ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN. Superficie de Referencia y Superficie Equipotencial CURSOS DE ENSEÑANZAS PROPIAS. UNIVERSIDAD DE ALMERÍA

Transcripción

1 LIPSOID D RVOLUCIÓN Speficie de Refeenci y Speficie qipotencil CURSOS D NSÑANZAS PROPIAS. UNIVRSIDAD D ALMRÍA

2 ÍNDIC * CONTNIDO PÁG. lipsoide de evolción. Pámetos fndmentles de l elipse meidin y sistems de coodends... l elipsoide de evolción como speficie de efeenci.... l elipsoide de evolción como speficie eqipotencil Línes geodésics del elipsoide de evolción... Apéndices Apéndice I. cciones del elipsoide de evolción en coodends geodésics Apéndice II. Relción ente ltitd geodésic y geocéntic... Apéndice III. Vecto noml l speficie del elipsoide de evolción... Apéndice IV. Tnsfomción de coodends po otción... Apéndice V. Potencil centífgo... Apéndice VI. Potencil de l gvedd noml en mónicos esféicos... Apéndice VII. Cvt de n cv pln... Apéndice VIII. Componente veticl del gdiente de l gvedd... Apéndice IX. Relción ente ltitd geodésic y edcid... Apéndice X. Amónico de gdo y momentos de ineci... Apéndice XI. cciones de Gss... Biliogfí Biliogfí ásic... Biliogfí de conslt * ste docmento está disponile en l diección

3 lipsoide de evolción. Pámetos fndmentles de l elipse meidin y sistems de coodends Siendo qe l pincipl te científic de l Geodesi es el estdio de l fig de l Tie, nos dmos cent de qe el pime polem qe hy qe esolve es: l deteminción del tipo de speficie mtemátic qe mejo epesent l fig de l Tie en s totlidd. A este especto, se conside como tl speficie l de n elipsoide de evolción ligemente plndo, éste se denomin elipsoide teeste. st pime fig de l Tie es tn en, qe el geoide (l segnd mejo fig de l Tie, l speficie eqipotencil del cmpo gvittoio teeste qe coincide con el nivel medio de los océnos) se pt de est pime fig en menos qe metos de lt, en el cso de myo sepción. Nos encontmos sí con dos speficies fndmentles de efeenci my póxims ente sí, el elipsoide y el geoide, ls cles povienen de dos concepciones distints de l Geodesi, deteminndo en consecenci l división de l Geodesi en dos ms pinciples, Geodesi Geométic o lipsoidl y Geodesi Físic o Dinámic. Llegdos este pnto, hy qe ecod qe desde l ntigüedd el home se h peocpdo po l medid de l Tie, es deci, po desoll l pte geométic de l geodesi. Así, dnte siglos, l únic geodesi qe se h desolldo es l Geodesi Geométic, soe todo el estdio y deteminción del elipsoide teeste. Po ot pte, el elipsoide de evolción, como speficie mtemátic, es sencillo y ien conocido, pdiendo tilizse p nmeosos cálclos qe seín my complejos si se efectn soe el geoide. sto hce qe est pime poximción l fig de l Tie, el elipsoide de evolción teeste, sig siendo vigente en l ctlidd, siendo tilizdo como speficie de efeenci p mchs ctividdes científics y técnics. Vist entonces l impotnci qe tiene este elipsoide de evolción, como pime fig de l Tie y speficie de efeenci, vmos comenz el estdio de est fig mtemátic epsndo lgnos conceptos ásicos efeentes l elipse meidin, pes el elipsoide de evolción se fomá medinte l otción de est elipse, lededo del eje qe ps po los polos teestes (el eje OB de l fig.). Deemos entonces ecod qe p est elipse podemos escii ls sigientes elciones (Toge, 99) B O N ψ ρ φ ρn Q z P h A z x y f 9º φ Fig... Posición de n pnto P soe el elipsoide de evolción. α e (.) n ls elciones (.) deemos not qe si son conocidos el semieje myo y el plnmiento f, podemos otene los vloes del semieje meno y l excenticidd e (o pime excenticidd), qedndo entonces pefectmente definid l elipse meidin y con ell tod l geometí del elipsoide de evolción coespondiente. Así, cndo fijmos los vloes de (, f) medinte l elección de n sistem de efeenci, como es el sistem de efeenci GRS8 (Geodetic Refeence System of 98), tenemos pefectmente definido el elipsoide de evolción teeste p pode tilizlo como speficie de efeenci en nestos cálclos. sto nos hce se conscientes de l comodidd y simplicidd de s el elipsoide de evolción como speficie de efeenci. st speficie de evolción se esciiá en l fom (Stik, 9)

