APUNTES DE CONTROL PID

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1 APUNTES DE CONTROL PID Control 0. u/t 3 K s 3+3s +3s+ Proceso Salia T Derivaor / /Ti s Integraor Ing. Mauricio Améstegui Moreno UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES LA PAZ BOLIVIA ENERO DE 00

2 RESUMEN El controlaor PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es un controlaor realimentao cuyo propósito es hacer que el error en estao estacionario, entre la señal e referencia y la señal e salia e la planta, sea cero e manera asintótica en el tiempo, lo que se logra meiante el uso e la acción integral. Aemás el controlaor tiene la capacia e anticipar el futuro a través e la acción erivativa que tiene un efecto preictivo sobre la salia el proceso. Los controlaores PID son suficientes para resolver el problema e control e muchas aplicaciones en la inustria, particularmente cuano la inámica el proceso lo permite (en general procesos que pueen ser escritos por inámicas e primer y seguno oren), y los requerimientos e esempeño son moestos (generalmente limitaos a especificaciones el comportamiento el error en estao estacionario y una rápia respuesta a cambios en la señal e referencia). Los fabricantes proporcionan los controlaores PID e variaas formas. Existen sistemas el tipo stan alone con capacia para controlar uno o varios lazos e control. Estos ispositivos son fabricaos en el oren e cientos e miles al año. El controlaor PID es también un ingreiente importante en los sistemas e control istribuio, ya que proporciona regulación a nivel local e manera eficaz. Por otro lao, pueen también venir empotraos, como parte el equipamiento, en sistemas e control e propósito especial, formano así parte integrante e la aplicación. Su uso extensivo en la inustria es tal que el 95% e los lazos e control que existen en las aplicaciones inustriales son el tipo PID, e los cuales la mayoría son controlaores PI, lo que muestra la preferencia el usuario en el uso e leyes e control muy simples. En general, el usuario no explota toas las características e estos controlaores, quizás por falta e una mejor comprensión ese el punto e vista e la teoría e control. En la actualia, el control PID ispone e una serie e prestaciones, que en el pasao han sio consieraas como secretos e los fabricantes. Un par e ejemplos típicos e este tipo e prestaciones son las técnicas e conmutación e moos e control y el antiwinup el integraor. Los algoritmos actuales se combinan con funciones lógicas y secuenciales y una seire e mecanismos y funciones aicionales para aecuarse a los requerimientos e los moernos sistemas e control y automatización inustrial, lo que a lugar a ispositivos especializaos para el control e temperatura, velocia, istribución e energía, transporte, máquinas-herramientas, reacción química, fermentación, entre otros. Los controlaores PID son generalmente usaos en el nivel e control más bajo, por ebajo e algunos ispositivos e meiano nivel como PLCs, supervisores, y sistemas e monitoreo. Sin embargo, su importancia es tal que se convierte en el pan e caa ía el ingeniero e control. Los controlaores PID han sobrevivio a muchos cambios en la tecnología a lo largo e su historia. Dese los antiguos regulaores e Watt, e la época e la revolución inustrial, pasano por los controlaores neumáticos, los controlaores análogicos

