DIFERENCIADORES E INTEGRADORES

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1 DIFEENIDOES E INTEGDOES En la Fgura enems un amplcadr en el que las ressencas de enrada y realmenacón han sd susudas pr mpedancas, es decr, Z y Z represenan ascacnes de ressencas y cndensadres (raramene se ncluyen nducancas). Z Z Fgura. Para el crcu anerr pdems escrbr una relacón semejane a la del amplcadr nersr esudad en el apíul 3. Z Z () Esa ecuacón será de gran uldad en ls aparads sguenes, dnde cnsderarems ascacnes de cmpnenes resss y capacs.. EL DIFEENIDO Ese crcu presena una salda prprcnal a la aracón de la señal de enrada. En la Fgura, enems el crcu de un derencadr elemenal. ONDIION DEL IUITO DIFEENIDO τ << T/ plcand la ley de Krchh en el pun a enems d d + 0 de dnde se bene: d d () DIFEENIDOES E INTEGDOES

2 Veams que la señal de salda esá nerda cn relacón a la de enrada. a d b Fgura. plcand una señal rangular smérca a la enrada de un derencadr, presenará a la salda una señal recangular, según se ndca el la Fgura 3. V V p 0 T/ T 3T/ T V +V p + (V pp / T ) -V p - (V pp / T ) T/ T 3T/ T Fgura 3. De hech, la señal rangular puede ser sa cm un cnjun de rampas ascendenes y descendenes, cuyas deradas sn cnsanes. Se puede demsrar (y dejarems es para el lecr) que ls alres de pc de la señal de salda enen dads pr: DIFEENIDOES E INTEGDOES

3 3 ± V ± V pp p T / S aplcams una señal recangular a al enrada del derencadr endrems una sere de mpulss aguds ( SPIKES ) a la salda. Véase la Fgura 4. nalzarems a cnnuacón la gananca del crcu anerr. De la Ecuacón enems: cuy módul ale jπ jπ π (3) + V p V T T/ T 3T/ T - V p V +V p 0 T/ 3T/ T T -V p Fgura 4. La ecuacón anerr demuesra que la gananca es drecamene prprcnal a la recuenca de la señal aplcada, l que hace que ese crcu sea muy sensble a aracnes de recuenca. Pr es el derencadr elemenal presena sers ncnenenes: DIFEENIDOES E INTEGDOES

4 4 - nesabldad de gananca, - sensbldad a ls ruds, - prces de sauracón muy rápd. En el aparad sguene darems una slucón prácca a ess prblemas. 3. EL DIFEENIDO PÁTIO m hems s, la gananca del crcu anerr era drecamene prprcnal a la recuenca, pr l que el amplcadr enía un prces rápd de sauracón. En la Fgura 5 se bsera un derencadr al que hems añadd en la enrada una ressenca y un cndensadr en sere, l que perme elmnar alguns de ls ncnenenes del derencadr elemenal y aumenar su esabldad. En ese cas, + jπ / ( + ) Fgura 5. Y mand el módul, / ( / ) + π (4) Según esa ecuacón, la gananca se esablza en el alr / (en módul) cuand la recuenca crece ndendamene. Lueg en alas recuencas el derencadr se cmpra cm un amplcadr nersr. Hay que ener en cuena que ls ruds de ala recuenca n aecan demasad al crcu. En la prácca pdems esablecer un alr DIFEENIDOES E INTEGDOES

5 5 líme de recuenca pr debaj del cual el crcu se cmpra cm derencadr y pr encma acúa undamenalmene cm amplcadr nersr. Esa recuenca, que denmnarems L, es exacamene la recuenca de cre de la red de reard del derencadr, sea, L π (5) esumend, sea la recuenca de la señal aplcada: - s < L el crcu acúa cm derencadr, - S > L el crcu acúa cm amplcadr nersr de gananca - / l. nene señalar que las suacnes anerres serán an más ceras cuan más ns alejems de L. Fnalmene, ese derencadr será de mayr precsón s se mpnen, a la hra de hacer el pryec, las cndcnes sguenes: (a) T/0 (b) 0 (6) es decr, la cnsane de emp de la red de reard de la enrada deberá ser much menr (dez eces al mens) que el períd de la señal aplcada, y la gananca en alas recuencas esablzarse en rn a dez. Menras que la cndcón (b) es pcnal y puede n ser adecuada al pryec, la cndcón (a) es undamenal y deberá aplcarse. DIFEENIDOES E INTEGDOES

