11 SUCESIONES. PROGRESIONES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "11 SUCESIONES. PROGRESIONES"

Transcripción

1 EJERCICIOS PROPUESTOS. Con cerillas se han construido las figuras. a) Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con 5 hexágonos? b) Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con n hexágonos? a) Número de hexágonos Número de cerilla (n ) b) 6 5(n ) 5n. Halla los tres términos siguientes de cada sucesión. a),,,, c) 80, 70, 60, 50, 40 b),, 5, 7, 9 d) 8, 4,,, a),,. Sucesión constante. b),, 5. Se suma al término anterior. c) 0, 0, 0. Se resta 0 al término anterior. d) 4, 8, 6. Se multiplica por el término anterior.. Encuentra el término en cada sucesión. a) 7, 5,,, 9, 7 c) 60, 56,, 48, 44, 40 b) 5, 5, 9 5,, 8... d) 6, 8,,, 5 a). Se resta al término anterior. b) 7. Se multiplica por el término anterior. 5 c) 5. Se resta 4 al término anterior. d) 4. Se divide entre el término anterior..4 Calcula para cada sucesión los términos pedidos. a) Los seis primeros de a n n n b) Los diez primeros términos de b n (n ) c) c 6 y c 0 en c n n n d) d y d 0 en d n nn 0 a),0, 4, 5,, 4 7 b), 8, 49, 76, 09, 48, 9, 44, 0, 64 c) c 6 ; c 0 8 d) d 0; d 0 0

2 .5 Construye la sucesión recurrente definida por: a a n a n 5,, 8,, 8,.6 Forma la sucesión recurrente dada por: a a 6 n a n ; 6 8 ; 4 ; ;;;4;....7 Calcula los primeros términos de la sucesión recurrente definida por: a a a n a n a n,, 5, 7, 9,,.8 Dadas las sucesiones (a n ) (, 4, 6, 8 ) y (b n ) (, 5, 8, ) halla los cuatro primeros términos de estas sucesiones. a) (a n ) b) (a n ) (b n ) c) (a n ) (b n ) a) (a n ) (a n ) (6,, 8, 4 ) b) (a n ) (b n ) (a n b n ) (4, 9, 4, 9 ) c) (a n ) (b n ) (a n b n ) (4, 0, 48, 88 ).9 Los términos generales de dos sucesiones son: a n n b n n 4 a) Escribe los cuatro primeros términos de cada sucesión. b) Halla el término general de las sucesiones 4(a n ); (a n ) (b n ) y (a n ) (b n ). a) (a n ) (, 5, 7, 9 ) (b n ) (7, 0,, 6 ) b) 4 (a n ) (4 a n ) [4 (n )] (8n 4) (a n ) (b n ) (a n b n ) (n n 4) (5n 5) (a n ) (b n ) (a n b n ) [(n ) (n 4)] (6n 8n n 4) (6n n 4).0 Halla el término general de la progresión aritmética: (a n ) (5,,, 4 ) a n a (n ) d 5 (n ) () n 8. En una progresión aritmética a 4 y la diferencia es d 7. Halla el término octavo. a 8 4 (8 ) (7)

3 . Una ONG que se dedica a la ayuda al Tercer Mundo se inició con 5 personas. Si todos los meses se incorporan 5 voluntarios, cuántas personas trabajarán en la ONG al cabo de años y medio? años y medio son 4 6 meses 0 meses. a 0 5 (0 ) voluntarios. Halla la suma de los 40 primeros términos de la progresión aritmética. (a n ) (9, 6,, 0 ) a () 78 S El primer término de una sucesión aritmética es, la diferencia,, y la suma de los n primeros términos es 900. Cuánto vale n? Sn 900 a n n 900 n a n n n 0 n (n ) n.5 Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética de diferencia 4 y su suma es igual a 4 años. Qué edad tiene cada uno? a edad del pequeño; a edad del mediano; a edad del mayor S a a a a a 4 a a 8 a n a (n ) d a a 4; a a 8 a 0 años a 4 años a 8 años.6 Un ciclista recorrió el primer día 5 kilómetros y cada día aumenta su recorrido en kilómetro. Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 0 primeros días? a S Habrá recorrido 40 km..7 Halla el término general de la progresión geométrica. (a n ) (, 6, 8, 54 ) a n n.8 El primer término de una sucesión geométrica es 7 y la razón es. Halla el término noveno. a ,09

4 .9 Un filántropo muy rico decidió destinar su fortuna a una asociación dedicada a la lucha contra el cáncer. Entregó 0 euros el primer mes, 0 euros el segundo, 40 euros el tercero y así sucesivamente. Qué cantidad entregó a los dos años de su primera donación? (Utiliza tu calculadora.) años 4 meses a Halla la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica (a n ),, 9, 7 a 0 8, , S 0,5. El primer término de una progresión geométrica es 4 y la razón es. Halla la suma de los diez primeros términos. 048 () 4 a 0 4 () S Un equipo de ciclismo programa su entrenamiento semanal en cinco etapas. En la primera etapa recorre una distancia de 40 kilómetros y cada etapa sucesiva es 5 4 más larga que la anterior. Cuántos kilómetros recorre el equipo a lo largo de la semana? El kilometraje de las etapas forma una progresión geométrica de razón r 5 4. a S 5 a 5r a r ( ) 8,8 km recorridos a lo largo de la semana. 7

5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Observa la siguiente secuencia de figuras. Cuántos puntos se necesitarán para construir la figura n-ésima? a ; S a ; S a ; S a 4 4; S 4 4 Orden de la figura (n) Número de puntos (S n ) a n n; S n n n es el número de puntos que se necesitarán para la figura enésima..4 Observa la torre de cubos de la figura. Cuántos cubos se necesitan para construir una figura con 0 pisos? Y una figura con n pisos? Número de pisos (n) 4 Número de cubos (S n ) S n S n a n n S 6 [4( )] n S 5 [4( )] [ 4( )] n 4 S 4 8 [4( )] [ 4( )] [ 4(4 )] S n [4( )] [ 4( )] [ 4(4 )] [ 4 (n )] De aquí se deduce que a n 4(n ). Como S n a a n n, entonces Sn 4(n ) n n n Para n 0, S 0 (0) 0 90