3 eléctricos y electrónicos (primero implementaos con válvulas y luego con circuitos integraos) hasta los moernos controlaores basaos en microprocesaores, que proporcionan una mayor flexibilia ebio a su programabilia. El microprocesaor ha tenio una influencia ramática sobre el esarrollo el controlaor PID; ha permitio brinar nuevas oportuniaes para implementar funciones aicionales como el ajuste automático e parámetros y los cambios e moos e control. Para los efectos e estos apuntes, se consiera la frase ajuste automático en el sentio e que los parámetros el controlaor se ajustan automáticamente en base a la emana e un operaor o e una señal externa, esactivano para ello el controlaor. Esto hace que esta función sea iferente a la función e aaptación, propias e los controlaores aaptivos, que ajustan en línea (o e manera continua) los parámetros el controlaor. El esarrollo e los sistemas e control PID está también influenciao por el esarrollo en el campo e la comunicación e atos e campos, lo que ha permitio su inserción como móulos importantes en los esquemas e control istribuio. En este sentio, la capacia e comunicación e estos ispositivos con otros ispositivos e campo como PLCs y otros sistemas e control e niveles superiores, es una función necesaria en los moernos controlaores PID. Si bien a nivel inustrial existen grupos e ingenieros e procesos e instrumentación que están familiarizaos con los controlaores PID, en el sentio e que llevan una práctica continua e instalación, puesta en marcha y operación e sistemas e control con lazos PID, también es cierto que existe mucho esconocimiento acerca e los etalles involucraos en la construcción e los algoritmos. Prueba e ello es que muchos controlaores son puestos en moo manual y, entre aquellos que están en el moo automático, frecuentemente la acción erivativa se encuentra esactivaa. La razón es obvia, el ajuste e los controlaores es un trabajo teioso y requiere e cierta intuición basaa en los principios e funcionamiento tanto e los procesos físicos controlaos como e la misma teoría e control. Otras razones el pobre esempeño tienen que ver con problemas en la instrumentación y los equipos y accesorios utilizaos en el lazo e control, como son los sensores, actuaores, ispositivos e comunicación, interfaces e aquisición e atos, etc. Los principales problemas e los actuaores están generalmente relacionaos con fallas e imensionamiento (en general están subimensionaos) y los problemas e histéresis que introucen no linealiaes importantes. Por su parte, los ispositivos asociaos con la meición e las señales e la planta (sensores, ispositivos e aquisición e atos, aecuación e señales y sistemas e comunicación e atos e campo) a menuo se encuentran mal calibraos y, es frecuente que estén otaos e mecanismos inaecuaos e filtraje pobre o bien e filtraje excesivo (proucio en los llamaos sensores inteligentes). Más aún, muchos sistemas e control no cumplen con las coniciones mínimas para su operación en tiempo real. Es así que quean por hacer muchas mejoras sustanciales con respecto al esempeño e los procesos inustriales. Por su parte, la inustria, a meia que la emana e prouctos requiere una mejor calia, está obligaa a mejorar sus lazos e control, lo que a su vez requiere un mayor conocimiento acerca e los procesos y e sus mecanismos e regulación. En estos apuntes se presenta un capítulo eicao al controlaor PID, ese el punto e vista e sus principios e funcionamiento, así como los etalles e su implementación.

4 Se incluyen aspectos como la limitación e la ganancia erivativa, el antiwinup el integraor, la mejora el esempeño a partir el análisis estático y inámico e los sistemas e control. El controlaor PID puee ser estructurao e iferentes maneras. Las formas comúnmente usaas son las formas serie y paralelas. En este sentio, se iscuten las iferencias entre éstas ese el punto e vista e sus parámetros. También se iscute la implementación e los controlaores PID usano computaoras igitales. Al respecto, se tratan los conceptos funamentales el proceso muestreo, la elección el perioo e muestreo y los filtros antialiasing. Finalmente, se iscuten las limitaciones el control PID, consierano un par e casos típicos one los controlaores más sofisticaos tienen una mayor ventaja. Particularmente se presentan ejemplos e sistemas e control retaro e tiempo consierable y sistemas e control con procesos e alto oren. Toas las simulaciones están ocumentaas con moelos e simulación esarrollaos en Simulink, que muestran la manera en que se han obtenio las curvas e varias figuras el capítulo e Control PID. También se presenta otro capítulo eicao a una revisión e las técnicas e ajuste e controlaores, enfatizano las clásicamente isponibles reglas e Ziegler y Nichols (los métoos e la Respuesta al Escalón y e la Ganancia Ultima). Se concluye el capítulo escribieno la técnica e ajuste automático e los parámetros el PID basaa en el experimento e control realimentao con relevaor ieal. Con el propósito e contrastar las técnicas aprenias con las isponibles en un controlaor comercial, en el siguiente capítulo se presenta la escripción el controlaor T e Re Lion Controls. Este es un controlaor e temperatura con posibilia e efectuar ajuste automático. El capítulo concluye con la escripción un sistema e monitoreo e temperatura esarrollao en Visual Basic, el mismo que hace uso el puerto e comunicación serial para enviar comanos al controlaor y recibir los valores e sus señales e entraa y salia. En los anexos se proporciona información complementaria sobre tres temas no iscutios en los capítulos: Aproximaciones e controlaores continuos, el Preictor e Smith, y el proceimiento e iseño e un filtro Butterworth (utilizao generalmente como filtro antialiasing). También se presenta información complementaria e las hojas e atos el controlaor e temperatura T48, las características temperatura voltaje e varias termocuplas, y las hojas e atos el aaptaor e comunicación serial utilizao en el sistema e monitoreo e temperatura.

