋ(t) = ẋ 0 (t) + δx(t) δx(t) = ẋ(t) ẋ 0 (t) Supongamos ahora que f(.) es lo suficientemente lisa (sin cambios bruscos) para admitir el desarrollo en serie de Taylor f[x(t), u(t), t] = f[x 0 (t), u 0 (t), t] + f x (t)δx(t) + f u (t)δu(t) + o(δx, δu) ẋ(t) ẋ 0 (t) = f x (t)δx(t) + f u (t)δu(t) + o(δx, δu) δx(t) = f x (t)δx(t) + f u (t)δu(t) + o(δx, δu) (1.23) en donde f x (t) = f x, x0,u 0 f u (t) = f u x0,u 0 En el caso multivariable f(.), x(.), u(.) son vectores. Entonces f x (.) y f u (.) son los jacobianos J x0, J u0 de f(.) respecto de x y de u, respectivamente, que dependen de x 0 (.), u 0 (.). J x0 = f f 1 f x f 1 f x n x = , J u0 x0,u 0 f n x 1... x0,u0 = f u u n u = (1.24) x0,u o f n u 1... x0,u0 f n x n De esta manera se obtiene la ecuación linealizada que se puede escribir en la forma habitual f n u n δx = f x δx + f u δu (1.25) x(t) = A x(t) + Bū(t) siendo x(t) = δx(t), ū(t) = δu(t), A(t) = f x (t), B(t) = f u (t). Es importante destacar que las matrices A y B (jacobianos) son funciones de tiempo si la solución de la ecuación diferencial no es constante. Ejemplo El depósito de la figura?? tiene sección constante de área A 1 y está lleno de agua hasta una altura h(t) variable. El caudal q(t) de salida de agua se controla mediante una válvula que abre o cierra el orificio de salida de área a(t). Vamos a obtener el primero modelo no lineal, y después, el modelo lineal por linealización. La energía potencial de una masa m de agua situada en la superficie, es decir a una altura h(t) es E p = mgh(t). La misma masa de agua cuando sale por el tubo tendrá una energía cinética E c = 1 2 mv(t)2. Por el principio de conservación de la energía, ambas energías han de ser iguales, E p = mgh(t) = 1 2 mv(t)2 = E c,

16 16 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS h ( t) q ( t) a ( t) Figura 1.3: Depósito por lo que la velocidad de salida del agua es v(t) = 2gh(t). Como el caudal de salida se obtiene multiplicando el área a(t) de salida por la velocidad v(t) del agua, tenemos q(t) = a(t)v(t) = a(t) 2gh(t) Por otro lado, el caudal q(t) ha de ser igual a la variación del volumen A 1 h(t) de agua en el depósito, es decir q(t) = d dt A dh 1h(t) = A 1 dt Igualando las dos últimas expresiones obtenemos la ecuación diferencial, no lineal, que es el modelo matemático. dh dt = 1 A1 a(t) 2gh(t) Vamos a hacer la linealización del sistema. Para ello, lo primero es escoger un punto de funcionamiento (o estado de equilibrio). Vamos a escoger a 0 y h 0 como valores de equilibrio para a(t) y h(t). Esto, en la práctica, significará que la altura h(t) se va a mantener con un valor próximo a h 0 y que el valor del caudal q(t) va a ser cercano a a 0. Esto mismo se puede expresar definiendo dos nuevas variables x(t) := h(t) h 0 y u(t) := a(t) a 0 que representan los pequeños incrementos que toman las variables h(t) y a(t) respecto del punto de equilibrio. La función f de la ecuación 1.20 es ahora f(h, a) = 1 A1 a(t) 2gh(t), en donde h(t) y a(t) hacen el papel de x(t) y u(t), respectivamente. Las derivadas parciales de f, respecto de h y respecto de u, en el punto h o, a 0, nos dan los parámetros de la linealización. Derivando f respecto de h, tenemos f h = 1 2ga ho,a0 A 1 2 2gh = ho,a0 ga 0 A 1 2gh0 := A,