4 x cosλ y sinλ z f() f () (.) donde f() es l cv qe se ot lededo del eje OB de l fig., p otene el elipsoide de evolción. Considendo est speficie de efeenci, l posición de n pnto Q soe l mism dd po (.), se podá escii en coodends geodésics (φ, λ) en l fom (péndice I) x ρn cosφcos λ y ρn cosφ sin λ z ( e ) ρn sin φ ρ N (.) e sin φ A l vist de l fig., deemos not qe hemos elegido ls coodends geodésics (φ, λ) p d l posición del pnto Q, peo podímos tmién he elegido ls coodends geocéntics (ψ, λ), pes l ltitd geodésic φ y l geocéntic ψ son iglmente válids p fij l posición de dicho pnto, existiendo ente ells l elción (péndice II) tn ψ ( e ) tn φ Ls coodends geocéntics son ls más sds p escii l posición de n pnto en los desollos en seie del potencil gvittoio teeste, mients qe ls coodends geodésics son ls más tilizds p d l posición de n pnto en ls medids geodésics. Po ello, es my impotnte conoce l elción (.4) qe existe ente ls ltitdes geodésic y geocéntic, pes ell nos pemite ps de n ot fácilmente, p clqie pnto Q del elipsoide. A l vist de l fig., l posición de n pnto P soe l speficie teeste es my sencill de escii en coodends geocéntics, pes seí (Toge, 989) x (.4) ρp cosψp cosλ y ρp cosψp sin λ z ρp sin ψp (.) donde ρ P es el módlo del vecto de posición geocéntico del pnto P. P escii l posición de n pnto P soe l speficie teeste en coodends geodésics, tendímos en cent l sm vectoil OP OQ QP QP hn N (cos φcos λ, cos φ sin λ, sin φ) donde el vecto OQ estí ddo po (.) y el vecto QP se otendí pti del vecto noml l speficie del elipsoide en el pnto Q (péndice III), teniendo en consecenci ls ecciones x ( ρn h)cosφcos λ y ( ρn h)cosφ sin λ z (( e ) ρn h) sin φ (.6) Ls ecciones (.6) son my impotntes pes nos pemiten conveti ls coodends geodésics (φ, λ, h) en coodends ctesins (x, y, z). P eliz l tnsfomción conti, es deci, p conveti coodends ctesins (x, y, z) en coodends geodésics (φ, λ, h), tendímos qe inveti l elción (.6). sto pede hcese de fom sencill tl como indicn Hofmnn- Wellenhof y Lichtenegge (994), medinte n poceso nlítico y nméico qe se pede eliz ápidmente en n odendo.. l elipsoide de evolción como speficie de efeenci n lgns ocsiones podemos encontnos con l necesidd de conveti coodends geodésics medids en distintos dátm, n único dátm p pode tiliz tods ests medids conjntmente. ste polem pede sgi cndo eciimos mediciones elizds po otos investigdoes o técnicos, qe tjn hitlmente en n sistem de efeenci distinto l qe nosotos tilizmos. P llev co est tnsfomción deemos tene en cent qe esos otos sistems de efeenci peden no se geocénticos. st sitción está ilstd en l fig., en l cl tenemos ls coodends ctesins (x, y, z ) de n pnto P (medids en n sistem no 4

