Unidad 1 Modelos de programación lineal

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1 Unidad 1 Modelos de programación lineal La programación lineal comenzó a utilizarse prácticamente en 1950 para resolver problemas en los que había que optimizar el uso de recursos escasos. Fueron de los primeros problemas que empezaron a utilizar en las computadoras, junto con los modelos científicos sobre el clima y los modelos sobre la estructura atómica; al disponer de estos modernos equipos podían resolver problemas con algunos cientos de variables y de ecuaciones, inmanejables antes. Los modernos equipos de principios de la década de 1950 tenían una capacidad y velocidades muchas veces menor que cualquier computadora personal actual, aun así fueron determinantes para el avance de numerosas áreas de la ciencia, entre ellas el desarrollo de la investigación de operaciones. La programación lineal (pl) es una de las técnicas de modelación dentro de la investigación de operaciones, especialmente utilizada para la planeación óptima y para la toma de decisiones. Se emplea para problemas de planeación de la producción dentro de la industria; la optimización en el uso de los recursos humanos y materiales de las organizaciones o instituciones; planear dietas, recorridos, carteras de inversiones, inventarios, y un sinnúmero de aplicaciones en distintas áreas. En todos estos problemas hay una estructura común: se quiere optimizar un objetivo sujeto a una serie de restricciones; por supuesto todas estas condiciones se deben poder expresar linealmente. Esta estructura común es precisamente el modelo de la programación lineal. La forma del modelo es la siguiente: Máx (Mín ) c 1 x 1 + c 2 x c i x i y está sujeto a las siguientes restricciones: a 11 x 1 + a 12 x a 1i x i b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2i x i b 2 a n1 x 1 + a n2 x a ni x n b n x i 0 39

2 Programación lineal En notación matricial puede expresarse de la siguiente manera: Máx c i x i sujeto a (s. a.) A ji x i bj x i 0 Las incógnitas del problema son las x i, llamadas variables de decisión. La primer ecuación es la función objetivo (fo): Máx (Mín) c 1 x 1 + c 2 x c i x i Dado que se trata de problemas de optimización, siempre se quiere encontrar el valor máximo o el valor mínimo de aquello que se quiere optimizar; por ejemplo, minimizar el número de horas para realizar ciertas actividades o maximizar las utilidades de una empresa. Los coeficientes c i indican la colaboración por cada unidad de la variable x i a la fo; podría considerarse que es el costo por unidad. Luego hay una serie de restricciones estructurales: a 11 x 1 + a 12 x a 1i x i b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2i x i b 2 a n1 x 1 + a n2 x a ni x i b n Cada una de las ecuaciones representa un recurso escaso que se consume en las distintas actividades o productos que se deben realizar. En estas ecuaciones aparecen dos parámetros: a ij y b i. El segundo representa la cantidad del recurso i disponible, mientras que a ij es la cantidad del recurso i que se consume en la actividad j y se suelen llamar coeficientes técnicos, ya que dependen de cómo en este momento se están realizando las diversas actividades. 1 Por último se agregan las condiciones de no negatividad: x i 0. Esto indica que los valores de las variables de decisión solamente pueden tomar valores positivos o el de cero. Con el siguiente ejemplo se tratará de mostrar el papel que juegan cada uno de los componentes del modelo. Se trata de un problema de planeación de la producción. 1 Estas restricciones también pueden tener el signo de igual (=) o de mayor o igual que ( ). 40

