MATRIZ INVERSA. Autores: Cristina Steegmann Pascual Juan Alberto Rodríguez Velázquez

Transcripción

1 MTRIZ INVERS utores: Cristin Steegmnn Pscul Jun lberto Rodríguez Velázquez ESQUEM DE CONTENIDOS Definición Propieddes MTRIZ INVERS Cálculo plicciones Método de Guss Con Mthcd Por determinntes y djuntos Resolución de ecuciones mtriciles Resolución de sistems de ecuciones lineles INTRODUCCIÓN Es de todos sbido que nuestr vid diri contemporáne requiere de un cntidd de conocimientos mtemáticos cd vez más importntes, sin los cules crece, virtulmente, de significdo. En los bloques nteriores se h visto que l teorí de mtrices permite el mnejo de grn cntidd de dtos y es esencil, no sólo pr su uso en diferentes modelos mtemáticos sino tmbién pr diversos métodos estdísticos. [W] Proyecto e-mth

2 El objeto de este e-bloque es el desrrollo y estudio de un tem básico de álgebr linel como es el cálculo de l mtriz invers y lguns plicciones de ést modelos mtemáticos. En éste se intent, sin perder rigurosidd mtemátic, clrificr lgunos conceptos pr hcerlos ccesibles un público no mtemático. Sin embrgo, y dd l mpli mgnitud del tem brcr, con este bloque no se pretende cbr con el tem sino sentr ls bses y fundmentos del mismo e incentivr su estudio, profundizción y plicción posterior. El cálculo de l mtriz invers no es un proceso sencillo. Primermente se bord desde el punto de vist del método de Guss y, después por determinntes y djuntos; posteriormente, se hce uso del softwre Mthcd pr su cálculo y, por último, se muestrn diverss plicciones de ést. Del mismo modo, ls plicciones que se presentn son ejemplos dentro de un cmpo muy mplio. Incluso los ejemplos mostrdos no finlizn en lo escrito en este bloque, sino que es un introducción l mismo, con el objeto de ilustrr el uso de mtrices en problems no mtemáticos, por un prte y hcer ccesible los modelos y sus diverss derivciones, por otr. OBJETIVOS prender verigur cuándo existe l mtriz invers de un mtriz dd. prender clculr, si existe, l mtriz invers de un mtriz. Conocer ls propieddes de l mtriz invers. Conocer lguns plicciones de l mtriz invers. Introducirse en el uso del Mthcd pr trbjr con l mtriz invers. CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomendble hber leído, previmente, los mth-blocks sobre álgebr de mtrices y determinntes, sí como los introductorios Mthcd. CONCEPTOS FUNDMENTLES Definición de mtriz invers [] Se dice que un mtriz cudrd es inversible, si existe un mtriz B con l propiedd de que siendo I l mtriz identidd. B B I Denominmos l mtriz B l invers de y l denotmos por -. Un mtriz se dice que es inversible o regulr si posee invers. En cso contrrio, se dice que es singulr. Ejemplo: Supongmos y B Entonces: Proyecto e-mth

3 +.B I + B. I + + Puesto que B B I, y B son inversibles, siendo cd un l invers de l otr. Condición de inversibilidd [W] El problem de encontrr elementos inversos pr el producto de mtrices tiene como primer inconveniente que, pr empezr, no siempre dds dos mtrices y B, que podmos hcer el producto B signific que podmos hcer el producto B demás, que dos mtrices sen inverss un de l otr signific, en prticulr, que el producto h de dr como resultdo l mtriz identidd. Si recordmos l definición, l mtriz identidd es quéll cuyos elementos son nulos slvo los de l digonl, que son, y, demás, esto es importnte, dich mtriz es cudrd. El hecho de que l mtriz identidd se cudrd nos v restringir mucho el conjunto de mtrices pr ls que podremos hblr de inversión. Vmos ver qué primer condición hn de cumplir dos mtrices y B pr que sen l un invers de l otr. Esto, como sbemos, signific que B B I, donde I denot l mtriz identidd. Ls mtrices serán, en principio, de orden mxn y B de orden pxq. Sin embrgo, por definición del producto de mtrices, se debe cumplir que np pr poder hcer l multiplicción B. Sbemos, demás, que est mtriz será de orden mxq. Pero tmbién tenemos que poder hcer el producto B, lo que implic que debe ser mq. sí pues, l mtriz será de orden mxn, y l mtriz B será de orden nxm. El producto B será de orden mxm, y el producto B será de orden nxn. demás, mbos productos hn de dr como resultdo l mtriz identidd, y ést es cudrd, lo que oblig que mn, es decir, que pr poder hblr de inversión de un mtriz, l mtriz h de ser cudrd. Sin embrgo, es un condición necesri pero no suficiente; esto es, no tod mtriz que se cudrd tiene mtriz invers. No es l únic condición que se exige l mtriz. Cálculo de determinntes Método de Guss [W] Vemos un método que priori no nos grntiz que l mtriz en cuestión se inversible, sin embrgo, en cso de que se pued plicr, nos drá l invers sin hcer operciones demsido complicds. Si l mtriz no se puede invertir, llegremos un situción que nos lo indicrá. El cálculo de l mtriz invers por el método de Guss supone trnsformr un mtriz en otr, equivlente por fils. L demostrción riguros del procedimiento que continución se describe se sle del propósito del presente bloque, quí se limit su exposición y comprobción de que efectivmente se obtiene l mtriz invers. En esenci, el método consiste, pr un mtriz cudrd de orden n, en:. Formr un mtriz de orden nxn tl que ls primers columns sen ls de l mtriz y ls otrs n ls de l mtriz identidd de orden n. Proyecto e-mth

