Las cargas superficiales y el flujo de energía en un circuito simple

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1 Revista Brasileira e Ensino e Física, v. 27, n. 4, p , (2005) Las cargas superficiales y el flujo e energía en un circuito simple (Surfaces charges an the energy s flow in a simple circuit) Reinalo Welti 1 Taller e Diáctica e la Ciencia y la Tecnología, Faculta e Ciencias Exactas e Ingeniería, Rosario, Argentina Recebio em 15/10/2004; Revisao em 5/10/2005; Aceito em 17/10/2005 El interés en el estuio e la istribución e las cargas superficiales sobre los conuctores que transportan una corriente y su utilia para la comprensión conceptual el comportamiento e los circuitos se han incrementao recientemente. Numerosos trabajos y textos presentan resultaos cualitativos, analíticos y numéricos para iferentes geometrías e la estructura el circuito. Se presentan aquí los resultaos analíticos para un circuito simple formao por placas rectangulares. Esta geometría permite eterminar no solo la istribución e las cargas superficiales que crean el campo en el interior e los conuctores, sino también el flujo e energía que se irige ese la fuente hasta los elementos resistivos el circuito. Palabras clave: circuitos, cargas superficiales, campo eléctrico, flujo e energía. The interest in the stuy of the superficial charges s istribution on the conuctors that transport a current an its utility for the conceptual comprehension of the circuits s behavior have been increase recently. Numerous works an texts present numerical, analytic, an qualitative results for ifferent geometries of the circuit s structure. The analytic results for a simple circuit forme by rectangular plates are presente here. This geometry permits to etermine not only the istribution of the superficial charges that create the fiel in the interior of the conuctors, but also the flow of energy that is irecte since the source to the resistive elements of the circuit. Keywors: circuits, surfaces charges, electric fiel, flow of energy. 1. Introucción 1 En un curso traicional e electricia, la teoría e circuitos e corriente continua se formula en términos e los conceptos e potencial, carga y corriente, mientras que los campos electromagnéticos juegan un rol secunario o nulo. Esto hace que los campos y los circuitos aparezcan como os tópicos completamente iferentes y no relacionaos. Sin embargo, un circuito simple, como el formao por una batería y una resistencia, tienen una física realmente interesante que la mayoría e los textos omiten. Una posibilia e unificar el tratamiento e los campos y circuitos es subrayar el rol esempeñao por las cargas en la superficie e los elementos conuctores el circuito en la creación el campo eléctrico en el interior e estos elementos. Como lo ice Jackson [1]: La importancia e las cargas superficiales asociaas a las corrientes en un circuito no es generalmente reconocia. En general, los conuctores e un circuito con corriente eben tener una istribución e carga superficial no uniforme. Es un problema e la teoría e campos explicar cómo esta istribución e cargas superficiales crea un campo eléctrico uniforme en el interior el hilo. La mayoría e los libros e física pasan por alto esta cuestión. La existencia e una istribución e cargas superficiales sobre la superficie e los conuctores está sugeria en Scott [2]; Sommerfel [3] hace un cálculo etallao para un cable coaxil cuyo conuctor interno es resistivo y el externo conuctor perfecto, mientras que Reitz y Milfor [4] parecen sugerir que ninguna carga superficial puee existir en un circuito e corriente continua. La importancia e las cargas superficiales en la formulación e la teoría e circuitos ha sio revitalizaa por Chabay y Sherwoo [5] en un libro e física estinao a estuiantes el ciclo básico e ciencias e ingeniería. Los autores analizan la relación entre la istribución e cargas superficiales y los campos eléctricos basaos en un trabajo e Haertel [6] que escribe la escarga e un capacitor a través e un circuito altamente resistivo. Más recientemente, Prayer [7] presenta cálculos numéricos e las cargas superficiales para los iferentes circuitos que [5] y [6] utilizan en sus ejemplos cualitativos. Se han obtenio soluciones analíticas para algunas Copyright by the Socieae Brasileira e Física. Printe in Brazil.