5 APUNTES DE CONTROL PID CONTENIDO RESUMEN CONTROL PID. INTRODUCCION. EL PRINCIPIO DE REALIMENTACION o o o CONTROL ON-OFF CONTROL PROPORCIONAL ANALISIS ESTATICO DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS Control Proporcional 3. CONTROL PID o o o o ACCION PROPORCIONAL ANALISIS ESTATICO ACCION INTEGRAL ACCION DERIVATIVA 4. MODIFICACIONES DEL ALGORITMO PID o o o o o o REPRESENTACIONES ALTERNATIVAS PONDERACION DE LA REFERENCIA LIMITACION DE LA GANANCIA DERIVATIVA CONTROLADORES DE ERROR CUADRATICO SALIDAS ESPECIALES DEL CONTROLADOR Tiristores y Triacs Moulación por Ancho e Pulso ALGORITMOS DE VEOLOCIDAD Una Dificulta e los Algoritmos e Velocia 5. WINDUP DEL INTEGRADOR o o o o o o o o o EJEMPLO. ILUSTRACION DEL WINDUP DEL INTEGRADOR LIMITACION DE LA REFERENCIA ALGORITMOS INCREMENTALES RECALCULO Y SEGUIMIENTO CONTROLADORES CON MODO DE SEGUIMIENTO LA BANDA PROPORCIONAL INTEGRACION CONDICIONAL IMPLMENTACION SERIE ESQUEMAS COMBINADOS 6. IMPLEMENTACION DIGITAL Ing. Mauricio Améstegui M. Enero e 00

6 APUNTES DE CONTROL PID o o o o o o MUESTREO PREFILTRADO EJEMPLO. SELECCION DEL ANCHO DE BANDA DEL PREFILTRO DISCRETIZACION Acción Proporcional Acción Integral Acción Derivativa FORMA INCREMENTAL CUANTIZACION Y LONGITUD DE PALABRA 7. ASPECTOS OPERACIONALES o o o TRANSFERENCIA SUAVE ENTRE MODOS MANUAL Y AUTOMATICO TRANSFERENCIA SUAVE EN EL CAMBIO DE PARAMETROS CODIGO DE COMPUTADORA 8. CONTROLADORES COMERCIALES 9. CUANDO SE PUEDE USAR UN CONTROLADOR PID? o o o CUANDO UN CONTROL PI ES SUFICIENTE? CUANDO UN CONTROL PID ES SUFICIENTE? CUANDO ES NECESARIO UN CONTROL MAS SOFISTICADO? Procesos e Alto Oren Ejemplo 3. Control e un Proceso e Alto Oren Sistemas con Largos Tiempos e Retaro Ejemplo 4. Compensación e Tiempo Muerto CONCLUSIONES MODELOS DE SIMULACION EN SIMULINK UTILIZADOS EN EL CAPITULO DE CONTROL PID o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 7 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 9 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 3 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 8 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 0 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LAS FIGURAS 4 Y 5 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 6 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 9 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 37 o MODELO DE SIMULACION UTILIZADO EN LA FIG. 38 Ing. Mauricio Améstegui M. Enero e 00