6 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE.5 Encuentra el término general de las sucesiones estudiando sus regularidades. a = a = 6 a = 9 b = b = 4 b = 9 c = c = 5 c = 9 a) a ; a 6; a 9; a 4 ;...; a n n b) b ; b 4; b 9; b 4 6;...; b n n c) c ; c 5; c 9; c 4 ;...; c n 4n.6 Completa el término que falta en cada sucesión. a) 8, 0,,, 6 c) 0,,, 9, b) 5,, 5, 0, 5 d) 5, 5, 5 9,, a) 4 b) 0 c) 6 d) 7.7 Dadas las sucesiones: a n 4n b n () n n c n n a) Escribe los cinco primeros términos de cada sucesión. b) Halla el término general de las sucesiones: (a n ) (b n ) (a n ) (b n ) (c n ) a n (b n c n ) a) a n 4n ; a ; a 5; a 9; a 4 ; a 5 7 b n () n n; b ; b 4; b 6; b 4 8; b 5 0 c n n ; c ; c 6; c ; c 4 8; c 5 7 b) a n b n 4n () n n a n (4n ) n 9 b n c n (() n n)(n ) () n n () n a n (b n c n ) (4n )(() n n n ) () n 8n 4n 8n 6n () n n 6.8 Escribe los cinco primeros elementos de las sucesiones que determinan, respectivamente, el número de triángulos rojos y azules. Rojos:,, 6, 0, 5 Azules: 0,,, 6, 0

7 .9 Escribe los diez primeros términos de la sucesión cuyo primer término es y los restantes términos se obtienen multiplicando por 5 y restándole al término anterior. a ; a 5 7; a 7 5 ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a Construye las sucesiones recurrentes dadas por: a) a ; a n a n 4 c) a ; a ; a n 5a n a n b) a 6; a n a n d) a ; a ; a ; a n a n a n a n a),, 6, 0, 4, 8 c),,, 6, 97, 4, 6 88 b) 6, 8, 0,, 4, 6 d),,, 6,, 0, 7, 68, 5 Progresiones aritméticas. Estudia si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla el término general: a) 8, 4, 0, 4, 8 c), 9, 7, 8, 4 b),,,, 5... d),,,, a) a a a a... 4 d. Sí es una progresión aritmética. an 8 (n ) 4 4n b) b b b b... d. Sí es una progresión aritmética. bn (n ) n c) c c 6; c c 8 No es una progresión aritmética. d) d d d d Sí es una progresión aritmética. d n. Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuyo quinto término es 9 y la diferencia es. a 5 a (5 ) 9 a 9 7 a n 7 (n ) n 4. El dibujo representa las alturas de los miembros de una familia. Cuánto mide la madre?, y el hijo? d d d,80 m,5 m La sucesión formada por las alturas de los miembros de la familia es una progresión aritmética de diferencia d 0,5 m Altura de la madre,65 m; Altura del hijo,50 m..4 Halla el primer término de la progresión aritmética cuyo término vigésimo es 00 y la suma de los 0 primeros términos es 050. S 0 0 (a 00) 050 0a 00 a 5

8 .5 Al comienzo del año, Juan decide ahorrar para comprarse una consola de videojuegos. En enero mete en su hucha 0 euros y cada mes introduce la misma cantidad que el mes anterior y euro más. Cuánto dinero habrá ahorrado al finalizar el año? El año tiene meses. El dinero que introduce cada mes en la hucha es una progresión aritmética de d ; a 0 a 0 ( ) Dinero ahorrado S (0 ) Cuántos términos de la progresión aritmética 4, 8,, 6 hay que tomar para que el resultado de su suma sea 0? a n 4 (n ) 4 4n S n n (4 a n ) 0 4n 4n 440 8n 440 n 55 es el número de términos..7 Las anotaciones obtenidas por las cinco jugadoras de un equipo de baloncesto están en progresión aritmética. Si el equipo consiguió 70 puntos y la máxima anotadora obtuvo 4 puntos, cuántos puntos anotaron las restantes jugadoras? S 5 5 (a 4) 70 5a 0 a 4 a 5 a (5 ) d 4 d a 4; a 9; a 4; a 4 9; a 5 4 son las anotaciones de las jugadoras del equipo. Progresiones geométricas.8 Estudia si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla el término general. a),, 9,,... c) 4, 8,, 6, b),, 4, 8, 6... d) 5,, 9 5, 7 8, a) a a a a... r. Sí es una progresión geométrica; a n n n b) b b... r. Sí es una progresión geométrica; b b b n n n c) c c No es una progresión geométrica. c c d) d d d d... 5 r. Sí es una progresión geométrica; d n 5 5 n 5 n n.9 De una progresión geométrica sabemos que su cuarto término es 7 y que la razón es. Halla el primer término. 8 a 4 a r 7 a 8 7 a 8

9 .40 El primer término de una progresión geométrica es y la razón es 4. Qué lugar ocupa en la progresión el término cuyo valor es 07? a n 4 n 07 4 n n 8 n 9.4 Calcula la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica 6,, 7, a ; S , El cuarto término de una progresión geométrica es 5 y la razón es. Halla la suma de los 8 primeros términos. a 4 a r 7a 5 a 5 ; a 8 a r S 8 a r a ,v r.4 El radio de cada círculo es la mitad que el del anterior. cm.44 Calcula: a) El área del círculo que ocupa el quinto lugar. b) La suma de las áreas de los 6 primeros círculos de la sucesión. a) La sucesión de los círculos es una progresión geométrica de razón r ; a 5 b) La sucesión formada por las áreas de los círculos es una progresión geométrica de razón r 4. a ; S ( ) 4,8 cm () 4 0,0 cm. 8 Toma un folio y dóblalo por la mitad. Obtienes dos cuartillas que juntas tendrán un grosor doble del grosor del folio. Ahora dobla nuevamente las dos cuartillas y obtienes cuatro octavillas, con un grosor cuádruple que el del folio. Si la hoja inicial tuviera un grosor de 0, milímetros y fuese tan grande que pudieras repetir la operación 00 veces, qué grosor tendría el fajo resultante? a 00 0, () 99 6,4 0 8 mm

10 CUESTIONES PARA ACLARARSE.45 Qué nombre recibe la sucesión tal que cada término se obtiene del anterior sumándole una constante? Aritmética..46 Qué nombre recibe la sucesión tal que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por una constante? Geométrica..47 La sucesión que resulta al multiplicar término a término dos progresiones geométricas es una progresión geométrica? En caso afirmativo, cuál es su razón? Sí lo es. a n a r Sean las progresiones geométricas: n de razones r y s, respectivamente. b n b s n a n b n (a b ) (r s) n es una progresión geométrica de razón r s..48 Puede existir alguna progresión geométrica que tenga todos sus términos negativos? Razona la respuesta. Sí existe, y la condición que ha de cumplir es que el primer término de la progresión sea negativo y que la razón sea un número positivo. Si a es negativo, entonces: 0 si r 0 a a r a 0 si r 0 Con r negativo, a a r será negativo, y así sucesivamente..49 Escribe los primeros términos de la sucesión de los números pares. Cuál es su término general?, 4, 6, 8, 0 Su término general es p n n..50 Escribe los primeros términos de la sucesión de los números impares. Cuál es su término general?,, 5, 7, 9 Su término general es i n n..5 Escribe los primeros términos de la sucesión suma de la sucesión de los números pares y la de los números impares. Cuál es su término general? ( p n ) (, 4, 6, 8, 0 ); (i n ) (,, 5, 7, 9 ); (s n ) (p n ) (i n ) (, 7,, 5, 9 ) Su término general es s n (n ) 4 4n..5 Qué puede decirse de una sucesión cuyo término general se puede expresar así?: a) a n a n 0 c) a n a n 0 b) a n a n 0 d) a n a n 0 a) a n a n 0 a n 0 0 a (n ) 0. Progresión aritmética con diferencia 0 b) a n a n 0 a n 0 0 a (n ) (0). Progresión aritmética con diferencia 0 c) a n a n 0 a n 0 0 a (0) n. Progresión geométrica con razón 0 d) a n a n a n a.... Progresión geométrica con razón n 0