5 geocéntico con oigen O ), elcionds con ss coodends ctesins (x, y, z) (medids en n sistem geocéntico con oigen O), tvés de l sm vectoil o ( k) R (.) donde k es n fcto de escl cyo vlo sele se del oden de -6 y R es l mtiz de otción qe define l tnsfomción de coodends qe elcion mos sistems (péndice IV), dd po x xo y yo ( k) εz z zo εy εz εx εy x εx y z donde los ánglos (ε x, ε y, ε z ) expesn ls otciones indicds en l fig., estos ánglos selen tene n vlo my peqeño, po eso se expesn hitlmente en segndos de co. Fig... Repesentción del sistem de efeenci no geocéntico xyz, con especto l sistem de efeenci geocéntico XYZ. (.) s impotnte not qe l ección (.) expes n elción ente coodends ctesins. No ostnte, en mchs ocsiones no tjmos con ls coodends ctesins (x, y, z) de n pnto P, sino con ss coodends geodésics (φ, λ, h), donde φ es l ltitd geodésic (medid en gdos note), λ es l longitd geodésic (medid en gdos este) y h es l lt elipsoidl (medid en metos). n este cso p pode tiliz l tnsfomción (.), tenemos qe eliz pevimente n tnsfomción de coodends geodésics (φ, λ, h) ctesins (x, y, z). P ello, podemos tiliz ls ecciones (.6), pes nos dn l elción qe existe ente ls coodends geodésics (φ, λ, h) y ls ctesins (x, y, z), tl como está ilstdo en l fig.. ntonces, n vez qe tenemos ls coodends geodésics (φ, λ, h) convetids en coodends ctesins (x, y, z), plicmos l tnsfomción (.) p eliz el cmio de dátm. Así podemos conveti ls coodends no geocéntics (x, y, z ), dds en el dátm no geocéntico, en ls coodends geocéntics (x, y, z). P ello, necesitmos pimeo estlece los vloes de los pámetos (k, x o, y o, z o, ε x, ε y, ε z ), coespondientes l dátm no geocéntico. stos vloes peden otenese desde vis fentes. Po ejemplo, Toge (99) h estlecido los vloes de estos pámetos, p tnsfom coodends desde lgnos de los dátm más tilizdos l sistem geocéntico WGS84 (el dátm qe se tiliz con GPS). Si qeemos eliz l opeción inves y conveti ls coodends geocéntics (x, y, z) en coodends no geocéntics (x, y, z ), tenemos qe inveti l elción (.). P ello, necesitmos estlece pevimente los vloes de los pámetos (k, x o, y o, z o, ε x, ε y, ε z ), coespondientes l dátm no geocéntico, e inveti l expesión (.). sto pede elizse fácilmente, pogmndo ls ecciones (.) de fom mticil en n odendo, en ese cso todo el polem se edce inveti n mtiz. ste polem de inveti n mtiz es my conocido y es fácil de esolve. Si qeemos ps de coodends no geocéntics (x, y, z ) ots coodends tmién no geocéntics (x, y, z ), peo dds en n dátm distinto, sólo tenemos qe eliz pimeo l tnsfomción de ls coodends no geocéntics (x, y, z ) coodends geocéntics (x, y, z), estleciendo p ello los vloes de los pámetos (k, x o, y o, z o, ε x, ε y, ε z ), coespondientes l pime dátm no geocéntico. Lego convetimos ests ecién otenids coodends geocéntics