7 APUNTES DE CONTROL PID AJUSTE AUTOMATICO DE PARAMETROS. INTRODUCCION. CONTROL PID 3. METODOS DE AJUSTE DE PARAMETROS BASADOS EN LA RESPUESTA TRANSITORIA o o METODO DE LA RESPUETA AL ESCALON DE ZIEGLER Y NICHOLS CARACTERIZACION DE UNA RESPUESTA AL ESCALON 4. METODO DE AJUSTE DE PARAMETROS BASADO EN REALIMENTACION CON RELEVADOR o o o LA IDEA CLAVE IDENTIFICACION DE PARAMETROS ESENCIALES DEL PROCESO POR EL METODO DE BALANCE HARMONICO METODO DE LA GANANCIA ULTIMA DE ZIEGLER Y NICHOLS BASADO EN LA IDENTIFICACION DE LOS PARAMETROS ESENCIALES DEL PROCESO OBTENIDOS MEDIANTE EL METODO DE BALANCE HARMONICO o OBTENCION DE ESTIMADOS MEJORADOS CONTROLADOR DE TEMPERATURA T DESCRIPCION GENERAL. OPERACION DEL CONTROLADOR 3. MODOS DE CONTROL o o o o CONTROL MANUAL CONTROL ON/OFF CONTROL PID Bana Proporcional Constante e Tiempo Integral Constante e Tiempo Derivativa Offset e la Salia el Controlaor AJUSTE AUTOMATICO DE PARAMETROS 4. CONFIGURACION DE LOS PARAMETROS DEL CONTROLADOR 5. INTERFAZ DE E/S o o ENTRADAS Entraa e Meición e la Temperatura el Proceso Entraa el Usuario SALIDAS Ing. Mauricio Améstegui M. Enero e 00

8 APUNTES DE CONTROL PID 6. INTERFAZ DE COMUNICACION SERIAL o o o o o LEER VALOR ESCRIBIR VALOR ESCRIBIR VALORES DE ALARMA EJECUTAR ACCIONES DE CONTROL LECTURA DE BLOQUES DE DATOS 7. UN SISTEMA DE MONITOREO DE TEMPERATURA USANDO COMUNICACION SERIAL o o o DESCRIPCION DEL SISTEMA DE MONITOREO INTERFAZ CON EL USUARIO DEL SISTEMA DE MONITOREO LISTADO DEL PROGRAMA DEL SISTEMA DE MONITOREO EN VISUAL BASIC REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANEXOS A. APROXIMACION DIGITAL DE CONTROLADORES CONTINUOS B. PREDICTOR DE SMITH C. DISEÑO DE UN FILTRO BUTTERWORTH D. HOJAS DE DATOS DEL CONTROLADOR DE TEMPERATURA T48 E. CARACTERISTICAS DE VOLTAJE VS. TEMPERATURA DE VARIAS TERMOCUPLAS F. MODULO CONVERTIDOR DE RS-3 A RS-485 Ing. Mauricio Améstegui M. Enero e 00

9 CONTROL PID. INTRODUCCION El controlaor PID, e lejos, es el algoritmo e control más común. Numerosos lazos control utilizan este algoritmo, que puee ser implementao e iferentes maneras: como controlaor stan-alone, como parte e un paquete e control igital irecto o como parte e un sistema e control istribuio. Su estuio puee ser aborao ese múltiples puntos e vista. Puee ser tratao como un ispositivo que puee ser operao utilizano unas cuantas reglas prácticas, pero también puee ser estuiao analíticamente.. EL PRINCIPIO DE REALIMENTACION La iea e la realimentación es bastante simple y muy poerosa. A lo largo e su historia, ha tenio una fuerte influencia en la evolución e la tecnología. Las aplicaciones el principio e realimentación han tenio éxito en los campos el control, comunicaciones e instrumentación. Para entener el concepto, asuma que el proceso es tal que cuano el valor e la variable manipulaa se incrementa, entonces se incrementan los valores e las variables el proceso. Bajo este concepto simple, el principio e realimentación puee ser expresao como sigue: Incrementar la variable manipulaa cuano la variable el proceso sea más pequeña que la referencia y isminuirla cuano ésta sea más grane. Este tipo e realimentación se llama realimentación negativa ebio a que la variable manipulaa se mueve en la irección opuesta a la variable el proceso. El principio puee ser ilustrao por el iagrama e bloques que se muestra en la Fig.. En este iagrama el proceso y el controlaor están representaos por cajas negras y las flechas enotan las entraas y salias a caa bloque. Note que existe un símbolo especial que enota una suma e señales. El iagrama e bloques muestra que el proceso y el controlaor están conectaos en un lazo realimentao. La presencia el signo en el bloque e retorno inica que la realimentación es negativa. Σ Controlaor Proceso - CONTROL ON-OFF Fig. : Diagrama e bloques el sistema e control e un proceso. El mecanismo e realimentación más simple se puee escribir matemáticamente como sigue: Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. Enero e 00