11 .5 Cómo es una sucesión aritmética de diferencia 0? Y una progresión geométrica de razón? Una sucesión aritmética de diferencia 0 es constante: a n a (n ) 0 a. Una progresión geométrica de razón también es constante: a n a n a..54 Cómo tiene que ser la razón de una progresión geométrica para que todos sus términos vayan cambiando alternativamente de signo? Negativa..55 Varios términos de una sucesión están en progresión aritmética. Qué propiedad cumplen los términos que estén a la misma distancia del primero y del último término? Sean los términos en progresión aritmética a, a,..., a n. Dos términos que estén a la misma distancia del primero y último término pueden ser a a d y a n a n d. La suma de ambos es igual a: a a n a d a n d a a n, es decir, la suma del primero y último término..56 Varios términos de una sucesión están en progresión geométrica. Qué le ocurre al producto de dos términos que estén a la misma distancia del primero y del último término? Sean los términos en progresión geométrica a, a,..., a n. Dos términos que estén a la misma distancia del primero y último término pueden ser a a r y a n a n r. El producto de ambos es igual a: a r a n a r a n, es decir, el producto del primero y último término.

12 PROBLEMAS PARA APLICAR.57 Averigua la posición que ocupan los términos 8 6, 7 y 4 en la sucesión cuyo término general es: 6 a n n 4. n n 4 8 n 6 6(n 4) 8(n ) n n 4 7 (n n 4) 7(n ) n 5 n 4 4 6(n n 4) 4(n ) n Halla el término general de una progresión aritmética de la que se conocen a y a 7 8. a a 7 8 a d 4d 5 d 5 a 4 a 6d 8 (n ) n 4 El término general es: a n.59 La progresión 6,, 6,,, 6, cuántos términos tiene? La sucesión es una progresión aritmética, ya que a a a a... 5 d. a n 6 (n ) 5 5n 6 5n 5 n 5 términos tiene la sucesión..60 Halla el término general de una progresión geométrica de la que se conocen a y a 5 4. a a r a r a 5 4 a r 4 4 El término general es: a n 4 n. r r 4 4 r 7 r a 4.6 Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de diferencia y su perímetro es de 5 centímetros. Cuánto miden los lados del triángulo? Tres términos en progresión aritmética de diferencia son de la forma: a k, a k, a k 4. Perímetro a k 6 5 a k 9. Las longitudes de los lados son, 5 y 7..6 Calcula la suma de todos los números de dos cifras que son divisibles por tres. Los múltiplos de tres forman una progresión aritmética: a n n. El primer término de cifras divisible por tres es a 4. El último número de cifras divisible por tres es a 99. La suma de los primeros términos de la progresión es S (a a ) (99 ) 68. A esta suma hay que restar la suma de los primeros términos: S La suma pedida es S S

13 .6 La suma de los términos segundo, tercero y cuarto de una progresión aritmética es, y la suma de sus términos tercero, cuarto y quinto es. Halla el primer término y la diferencia de la progresión. a a a 4 (a d) (a d) (a d) a 6d d 9 d a a a 4 a 5 (a d) (a d) (a 4d) a 9d.64 Cierta ONG ha construido un pozo para abastecer de agua potable a una población de Somalia. Su coste ha sido de 90 euros. Qué profundidad tiene el pozo si se sabe que el primer metro costó 5 euros y cada metro restante costó 4 euros más que el anterior? El coste de cada metro del pozo es una progresión aritmética con a 5 y d 4. a n 5 (n ) 4 4n. El coste del pozo es igual a la suma de los n primeros términos de la progresión: ( 4n 5) n S n 90 6n 4n 4 80 n n 90 0 n 0. La solución negativa no tiene sentido por tratarse de una longitud. El pozo tiene 0 metros de profundidad..65 La asociación de vecinos de un barrio realiza un rastrillo de venta de objetos usados cuya recaudación donarán a la gente necesitada del barrio. Cuánto dinero recaudaron a lo largo de una semana si las recaudaciones de cada día forman una progresión geométrica de razón y el primer día recaudaron 5 euros? El último día de la semana recaudaron a 7 a r Para hallar cuánto recaudaron a lo largo de la semana hemos de calcular la suma de los siete primeros términos de la progresión: S Calcula la suma de las áreas de los cuatro triángulos equiláteros de la figura sabiendo que el lado de cada uno es tres veces menor que el siguiente triángulo. h = 0,87 L L = 00 cm Las áreas de los triángulos forman una progresión geométrica de razón. Hallamos el área del primer triángulo. 9 a base altura L 0,87 L 4 50 cm, a 4 a r 4 50 cm 9 La suma de las áreas es la suma de los cuatro primeros términos de la progresión: 4 50 S ,75 9

14 .67 Cuál es la diferencia entre la suma de los múltiplos de y la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 00 y 000? Los múltiplos de tres forman una progresión aritmética: a n n. Los múltiplos de cinco forman una progresión aritmética: b n 5n. Los múltiplos primero y último de tres buscados son: a 4 0 y a 999. Los múltiplos primero y último de cinco buscados son: b 05 y b Las sumas de los y primeros múltiplos de tres son: S (99 ) 68 y S (999 ) 66 8 Las sumas de los 0 y 99 primeros múltiplos de cinco son: S 0 (00 5) y S 99 (995 5) La suma de los múltiplos de tres buscados: S S La suma de los múltiplos de cinco buscados: S 99 S La diferencia entre los múltiplos de tres y de cinco pedida es: Calcula el área de la región coloreada teniendo en cuenta que el lado de cada cuadrado es la mitad del anterior. La sucesión de los catetos de los triángulos rectángulos es una progresión geométrica de razón r. Por otro lado, la sucesión de las áreas de los triángulos es una progresión geométrica con a y r 4. Finalmente, a S 9 5 a 5r a 9 0,67 cm r cm.69 Los lados de un pentágono están en progresión aritmética, el lado mayor mide centímetros y el perímetro es de 40 centímetros. Calcula las longitudes de los lados del pentágono. Los términos de la progresión aritmética son: a k, a k d, a k d, a k d, a k 4d. Perímetro 5a k 0d 40 Lado a k 4d Los lados miden 4, 6, 8, 0 y cm. 5a k 0d 60 d a k 4 5a k 0d 40