6 (x, y, z), en ls coodends no geocéntics (x, y, z ), plicndo p ello l fóml inves (.), con los pámetos (k, x o, y o, z o, ε x, ε y, ε z ) coespondientes l segndo dátm no geocéntico. sto pede elizse fácilmente, cndo se hn pogmdo ls ecciones (.) y ss invess.. l elipsoide de evolción como speficie eqipotencil Hemos visto hst ho l impotnci qe tiene el elipsoide de evolción como fig geométic, qe pede se tilizd como speficie de efeenci, y qe, l segnd mejo fig de l Tie: el geoide, es csi n elipsoide de evolción (ente elipsoide y geoide hy n sepción meno qe metos, en el peo de los csos). Tmién, hemos visto qe como speficie mtemátic sencill, el elipsoide de evolción es ien conocido, pdiendo tilizse p nmeosos cálclos qe seín my complejos si se efectn soe el geoide. sto hce qe el elipsoide de evolción (pime poximción l fig de l Tie), jo n pnto de vist geomético, sig estndo vigente en l ctlidd, siendo my tilizdo como speficie de efeenci geométic p mchs ctividdes científics y técnics. No ostnte, est vlios fcet de est speficie no got tod s tilidd, pes en este ptdo vmos ve cómo el elipsoide de evolción, pede tmién considese como n excelente speficie de efeenci físic, desde l cl se posile estdi el cmpo de gvedd el de l Tie y ss speficies eqipotenciles, pdiendo simplific mcho este polem y hciendo posile eliz impotntes poximciones, sin ls qe el estdio de este polem seí mcho más complicdo. n este sentido, nqe el cmpo de gvedd teeste no es exctmente el cmpo de gvedd socido n elipsoide de evolción, el pode dividi el cmpo de gvedd veddeo de l Tie en n pte noml socid l elipsoide de evolción y ot pte nóml, socid l peqeñ difeenci qe existe ente el cmpo veddeo y el noml, pemite s poximciones my sencills p estdi el cmpo de gvedd nómlo, pes este cmpo spone n petción tn peqeñ qe podemos considel linel, pdiendo elizse poximciones qe simplificn mcho el estdio de n polem qe de ot fom seí my difícil de esolve. Dicho esto, vmos conside ho el elipsoide de evolción, qe ntes hemos definido completmente jo n pnto de vist geomético, como n speficie físic, es deci, como n speficie eqipotencil de n cmpo de gvedd qe llmmos noml, definid po n vlo ddo del potencil noml o potencil del cmpo de gvedd noml U, de tl fom qe l speficie U(x, y, z) U es n elipsoide de evolción con semieje myo y plnmiento f, qe encie en s inteio tod l ms de l Tie M (inclid l ms de l tmósfe) y ot especto de n eje qe ps po s semieje meno, con n velocidd ngl ω igl l velocidd de otción de l Tie (Toge, 99). A este elipsoide se le llm elipsoide de nivel y como vemos po s definición, es l fig mtemátic más sencill qe mejo poxim l geoide, cy definición es: l speficie eqipotencil del cmpo gvittoio veddeo de l Tie qe coincide con el nivel medio de los océnos. De hecho, l coincidenci ente geoide y elipsoide de nivel es tn en qe, como y se h dicho, ests dos speficies de nivel pens se sepn ns decens de metos. n consecenci, definimos el potencil del elipsoide de nivel U, o potencil de l gvedd noml, en l fom (Heisknen y Moitz, 98) U(x, y,z) V Φ V ω (x y ) (.) donde V es el potencil gvittoio y Φ es el potencil centífgo (péndice V). ste potencil U(x, y, z) qed pefectmente detemindo si se dn los vloes de l fom del elipsoide de evolción (, f), l ms totl M qe encie en s inteio y l velocidd ngl ω (Heisknen y Moitz, 98, Toge, 99). n l ección (.), el potencil gvittoio V stisfce l ección difeencil de Lplce, en el espcio exteio l elipsoide de semieje myo y plnmiento f, 6

7 pes este elipsoide contiene en s inteio tod l ms tyente M de l Tie (po definición), no qedndo fe del mismo mss tyentes qe impidn qe se veifiqe dich ección difeencil (Heisknen y Moitz, 98; Toge, 99). n consecenci, este potencil V pede se desolldo en seie de mónicos esféicos, con lo qe el potencil U se otendá medinte este desollo ñdiéndole el potencil centífgo (péndice VI), es deci ω θ θ θ n U (, ) Jn Pn (cos ) sin n (.) n n e C A J n ( ) n n (n )(n ) M (.) : excenticidd linel del elipsoide. K: constnte de gvitción de Newton. : distnci del pnto P l cento de l Tie (el cento del elipsoide), es l distnci qe ntes llmámos ρ P (el módlo del vecto de posición geocéntico del pnto P). P n (cos θ): polinomios de Legende. e: pime excenticidd del elipsoide (ecciones (.)). C: momento de ineci especto l eje otción teeste A: momento de ineci especto clqie eje en el plno ectoil θ: distnci pol igl 9º - ψ. Deemos not qe hemos sdo en (.) el sistem de coodends esféics (, θ, λ) en lg de ls coodends ctesins (x, y, z), pes dd l simetí del polem estdi, ests coodends son más convenientes qe ls ctesins. Tmién hy qe not qe hemos designndo l distnci geocéntic en este contexto con l let, en lg de s l let gieg ρ como hemos hecho hst ho, pes en l myo pte de l iliogfí elevnte soe el cmpo de gvedd noml ést es l notción qe se tiliz. A l vist de ls ecciones (.), notmos qe l simetí con especto l eje de otción qe tiene el elipsoide de evolción, hce qe despezcn los téminos teseles del desollo en seie de mónicos esféicos de V. Tmién despecen los téminos zonles impes de dicho desollo, deido l simetí de est fig con especto l plno ectoil. Po ot pte, l ección (.) con n nos d l impotnte fóml (Heisknen y Moitz, 98) C A C A J e M M qe podemos intodci en l fóml (.) p elimin los demás coeficientes J n en fnción de n único J medinte n n e J J n ( ) n n (.4) (n )(n ) e ste cmio de notción es impotnte, pes ls ecciones (.) y (.4) pemiten otene el potencil U de l gvedd noml, medinte constntes qe son conocids tvés de l definición de clqie sistem geodésico intencionl. Po ejemplo, en el Geodetic Refeence System of 98 (GRS8) el vlo de ls constntes fndmentles es (Toge, 99) 6787 metos 986. x 9 m /s J 8.6 x -6 ω 7.9 x - d/s donde M inclye l ms de l tmósfe. sts constntes son my ien conocids y se hn elegido como constntes fndmentles, poqe se peden detemin con mch pecisión po divesos métodos espciles y stonómicos. 7