6 6 4. EL INTEGDO Es un de ls crcus más mpranes cn O. N presena ls prblemas del derencadr, y es más ulzad en la prácca. Véase en la Fgura 6 el crcu del negradr elemenal y su crcu equalene para análss. El crcu equalene de erra rual muesra que desde la enrada a la salda, se puede derar una expresón para el laje enre la enrada y la salda en érmns de la crrene. ecuerde que la erra rual sgnca que pdems cnsderar el laje en la unón de y X cm suera erra (debd a que 0), per que nnguna crrene pasa a erra pr ese pun. La mpedanca capaca puede ser expresada cm X, dnde s jw s jw en la anacón de Laplace. ONDIION DEL IUITO INTEGDO τ >> T/ a a d b V d 0 ( a ) ( b ) Fgura 6. plcand la ley de Krchh en el pun a, enems l d + 0 d O sea, d La ecuacón 7 ndca que la salda es la negral de la enrada, cn nersón y un mulplcadr de escala /. La habldad de negrar una señal dada prprcna a la cmpuadra analógca la habldad de resler ecuacnes derencales y, pr l an, prprcna la habldad de slucnar elécrcamene analgías de peracón de ssemas íscs. La peracón de negracón es una sumara, prque suma el área baj la cura de una nda, a l larg de un períd. S se aplca un laje j cm enrada a (7) DIFEENIDOES E INTEGDOES

7 7 un crcu negradr, la ecuacón 7 muesra que el laje de salda crece a l larg de un períd, prprcnand una rampa de laje. Pr l an la ecuacón 9 se cmprende para msrar que la salda de una rampa de laje (para una excacón escalón) es puesa en plardad al laje de enrada y mulplcada pr el acr /. unque el crcu de gura 6a, puede perar sbre muchs ps derss de señales de enrada, ls sguenes ejempls usarán slamene un laje de enrada escalón, dand cm resulad una rampa de laje de salda. m ejempl cnsdere un laje de enrada, (), al crcu negradr de la gura 7a. El acr de escala de / es (M Ω)(µ F) pr l que la salda es una rampa negaa (descendene) de laje, cm se muesra al gura 7b. S el acr de escala se camba, hacend 00 KΩ, pr ejempl, 0 (00KΩ)(µ F) y la salda es ennces un laje de rampa más prnuncada, gual al que se muesra en la gura 7c 0 V 0 V MΩ µf (- / -) (- / -0 ) VO - () - 0 () ( a ) ( b ) ( c ) Fgura 7. Operacón de Inegracón cn enrada escalón. S hubera una ensón ncal en el cndensadr, su alr deberá sumarse al resulad de la ecuacón anerr, pr l que, en casnes, se ulza un nerrupr en paralel cn para descargarl anes de ulzar el negradr. El nerrupr se cerra para la descarga y debe ler a abrrse al cmenzar el prces de negracón. La Fgura 8 lusra l que acabams de decr. DIFEENIDOES E INTEGDOES

8 8 n Fgura 8. plcand una señal recangular smérca en la enrada del negradr bendrems una salda rangular, cm se e en la Fgura 9. Se puede demsrar que ls alres de pc de la ensón de salda esán dads pr la relacón. V p VT p ± 4 Tarea: demsrar ecuacón anerr DIFEENIDOES E INTEGDOES

9 9 + V p T/ T 3T/ T + V p 0 T/ T 3T/ T - V p Fgura 9. S cnsderams el crcu de la Fgura 6, endrems jπ jπ uy módul ale π (8) Nóese que la gananca es nersamene prprcnal a la recuenca, l que hace que el crcu n sea an sensble cm el derencadr a ls ruds de ala recuenca. La Ecuacón 8 muesra que, a medda que baja la recuenca, la gananca aumena cnsderablemene, endend a nn al aprxmarse aquélla a cer. nálgamene a cm hcms para el derencadr, presenarems un crcu que perma esablzar la gananca en baja recuenca. DIFEENIDOES E INTEGDOES

10 0 5. EL INTEGDO PÁTIO El crcu de la Fgura 0 perme esablzar la gananca cuand se ene una señal de baja recuenca aplcada a su enrada. // nsderand la Ecuacón : Fgura 0. jπ + jπ De dnde, después de alguns cálculs, se bene / + jπ Y mand el módul, se bendrá / ( ) + π La gananca se esablzará en un alr gual a / l (en módul) cuand la recuenca sea nula. L π (9) (0) DIFEENIDOES E INTEGDOES

11 esumend, sea la recuenca de la señal aplcada: - s < L el crcu acúa cm amplcadr nersr de gananca - / l, - S > L el crcu acúa cm negradr. Señalarems de nue que las ds suacnes anerres sn an más erdaderas cuand más ns dsancems de L. Para ermnar, las cndcnes que sguen permen mejrar la respuesa de ese crcu: (a) 0-T (b) 0 l () dnde T es el períd de la señal aplcada. La cndcón (a) es undamenal menras que la (b), a pesar de esablzar ópmamene el crcu, puede cnsderarse cm pcnal en el pryec. 6. INTEGDOES ESPEILES Presenarems a cnnuacón ds crcus negradres que pueden ser de uldad en muchas aplcacnes práccas. En la Fgura enems el negradr de suma. V V V 3 Fgura. La ecuacón de salda de ese crcu es: + ( + ) d 3 () Edenemene, el númer de enradas pdría aumenarse. Tarea: demsrar la ecuacón anerr DIFEENIDOES E INTEGDOES