10 u = u u max min e > 0 e < 0 () one e = y sp y (iferencia entre la referencia especificaa por el operaor y la salia meia el proceso) es el enominao error e control. Esta ley e control implica que siempre se usa la acción correctiva máxima. De esta manera, la variable manipulaa tiene su valor más grane cuano el error es positivo y su valor más pequeño cuano el error es negativo. La realimentación e este tipo se llama control on-off. Es simple y no tiene parámetros que configurar, aparte e las acciones mínima y máxima que se ejecutan en el cálculo e la señal e control. El control on-off muchas veces es apropiao para mantener la variable controlaa el proceso cerca el valor e la referencia que fue especificaa, pero típicamente resulta en un sistema one las variables oscilan. Note en la ecuación () que la variable e control no está efinia cuano el error es cero. Es común tener algunas moificaciones ya sea introucieno histéresis o una zona muerta como se muestra en la Fig.. A B C u u u e e e Fig. : (A) Característica e un controlaor on-off ieal y moificaciones con (B) zona muerta y (C) histéresis. CONTROL PROPORCIONAL La razón por la que el control on-off resulta en oscilaciones es que el sistema sobreactúa cuano ocurre un pequeño cambio en el error que hace que la variable manipulaa cambie sobre su rango completo. Este efecto se evita en el control proporcional, one la característica el controlaor es proporcional al error e control cuano éstos son pequeños. La Fig. 3 muestra la característica e un controlaor proporcional. De esta manera, el controlaor está caracterizao por la función no lineal u = fc (e), epeniente el error e control, que se muestra en la figura. Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. Enero e 00

11 u u max Peniente K u b u min Bana Proporcional Fig. 3: Característica e un controlaor proporcional. La entraa es el error e control e y la salia es la señal e control u. e Para escribir la característica el controlaor proporcional se ebe ar los límites u max y u min e la variable e control. El rango lineal puee ser especificao, ya sea, por la peniente aa en la curva característica (ganancia K el controlaor) o, bien, por el rango one la curva característica es lineal (conocia como bana proporcional P b ). Este rango está normalmente centrao alreeor e la referencia. La bana proporcional y la ganancia el controlaor están relacionaas a través e: u u min = KP b max () Normalmente se asume que u u 00%, lo cual implica que max min = K = 00 P b (3) Note que un controlaor proporcional actúa como un controlaor on-off cuano los errores e control son granes. ANALISIS ESTATICO DE LOS SISTEMAS RELIMENTADOS Algunas propieaes e un sistema e control se pueen comprener meiante un análisis estático simple. Para esto, se introuce la característica estática el proceso, que es una curva que muestra el valor estacionario e su salia y como función e su entraa u (ver la Fig. 4). Note que la curva tiene una interpretación física sólo si el proceso es estable. La característica estática el proceso es importante para eterminar el rango e las señales e control que son requerias para cambiar la salia el proceso sobre un rango eseao. También es usaa para imensionar el tamaño e los actuaores, seleccionar la resolución el sensor, así como para evaluar qué tan granes son las variaciones en la ganancia estática. Toas estas consieraciones se eben tomar en cuenta a la hora e iseñar el sistema e control. Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 3 Enero e 00

12 y u Fig. 4: Característica estática el proceso. Muestra la salia el proceso y como una función e su entraa, bajo consieraciones estáticas. Control Proporcional Consiere un proceso bajo control proporcional. Sea la característica el controlaor aa por: ( y y) u = f (4) c sp Introucieno la característica inversa el controlaor escribir como: f c, la ecuación (4) se puee y sp y = f c ( u) Más aún, introucieno la característica estática el proceso, y = f (u) (5) p se encuentra que el valor e equilibrio e u satisface la ecuación: ysp f c ( u) = f p ( u) (6) Esta ecuación puee ser resuelta encontrano la intersección e las gráficas e las funciones f p (u) y y f ( u ) como se muestra en la Fig. 5. sp c Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 4 Enero e 00