8 No ostnte, deemos not qe en ls fómls (.) y (.4), pecen ls cntiddes (, e, J, ω, M), peo nteiomente hemos dicho qe p detemin pefectmente el potencil de l gvedd noml U, st con conoce l fom del elipsoide de evolción (, f), l ms totl M qe encie en s inteio y l velocidd ngl ω con l qe ot. Hy qe not qe l excenticidd e pede clclse pti de y de f, medinte ls fómls (.). n consecenci, dee existi n elción ente J y ls ots cntiddes (, f, M, ω), de mne qe l pone J en ls fómls (.) y (.4), no intodcimos n cntidd nev sino n elción ente ls cntiddes qe definen el potencil U. P demost est fimción vmos encont cál es l elción qe define J J (, f, M, ω). P ello, comenzmos considendo l expesión (.) sólo hst gdo 4, es deci, n como máximo. st poximción podemos hcel poqe los téminos de gdo speio 4 son tn peqeños qe se peden despeci (Toge, 99). Con est poximción tendímos qe (.) ps se 4 ω U (, θ) J P (cosθ) J4 P4 (cosθ) sin θ (.) donde hy qe not qe hemos gpdo el témino centífgo dento del péntesis. Aho podemos estdi el vlo qe tom este potencil soe l speficie del elipsoide. ntonces, si llmmos U este vlo, podemos escii l ección (.) p n pnto soe el ecdo de elipsoide (, θ 9º) y p oto soe el polo (, θ º). n estos dos csos los polinomios de Legende son my sencillos de clcl (Spiegel, 988), teniendo P (θ 9º) / P (θ º) P 4 (θ 9º) /8 P 4 (θ º) n consecenci, l fóml (.) p n pnto soe el ecdo de elipsoide (, θ 9º) y p oto soe el polo (, θ º), nos d U J J 8 ω 4 U J J4 (.6) donde U es el vlo del potencil soe l speficie del elipsoide de evolción. Ls ecciones (.6) nos vn pemiti el pode otene l elción J J (, f, M, ω), qe estmos scndo, si esciimos l ección f (.7) intodciendo en ell los vloes de y otenidos pti de ls ecciones (.6), en l fom ω 4 J J4 U 8 J J4 (.8) U peo ntes de clcl f medinte l expesiones (.7) y (.8), p otene l elción qe estmos scndo ente J y ls cntiddes (, f, M, ω), hy qe not qe en ls ecciones (.8) pecen téminos de my distinto oden de mgnitd, siendo lgnos de ellos tn peqeños qe peden despecise. Po ello, ntes de contin vmos eliz l poximciones petinentes, p elimin los téminos de oden speio f de ls ecciones (.8), pes l contición de estos téminos en dichs fómls pede considese despecile (Toge, 99). 4 8