15 .70 La presa de Assuán situada sobre el río Nilo, en Egipto, contiene litros de agua el día del comienzo del verano. Teniendo en cuenta que cada día pierde el 0, % de su capacidad, cuántos litros contendrá tras haber pasado 90 días? Utiliza la calculadora. Progresión geométrica de razón r 0,00 a ,998 89,7 0 litros.7 Interpolar m números entre dos números dados cualesquiera es hallar los m términos intermedios de una progresión aritmética cuyos primero y último término son los números dados. Interpola cuatro números entre el 0 y el 00. a 0; a d d 8 a 8; a 46; a 4 64; a Interpolar m medios proporcionales entre dos números dados cualesquiera es hallar los m términos de una progresión geométrica cuyos primero y último término son los números dados. Interpola dos medios proporcionales entre y 6. a ; a 4 6 a r r r 6 a ; a 4 4

16 REFUERZO Sucesiones y operaciones.7 Escribe los siguientes cinco términos de cada sucesión. a), 4, 8... b) 4,, 0 c) 9,,... a),,, , b), 4, 6, 8, 0 c), 9, 7, 8, Dadas las sucesiones (a n ) (,, 5, 7...), (b n ) (, 4, 6, 8...), (c n ) (5, 0, 5,0...), halla: a) (a n b n ) b) (a n ) (c n ) c) (a n c n ) (b n ) a) (a n b n ) n n 4n b) (a n ) c n (n ) (5n 0) 4n 5n 0 n 8 c) (a n c n ) (b n ) (n 5n 0) n (n 9) n 6n 8n.75 Averigua cuál es el término que falta en las siguientes sucesiones. a), 4,, 6,... c) 7, 9,,,... b) 9, 6,,, d), 5,, 5 5, a) 8 b) 0 c) d).76 Determina si los números,, 8 5, n son términos de la sucesión de término general a 7 n. n n n n n. Sí, es el segundo término. n n n (n ) n n. Sí, es el primer término. n 8 n 5 n. Sí, es el tercer término. n 7(n ) (n ) n 4. Sí, es el cuarto término. n 7.77 Halla los términos primero, décimo y vigésimo de cada sucesión. n a n n b n n a n n a ; a 0 0; a 0 40 b n n n b 5; b 0 ; b Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes. a) a ; a n a n b) a 5; a 5; a n a n a n a), 4, 6, 0, 8, 4 b) 5, 5, 5, 65, 45, 05, 65

17 Progresiones aritméticas y geométricas.79 Escribe el término general de cada progresión aritmética. a) 5,,, 7 b) 4, 7,, 5... a) a n 5 (n ) 4 4n 9 b) b n 4 (n ) 9 n.80 El sexto término de una progresión aritmética es 6, y la diferencia es igual a. Calcula: a) El valor del primer término de la progresión. b) La suma de los 0 primeros términos. a) a 6 a 5d 6 a 5 a 6 5 a 9 b) S 0 (a a0) 0 (9 8) El número de donantes de sangre en un hospital el primer día de cierto mes fue de 0 personas. Si cada día el número de donantes aumentó en 7 personas, cuántas personas donaron sangre el último día del mes? El número de donantes es una progresión aritmética con a 0 y d 7. a a 0d El número de donantes es la suma de los primeros términos: S (0 40) 4 85 donantes.8 Halla el décimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 4 y la suma de los 0 primeros términos es 55. S 0 (a a0) 0 (4 a 0) a 0 7 a Cuál es la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre y 00? Los múltiplos de siete forman una progresión aritmética: a n 7n El primer múltiplo de siete es a 7. El último múltiplo de siete menor que 00 es a La suma buscada es S 4 (7 9 8) Halla el término general de las progresiones geométricas. a),,, b) 5,, 5,... 5 a) a n 5 n b) 5 n 5

18 .85 Calcula el primer término de una progresión geométrica cuyo tercer término es 9 y la razón es 8. a a r a 8 9 a Halla cuánto vale la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica:,, 4, 8, 6... La razón es: r a 0 9 La suma de los 0 primeros términos es: S El tercer término de una progresión geométrica es 44 y la razón es 6. Qué posición ocupa dentro de la progresión el número 5 84? a a r a 6 44 a Buscamos un n que verifique: a n 4 6 n n n 4 n 5

19 AMPLIACIÓN.88 Calcula El numerador es la suma de los 0 primeros términos de una progresión geométrica de razón r 9 ( 0 ) Halla el área de la figura sombreada. 4 m Los triángulos rectángulos de la figura son isósceles, con lo que los dos catetos son iguales. La sucesión de las áreas de los triángulos rectángulos es una progresión geométrica de razón 4 a 4 4 8; a 6 a r La suma de las áreas es igual a la suma de los seis primeros términos de la progresión: S 6 0,7 m 4 5 y cuyo primer término es:.90 Un reloj da tantas campanadas como indica la hora y además en las medias da una campanada. Halla el número de campanadas que da en un día. La suma de las campanadas que se dan a las horas en punto es el doble de la suma de los primeros términos de una progresión aritmética de diferencia y primer término: a : a a d ; S ( ) 6 78 S campanadas a las horas en punto. Finalmente, como se da una campanada a las medias y el día tiene 4 horas, se dan 4 campanadas a esas horas; con lo que el número total de campanadas es de

20 .9 En un cuadrado se inscribe un círculo. Sobre el círculo se inscribe un cuadrado, y se repite el proceso hasta obtener 0 cuadrados y 0 círculos. Si el lado del cuadrado inicial mide 4 centímetros, calcula: a) La suma de las áreas de los 0 círculos obtenidos. b) La suma de las áreas de los 0 cuadrados obtenidos. La sucesión formada por las áreas de los cuadrados es una progresión geométrica de razón r y a 6. La sucesión formada por las áreas de los círculos es una progresión geométrica de razón r y b a) La suma de las áreas de los cuadrados es S 0,97 cm b) La suma de las áreas de los círculos es S 0 5, cm.9 La suma de los términos primero y tercero de una progresión geométrica es 0 y la suma de los términos segundo y cuarto es 0. Calcula el primer término y la razón de la progresión. a a a ( r a r a 0 0 ) 0 a a a r( r r a r a ) 0 a 0 0 r a a r

21 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.9 Los panales Las abejas construyen panales con formas hexagonales. El segundo hexágono que construyen lo hacen utilizando un lado del primero. A partir del tercer hexágono, lo construyen utilizando siempre dos lados de hexágonos ya construidos. Si se entiende como unidad de cera la cantidad de este material necesaria para construir un lado de un hexágono, se verificará que: Para construir un panal de una celda se necesitan 6 unidades de cera. Para construir un panal de dos celdas se necesitan unidades de cera. Para construir un panal de tres celdas se necesitan 5 unidades de cera. Cuántas celdas tendrá un panal que precisa de 5 unidades de cera para su construcción? A partir de n, un panal con n celdas precisa de 4n unidades de cera. 5 4n n 5 4 Por tanto, un panal de celdas precisará de 5 unidades de cera para su construcción.