3 Modelos de programación lineal Ejemplo 1.1 Una empresa que produce pantalones y faldas debe planear su producción para la próxima semana. Dispone de 100 horas de costura y 60 horas para acabados. Para hacer un pantalón las costureras demoran 3 horas, y para coser una falda, 2 horas; para planchado, botones y detalles se requiere 1 hora para un pantalón y 1.5 horas por falda. Un cliente ya ha hecho un pedido de 10 faldas. Cuántas faldas y cuántos pantalones debe hacer la empresa para maximizar su ingreso si le pagan $90 por cada pantalón y $55 por cada falda? El primer paso para poder hacer el modelo correspondiente a un problema es determinar cuáles son las variables de decisión, o sea, aquello que tenemos que establecer para planificar su producción. En este caso hay 2 variables: x: el número de faldas a producir y: el número de pantalones a producir El segundo paso es explicitar el objetivo que se quiere lograr; en este caso es maximizar el ingreso obtenido por la venta de las faldas y los pantalones. Esto nos lleva a formular la fo: Máx ingreso = 55x + 90y El tercer paso es encontrar las restricciones estructurales del problema y representar a cada una con una ecuación o una desigualdad, según corresponda. En este problema se dispone de recursos limitados: sólo se tienen 100 horas de costura y 60 horas para realizar los acabados. Esto limita las posibilidades de producción ya que para confeccionar un pantalón se requieren de 3 horas de costura, por lo tanto no se pueden realizar más que 33 pantalones y no quedaría tiempo disponible en el área de costura para hacer faldas, o bien podrían confeccionarse menos pantalones y en el tiempo restante hace algunas faldas. Esto queda representado por las siguientes ecuaciones: Costura: 2x + 3y 100 Acabados: 1.5x + y 60 Aun hay otra restricción, ya que tienen un pedido de 10 faldas tendrán que por lo menos confeccionar 10 faldas; esto se representa por, x 10 41

4 Programación lineal Por último deben escribirse las condiciones de no negatividad ya que no tendría sentido que las variables esto es, el número de faldas y pantalones que se han de producir tomen valores negativos. Entonces, x, y 0 El modelo completo finalmente queda como sigue: x: el número de faldas que se han de producir y: el número de pantalones que se han de producir Máx Ingreso = 55x + 90y s.a. costura: 2x + 3y 100 horas acabados: 1.5x + y 60 horas pedido: x 10 faldas x, y 0 Una vez planteado el modelo debe encontrarse una solución que satisfaga simultáneamente la fo y las restricciones impuestas. En este caso por tratarse de un problema con solamente dos variables de decisión, se puede encontrar gráficamente el área de las soluciones posibles, la denominada región factible. En la gráfica 1.1, se muestra la región factible (sombreada). Debido a que las soluciones posibles deberán ser números enteros de faldas y pantalones, las soluciones posibles se reducen a los puntos que se muestran en la gráfica. Cualquiera de ellos es solución ya que cumple con las tres restricciones impuestas; sin embargo, no todos ellos producirán los mismos ingresos; por ejemplo, si se produjeran 15 faldas y 5 pantalones, los ingresos serían de 55 (15) + 90 (5) = pesos. En la siguiente unidad se tratará el método gráfico y se mostrará cómo encontrar las soluciones óptimas. Se puede resumir el problema de modelado en una serie de pasos, aunque para esta unidad se presentan sólo los primeros cuatro pasos. Pasos para modelar un problema de pl Primer paso: Identificar las variables de decisión Segundo paso: Identificar el objetivo y escribir la fo Tercer paso: Escribir una ecuación por cada restricción o condición Cuarto paso: Agregar las restricciones de no negatividad Quinto paso: Resolver el sistema Sexto paso: Interpretar resultados 42

5 Modelos de programación lineal Gráfica : 1.5x + 1.0y = : 1.0x + 0.0y = : 2.0x + 3.0y = Este esquema se puede aplicar a problemas de toma de decisiones en áreas totalmente diferentes, como son los problemas de mezclas, transporte, inversiones, asignación, inventario y otros. En el siguiente ejemplo se emplea el método en un problema de cartera financiera. Ejemplo 1.2 Una persona dispone de $ para invertir. Acude al banco donde le ofrecen dos alternativas interesantes: una de ellas es invertir en pagarés con un rendimiento de 5% anual, la otra es un fondo de inversión con un rendimiento esperado de 7.25% anual, pero con cierto nivel de riesgo. Para obtener el mejor rendimiento, pero sin tomar un riesgo excesivo, se sugiere que la cantidad de dinero invertido en el fondo no exceda en más de $ a las dos terceras partes de lo invertido en pagarés. Cuál es la inversión apropiada? El primer paso es determinar cuáles son las variables de decisión; en este caso, cuánto debe invertir en cada una de las opciones. Este problema tiene 2 variables: P: la cantidad a invertir en pagarés F: la cantidad a invertir en el fondo 43

