2 VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES

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1 2 VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 1 Se ha medido el volumen, X, y la presión, Y, de una masa gaseosa y se ha obtenido: X (litros) Y (Kg/cm 2 ) a) Dibujar el diagrama de dispersión. b) Estudiar las distribuciones marginales. c) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación. d) Obtener las dos rectas de regresión y representarlas sobre la nube de puntos. e) Qué presión correspondería a un volumen de 1 litro? f) Qué volumen correspondería a una presión de 0 8 Kg/cm 2? g) Cómo de bueno es el ajuste? REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL 1. Introducir los datos. En una columna introducir los valores de X. En la columna siguiente introducir los valores de Y. 2. Hacer clic en Asistente para gráficos (o bien Insertar-Gráfico). 3. Ejecutar los cuatro pasos siguientes (para avanzar de un paso a otro pulsar Siguiente) Paso 1 Tipo de gráfico Seleccionar XY (Dispersión) y el primer subtipo Dispersión. Compara pares de valores. Paso 2 Datos del gráfico Rango de datos: definir las celdas de las dos columnas donde están los datos (los valores de X y los de Y) Series en: escoger Columnas Paso 3 Opciones de gráfico Títulos Escribir Título deseado para el gráfico, así como para el Eje de valores de X y el Eje de valores de Y Líneas de división Seleccionar sólo Líneas de división principales en el eje Y Leyenda Desactivar Mostrar leyenda Paso 4 Colocar el gráfico Como objeto en: Hoja 1 Finalizar 4. Se pueden efectuar modificaciones sobre el gráfico el Formato de puntos de datos. En Tramas se selecciona Borde y Área, etc. 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 43

2 44 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

3 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 45

4 En el gráfico anterior se presenta la tabla de la distribución bidimensional {(x i, y i );n i =1} completada con las columnas de x i 2, y i 2 y x i y i que permitirían efectuar todos los 46 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

5 cálculos manualmente, pero la intención ahora es usar la Hoja de Cálculo EXCEL y sus funciones estadísticas. Éstas proporcionan todos los resultados requeridos (y mucho más). RECTA DE REGRESIÓN EN EL GRÁFICO ( Línea de tendencia ) Para empezar, una vez obtenido el gráfico, le hemos incorporado la recta de regresión mínimo cuadrática de Y sobre X y el cuadrado del coeficiente de correlación de PEARSON. Para ello se hace clic con el botón derecho sobre uno de los puntos del diagrama de dispersión. Aparece un cuadro de diálogo en el que seleccionamos Agregar línea de tendencia: En Tipo, seleccionaremos Lineal. En Opciones seleccionaremos Presentar ecuación en el gráfico y/o Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico: El resultado es el que se observa en la figura citada (pág. 46). 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 47

6 Escribiendo aparte las columnas A y B en el orden Y, X y procediendo como antes podemos obtener el diagrama de dispersión con los ejes cambiados y añadirle la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y, como muestra el segundo gráfico. DISTRIBUCIONES MARGINALES, CONJUNTA Y REGRESIÓN Haciendo clic en Función f x, o bien en Insertar Función, seleccionamos la categoría de Estadísticas, dentro de la cual elegimos la función que necesitamos como se explica a continuación. (Cada vez que se marca una función, abajo aparece su sintaxis y una explicación de lo que hace.) Para la media aritmética de X e Y empleamos, respectivamente: =PROMEDIO(A3:A8) y =PROMEDIO(B3:B8) Para la desviación típica de X e Y empleamos, respectivamente: =DESVESTP(A3:A8) y =DESVESTP(B3:B8) Para la covarianza empleamos =COVAR(A3:A8; B3:B8). Para las rectas de regresión, podemos copiarlas de los gráficos como se explicó antes, o bien determinar sus coeficientes así: R. de regresión de Y sobre X: y = mx + b m es devuelto por =ESTIMACION.LINEAL(B3:B8;A3:A8) b lo es por =TENDENCIA(B3:B8;A3:A8;0) 48 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

7 R. de regresión de X sobre Y: x = My + B M es devuelto por =ESTIMACION.LINEAL(A3:A8;B3:B8) B lo es por =TENDENCIA(A3:A8;B3:B8;0) 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 49