17 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 17 y, derivando f respecto de a, f a = 1 2gh0 := B. ho,a0 A 1 Con esto, ya tenemos el modelo linealizado en h 0, a 0 respecto de las variables x(t) y a(t): { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Obsérvese que para obtener el modelo hemos supuesto (implícitamente) que no hay pérdidas de energía por rozamiento Transformaciones entre modelos En las anteriores secciones hemos visto las expresiones habituales de los modelos matemáticos de los sistemas de tiempo continuo. El modelo más general, válido para sistemas lineales y no lineales, es el modelo de ecuación diferencial. Los sistemas lineales admiten el modelo de estado y, si son de coeficientes constantes, el modelo de función de transferencia o, más general, el modelo denominado representación polinomial. La preguntas que surgen inmediatamente son que, dada la representación de un sistema en uno de los modelos, es posible obtener su representación en otros modelos? Si la respuesta a esta pregunta es afirmativa, cómo se pasa de unos a otros modelos? Ecuación diferencial función de transferencia La obtención del modelo de función de transferencia a partir del modelo de ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes se realiza de modo inmediato, como hemos visto en la sección (1.6), aplicando la transformación de Laplace a la ecuación diferencial (1.1), suponiendo condiciones iniciales nulas: a n (n) y (t) a 2 ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 0 y(t) = b m (m) u (t) b 2 ü(t) + b 1 u(t) + b 0 u(t) con lo que se obtiene la función de transferencia (1.8) G(s) = b ms m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = b(s) a(s) Como puede verse, si exceptuamos las condiciones iniciales, la función de transferencia contiene exactamente la misma información que la ecuación diferencial. Los coeficientes de constantes a i, b j, i = 0,..., n, j = 0,..., m de la ecuación diferencial son los coeficientes de los polinomios denominador a(s) y numerador b(s) de la función de transferencia G(s). La transformación inversa, de función de transferencia a ecuación diferencial, se obtiene aplicando la transformación inversa L 1 de Laplace a la expresión X(s)(b m s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 ) = Y (s)(a n s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 ) En el supuesto de unicidad de la transformación inversa L 1 de Laplace, el resultado vuelve a ser la ecuación diferencial (1.1)

18 18 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Ecuación diferencial ecuaciones de estado Este paso, como ya se ha indicado en la sección (1.14) consiste en obtener el sistema en forma normal equivalente a la ecuación diferencial dada. Función de transferencia ecuaciones de estado El paso del modelo de estado al de función de transferencia se realiza aplicando la transformación de Laplace a las ecuaciones de estado del sistema. El paso inverso, del modelo de función de transferencia al de estado se denomina realización. Obtención de la matriz de transferencia a partir del modelo de estado Sea un sistema dinámico cuyo modelo de estado viene dado por las ecuaciones ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du (1.26) en donde x R n, u R q, y R p, A R n n, B R n q, C R p n, D R p q. Apliquemos la transformación de Laplace a la ecuación de estado si n X(s) = AX(s) + BU(s) si n X(s) AX(s) = BU(s) (si n A)X(s) = BU(s) La matriz si n A es un haz regular de matrices, o matriz polinómica de grado uno. Es decir, es una matriz cuyos elementos son polinomios cuyo grado máximo es uno. Esta matriz se llama matriz característica del sistema. Su determinante si A se llama polinomio característico del sistema y es siempre distinto de cero por lo que esta matriz es siempre invertible. Por tanto podemos poner X(s) = (si n A) 1 BU(s) (1.27) Apliquemos ahora la transformada de Laplace a la ecuación de salida, segunda ecuación de(1.26) Sustituyendo (1.27) en esta ecuación queda con lo que la matriz de transferencia es Realización Y(s) = CX(s) + DU Y(s) = C(sI n A) 1 BU(s) + DU G(s) = Y(s) U(s) = C(sI n A) 1 B + D La obtención del modelo de estado a partir del modelo de matriz de transferencia se llama realización. Esta denominación se debe a que la información suministrada por el modelo de estado, que contiene datos sobre la estructura interna del sistema, se encuentra más próxima a la realidad que la dada por el modelo de función de transferencia que sólo se refiere a la relación entre la entrada y la salida del sistema. Como veremos más adelante, a partir de las matrices A, B, C, B, que definen un modelo de estado dado, puede obtenerse inmediatamente