22 AUTOEVALUACIÓN.A Construimos con palillos las siguientes figuras. Cuántos palillos se necesitan para formar una figura con n pentágonos? a 5; a 9; a ;...; a n 5 (n ) 4 4n.A Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. a) a n n 4n b) b n 4 n c) a 5; a n a n 8 a), 8, 7, 78, 57 b), 0, 5,, c), 7, 9, 79, 45.A En una progresión aritmética, el segundo término es 9 y el cuarto es 5. Calcula la suma de los 0 primeros términos. a a d 9 d 4 d a 7 a 4 a d 5 a 0 a 9d ; S 0 (7 4 5) 0 50.A4 En una progresión geométrica el segundo término es y el quinto 4. Calcula la suma de los 8 primeros términos. a a r r (a r) 4 r 4 r 7 r a 4 a 5 a r 4 4 a 8 a r ; S A5 Los ángulos de cierto triángulo rectángulo están en progresión aritmética. Halla la medida de los ángulos. Ya que el triángulo es rectángulo, uno de sus ángulos es de 90 y los ángulos serían: 90 d, 90 d, 90. Suma 90 d 90 d d 80 d 0 Los ángulos son: 0, 60, 90.

23 .A6 Halla la suma de las áreas de los cuatro cuadrados de la figura, sabiendo que el lado de cada uno es cuatro veces mayor que el del siguiente cuadrado. m Las áreas de los cuadrados forman una progresión geométrica de razón r y a 6 4. a 4 a r La suma de las áreas de los cuatro cuadrados es la suma de los cuatro primeros términos de la progresión geométrica: S 4 4,7 cm 6.A7 La suma de los dos primeros términos de cierta progresión geométrica es igual a y la suma de sus dos términos siguientes es igual a 4. Calcula la suma de los primeros 6 términos de esta progresión. a a r a ( r) a a (r r r a r 4a ) 4 4 r r r 4r 4 0 r y r r r (r no da una solución coherente). r a a 6 a r 5 () 5 5 S 6 a 6r a 6 r 6 r a a 6 a r 5 5 S 6 a 6r a 6 r Para ambos valores de r sale la misma solución..a8 La suma de las edades de cuatro hermanos es igual a 8 años y la diferencia entre el pequeño y el tercero es de años. Averigua la edad de cada hermano sabiendo que las edades están en progresión aritmética. a a a d a d d,5 S 4 8 a a d a d a d 4a 6d 4a 9 8 4a 9 a 7,5 Las edades de los cuatro hermanos son de 7,5, 8,75, 0,5 y,75 años..a9 Calcula el número de términos de la siguiente sucesión: 7, 4, 8, 56,, 896. La sucesión es una progresión geométrica, ya que: a a... r. a a an a r n n 8 n 7 n n 7 n 8. La sucesión tiene 8 términos.

24 .A0 Halla el término general de una progresión aritmética cuyo tercer término es y el quinto es. a a d d 8 d 4 a 5 a 5 a 4d El término general buscado es: a n 5 (n ) 4 4n..A Halla el término general de una progresión geométrica que verifica que a 5 y a 4 5. a a r 5 a r (r ) 5 5r 5 r 9 r y r a 4 a r 5 Si r a 5 a n 5 () n Si r a 5 a n 5 n

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es.

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJERIIOS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) 6 b) 145 15 105 160 130 a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. p 180 90 6 8 El ángulo mide 8.

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROBLEMAS DE SUCESIONES ARITMÉTICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROBLEMAS DE SUCESIONES ARITMÉTICAS PROGREIONE ARITMÉTICA Ejercicio nº.- En una progresión aritmética sabemos que a y a 5 7. Halla el término general y calcula la suma de los 5 primeros términos. Ejercicio nº.- En una progresión aritmética,

Más detalles

HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES

HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES Sucesión: Término general 1.- Calcula el término general de las sucesiones: a) -1, 2, 5, 8, 11, b) 3, 3/2, ¾, 3/8, c) 1, 4, 9, 16, 25, 2.- Halla el término general de cada

Más detalles

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Problema nº 1.- Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor

Más detalles

13 LONGITUDES Y ÁREAS

13 LONGITUDES Y ÁREAS 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm cm cm cm a) p,5 8 5 1 cm b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de

Más detalles

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Copia y completa de modo que estas expresiones sean igualdades numéricas. a) 5 2 13 c) 2 32 b) 4 5 17 d) 4 6 18 10

EJERCICIOS PROPUESTOS. Copia y completa de modo que estas expresiones sean igualdades numéricas. a) 5 2 13 c) 2 32 b) 4 5 17 d) 4 6 18 10 5 ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Copia y completa de modo que estas epresiones sean igualdades numéricas. a) 5 1 c) b) 5 17 d) 6 1 10 a) 5 10 1 c) 16 b) 5 17 d) 6 1 10 5. Sustituye las letras por

Más detalles

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES 1º) El perímetro de un triángulo isósceles mide 15 cm. El lado desigual del triángulo es la mitad de cada uno de los lados iguales. Halla la longitud de cada uno

Más detalles

PÁGINA 59 PARA EMPEZAR

PÁGINA 59 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 59 PARA EMPEZAR Una progresión asombrosa Supón que tienes una hoja de papel de 0,14 mm de grosor. Cada vez que la pliegas se duplica su grosor. Cuando

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

1. HABILIDAD MATEMÁTICA

1. HABILIDAD MATEMÁTICA HABILIDAD MATEMÁTICA SUCESIONES, SERIES Y PATRONES. HABILIDAD MATEMÁTICA Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por

Más detalles

15 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

15 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 El número de libros leídos por los miembros de un círculo de lectores en un mes se resume en esta tabla. N. o de libros leídos x i N. o de personas f i 1 1 3 18 11 7 7 1 Halla

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10.2 Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V ) Aristas (A) C V A 2 Tetraedro 4

Más detalles

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2009 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR SÉPTIMO GRADO