2 578 Welti geometrías relativamente simples: Sommerfel [1] consiera un cable coaxial infinito con un conuctor interno resistivo y el externo e conuctivia infinita. Russell [8] generaliza los resultaos e Sommerfel para un sistema e conuctores paralelos e infinitos, mientras que Ferreira y Figuereo [9] aaptan el análisis e Sommerfel para un cable coaxial semi-infinito cerrao en uno e sus extremos por un isco perfectamente conuctor. Jefimenko [10] calcula los campos en el interior e un circuito formao por placas paralelas, Assis et al. [11] eucen los campos afuera e las placas y Assis et al. [12], analizan las cargas superficiales y los campos e un hilo resistivo rectilíneo e sección circular. Heal [13] encuentra los campos afuera y aentro e un circuito cilínrico con corriente azimutal y el flujo e energía que va ese la batería hacia la superficie el cilinro resistivo. Hernánez et al. [14] calculan las cargas superficiales y el campo eléctrico e una superficie toroial resistiva con corriente azimutal. El objetivo e este trabajo es utilizar los numerosos trabajos numéricos y analíticos que hemos mencionao más arriba para presentar una propuesta, irigia especialmente a los profesores universitarios e física, sobre cómo tratar estos temas en el aula. En la sección 2 hacemos una escripción el establecimiento e una corriente estacionaria en un conuctor, en la 3 se resumen los resultaos obtenios en [10], que se utilizan, luego, en la sección 4 para ar una explicación cualitativa e la relación entre la istribución e cargas superficiales y los campos eléctricos en el interior y exterior e los hilos conuctores e un circuito. Finalmente, en la sección 5, se consieran las cargas superficiales y el flujo e energía en un circuito simple compuesto e una batería y una resistencia. 2. La formación e una corriente estacionaria en un conuctor El movimiento e cargas en el interior e un conuctor se escribe meiante el campo vectorial J, enominao ensia e corriente o flujo e cargas (la carga que atraviesa la unia e área en la unia e tiempo). El vector ensia e corriente en un punto e un conuctor homogéneo e isotrópico es proporcional al campo eléctrico E, es ecir J =E/ ρ, one ρ, la resistivia, es una constante escalar característica el material. Si el flujo es estacionario tanto J como E eben ser paralelos a la superficie e conuctor. En efecto, si J tiene una componente no nula en un punto e la superficie el conuctor, se estaría acumulano carga en ese punto lo que prouciría una variación el campo eléctrico y, por lo tanto, e la ensia e corriente, lo cual contraice la hipótesis e flujo estacionario. Las corrientes estacionarias requieren aemás que el circuito sea cerrao. Debio a las périas e energía en el conuctor, el mantenimiento e una corriente estacionaria requiere una fuente e energía externa, como por ejemplo una batería química. Surge entonces la siguiente pregunta: cómo viaja la energía ese la batería one está isponible hasta las porciones el circuito one ésta se isipa en forma e calor? Esta cuestión será aboraa en la seccion 5. Se analiza a continuación cómo se llega a establecer una corriente estacionaria en un circuito eléctrico consierano las etapas que se muestran esquemáticamente en la Fig. 1. Inicialmente no hay hilos conuctores conectaos a los os electroos e la batería (Fig. 1a). Se conectan luego os hilos rígios largos a los os terminales (Fig. 1b). Después que las cargas a lo largo e estos conuctores llegan al estao estacionario se unen los extremos e estos hilos (Fig. 1c) y la corriente comienza. Figura 1 - Líneas e fuerza el campo eléctrico alreeor e una batería (a) y alreeor e los hilos conectaos a la misma antes (b) y espués e unirlos en sus extremos superiores. En la primera etapa, como se muestra en la Fig. 1a, se tiene un campo eléctrico ipolar entre los terminales e la batería (se muestra solamente el campo eléctrico en la zona externa e la batería). En la seguna etapa, Fig. 1b, los os hilos resultan extensiones e los volúmenes equipotenciales e caa uno e los electroos. No hay naa que impia que estos