13 y y sp f c ( u ) y y sp Peniente K f p ( u ) y 0 u min u b a Fig. 5: Determinación el equilibrio a partir e las características estáticas el proceso y el controlaor. La intersección es única si la característica estática es monotónica. El valor e equilibrio e la salia el proceso y se obtiene simplemente como la coorenaa y e la intersección. En la construcción gráfica es fácil ver cómo el equilibrio está influenciao por la referencia y la ganancia el controlaor. El equilibrio concuera con la referencia sólo si: y = y = f ( u ) (7) sp 0 p b Para toos los valores e la referencia existirá una esviación. Si la característica el proceso se aproxima por una línea recta con peniente K esta esviación puee ser calculaa fácilmente. Introucieno el parámetro a mostrao en la Fig. 5, se encuentra que: u p max u y sp y 0 = K p + a K y y sp y = a K Esto implica que el error en estao estacionario está ao por: e = y sp y = + K p K ( y y ) sp 0 (8) Note que, cuanto más pequeña es la esviación, más grane es la ganancia e lazo K p K. Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 5 Enero e 00

14 3. CONTROL PID En la sección anterior se vio que el control proporcional tiene la esventaja e que, en la mayoría e los casos, resulta en un error estático o e estao estacionario iferente e cero. Los algoritmos e control usaos en la práctica son, por tanto, normalmente más complejos que el el controlaor proporcional. Se puee mostrar empíricamente que el llamao controlaor PID es una estructura útil. Dentro e la bana proporcional el comportamiento el algoritmo PID en su versión e libro e texto se puee escribir como: t e( t) u( t) = K e( t) + e( τ ) τ + T (9) Ti t 0 one u es la variable e control y e es el error e control ao por e = y y. De esta manera, la variable e control es una suma e tres términos: el término P, que es proporcional al error; el término I, que es proporcional a la integral el error; y el término D, que es proporcional a la erivaa el error. Los parámetros el controlaor son: la ganancia proporcional K, el tiempo integral T i y el tiempo erivativo T. ACCION PROPORCIONAL En el caso e un control proporcional puro, la ley e control e la ecuación (9) se reuce a u ( t) = Ke( t) + (0) u b sp La acción e control es simplemente proporcional al error e control. La variable u b es una señal e polarización o un reset. Cuano el error e control e es cero, la variable e control toma el valor u ( t) = ub. La polarización u b a menuo se la fija en ( u max + u min )/, pero, algunas veces, puee ser ajustaa manualmente e forma que el error e control en estao estacionario sea cero en una referencia aa. ANALISIS ESTATICO Muchas e las propieaes el control proporcional se pueen entener meiante el siguiente argumento, que está basao en consieraciones estáticas puras. Consiere un lazo realimentao simple, como el mostrao en la Fig. 6, que consiste e un proceso y un controlaor, sometios a perturbaciones. l n y sp Controla Σ e u Σ Proceso Σ or y - Fig. 6: Diagrama e bloques e un lazo e realimentación simple Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 6 Enero e 00

15 Asuma que el controlaor tiene acción proporcional y que el proceso está representao por un moelo estático: x = K p ( u + l) () one x es la variable el proceso, u es la variable e control, l es una perturbación e carga y K es la ganancia estática el proceso. Las siguientes ecuaciones se obtienen a p partir el iagrama e bloques: y = x + n x = K p ( u + l) ( ysp y) ub u = K + () La eliminación e las variables intermeias a la siguiente relación entre la variable el proceso x, la referencia y, la perturbación e carga l y el ruio e meición n : sp KK p K x = sp + + KK + KK p p ( y n) + ( l u ) p b (3) Compare con la ecuación (8) e la sección anterior. El proucto KK p es un número sin imensiones llamao ganancia e lazo. De la ecuación (3) se pueen leer muchas propieaes interesantes el sistema en lazo cerrao. Primero asuma que n y u b son cero. La ganancia e lazo ebe ser alta para asegurar que la salia el proceso x sea cercana a la referencia y. Un valor alto e la ganancia e lazo permitirá hacer que el sp sistema sea insensible a la perturbación e carga l. Sin embargo, si n es iferente e cero, e la ecuación (3) se sigue que el ruio e meición n influye sobre la salia el proceso e la misma forma que lo hace la referencia y. Para evitar que el sistema sea sensible al ruio e meición, la ganancia e lazo no ebe ser muy grane. Más aún, la polarización u b el controlaor influye en el sistema e la misma forma en que lo hace la perturbación e carga. Por tanto, es obvio que el iseño e la ganancia e lazo ebe ser consierao como un compromiso entre os objetivos e control iferentes, por lo que no existe una respuesta simple que permita encontrar una fórmula que etermine la mejor ganancia e lazo a ser aplicaa en el sistema. Esto epenerá e cuál objetivo e control es más importante para la aplicación en cuestión. También, e la ecuación (3) se puee ver que el controlaor proporcional normalmente proucirá un error en estao estacionario. Esto puee ser eucio intuitivamente a partir e la observación e la ecuación (), one el error e control es cero sólo cuano u = u b en estao estacionario. Por tanto, el error puee hacerse cero en una conición e operación aa manipulano la polarización u b el controlaor. El análisis estático anterior está basao en la suposición e que el proceso se puee escribir meiante un moelo estático. Cuano se consiera la inámica el sistema se introucen otras propieaes sobre el comportamiento el sistema en lazo cerrao. La sp Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 7 Enero e 00