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2009 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR SÉPTIMO GRADO OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2009 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR SÉPTIMO GRADO RESPONDE LA PRUEBA EN LA HOJA DE RESPUESTA ANEXA 1. Cuál de los siguientes números es par? A 2009 B 2 + 0 + 0 + 9

Más detalles

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades

Más detalles

4 INECUACIONES Y SISTEMAS

4 INECUACIONES Y SISTEMAS 4 INECUACINES SISTEMAS EJERCICIS PRPUESTS 4. Escribe las siguientes informaciones utilizando desigualdades. a) He sacado, por lo menos, un 7 en el examen. b) Tengo tarifa plana de ADSL de ocho de la mañana

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número;

Más detalles

b) 3 c) 1 d) 2 6. Si ( ) ( ) ( 1,3) Cuál es el valor de u v + 2w

b) 3 c) 1 d) 2 6. Si ( ) ( ) ( 1,3) Cuál es el valor de u v + 2w Elaborada por José A. Barreto. Master of Arts The University of Teas at Austin. En el conjunto de los números reales se define la relación Ry ( está relacionado con y si > y + 0. Cuál de los siguientes

Más detalles

PROGRAMACIONES DE AULA 4º MATEMÁTICAS. Unidad 0. Números y operaciones. Contenidos. Objetivos. Temporalización

PROGRAMACIONES DE AULA 4º MATEMÁTICAS. Unidad 0. Números y operaciones. Contenidos. Objetivos. Temporalización PROGRAMACIONES DE AULA 4º MATEMÁTICAS Unidad 0. Números y operaciones Números de hasta cinco cifras. Comparación de números. Tablas de multiplicar. Multiplicación y sus términos. División y sus términos.

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos.

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos. EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. Múltiplo de 3. Número par. El cuadrado de un número más 3. Un número más 5. El triple de un número más 7. 5 3 3 3 7 4. Escribe

Más detalles

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar Fracciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer el valor de una fracción. Identificar las fracciones equivalentes. Simplificar una fracción hasta la fracción irreducible. Pasar fracciones a

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

Actividades para la recuperación de Matemáticas de 1º de ESO. Nombre y apellidos:

Actividades para la recuperación de Matemáticas de 1º de ESO. Nombre y apellidos: 1 1.- Completa con el número que corresponda y explica en cada caso la propiedad que aplicas. a) 44 + 13 = 13 + b) 5 (7 + 8) = 35 + c) 133 = 86 100 14 = d) 12 ( + ) = 5 + 12 17 2.- Aplica los criterios

Más detalles

ACTIVIDADES DEL TEMA 4

ACTIVIDADES DEL TEMA 4 ACTIVIDADES DEL TEMA. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. 0 0 c. 0 b. 9 0 d. 0. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a. 0 b. 0. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a. ( -

Más detalles

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 14.1 Calcula el área de los ortoedros cuyas longitudes vienen dadas en centímetros. a) b) 6 6 6 5 1 a) El cuerpo es un cubo: A 6a 6 6 6

Más detalles

GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8. Preparado por: Héctor Muñoz

GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8. Preparado por: Héctor Muñoz GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Guía de Trabajo

Más detalles

BOLETIN Nº 5 MATEMÁTICAS 3º ESO Ecuaciones y sistemas Curso 2011/12

BOLETIN Nº 5 MATEMÁTICAS 3º ESO Ecuaciones y sistemas Curso 2011/12 BOLETIN Nº MATEMÁTICAS º ESO Ecuaciones sistemas Curso / ) ( ) ) ( ) 8 ( ) ) ) 8 ( ) ( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8) ( ) 8( ) ( ) ) ( ) ( 8) ( ) ) (8 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (8 ) ) ( ) ( ) (

Más detalles

Problemas de ecuaciones de primer grado

Problemas de ecuaciones de primer grado Problemas de ecuaciones de primer grado 1. La suma de dos números pares consecutivos es 102. Halla esos números. (50 y 52) 2. La suma de tres números impares consecutivos es 69. Busca los números. (21,23

Más detalles

CAPÍTULO VI. Funciones

CAPÍTULO VI. Funciones CAPÍTULO VI Funciones FUNCIONES 1. Indicar si las siguientes expresiones son o no funciones indicando razonadamente por qué. ( ) a) f : Z N : x x 2 + 1 b) f : Z R : x 1 x 2 c) La recta que pasa por los

Más detalles

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones Potencias y Raíces. 00 Ejercicios para practicar con soluciones Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide cm? Expresa el resultado en forma de potencia. El área de un cuadrado es: A Por tanto, el área

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN

Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN Matemáticas Ejercicios Tema 8 3º ESO Bloque II: Álgebra Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN 1.- La base de un rectángulo mide 8 cm

Más detalles

IX Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

IX Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUE POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1.- Hallad todos los valores de p y q para que el número de cinco cifras p 5 4 3 q sea múltiplo de 36. 2.- ompleta el siguiente crucinúmeros en el que, como

Más detalles

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación:

Más detalles

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 4 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº4 Contenidos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Circunferencia y Círculo Circunferencia. Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25 2 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a 9 500 metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 C bajo

Más detalles

Resuelve problemas PÁGINA 75

Resuelve problemas PÁGINA 75 PÁGINA 7 Pág. 1 Resuelve problemas 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 10 por días y 400 km, y otro pagó 17 por días y 00 km. Averigua cuánto

Más detalles

6 SISTEMAS DE ECUACIONES

6 SISTEMAS DE ECUACIONES 6 SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 Halla las soluciones de la ecuación 2x 6y 28 sabiendo el valor de una de las incógnitas. a) x 5 c) y 1 e) y 3 b) x 10 d) y 0 f) x 1 2 a) x 5 2 5 6y 28

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS 5 SEMEJZ EJERIIOS PROPUESTOS 5.1 Un triángulo puede definirse dando la medida de sus tres lados. Indica cuáles de las siguientes parejas de triángulos son semejantes. a) 5, 6, 7 y 15, 18, 0 b) 4, 6, 8

Más detalles

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS DE PRÁCTICA PARA LA PAA

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS DE PRÁCTICA PARA LA PAA RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS DE PRÁCTICA PARA LA PAA 1. Juan compra 12 dulces por 30 pesos. Si al día siguiente el precio de cada dulce se incremento a 6 pesos, cuanto se ahorro Juan por dulce al

Más detalles

PRUEBA DE EVALUACIÓN INICIAL

PRUEBA DE EVALUACIÓN INICIAL PRUEBA DE EVALUACIÓN INICIAL EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA CURRICULAR ÁREA DE MATEMÁTICAS REGISTRO PARA EL PROFESOR: - Hojas de evaluación de los ítems de cada subprueba del Área de Matemáticas EVALUACIÓN

Más detalles

Seminario Universitario Física. Cifras significativas

Seminario Universitario Física. Cifras significativas Seminario Universitario Física Cifras significativas Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos. Son significativos todos los dígitos distintos de cero. Ej. 8723 tiene

Más detalles

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Unidad Didáctica 4 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Objetivos 1. Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un problema y expresarlas mediante el lenguaje algebraico.