hilos tengan una forma arbitraria o una extensión e varios kilómetros o que se oblen o que se retuerzan uno alreeor el otro (sin tocarse). Las líneas e fuerza el campo eléctrico nacen en la superficie e uno e los hilos y terminan en el otro, en ángulo recto. Cuano se acercan los extremos e los hilos, el campo eléctrico en estos extremos incrementa a un gran valor (igual iferencia e potencial, istancia más pequeña), ano lugar en muchos casos a la proucción e una chispa justo antes e que se toquen. En el instante en que se ponen en contacto se prouce un movimiento e electrones bajo la acción e este campo grane, estruyeno la naturaleza equipotencial e los interiores e los os conuctores. De esta manera, se

3 Las cargas superficiales y el flujo e energía en un circuito simple 579 prouce el inicio e la corriente. Parte el flujo e corriente tiene en esta etapa componentes perpeniculares a los contornos el conuctor que van moificano la istribución e cargas superficiales que son, a su vez, las responsables e encauzar la corriente a lo largo e los hilos (esto es, hacerlos paralelos a la superficie). Estos efectos comienzan en los extremos que se han puesto en contacto y se extienen a lo largo e toa la longitu el hilo hasta llegar a los terminales e la batería. El proceso e reorenamiento se irige ahora en la irección inversa, ese los terminales e la batería hasta los extremos que han sio puestos en contacto. Este proceso e reajuste en ambas irecciones continúa hasta que se llega al estao estacionario. El tiempo que se tara en llegar al estao estacionario es experimentalmente muy corto. En esta etapa, como se muestra en la Fig. 1c las líneas e fuerza el campo eléctrico salen y entran en la superficies e los conuctores en ángulos iferentes e 90 ebio a que se tiene ahora una componente e campo eléctrico paralelo a los hilos. Esta componente el campo eléctrico penetra en el interior el hilo y a origen a la corriente que circula a lo largo el mismo. En la próxima sección vamos a eterminar los campos eléctricos y las cargas superficiales que roean al circuito en el caso especial en que los hilos conuctores son os placas e longitu y ancho granes comparaas con su separación. y las cargas superficiales en las superficies y = 0 e y =, que vienen aas por σ(y = 0) = ε 0 σ(y = b) = ε 0 (2) Se observa que la ensia e carga no epene e la resistivia el material. Se unen ahora las os placas, en z = 0, meiante una placa perfectamente conuctora como se muestra en la Fig. 2 (una sección el circuito perpenicular al eje x). Después e proucio el contacto, se establece un régimen transitorio similar al que se escribió en la etapa 3 e la sección anterior. Una vez que se llega al estao estacionario, circula, a través el circuito, una corriente constante I = /R, one R =ρ2l/s es la resistencia total el circuito y S = ae es la sección e caa una e las placas. El móulo el campo eléctrico en el interior e las placas resistivas, e acuero a la ley e Ohm, es ρi/s y su irección y sentio coincie con la e la corriente que circula a lo largo e las mismas. 3. La carga superficial y el campo eléctrico en un circuito e placas paralelas En lugar e los os hilos e la Fig. 1, se conectan a los bornes e la batería os placas conuctoras paralelas, e resistivia ρ, separaas por una istancia y e imensiones: ancho a, longitu l y espesor e. Si l y a son mucho mayores que, poemos espreciar los efectos e bore, esto es, se puee suponer que las cargas superficiales se istribuyen solamente en sus superficies internas. La solución analítica completa e este problema se puee encontrar en la referencia [10]. En esta sección vamos a comentar los resultaos que se relacionan con los pasos 2 y 3 e la sección anterior. Después e conectar las placas a los bornes e la batería, éstas se cargan eléctricamente, positivamente, la que está conectaa al borne positivo y negativamente, la otra. El interior e caa una e las placas es un volumen equipotencial y la iferencia e potencial entre ambas,, coincie con la fem e la batería ieal (sin resistencia interna). Si espreciamos los efectos