4 . Medinte ls trnsformciones elementles de ls fils de un mtriz, convertir l mtriz nterior en otr que teng en ls n primers columns l mtriz identidd y en ls n últims otr mtriz que prescismente será -. El método consiste, pues, en colocr junts l mtriz invertir, y l mtriz identidd. Guss ( I) ( I ) Por medio de trnsformciones elementles, vmos modificndo nuestr mtriz hst obtener l mtriz identidd. Cd pso que pliquemos l mtriz se lo plicremos l mtriz identidd. Cundo hymos obtenido l mtriz identidd, l de l derech será l invers. Si no podemos llegr l mtriz identidd (por ejemplo, sle lgun fil de ceros), signific que l mtriz no será inversible. Vmos ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener l invers y otro en el que l mtriz no es inversible. Ojo lo siguiente, pues es muy importnte: hemos de decidir si hremos nuestrs trnsformciones elementles por fils o por columns, pues l form que elijmos debe mntenerse lo lrgo de todo el proceso de inversión de l mtriz. Ls trnsformciones elementles son ls siguientes: substituir un fil o column de l mtriz por ell mism multiplicd (o dividid) por un número, substituir un fil o column de l mtriz por un combinción linel de fils o columns de l mtriz (si es fil, fils, y si es column, columns), e intercmbir fils o columns. Por simplicidd en l notción, c indicrá column (ej., ª c es ª column) y f indicrá fil (ej., ª f es ª fil). Ejemplo : Ver si es inversible o no y clculr (si se puede) l invers de l siguiente mtriz. Plntemos, como hemos dicho, ls dos mtrices: En primer lugr, por simplicidd en ls operciones, vmos intercmbir ls fils y : Hcemos ª f ª f - ª f (y dejmos el resto igul): hor ª f ª f + ª f (estos dos psos se podrín hber resumido en un sol operción, ª f ª f- ª f +.ª f, no se h hecho por clridd l ser el primer pso): Proyecto e-mth

5 Proyecto e-mth hor hcemos ª f (ª f)/ y ª f (ª f)/(-): Y, por último, hcemos l operción ª f ª f - (/) ª f -.ª f: Con lo que l invers es: Comprobémoslo: Ejemplo : Ver si es inversible y clculr (si es posible) l invers de l mtriz: De nuevo, plntemos ls dos mtrices: Hcemos ª f ª f +.ª f, ª f ª f - ª f:

6 Y hor hcemos ª f ª f + ª f: 7 7 Por mucho que quermos, l hbernos precido un fil de ceros, y no podremos obtener l mtriz identidd. En cunto nos sle un fil, o más (o column/s, si es que trbjmos por columns) de ceros, lo que nos está diciendo es que l mtriz no es inversible. Por djuntos y determinntes [W] En este prtdo se v mostrr un form, lterntiv l nterior, de determinr cuándo un mtriz cudrd tiene invers sí como clculrl. L mtriz: n n n n nn es inversible si y sólo si su determinnte es diferente de cero ( ) y l form de clculrl es l siguiente: d ( ) donde d es l mtriz de djuntos de y ( d ) T, su trspuest. L restricción de que el determinnte de l mtriz debe ser diferente de cero pr l existenci de l mtriz invers es debido l imposibilidd de dividir por cero. Dich condición, diferenci de l de inversibilidd, sí que es necesri y suficiente; esto es, podemos firmr que tod mtriz cuyo determinnte se diferente de cero tiene invers. T Ejemplo : Se l mtriz:. Cálculo del vlor de su determinnte: Proyecto e-mth