Más detalles

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tema 6 Semejanza de triángulos Matemáticas - 4º ESO 1 TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden,5 cm y,7 cm, respectivamente; en la realidad, María

Más detalles

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas mediante ecuaciones tiene una serie de dificultades que nos llevan a plantear un tema separado del resto. Las dificultades, llegado este punto en que

Más detalles

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos 1. APERITIVO: Proporcionalidad Si el 01/02/2011 anotáis por la mañana la lectura de 01,0 m de consumo de agua y el 15/02/2011 por la mañana anotáis

Más detalles

5 SISTEMAS DE ECUACIONES

5 SISTEMAS DE ECUACIONES 5 SISTEMAS DE ECUACINES EJERCICIS PRPUESTS 5. Escribe estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas. a) Un número más el doble de otro es. La diferencia de dos números es 5. c) Un número

Más detalles

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo 10 La circunferencia y el círculo Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el círculo. Conocer las posiciones relativas de puntos,

Más detalles

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15 LOS POLIEDROS Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras formadas por polígonos. Muchos objetos de nuestro alrededor tienen forma de poliedro: Los elementos de un poliedro son caras,

Más detalles

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS.. Indica la medida de estos ángulos en radianes. a) º c) º b) º d) º a) º rad c) rad º rad b) rad º rad d) rad rad º º Epresa en grados los siguientes ángulos. a) rad

Más detalles

k) x - 5 + 6 = 11 l) 5x - 2 = 3x - 1 m) 2x - 3 = 4x - 7 n) 5x + 4 = 6x + 3 ñ) 6x - 1 = 8x - 5 o) 3x + 10 = 5x - 6 p) 4x + 1 = 9x - 64

k) x - 5 + 6 = 11 l) 5x - 2 = 3x - 1 m) 2x - 3 = 4x - 7 n) 5x + 4 = 6x + 3 ñ) 6x - 1 = 8x - 5 o) 3x + 10 = 5x - 6 p) 4x + 1 = 9x - 64 Tema : Ecuaciones Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: a) b) c) 0 9 d) - e) f) g) 0 h) i) - j) k) - l) - - m) - - n) ñ) - - o) 0 - p) 9 - q) 9 - r) - 0 s) - - Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114

5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114 5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 4 Pág. P RACTICA Ecuaciones: soluciones por tanteo Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS. A qué valor tiende la función f ()? 5 a) Cuando se acerca a. c) Cuando se acerca a. b) Cuando se aproima a 5. d) Cuando se aproima a. a) se aproima

Más detalles

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 3 FUNCINES LINEALES CUADRÁTICAS EJERCICIS PRPUESTS 3. Indica cuáles de las siguientes funciones son lineales. a) y 5 d) y 0,3x ) y 0,04 3x e) y x c) y x f) y 0,5x Son lineales a,, d y f. 3. Expresa cada

Más detalles

4 ECUACIONES Y SISTEMAS

4 ECUACIONES Y SISTEMAS 4 ECUACIONES Y SISTEMAS PARA EMPEZAR 1 Indica si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones, y resuelve estas últimas. a) 5 1 4 c) ( )( ) 4 b) 5 d) 7 5 10 a) Identidad c) Identidad b) Ecuación.

Más detalles

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. 40 20 b) 2 20 x 8 x 5

EJERCICIOS PROPUESTOS. 40 20 b) 2 20 x 8 x 5 EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes. a) x 4 b) x 8 a) 4 x x 4 b) x 8 x 8. Expresa estas fracciones con el mismo denominador. a), y b) 9, y 8

Más detalles

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2.

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2. FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Sistemas de Ecuaciones Lineales UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales... 8 Introducción... 8.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 8..- Resolución

Más detalles

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Un número es divisible por. si sus dos últimas cifras son dos ceros o múltiplo de 4 ó 25, respectivamente..

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Un número es divisible por. si sus dos últimas cifras son dos ceros o múltiplo de 4 ó 25, respectivamente.. Los números que se pueden descomponer en factores más simples, en divisores, se llaman números compuestos. Números primos son aquéllos que sólo son divisibles por sí mismos y por uno. Es decir, los que

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3 Potencias y raíces EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe como potencias positivas las negativas, y viceversa. a) 8 b) 6 a) b) 6 c) 8 c) d) d). Expresa estas potencias como potencias únicas y calcula las operaciones.

Más detalles

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo) Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

CONCURSO DE MATEMÁTICAS PANGEA

CONCURSO DE MATEMÁTICAS PANGEA CONCURSO DE MATEMÁTICAS PANGEA 2015 PRIMERA RONDA CURSO: 1º E.S.O. 1. Tenéis 60 minutos para resolver las 25 preguntas del cuadernillo. 2. Rellenad correctamente vuestros datos personales en la HOJA DE

Más detalles

Segundo Examen eliminatorio estatal 28va OMM Durango

Segundo Examen eliminatorio estatal 28va OMM Durango Segundo Examen eliminatorio estatal 28va OMM Durango 1. En la división de 999 entre n donde n es un entero de dos cifras, el residuo es 3. Cuál es el residuo de la división de 2001 entre n? (a)3 (b)5 (c)6

Más detalles

4. Si la escuela usara los campos de futbol y beisbol para construir un estadio de futbol americano, de qué tamaño sería el área del estadio?

4. Si la escuela usara los campos de futbol y beisbol para construir un estadio de futbol americano, de qué tamaño sería el área del estadio? Comprender el área En los Ejercicios 1 a 4, usa la siguiente ilustración Campo de atletismo Futbol b Béisbol Tenise Vacío í Cuál es el área del sector de futbol en el campo? 2. Cuál es el área del campo

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS . FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Un kilogramo de azúcar cuesta,0 euros. Completa la siguiente tabla que relaciona las magnitudes número de kilogramos y precio en euros. N.º de kilogramos 5 0 0 Precio,0 5,50..3

Más detalles

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2. 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 3. 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página 7. 4. EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página 9

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2. 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 3. 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página 7. 4. EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página 9 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 3 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página 7 4. EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página 9 5. EJERCICIOS DE REFUERZO Página 10 6. EJERCICIOS RESUELTOS

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

1ª PARTE: OPERACIONES CON NÚMEROS 1

1ª PARTE: OPERACIONES CON NÚMEROS 1 Cuaderno de Actividades º ª PARTE: OPERACIONES CON NÚMEROS A) ENTEROS Realiza las siguientes operaciones: ) + 6 + + ) ) + ) ) ) + 8 + ) 6 ) + 9 ) ) 6) + ). + ) ) + + ) + + ) ) 6) 6) : -)+-)+9 = -8 +.+9

Más detalles

NIVEL 1 - Certamen Intercolegial

NIVEL 1 - Certamen Intercolegial NIVEL 1 - Certamen Intercolegial Problema 1.1. 1. El abuelo quiere repartir entre sus nietos, Martín y Juan, $264. A Juan le da $15 cada semana; a Martín le da $18 cada semana. Después de cuántas semanas

Más detalles

Cuáles son esos números?