6 Programación lineal El segundo paso es explicitar el objetivo que se quiere lograr; en este problema lo que interesa es maximizar el rendimiento. La fo será: Máx. rendimiento = 0.05 P F El tercer paso es encontrar las restricciones estructurales del problema. Aquí se dispone de una cantidad de dinero limitada de $ : Capital: P + F Pero hay una restricción impuesta para minimizar el riesgo; en este caso se estableció que la cantidad de dinero invertido en el fondo no exceda en más de $ a las dos terceras partes de lo invertido en pagarés: Riesgo: F /3 P F 2/3 P El cuarto paso son las condiciones de no negatividad que indican que las cantidades que se invertirán en cada opción serán cero o un valor positivo, ya que podría no invertirse en alguna opción o invertir P, F 0. El modelo de planeación financiera queda como sigue: P: la cantidad a invertir en pagarés F: la cantidad a invertir en el fondo Máx. rendimiento = 0.05 P F s.a. Capital: P + F ($) Riesgo: 2/3 P + F P, F 0 En la gráfica 1.2 se muestran todas las alternativas de inversión posibles. Los ejes indican los valores en miles de pesos. Algunas opciones posibles serían invertir los $ en pagarés ( , 0); otra, invertir $ en pagarés y $ en el fondo de inversión (60 000, ); o $ en pagarés y $ en fondos (60 000, ); también $ en pagarés y $ en fondos (60 000, ), pero no se podrían invertir $ en pagarés y $ en fondos ya que no se respetaría la restricción de invertir solamente $ El punto (60 000, ) quedaría fuera de la región factible, que aparece sombreada en la gráfica. En este caso la mejor solución es invertir $ en pagarés y $ en el fondo de inversión, con lo cual se obtendría un rendimiento de $

7 Modelos de programación lineal Gráfica 1.2 F 100 : 1.0P + 1.0F = P Suposiciones implícitas en la programación lineal Aunque la modelación es sólo una aproximación a la realidad, para intentar plantear un modelo de tipo lineal es necesario que el problema acepte las suposiciones básicas de proporcionalidad, aditividad y divisibilidad que subyacen en el modelo de pl. Otro concepto importante es el de conjunto convexo de soluciones. En los siguientes párrafos se hará mención de estos conceptos que se profundizarán cuando se analice el método gráfico de solución. Proporcionalidad La proporcionalidad nos indica que si una actividad se duplica, también se duplican el costo asociado a ella o el consumo de recursos necesario para producirla. En el caso del ejemplo 1, si se produce una falda, se obtiene un ingreso de $55 y se requieren 2 horas de trabajo de costura; si se produjeran dos faldas, el ingreso se duplicará, se obtendrán $110, pero también se duplicará el tiempo de costura; si se producen tres faldas, entonces el ingreso será de $165 y se requerirán 6 horas de trabajo. Esto queda representado en las ecuaciones de la siguiente manera: Máx. ingreso = 55x +... Costura: 2x