8 Para obtener el coeficiente de regresión de Y sobre X, m (pendiente de la recta de regresión de Y sobre X, y = m x + b), utilizamos la función =ESTIMACION.LINEAL(B3:B8;A3:A8) que lleva dos argumentos: B3:B8, que contiene los valores de la variable Y, considerada aquí dependiente, y A3:A8, que contiene los valores de la variable X, considerada aquí independiente. Para obtener la ordenada en el origen, b, de la recta de regresión de Y sobre X, utilizamos la función =TENDENCIA(B3:B8;A3:A8;0) que lleva tres argumentos: B3:B8 y A3:A8, con el significado anterior, y 0, lo que significa que b es el valor que el ajuste asigna a x 0 = 0; esto es, la ordenada del punto de intersección de dicha recta con el eje de ordenadas. Para obtener el coeficiente de regresión de X sobre Y, M (inverso de la pendiente de la recta de regresión de X sobre Y, x = M y + B), utilizamos la función =ESTIMACION.LINEAL(A3:A8;B3:B8) que lleva dos argumentos: A3:A8, que contiene los valores de la variable X, considerada ahora dependiente, y B3:B8, que contiene los valores de la variable Y, considerada ahora independiente. Para obtener la abscisa en el origen, B, de la recta de regresión de X sobre Y, utilizamos la función =TENDENCIA(A3:A8;B3:B8;0) que lleva tres argumentos: A3:A8 y B3:B8, con el significado anterior, y 0, lo que significa que B es el valor que el ajuste asigna a y 0 = 0; est es, la abscisa del punto de intersección de dicha recta con el eje de abscisas. La ecuación de la recta de regresión de Y sobre X es y=-1,9015x+3,3378, luego: x ˆ 0 = 1 ( litro) a y0 = 1, , 3378 = 1, 4363 ( Kg / cm La ecuación de la recta de regresión de X sobre y es x=-0,4360y+1,598, luego: = 0, 8 ( Kg / cm 2 ) a xˆ = 0, , 8 + 1, 598 1, 2492 ( litros) y0 0 = Esto está también recogido en la figura de la pág. 40 como Estimaciones : y x = 1 ( litro) a ˆ = TENDENCIA(B3:B8;A3:A8;1) = 1,4363 (Kg/cm 2 ) 0 y 0 =, ( / ) a ˆ = TENDENCIA(A3:A8;B3:B8;0,8) = 1,2492 (litros) Kg cm x0 Puesto que el coeficiente de correlación ρ = 0, , la correlación (negativa) es muy fuerte, y las estimaciones anteriores son muy fiables. 2 ) 50 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

9 2. Se han anotado las calificaciones de un test de aptitud, X, obtenidas por seis aspirantes a agentes comerciales, y las ventas del primer año de prueba, Y, en cientos de euros: X Y a) Dibujar el diagrama de dispersión. b) Estudiar las distribuciones marginales. c) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación. d) Obtener las dos rectas de regresión y representarlas sobre la nube de puntos. e) Qué venta se puede predecir a un aspirante que ha obtenido una nota de 50? f) Si un aspirante ha vendido 6500 euros, qué nota se le puede predecir? g) Cómo de fiables son las predicciones? 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 51

10 3 Se ha medido la dureza, X, y el porcentaje de níquel, Y, en ocho barras de una aleación de acero: (Dureza) X (%Níquel) Y a) Dibujar el diagrama de dispersión. b) Estudiar las distribuciones marginales. c) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación. d) Obtener las dos rectas de regresión y representarlas sobre la nube de puntos. e) Qué porcentaje de níquel se puede predecir a una barra de dureza 39? f) Si una barra tiene 3 1% de níquel, qué dureza se le puede predecir? g) Cómo de fiables son las predicciones? 52 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

11 4 Clasificados 100 jóvenes por su edad, X, y su salario, Y, en cientos de euros, se obtiene la siguiente distribución: Y ]4 5; 7 5] ]7 5; 10 5] ]10 5; 13 5] X a) Estudiar las distribuciones marginales. b) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación. c) Obtener las dos rectas de regresión. d) Qué salario se puede predecir a un joven de 24 años? e) Qué edad se puede predecir a un joven que tiene un salario de 1200? f) Cómo de fiables son las predicciones? Completamos la tabla de doble entrada con los cálculos necesarios: Las medias, varianzas, desviaciones típicas, covarianza y coeficiente de correlación resultan: X = = 21, 68 Y = = 9, Var( X ) = ( 2168 ' ) = 0, 9776 Var( Y ) = ( 9, 45) = 4, σ = + Var( X ) = + 0, 9776 = σ = + Var( Y ) = + 4, 2075 = X, Y, , 9240 σ XY = Cov( X, Y ) = ( 21, 68) ( 9, 45) = 0, 9240 ; ρ = = 0, ( 0, 9887) ( 2, 0512) 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 53