Cuáles son esos números? MATEMÁTICAS PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES Para resolver un problema de ecuaciones debes seguir los siguientes pasos: a) Identificar el dato desconocido y asignarle el valor x (si hay dos o

Más detalles

CUADERNO DE VERANO 3º ESO FRACCIONES. 1. Efectúa las siguientes operaciones: 5 = 7 = 1 1 = c) 2 3 + = d) 5 29 : = e) 4. f) 24

CUADERNO DE VERANO 3º ESO FRACCIONES. 1. Efectúa las siguientes operaciones: 5 = 7 = 1 1 = c) 2 3 + = d) 5 29 : = e) 4. f) 24 CUADERNO DE VERANO º ESO FRACCIONES. Efectúa las siguientes operaciones: a) 0 9 9 b) 0 0 7 c) d) 8 e) 7 9 : f) 9 9 7 : : ) El aire es una mezcla de gases. En la capa más próima a la superficie de la Tierra,

Más detalles

PARTE 2- Matemáticas pendientes de 3º ESO 2010-11. 2. Indica, para cada representación gráfica, que tipo de sistema de ecuaciones es el representado:

PARTE 2- Matemáticas pendientes de 3º ESO 2010-11. 2. Indica, para cada representación gráfica, que tipo de sistema de ecuaciones es el representado: PARTE - Matemáticas pendientes de 3º ESO 00- NOMBRE: 4º GRUPO:. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica que tipo de sistema son: x x x 3 4. Indica, para cada representación

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 5 Inecuaciones ACTIVIDADES INICIALES 5.I. rdena de menor a mayor los siguientes números. a), 6 8, 4 y 7 b) 0,v,, y 0, 4 5 5 0 90 5 a) 75 ; 6 8 7 ; 4 80 y 7 70 7 6 8 4 4 00 5 00 5 00 0 00 0

Más detalles

Geometría. 1 a.- Qué diferencia hay entre una recta y una semirrecta?, y entre una semirrecta y un segmento?

Geometría. 1 a.- Qué diferencia hay entre una recta y una semirrecta?, y entre una semirrecta y un segmento? Geometría 1 a.- Qué diferencia hay entre una recta y una semirrecta?, y entre una semirrecta y un segmento? 2 a.- Qué originan dos puntos en una recta?. Cuántas rectas pasan por dos puntos?, y por un punto?

Más detalles

Olimpiada Matemática Internacional Formula of Unity / The Third Millennium Curso 2015/2016. Fase 1 Problemas del grado R5

Olimpiada Matemática Internacional Formula of Unity / The Third Millennium Curso 2015/2016. Fase 1 Problemas del grado R5 Problemas del grado R5 1. Pedro, Braulio and Antonio reunieron sus ahorros para comprar un balón. Cada uno de ellos no gastaron más de la mitad del dinero gastado por los otros dos chicos juntos. El balón

Más detalles

8 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES

8 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES 8 LONGITUDES, ÁRES Y VOLÚMENES PR EMPEZR 1 Dibuja un trapecio isósceles de 5 centímetros de altura y bases de 18 y 10 centímetros, respectivamente, y calcula su área y su perímetro. omo es isósceles, dos

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

1. Lenguaje algebraico. 2. Generalización. 3. Valores numéricos. 4. Ecuaciones. 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones

1. Lenguaje algebraico. 2. Generalización. 3. Valores numéricos. 4. Ecuaciones. 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 3. Ecuaciones Taller de Matemáticas 2º ESO 1. Lenguaje algebraico 2. Generalización 3. Valores numéricos 4. Ecuaciones 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 2 Ecuaciones 1. Lenguaje algebraico

Más detalles

HOJA 3 DIVISIBILIDAD

HOJA 3 DIVISIBILIDAD Conceptos de múltiplo y divisor HOJA 3 DIVISIBILIDAD 1.- El número aba es múltiplo de 3 y de 5 cuánto valdrán entonces a y b si a,b son distintos de 0? 2.- El número aba es múltiplo de 5 y de 9 cuánto

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Actividades con Geoplano

Actividades con Geoplano Descripción General Actividades con Geoplano El Geoplano es un arreglo rectángular de puntos (clavos) de tal manera que entre puntos adyacentes horizontal o verticalmente hay una distancia constante. En

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRU POR QUIPOS 1º y 2º de.s.o. (45 minutos) 1. n el triángulo dibujamos tres paralelas a la base que dividen a la altura sobre dicho lado en cuatro partes iguales. Si el área del trapecio rayado es 35

Más detalles

Ecuaciones de 1er y 2º grado

Ecuaciones de 1er y 2º grado Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones:

Más detalles

SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS

SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS DEPARTAMENTO DE SECUENCIACIÓN DE CONTENIDOS PRUEBA DE DIAGNÓSTICO 1. Números y operaciones Descomposición de números en las distintas clases de unidades y como suma de sumandos de unidades. Lectura y escritura

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

4 ECUACIONES E INECUACIONES

4 ECUACIONES E INECUACIONES 4 ECUACIONES E INECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Expresa estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es 17. b) Un número más su tercera parte es 16. c) Tres números

Más detalles

Escribe cada cantidad en la tabla de valor posicional y luego en los rectángulos. b) 1000

Escribe cada cantidad en la tabla de valor posicional y luego en los rectángulos. b) 1000 Escribe cada cantidad en la tabla de valor posicional y luego en los rectángulos. a) 000 000 000 00 00 00 00 00 00 0 0 0 0 UM C D U b) 000 0 000 UM C D U 000 0 0 000 000 0 0 000 000 c) 000 00 UM C D U

Más detalles

gastado 1/3 del combustible que llevábamos. Si al final quedaron 20 l, cuál es la capacidad del depósito?

gastado 1/3 del combustible que llevábamos. Si al final quedaron 20 l, cuál es la capacidad del depósito? FICHA 4: 58 problemas de planteamiento de ecuaciones y sistemas RECORDAR: A la hora de resolver un problema que requiera el planteamiento de una ecuación o un sistema se recomienda: Leer atentamente el

Más detalles