8 Programación lineal Existe proporcionalidad entre el valor que toma x y el valor del ingreso correspondiente, 55x o el del tiempo necesario para realizar la actividad, 2x. Esto implica que en la PL no se pueden considerar factores como los costos fijos, por ejemplo, o las economías de escala. Aquí se supone que los rendimientos marginales son constantes. Por supuesto, esto es una simplificación de los problemas reales, pero que permite una primera aproximación aceptable en la mayoría de los casos en que se aplica la PL. Aditividad La aditividad supone que si se realizan dos actividades distintas, simplemente se deben sumar los efectos que cada una de ellas produce sobre los recursos; por ejemplo, la ecuación 2x + 3y 100, del ejemplo 1.1 indica que las horas ocupadas por las costureras, 2x, para hacer faldas, más las horas ocupadas en hacer pantalones, 3y, deben ser a lo sumo las 100 horas de las que se dispone. En estos modelos nunca habrá términos en los que aparezca el producto de las variables. Decir que un modelo (ecuación) es lineal implica que existe tanto la proporcionalidad como la aditividad. Divisibilidad La divisibilidad se refiere a que las variables pueden tomar cualquier valor como resultado decimal. Esto ocurre en el ejemplo 1.2, en el que las cantidades que se invertirán pueden tomar cualquier valor; por ejemplo, $ , o la mitad de esto o las 2/3 partes de esto. Sin embargo, en el ejemplo 1.1 la solución debe forzosamente tomar valores enteros; no se puede producir 5.3 pantalones. Estrictamente la solución de ese tipo de problemas debe verse como un problema de programación entera. En la práctica se puede usar la PL y se ajustan los resultados a valores enteros o simplemente se redondea. Conjunto convexo De manera simplificada, podemos decir que un conjunto de puntos es convexo si tomados cualquier par de puntos de este conjunto, todos los puntos del segmento de recta que los une pertenecen al conjunto en cuestión. 46

9 Modelos de programación lineal El conjunto de soluciones de una serie de desigualdades lineales siempre es un conjunto convexo; por lo tanto, la región factible de un problema de PL también es un conjunto convexo. Problemas de la unidad 1 Problema 1.1. Se está planeando una campaña publicitaria para anunciar la apertura de un nuevo supermercado en Tapachula. Se cuenta con un presupuesto de $ y se está considerando la posibilidad de anunciarse en la radio a $ y en la televisión local a $20 000; cada anuncio en la radio llega a personas y cada anuncio en la televisión llega a personas. Se quiere llegar a la mayor cantidad de público posible, pero garantizando una audiencia de al menos mujeres y hombres adultos, consumidores potenciales. Cuál debe ser la campaña que cumpla con los objetivos? Tome en cuenta que los medios de difusión dicen que su audiencia de posibles consumidores por anuncio son como sigue: Cuadro 1.1 Mujeres Hombres Radio Televisión Problema 1.2 Una tienda que se dedica a la venta de electrodomésticos y otros productos para el hogar se va a instalar en un municipio que ya cuenta con otras tiendas similares, por lo que ha decidido realizar una campaña publicitaria agresiva el mes anterior a la inauguración. Tiene dos alternativas: anuncios en televisión y material impreso a color. La experiencia obtenida en localidades similares le indica que cada anuncio en la televisión llega a 500 personas y que de cada folletos repartidos 320 serán leídos. La población es de habitantes, y la pretensión es llegar a por lo menos 20% minimizando los costos de la campaña y utilizando ambos medios. El costo del millar de folletos es de $400, siempre que el pedido sea por más de 10 millares; cada anuncio en la televisión cuesta $2 000 si contrata al menos 20 anuncios mensuales. 47