19 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 19 el denominado diagrama de simulación. Este diagrama contiene toda la información necesaria para construir un sistema físico (analógico o digital) que responde al modelo de estado dado. Por ello, por conveniencia, se suele llamar realización a la cuaterna de matrices A, B, C, D. Dada la realización A, B, C, D de un sistema cuyo modelo de estado ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du (1.28) corresponde a la matriz de transferencia G(s), es decir que G(s) = C(sI n A) 1 B +D, podemos escribir otra realización haciendo el cambio de base x = P x, P 0 (1.29) en el espacio de estado. Sustituyendo en (1.28) x por P x obtenemos como modelo de estado transformado: x = P 1 AP x + P 1 Bu = Ā x + Bu y = CP x + Du = C x (1.30) + Du Obsérvese cómo al hacer un cambio de base en el espacio de estado hemos obtenido una nueva realización definida por las matrices Ā, B, C, D. Parece lógico pensar que un cambio de base no debería de afectar al comportamiento dinámico entrada-salida del sistema y, en efecto, así ocurre. Es fácil ver que las matrices de transferencia y los polinomios característicos de las realizaciones A, B, C, D y Ā, B, C, D son idénticos. Existen, por tanto, infinidad de realizaciones de una matriz de transferencia G(s), ya que podemos definir infinitas matrices P de transformación. La transformación del vector de estado definida en (1.29) se llama transformación de semejanza ya que la matriz de planta A del modelo de estado original y P 1 AP del transformado son semejantes. De las infinitas posibles realizaciones de una determinada matriz de transferencia G(s), definidas cada una de ellas por sus matrices A, B, C, D, hay algunas, denominadas canónicas, que tienen una forma especial y que corresponden a ciertas configuraciones con nombre propio del sistema físico a ellas asociado. Son las formas canónicas denominadas controlador, observador, controlabilidad, observabilidad y diagonal. Veamos cómo son las formas canónicas correspondientes a una función de transferencia dada G(s) (caso monovariable). Supongamos que el polinomio característico de G(s) es mónico, es decir, el coeficiente del término de grado n-simo es 1, y que G(s) es estrictamente propia. Entonces la función de transferencia se puede escribir de la forma G(s) = b 1 s n 1 + b 2 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n 1 + a 2 s n a n 1 s + a n (1.31) Obsérvese que los coeficientes a i, b j de los polinomios numerador y denominador aparecen en orden inverso al habitual. Las matrices que definen la forma canónica controlador de G(s) son a 1 a 2... a n 1 a n A cr = B cr = C cr = [ b 1 b 2... b n 1 b n ]. 0 D cr = [ 0 ] (1.32)

20 20 CAPÍTULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Las matrices que definen la forma canónica observador de G(s) son a b 1 a b 2 A or = B or =. a n b n 1 a n b n C or = [ ] D or = [ 0 ] Las matrices que definen la forma canónica controlabilidad de G(s) son a n a n 1 0 A cd = a n 2 B..... cd = a 1 0 C cd = [ β 1 β 2... β n 1 β n ] D cd = [ 0 ] Las matrices que definen la forma canónica observabilidad de G(s) son β β 2 A od = B od = β n 1 a n a n 1... a 2 a 1 β n C od = [ ] D od = [ 0 ] (1.33) (1.34) (1.35) Los números β 1, β 2,..., β n que aparecen en las dos últimas formas canónicas, controlabilidad y observabilidad, son los denominados parámetros de Markov, cuyo valor viene dado por β 1 β 2 a b 1... β n 1 = b 2. a n 2 a..... n b n 1 β n. a n 1 a.. b n n 2 a1 1 Por último, las matrices de la forma canónica diagonal correspondiente a una realización definida por sus matrices A, B, C, D, está definida por la transformación P que pasa la matriz de planta a su forma diagonal. Si los valores propios de A son todos distintos, la transformación P es una matriz cuadrada cuyas columnas son los vectores propios de A. Las nuevas matrices, por (1.30) son: Â = P 1 AP = diag[λ 1, λ 2,..., λ n ] ˆB = P 1 B, Ĉ = CP, ˆD = D (1.36) Si la matriz A tiene valores propios repetidos, la matriz P es la que transforma A en su forma canónica de Jordan.

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