e bore, el campo eléctrico entre las placas viene ao por E y = (1) Figura 2 - Dos placas resistivas paralelas, unias en z = 0 por una placa perfectamente resistiva. El potencial en el interior e las placas que satisface la ecuación e Laplace y las coniciones e contorno: Φ/ z = - ρi/s y Φ/ z = -ρi/s, sobre las superficies e las placas resistivas, y = 0 e y =, respectivamente y Φ/ y = 0, sobre la superficie e la placa perfectamente conuctora, viene ao por Φ(y, z) = ρi S ( ) 2y 1 z (3) si se supone que la placa perfectamente conuctora en z = 0, está conectaa a tierra. El campo eléctrico entre las placas (0 <y <) es,

4 580 Welti E y = Φ y = 2ρIz S E z = Φ z = 2ρIy S + ρi S (4) (5) El salto e la componente normal a las placas, en y = 0 e y =, inica la existencia e cargas superficiales sobre estas superficies: σ(y = 0) = ε 0 E y (y = 0) = ε 0 2ρIz S σ (y = ) = ε 0 E y (y = ) = ε 0 2ρ Iz S (6) Se observa que el móulo e la ensia e carga superficial ecrece linealmente con z, es máxima en z = -l y es cero en z = 0. Este graiente e la ensia e carga superficial es la causante e la componente tangencial el campo eléctrico en la superficie e la placa resistiva y el campo en el interior e la placa que origina la corriente que circula a lo largo e la misma. En la Fig. 3 se muestran las formas e las líneas e fuerza el campo eléctrico en el espacio entre las os placas: las líneas e campo son normales a la placa perfectamente conuctora, pero no lo son sobre las os placas resistivas. Figura 3 - Campo eléctrico en el interior el circuito. Si expresamos las Ecs. 13 en términos e la iferencia e potencial = RI = (2ρl/S)I obtenemos: σ(y = 0, z) = ε 0 z l σ(y =, z) = ε 0 z l (7) Se observa que la ensia e carga superficial varía linealmente ese su valor máximo (en móulo) en z = l, igual al valor que tenía antes e cortocircuitar las placas, hasta cero en el cortocircuito z = 0. Esto significa que en el proceso e istribución e cargas que se prouce espués e cortocircuitar las placas, la carga total e caa una e ellas isminuye a la mita. El campo magnético en el interior e las placas es el e un solenoie infinito: su móulo es I/a y su irección es perpenicular al papel (entrante). Afuera e las placas el campo magnético es cero y en el interior e las chapas varía linealmente ese su valor I/a en la superficie interna hasta cero en la superficie externa. El vector e Poynting P = E H, en caa punto el espacio, es ortogonal a las líneas e fuerza el campo eléctrico E. Las líneas el flujo e energía coincien, por lo tanto, con las líneas equipotenciales (las líneas continuas que se muestran en la Fig. 4). El sentio e las líneas e flujo van ese la batería a los elementos resistivos el circuito. El vector e Poynting tiene una componente normal no nula (y hacia aentro) solamente en las superficies e las placas resistivas. Figura 4 - Vector e Poynting y líneas equipotenciales. Como las imensiones e las placas son infinitas en la irección x, el campo magnético es nulo en el exterior el circuito, sin embargo, como las componentes tangenciales el campo eléctrico sobre la superficie externa e las placas resistivas no es nula existe un campo eléctrico externo. El campo eléctrico externo se calcula en la referencia [13] para un circuito cilínrico e sección circular y en la referencia [10] para un par e placas paralelas similar al e la Fig. 2. Si las imensiones e las placas no son infinitas a lo largo el eje x, existe un campo magnético en el exterior e sentio contrario al campo magnético interno. Este campo magnético, asociao con el campo eléctrico sobre la superficie externa e las placas resistivas a lugar a un vector e Poynting entrante en la superficie externa e las placas resistivas. Si la imensión a lo largo el eje x se hace caa vez más pequeña, el campo magnético en el exterior crece y su móulo se hace comparable al el campo magnético interno. En un hilo resistivo cilínrico, por lo tanto, el flujo entrante es aproximaamente el mismo sobre toos los puntos e la superficie. 4. Análisis cualitativo e la carga superficial y el campo eléctrico en un circuito más realista En la mayoría e las situaciones prácticas, o por lo menos en los circuitos que se muestran en los textos, los conuctores y resistencias son hilos y no placas. Qué sucee si las placas resistivas e la Fig. 2 se reemplazan por un par e hilos cilínricos como se muestra