16 más importante es que el sistema en lazo cerrao normalmente será inestable si se eligen altas ganancias e lazo. En la práctica, es la inámica el sistema la que etermina la máxima ganancia e lazo que puee ser utilizaa. Un ejemplo típico el control proporcional se ilustra en la Fig. 7. La figura muestra el comportamiento e la salia el proceso y e la señal e control, espués e un cambio al escalón en la señal e referencia. El error en estao estacionario puee ser calculao a partir e la ecuación (3). El término e polarización u b, la perturbación e carga l y el ruio e meición n son cero en la simulación. Con una ganancia el controlaor K = y una ganancia estática el proceso K =, se obtiene un error e control el 50%. La p figura muestra que el error en estao estacionario ecrece a meia que se incrementa la ganancia el controlaor, tal como se preice en la ecuación (3). Note también que la respuesta se vuelve más oscilatoria al incrementar la ganancia el controlaor. Esto se ebe a la inámica el proceso. K = 5 K = K = K = 5 K = K = Fig. 7: Simulación e un sistema e control en lazo cerrao con control proporcional. La función e G ( s) = s +. El iagrama muestra la referencia y = y la salia el transferencia el proceso es ( ) 3 proceso y para iferentes valores e la ganancia el controlaor K. El iagrama inferior muestra la señal e control u para las respectivas ganancias el controlaor. sp Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 8 Enero e 00

17 ACCION INTEGRAL La función principal e la acción integral es asegurar que la salia el proceso concuere con la referencia en estao estacionario. Con el controlaor proporcional, normalmente existiría un error en estao estacionario. Con la acción integral, un pequeño error positivo siempre proucirá un incremento en la señal e control y, un error negativo siempre ará una señal ecreciente sin importar cuán pequeño sea el error. El siguiente argumento simple muestra que el error en estao estacionario siempre será cero con la acción integral. Asuma que el sistema está en estao estacionario con una señal e control constante, u 0, y un error constante, e 0. De la ecuación (9) se tiene que la señal e control está aa por: u 0 e 0 = K e + t 0 Ti Como se tiene que e 0, claramente se contraice el supuesto e que la señal e 0 control u 0 se mantiene constante. Por tanto, como resultao e esto, un controlaor con acción integral siempre ará un error en estao estacionario cero. La acción integral también puee ser vista como un ispositivo que automáticamente restablece el término e polarización u b e un controlaor proporcional. Esto se ilustra en el iagrama e bloques e la Fig. 8, que muestra un controlaor proporcional con un reset que se ajusta automáticamente. El ajuste se hace realimentano una señal, que es un valor filtrao e la salia el controlaor, a un punto e suma. El reset automático fue el que io origen a la acción integral el controlaor el tipo PID. e K I Σ u Fig. 8: Implementación e la acción integral concebia como un reset automático, como también fue llamaa. La implementación mostraa en la Fig. 8 toavía es usaa por muchos fabricantes e controlaores. Sin embargo, a partir el iagrama e bloques, se pueen eucir las siguientes ecuaciones: u = Ke + I I T i + I = u t + st i e one, la eliminación e u entre estas ecuaciones prouce: Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 9 Enero e 00