12 La recta de regresión (mínimo-cuadrática) de Y sobre X tiene por ecuación: σ XY r Y/X : y Y = ( x X ) 2 σ 0, 9240 y 9, 45 = ( x 21, 68) 0, 9776 r Y/X : y = ( 0, 9452) x ( 11, 0413) Se emplea para predecir el valor de Y para un valor de X. Para un joven de x 0 = 24 años predice un salario de yˆ o = ( 0, 9452) 24 ( 11, 0413) = 11, 6435 ( 100 ) = 1164, 35 La recta de regresión (mínimo-cuadrática) de X sobre Y tiene por ecuación: σ XY r X/Y : x X = ( y Y ) 2 σ 0, 9240 r X/Y : x 21, 68 = ( y 9, 45) 4, 2075 r X/Y : x = ( 0, 2196) y + ( 19, 6047) Se emplea para predecir el valor de X para un valor de Y. Para un joven que tenga un salario de y 0 = 1200 = 12 ( 100 ) predice una edad de xˆ o = ( 0, 2196) 12 + ( 19, 6047) = 22, 24 años Puesto que el coeficiente de correlación está muy alejado de +1, las predicciones son poco fiables. El ajuste no es bueno. X Y OBSERVACIÓN: Hemos realizado los cálculos ateniéndonos a la disposición en que venían los datos: en una tabla de doble entrada. A veces tal tabla se convierte en una de entrada simple o de datos apareados, como se muestra a continuación. Esta forma es más conveniente para su tratamiento en EXCEL, pues permite dibujar el diagrama de dispersión de burbujas en el que el punto de coordenadas (x i, y i ) viene representado por un círculo ( burbuja en EXCEL) de área proporcional a su frecuencia n i. 54 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

13 Para ello, en el Asistente de Gráficos se selecciona Burbujas y el primer subtipo como se muestra a continuación. 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 55

14 A continuación, en Rango de datos se seleccionan las filas y las tres columnas de la tabla que contienen los valores de X, de Y y de las frecuencias absolutas: 56 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

15 OBSERVACIÓN: Un inconveniente de la representación anterior es que no podemos incorporar las rectas de regresión ( líneas de tendencia en EXCEL). Un modo de salvar esta limitación de EXCEL consiste en escribir en las dos primeras columnas de la hoja las coordenadas x i e y i en tantas filas como indica su frecuencia n i. Por ejemplo escribimos 20 en la celda A1 y 6 en la celda B1; marcamos ambas celdas y las propagamos 10 veces hacia abajo. Para ello, una vez marcadas, colocamos el cursor sobre el ángulo inferior derecho de la celda B1 hasta que se convierte en un +. A continuación pinchamos con el ratón y arrastramos hasta la fila 10. Así continuamos hasta tener las N = 100 filas con las coordenadas (x i, y i ). Después procedemos como en los ejercicios anteriores. 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 57

16 Si copiamos la columna A sobre la C e insertamos gráfico igual que antes, pero seleccionando en rango de datos las columnas B y C, en lugar de las A y B, dispondremos de la recta de regresión de X sobre Y. 58 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

17 5 El encargado de obra de cierta compañía constructora ha obtenido la siguiente tabla de doble entrada con los datos relativos a 100 de los trabajadores. X representa la edad de los obreros e Y los días de baja médica que solicitan al año. X Y ]0; 20] ]20; 40] ]40; 60] ]20; 30] ]30; 40] ]40; 50] a) Calcular la edad modal. b) Calcular entre qué valores está el 50% central del número de días de baja. a) La distribución marginal de la edad, X, viene dada por la tabla: I i x i n i ]20; 30] ]30; 40] ]40; 50] Puesto que todos los intervalos tienen la misma amplitud, en el histograma se tomarían por alturas las propias frecuencias absolutas, el intervalo modal es el de mayor altura: ]30; 40]. Entonces: 1 15 Mo = ei 1 + a1 = = , 29 = 34, 29 años b) Consideremos la distribución marginal de Y. Se trata de calcular los cuartiles primero y tercero: N 4 3N 4 I j ]0; 20] ]20; 40] ]40; 60] y j n j N j = = 25 Q 1 [ 0, 20[ 4 N N i 1 Q = e 4 i 1 + a N N 25 0 = = i, i i 1 días = = 75 Q 3 [ 20, 40[ 4 3N N i Q3 = ei 1 + ai = = 29, 68 días N N i i 1 2 EPR VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES 59

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