5 Las cargas superficiales y el flujo e energía en un circuito simple 581 en la Fig. 5? Assis y Mania [15] estuian los campos eléctricos y magnéticos que roean a los hilos, un problema que está sugerio en el clásico texto e Stratton [16]. La solución analítica e este problema, ebio a su nivel e ificulta, no puee aborarse en un curso básico e física, aún e nivel universitario. Sin embargo, e acuero con los resultaos e la sección anterior, se puee concluir que la istribución e cargas superficiales sobre los conuctores resistivos es como la que se muestra en la Fig. 5. El graiente e carga superficial sobre los hilos resistivos crea un campo eléctrico, que se istribuye uniformemente sobre sus secciones en la irección que fluye la corriente. Un electrón libre que está en la parte superior el conuctor cilínrico e la izquiera será atraío hacia la parte inferior one las cargas superficiales positivas tienen una mayor concentración, mientras que un electrón que está en la parte inferior el cilinro e la erecha será repelio hacia la zona e más baja concentración e cargas negativas e la parte superior. Figura 5 - Distribución e las cargas superficiales a lo largo e los hilos que forman el circuito y las líneas el campo eléctrico en el plano efinio por los os hilos. El campo eléctrico en el exterior e los hilos y en particular en el plano efinio por ambos, tiene aún el aspecto e la Fig. 3. Reconocieno que los campos eléctricos en el interior e los conuctores son creaos por las cargas superficiales se consigue también explicar, al menos, cualitativamente, cómo el campo eléctrico cambia su irección cuano el circuito se curva como se muestra en la Fig. 6. Imaginemos que un electrón que se mueve a lo largo el hilo se acerca hacia el coo. Este electrón porá oblar el coo si es empujao o atraío por cargas que están sobre la superficie el hilo. Si esto no ocurre, el electrón llega hasta la superficie el coo moificano la carga superficial en esa zona. De este moo el primer electrón que no puo ar la vuelta ayua a empujar al que viene etrás para que éste sí lo haga. Este proceso continúa hasta que la istribución e carga superficial que se construye es el aecuao para encauzar a toos los electrones e conucción a lo largo e los hilos, esto es, en líneas paralelas a la superficie el conuctor. Figura 6 - Las cargas superficiales en los coos el circuito se istribuyen como se muestra en la figura para proucir en el interior el hilo el campo aecuo para que los electrones e conucción contorneen el hilo. 5. Análisis cualitativo el flujo e energía en un circuito real El cálculo e los campos eléctricos y magnéticos que roean a los circuitos reales es una tarea muy ifícil y es generalmente imposible encontrar soluciones analíticas. Sin embargo, como vimos en la sección 4, las soluciones exactas que se obtienen con geometrías simples e ieales ayuan a inferir cómo son estos campos en geometrías más complicaas y permiten esbozar un ibujo cualitativo e sus líneas e fuerza. La Fig. 7 muestra la representación usual e un circuito formao por una batería y una resistencia conectaas por os hilos perfectamente conuctores. Los hilos se cargan, el superior con cargas positivas y el inferior con cargas negativas. La istribución e cargas superficiales, en este caso, tiene un graiente nulo y, por lo tanto, el campo eléctrico en el interior e los hilos es nulo. Las líneas el campo eléctrico salen normalmente el hilo cargao positivamente y terminan normales en la superficie el hilo cargao negativamente como se muestra esquemáticamente en la Fig. 7. El campo eléctrico, sin embargo, tiene una componente tangencial a lo largo e la resistencia. Figura 7 - Esquema que muestra las ireciones e los campos eléctricos y magnéticos y el flujo e energía en el plano el circuito.