18 I T i + I = Ke + I t y, e aquí: I T i = t Ke que muestra que el controlaor e la Fig. 8 es, en los hechos, un controlaor el tipo PI. Las propieaes e la acción integral se ilustran en la Fig. 9, que muestra la simulación e un sistema e control PI. La ganancia proporcional es K = en toas las curvas. El caso T = correspone a un control proporcional puro, que es iéntico al e K = e la i Fig. 7, one el error final es el 50%. El error es eliminao cuano T i toma valores finitos. Para valores granes e T i, la respuesta se esliza lentamente hacia la referencia. El acercamiento es aproximaamente exponencial con constante e tiempo T / KK y es más rápio para valores pequeños e T i ; pero es, también, más oscilatorio. i p T i = T i T i = = 5 T i = T i = T i = T i = 5 T i = Fig. 9: Simulación e un sistema en lazo cerrao con control proporcional e integral. La función e G ( s) = s +, y la ganancia el controlaor es K =. El iagrama superior muestra la referencia T. El transferencia el proceso es ( ) 3 y sp y la salia el proceso y para iferentes valores el tiempo integral i iagrama inferior muestra la señal e control u para los respectivos valores el tiempo integral. Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. 0 Enero e 00

19 ACCION DERIVATIVA El propósito e la acción erivativa es mejorar la estabilia e lazo cerrao. El mecanismo e inestabilia puee ser escrito intuitivamente como sigue. Debio a la inámica el proceso, pasa algún tiempo antes e que la variable e control se note en la salia el proceso. De esta manera, el sistema e control tara en corregir el error. La acción e un controlaor con acción proporcional y erivativa puee ser interpretaa como si el control proporcional fuese hecho para preecir la salia el proceso. La preicción se hace por la extrapolación el error e control en la irección e la tangente a su curva respectiva, como se muestra en la Fig. 0. e e(t) ( t ) e + T e( t) e( t) + T t t Fig. 0: Interpretación geométrica e la acción erivativa como un control preictivo, one la preicción se obtiene meiante extrapolación lineal. La estructura básica e un controlaor PD está aa por: u( t) = K e( t) + T e( t) t La expansión en series e Taylor e e t + T ) a: ( e ( t + T ) e( t) + T e( t) t De esta manera, la señal e control es proporcional a un estimao el error e control en el un tiempo T hacia aelante, one el estimao se obtiene meiante extrapolación lineal, como fue mostrao en la Fig. 0. Las propieaes e la acción erivativa se ilustran en la Fig., que muestra la simulación e un sistema con control PID. La ganancia el controlaor y el tiempo e estimación se mantienen constantes con K = 3 y T =, y se varía el tiempo erivativo T. Para T = 0 se tiene un control PI puro. El sistema e lazo cerrao es oscilatorio con i Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. Enero e 00

20 los parámetros elegios. Inicialmente el amortiguamiento se incrementa con el incremento el tiempo erivativo, pero isminuye cuano el tiempo erivativo se vuelve más grane. T = 0. T = 0.7 T = 4.5 T = 0. T = 0.7 T = 4.5 Fig. : Simulación e un sistema en lazo cerrao con control proporcional, integral y erivativo. La función e transferencia el proceso es ( s) = ( s + ) 3 K = y el tiempo integral es G, la ganancia el controlaor es 3 T =. El iagrama superior muestra la referencia y = y la salia el proceso y para iferentes i valores el tiempo erivativo sp T. El iagrama inferior muestra la señal e control u para los respectivos valores el tiempo erivativo. 4. MODIFICACIONES DEL ALGORITMO PID El algoritmo PID fue ao en la ecuación (9) en la sección anterior. Este algoritmo e libro e texto no es muy usao en la práctica ebio a que se puee obtener un mejor funcionamiento meiante las moificaciones que se iscuten en esta sección. REPRESENTACIONES ALTERNATIVAS El algoritmo ao en la ecuación (9) puee ser representao por la siguiente función e transferencia: Ing. Mauricio Améstegui M. Pág. Enero e 00

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