7 Proyecto e-mth 7 l ser el determinnte diferente de cero sbemos, pues, que l mtriz tendrá invers.. Cálculo de l mtriz de djuntos ( d ) Los cofctores de los nueve elementos de son: Por tnto, l mtriz de djuntos es: 8 d. Cálculo de l mtriz trspuest de l mtriz de djuntos. 8 ) ( T d. Entonces, plicndo l definición nterior obtenemos l mtriz invers de : 8 ) ( T d. Y, simplificndo: Ejemplo : Se l mtriz: l clculr el determinnte se comprueb que éste es igul cero, por lo que se puede firmr que dich mtriz no posee invers.

8 Proyecto e-mth 8 + Propieddes de l mtriz invers []. Si B y C son, mbs, inverss de l mtriz, entonces BC. Como consecuenci de este importnte resultdo, podemos firmr que l invers de un mtriz, si existe, es únic. Tod mtriz inversible tiene exctmente un únic mtriz invers.. Si y B son mtrices inversibles del mismo tmño, entonces: ) B es inversible b) ( B) - B - - Ejemplo: Sen ls mtrices: B Entonces, B Si se plic el resultdo nterior: B y 7 9 B) ( Tmbién, 7 9 B Por consiguiente, se cumple que ( B) - B - -, como se firm en l propiedd enuncid.. Si es un mtriz inversible, entonces: ) - es inversible y ( - ) - b) n es inverible y ( n ) - ( - ) n pr n,,,... c) Pr culquier esclr k diferente de cero, l mtriz k es inversible y (k ) - k - Ejemplo: ) Sen y - como ls mtrices del ejemplo nterior; es decir, Entonces,

9 Proyecto e-mth 9 ) ( b) Igulmente: - ( - ) Por tnto, es inversible. c) Si k, entonces k 9 (k ) - Con lo que qued demostrd dich propiedd.. Si es un mtriz inversible, entonces su mtriz de djuntos correspondientes T tmbién es inversible y ( T ) - ( - ) T Ejemplo: Sen ls mtrices: T l plicr l propiedd nterior, se obtiene: ) ( T Como grntiz l propiedd nterior, ests mtrices l stisfcen.

10 Proyecto e-mth CSOS PRÁCTICOS CON SOFTWRE Mtriz invers con Mthcd [] Vemos continución cómo se trduce, en mthcd, l condición que debe cumplir pr que un mtriz se inversible. Y pr ello nos yudremos de un ejemplo. Ejemplo: Se l mtriz: : Queremos verigur si existe l mtriz B x z y t tl que:. x z y t y x z y t Entonces, hciendo uso de ls funciones de Mthcd, podemos firmr que: L mtriz es inversible RREF () I o dicho de otro modo: Pr determinr si l mtriz es inversible y clculr su invers se debe hllr RREF( I). Si el resultdo es (I Q), entonces es inversible y Q - Comprobemos ests firmciones con el ejemplo nterior: rref Por tnto, l mtriz invers de es:

11 Mtriz identidd Mtriz Otr lterntiv pr clculr mtrices inverss, con l yud de Mthcd, es hcer uso del comndo X - de l brr de herrmients Mtrix. Vemos el ejemplo. : Proyecto e-mth

12 Y si lo que se dese es clculr l mtriz invers de un mtriz compuest por símbolos, o símbolos y números, debemos hcer uso del comndo Invert Mtrix de l brr de herrmients Symbolic, de l siguiente mner:. Cremos y escribimos l mtriz medinte l brr de herrmnients Mtrix.. Con el cursor lo más l derech posible, seleccionmos el comndo M - de l brr Symbolic.. Pulsmos Intro pr ver el resultdo. c b d d ( d bc ) c ( d bc ) b ( d bc ) ( d bc ) Proyecto e-mth

13 plicción l resolución de ecuciones mtriciles [W] Un ecución mtricil es quéll en l que sus coeficientes e incógnits son mtrices. Pr resolverls es necesrio despejr l incógnit, tl como si de un ecución con números reles se trtr. El "problem" prece cundo l incógnit está multiplicd por otr mtriz y, como y es sbido, no es posible "dividir" mtrices. En ese cso hy que recurrir l mtriz invers. Vemos un ejemplo clrtorio de ello: Se l ecución mtricil siguiente: X + B donde: y B despejmos y qued: X -B Proyecto e-mth