12 El r crcu se denmna negradr derencal y esá represenad en la Fgura. Nóese que su ecuacón de salda n presena nersón de plardad. Nueamene dejams al lecr la demsracón de la ecuacón de salda: ( ) d (3) V V 6. EJEIIOS ESUELTOS Fgura.. En el crcu de la Fgura 3 enems 50 KΩ y 0µF. En su enrada se aplca un mpuls ( escalón de ensón) de V de amplud durane 5 segunds. Supnend que esá descargad ncalmene y el OP almenad cn ± 5, se pde: a. alcular V después de segunds. b. uáns segunds arda en saurarse el OP cn una ensón de -3,5V, aprxmadamene? c. Hacer un esbz de la rma de nda de la señal de salda en el neral de 0 a 5 segunds. (Fgura 4) d. alcular la pendene D ( cecene angular) de la señal de salda generada anes de que el OP se saure DIFEENIDOES E INTEGDOES

13 3 0 5 Fgura 3. SOLUIÓN: a. V d, per send ONSTNTE, enems O O ; 8V b. -3,5-4 ; 3,375 segunds. c , ,5-6 Fgura 4. DIFEENIDOES E INTEGDOES

14 4 8 d. D ( pendene) D 4V / s menar: Obsérese que la señal generada es lneal y de pendene negaa, y puede ser ulzada, pr ejempl, para accnar un crcu elecrónc encargad de cnrlar la elcdad de un mr, reducéndla. Decms, en ese cas, que la señal generada es una rampa de desaceleracón. Pr r lad, camband la plardad de la señal de enrada, bendríams una rampa de aceleracón que aumenaría la elcdad del mr. Esa écnca se ulza muy recuenemene en la ndusra para accnar máqunas elécrcas a raés de órdenes elecróncas. Nuesra nencón ha sd dar al esudane una prmera dea sbre ese ema.. En el negradr de la Fgura 3 enems: KΩ, 0 KΩ y 0,0 µf. Deermnar la gananca (en decbels) del crcu cuand ω rad/s. SOLUIÓN: + 0 / 4 8 ( ) 7,07 O sea, (db) 6,99 db 3. En el grác que sgue (gura 5), enems un períd de la señal de enrada aplcad al crcu derencadr de la Fgura. Deermnar la ensón de salda en ls nerals de 0 a 50µs y de 50 a 500 µs. Tmar KΩ y 0,0 µf. () ( µs) Fgura 5. SOLUIÓN: DIFEENIDOES E INTEGDOES

15 5 m en la enrada aplcams una señal rangular, la salda será cnsane en cada semperíd. Para el prmer semperíd enems: d/d (/5) Véase que la ecuacón del semperíd de subda es l /5, dnde ene dad en µs y l en ls. Lueg: V 0 0 ; V mv 5 80 Para el segund semperíd: d/d (-/5 + 4) (-0 6 /5) ; V 80 mv 4. Demsrar que el sguene crcu crrespnde a un cnrladr PI (prprcnal + negral). nsderar para ell un OP deal. I I Fgura 6. SOLUIÓN: Sean I l e I las crrenes en y respecamene, enems: I ; I pues I + I 0 (OP deal). Sn embarg, V V V c DIFEENIDOES E INTEGDOES

16 6 + d Fnalmene; d d La ecuacón nal muesra que la salda del cnrladr cnsa de una pare crrespndene a la accón prprcnal, ascada a ra de accón negral (que ene mulplcada pr la msma gananca de accón prprcnal). Edenemene, clcand un amplcadr nersr de gananca unara a la salda de ese cnrladr, se elmnarían las saldas negaas de la ecuacón anerr. 7. EJEIIOS POPUESTOS. Dbujar la rma de la señal de salda de un derencadr cuand a su enrada aplcams ls sguenes ps de señales: a. cuadrada ( K) b. nclnada en rampa ( K) c. sendal ( Ksen) d. parabólca ( k ) e. expnencal ( Ke ). eper el ejercc anerr para un negradr. 3. Qué aspec se cnsdera más críc en el crcu derencadr de la Fgura? 4. Qué sn ls SPIKES y cóm se prducen en ls crcus cn OP s? 5. ncep y caracerísca prncpal del derencadr prácc. 6. eper l anerr para el negradr prácc. DIFEENIDOES E INTEGDOES

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