10 Programación lineal Problema 1.3 Problema de producción: una empresa armadora de motocicletas debe planear la producción de dos nuevos modelos, el básico y el especial. En el siguiente cuadro se dan los precios de venta de cada unidad, el costo de las partes que serán ensambladas, el número de horas requerido para el ensamble y los costos fijos necesarios para comenzar la producción. Cuadro 1.2 Modelo Precio de venta $/unidad Costo de las partes $/unidad Horas para ensamble Costos fijos Básico Especial Ya han recibido pedidos por 100 unidades del modelo básico y 200 del especial. En la planta disponen horas para el periodo de tiempo en que se planea la producción, y el trabajo se paga a 20 $/hora. Ayude a plantear el problema si se desea minimizar los costos variables (los costo fijos deben realizarse obligatoriamente), pero con la condición de sacar una utilidad de al menos $ después de recuperar los costos fijos. Plantee las ecuaciones del modelo de PL, grafique la región factible y plantee alguna solución posible. Problema 1.4 Una empresa que fabrica bicicletas y triciclos para niños y cuyos insumos básicos son acero, energía y la mano de obra, debe planear su producción mensual. La cantidad de triciclos no debe ser mayor que 80%, ni menor que 25% del número de bicicletas producidas. En el siguiente cuadro se indican los recursos disponibles para el próximo mes. Cuadro 1.3 Disponibilidad Requerimientos Mensual Triciclos Bicicletas Acero 7500 kg 15 kg 20 kg Energía kw 40 kw 25 kw Mano de obra 4 trabajadores que trabajan 20 días al mes 48

11 Modelos de programación lineal Cada trabajador en un día puede hacer 5 bicicletas o 20 triciclos. Se quiere maximizar la ganancia mensual total; actualmente la utilidad por cada triciclo vendido es de $100, y por cada bicicleta, $250. Problema 1.5 Un hospital regional quiere aumentar su capacidad y tiene presupuesto para no más de 20 camas, que deben ser agregadas a las áreas de maternidad y a la de emergencias. El objetivo es cubrir la mayor cantidad posible de población, ya que si no, los pacientes serán enviados a un hospital general con mayores costos para el sector salud. Debido a la intensidad del trabajo, cada médico puede atender a 4 personas en emergencias o a 10 de maternidad. Cada enfermera se hace cargo, en promedio, de 2.5 pacientes de maternidad o de hasta 5 pacientes de emergencias. Para atender estas nuevas camas se van a contratar 4 médicos y 6 enfermeras. Cuántas camas se deben anexar a cada servicio para maximizar el número de pacientes atendidos? Problema 1.6 Se le asignaron $ a un pueblo de Oaxaca para introducir servicios de agua y luz eléctrica. El trabajo deben realizarlo los propios habitantes en un mes, pues el gobierno enviará personal técnico para supervisar el trabajo. El pueblo considera que puede aportar horas hombre en ese periodo. Para colocar 100 metros de tubería de agua se necesitan 90 horas, y el costo de los materiales es de $5 000, mientras que la colocación de 100 m de tendido eléctrico requiere 50 horas de trabajo y $ El pueblo tiene cuatro calles de 400 m cada una. Qué debe hacerse si se requiere cubrir a la mayor parte del pueblo con ambos servicios? Respuesta a los problemas de la unidad 1 Problema 1.1. Conviene contratar solamente 25 anuncios en radio, que serán oídos por personas, entre las cuales habrá mujeres adultas y hombres adultos; esta campaña costará $ Problema 1.2. Se debe contratar 20 anuncios en la televisión e imprimir millares de folletos, o sea folletos con un costo de $ Problema 1.3. La empresa debe producir 540 motos básicas y 200 especiales; el costo de la producción será de $ ; la utilidad neta será de $50 400, y se ocuparán horas hombre. 49

12 Programación lineal Problema 1.4. Se debe fabricar 79 triciclos y 315 bicicletas; la ganancia será de $86 650; se ocuparán kg de acero, kw y se utilizará el equivalente a días laborales de los 80 disponibles. Problema 1.5. Existen distintas alternativas que permiten atender a 20 pacientes: agregando 10 camas al área de emergencias y 10 en la de maternidad (10, 10) o bien: (11, 9), (12, 8) o (13, 7); no se pueden poner más en emergencias porque habría problema con la disponibilidad de médicos. Problema 1.6. Deben colocarse m de tendido eléctrico y 381 m de tuberías de agua potable, ya que el factor limitante es la cantidad de horas hombre disponible. En total, se instalarán m entre ambos servicios. 50

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