14 Proyecto e-mth + + B Por tnto: X Si clculmos l invers de y l multiplicmos por l izquierd (cbe recordr que el producto de mtrices no es conmuttivo), mbos ldos de l iguldd, obtenemos l mtriz X (puesto que - I): X Se clcul l mtriz invers de hciendo uso del progrm mthcd (tl como nteriormente se h explicdo): Por tnto, l solución l ecución mtricil dd es: X Esto es: X plicción l resolución de sistems de ecuciones lineles [W, W] Pr resolver muchos problems mtemáticos es necesrio plnter un sistem de ecuciones lineles. Existen diversos métodos pr resolverlos (recodemos los conocidos método de igulción, substitución e igulción). Pero, si dichos sistems están formdos por grn cntidd de ecuciones e incógnits, el plicr los métodos nteriores result ser un tre summente dificultos y que, muy probblemente, conducirá resultdos erróneos. Pr solventr este problem, los sistems de ecuciones lineles se pueden plnter mtricilmente y resolverlos hciendo uso de l mtriz invers. Vemos continución un ejemplo de esto: En un consejo municipl del yuntmiento de un ciudd se decide comprr impresors, ordendores y escáners. Pr determinr el costo de los rtículos se sbe que impresor más ordendores más escáners vlen., impresors más ordendores más escáners vlen. y impresor más ordendores más escáners vlen..

15 Cuál es el coste totl de los rtículos? Pr resolver este problem, se determin el coste por unidd de cd uno de los útiles: impresor, escáner y ordendor. De cuerdo los dtos proporciondos, se puede construir el siguiente sistem de ecuciones: PI Precio de un impresor PO Precio de un ordendor PE Precio de un escáner PI + PO + PE PI + PO + PE PI + PO + PE Se resuelve este sistem de form mtricil: PI PO PE O bien: X B, donde: B PI X PO PE es l mtriz de los coeficientes, B es l mtriz de los términos independientes y X es l mtriz de ls incógnits. Pr ello hy que hllr l invers de l mtriz de coeficientes y multiplicrl por l de términos independientes. Fijémonos que se prte de que XB Multiplicmos l izquierd por - y se tiene - X - B Como - I, entonces qued que X - B Se reliz este cálculo medinte el softwre Mthcd: Este resultdo nos indic que el PI, PO y PE. Por tnto, el precio de un impresor, un ordendor y un escáner es, y, respectivmente. Y el coste totl de los rtículos comprr sciende : + +. Proyecto e-mth

16 BIBLIOGRFÍ [] Crl D. Meyer s (): "Mtrix nlysis nd pplied liner lgebr", Phildelpi SIM, - [] Montes Lozno, (998): "Álgebr", Ediciones UOC, Módulo : "Mtrices, vectores y sistems de ecuciones lineles", -8 [] G. J. Porter, D. R. Hill (99): Interctive Liner lgebr. lbortory course using Mthcd, Springer-Verlg New York, Inc., Section.8 [] H. Benker (999): "Prcticl use of Mthcd. Solving mthemticl problems with computer lgebr system", Springer-Verlg New York, Inc., 7 [] J.. Moreno, D. Ser (999): "Mthcd 8. Mnul de usurio y guí de referenci de Mthcd 8", ediciones ny Multimedi, S.., 8 [] H. nton (997): "Introducción l álgebr linel", Limus, -7 [7] H. nton, C. Rorres (): "Elementry Liner lgebr: pplictions Version", John Wiley&Sons. ENLCES [W] [W] Págin web de puntes grtis de ls universiddes ncionles rgentins. En espñol. El sitio de los estudintes y docentes universitrios. Recopilción de puntes, con ejemplos, sobre mtrices y determinntes. En espñol. [W] [W] [W] Págin web de "El Rincón del Progrmdor". En l sección de "Progrmción Gráfic" precen los "Fundmentos mtemáticos de l Informátic Gráfic" donde se explicn diversos conceptos relciondos con l mtriz invers. En espñol. Págin web de l Universidd de Sntigo de Chile. En espñol. Págin web con ejercicios de mtemátics plicds ls ciencis sociles. En espñol. [W] Págin web con plicciones relizds en JvScript (Jscript pr Microsoft) de diferentes métodos numéricos: clculdor científic, inversión mtricil, integrl numéric, rumbo y distnci de nvegción, oscilciones, etc. En espñol e inglés. Proyecto e-mth