6 582 Welti La corriente que circula en el circuito crea un campo magnético, cuyas líneas e fuerza son perpeniculares al plano el circuito, entrantes en su zona interna y salientes en su zona externa. Con esta información se puee estimar el móulo, irección y sentio el vector flujo e energía en iferentes puntos el plano. Se encuentra que las trayectorias el flujo e energía salen e la batería y se irigen a la resistencia en un tránsito e una sola vía, en la irección correcta. 6. Discusión El análisis e circuitos en términos e cargas superficiales y campos a respuestas a algunas e las preguntas que no tienen una explicación apropiaa entro el contexto e la teoría e circuitos traicional: Quién crea el campo eléctrico que mueve las cargas en el interior e los conuctores one circula una corriente?, Porqué el campo eléctrico cambia su irección e un tramo a otro el circuito? Cómo fluye la energía ese la batería hasta los elementos resistivos one se isipa? No se pueen responer estas preguntas en el marco e la teoría e circuitos traicional que se basa en el concepto e iferencia e potencial. El graiente e la ensia e carga superficial, en la superficie e los elementos resistivos, crea el campo eléctrico que prouce la corriente que circula en su interior. Es este campo eléctrico el origen e la iferencia e potencial a lo largo el elemento resistivo. En consecuencia, este análisis, consiera funamental el concepto e campo eléctrico y a la iferencia e potencial un concepto erivao. Las cargas superficiales, que son requerias para mantener la corriente, proucen también, en el espacio exterior e los conuctores, el campo eléctrico que se necesita para la transferencia e energía ese la batería hasta la resistencia. A primera vista, los argumentos esarrollaos en este trabajo pueen ar la impresión e ser ifíciles. Sin embargo, las principales ieas no son más complicaas que el concepto e campo que se introuce en casi toos los cursos e física universitaria. En cualquier caso el campo es un concepto funamental, aún más básico que el concepto e energía, e moo que se hace ifícil pensar como poemos estuiar física sin tenerlo en cuenta. Los argumentos cualitativos que presentamos son similares a los que se utilizan cuano se presenta la luz como una ona electromagnética, ebio a que los conceptos esenciales que se necesitan son los mismos en ambos casos. El esafío se puee plantear e esta manera: si este material parece ifícil e qué otra manera se lo puee enseñar sin introucir errores conceptuales? Referências [1] J.D. Jackson, Am. J. Phys. 64, 855 (1996). [2] W.T. Scott, The Physics of Electricity an Magnetism (J. Wiley & Sons, N.Y., 1966). [3] A. Sommerfel, Electroynamics (Acaemic Press, New York, 1952). [4] J.R. Reitz an F.J. Milfor, Founations of Electromagnetic Theory (Aisson-Wesley, Inc. Massachusets, 1966). [5] R.W. Chabay an B.A. Sherwoo, Electric an Magnetic Interactions (J. Wiley & Sons, New York, 1999). [6] H. Haertel, en Aspects of Unerstaning Electricity: Proceeings of an International Conference, eitao por R. Duit, W. Jung an C. von Rhöneck (IPN/Schmit & Klaunig, Kiel, Alemania, 1985). [7] N.W. Prayer, Am. J. Phys. 68, 1002 (2000). [8] B.R. Russell, Am. J. Phys. 36, 527, (1968). [9] G.F. Leal Ferreira e M.T. e Figueireo, Rev. Bras. Ens. Fís. 25, 374, (2003). [10] O.D Jefimenko, Electricity an Magnetism (Electrect Scientific Company, Star City, 1989) 2 n e. [11] A.K.T. Assis, J.A. Hernanez an J.E. Lamesa, Founations of Physics 31, 1501 (2001). [12] A.K.T. Assis, W.A. Rorigues Jr. an A.J. Mania, Founations of Physics 29, 729 (1999). [13] M. Heal, Am.J.Phys. 52, 522 (1984). [14] J.A. Hernanez an A.K.T. Assis, Phys. Rev. E 68, (2003). [15] A.K.T. Assis e A.J. Mania, Rev. Bras. Ens. Fis. 21, 469 (1999). [16] J.A. Stratton, Electromagnetic Theory (McGraw-Hill, New York, 1941).

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