9 Témino centífgo. ste témino pece sólo en l expesión de de ls ecciones (.8) y podemos esciilo como ω ω m f donde hemos tenido en cent ls fómls (.) y hemos sdo l evit (péndice V) ω m (.) Si ho smos l poximción (Spiegel, 988) p x <<, podemos simplific l ección (.9), teniendo (.9) ( x) ( x) (.) ω m m( f ) m f mf (.) Téminos (/) y (/) 4. stos téminos pecen sólo en l expesión de de ls ecciones (.8) y podemos esciilos tvés de ls ecciones (.), oteniendo (/) como entonces los téminos (/) y (/) 4 seán ( f ) e f (.) f 4 4 ( f ) 4f (.4) donde hemos sdo l fóml (.) p simplific y poxim ls expesiones de (/) y (/) 4. Témino J 4. ste témino qe pece en l expesiones de y en ls ecciones (.8), podemos otenelo en fnción de J pti de l ección (.4), como ( e ) e J e J e e J e J4 ( ) J (4 )(4 ) e e e donde hemos considedo n. Si ho intodcimos l elción qe existe ente e y f, tvés de ls ecciones (.), tenemos (f f ) ( e J ) ( f f J ) ( 4f J f ) e J4 (.) donde hemos despecido los téminos de oden f y speioes. Otenids y tods ls poximciones necesis, podemos y escii ls ecciones (.8), en l fom J J4 m mf U 8 (.6) [ J( f ) J4( 4f )] [ J( f ) J4] (.7) U U 9

10 donde hemos tilizdo ls ecciones (.) y (.4), despecindo el témino J 4 f, po se J 4 mcho meno qe J (Toge, 99). Aho estmos y en sitción de otene l elción scd ente J y ls cntiddes (, f, M, ω), qe podemos otene medinte l ección (.7), en l qe intodcimos ls ecciones (.6) y (.7), esciiendo f J J m J 8 mf Jf 4 m J 8 mf est fóml pede simplificse medinte (.) p elimin el denomindo, teniendo l expesión poximd f J m mf Jf J4 J J4 m mf 8 8 donde sólo qedn po eliz todos los podctos, despecindo téminos de oden speio (J ), J 4, mj, m, J f, mf; oteniendo f J m mf Jf J4 J mj m (.8) donde podemos poxim ls cntiddes mf y J f, mltiplicndo m y J po l expesión (.8) mf mj m 4 4 Jf J mj (.9) donde hemos despecido de nevo los téminos de oden speio (J ), J 4, mj, m, J f, mf. Llevndo ls fómls (.9) (.8) tenemos n expesión más sencill de f dd po 9 f J m mj J J Si en est fóml intodcimos el vlo de J 4 ddo po l ección (.), tenemos 9 9 f J m mj J (4f fj) J m mj J f Jf donde el témino J f y lo hemos clcldo ntes (ecciones (.9)) y sólo nos qed po detemin el témino f, cyo poximdo vlo es con lo qe tenemos finlmente l expesión 9 f J m mj f J m mj J m J mj mj J qe gpndo téminos qed en l fom (Toge, 99) 9 f J m mj J m (.) Con l ección (.) qed demostdo qe existe n elción ente J y ls cntiddes fndmentles (, f, M, ω), qe definen pefectmente el potencil de l gvedd noml U, pesto qe m es tmién fnción de ls cntiddes (, f, M, ω), tvés de l fóml (.), de mne qe l pone J en ls fómls (.) y (.4), no intodcimos n cntidd nev sino n elción ente ls cntiddes fndmentles qe definen el potencil U. 4

11 n l ctlidd, como ls cntiddes (, J, M, ω) se peden detemin con mch pecisión, po divesos métodos espciles y stonómicos, se hn estlecido como constntes fndmentles del cmpo de gvedd noml, en lg de ls cntiddes (, f, M, ω), oteniéndose el vlo de f y m tvés de ls fómls (.) y (.), como cntiddes deivds de ls fndmentles. Con el vlo qe tomn ests constntes fndmentles (, J, M, ω) en el sistem de efeenci GRS8, podemos clcl los vloes de U, m, J 4 y f; medinte ls fómls (.6), (.), (.) y (.), oteniendo los vloes (Toge, 99) U x 7 m /s m J 4.7x -6 f /98.7 n el sistem de efeenci GRS8, tmién tenemos definid n fóml de l gvedd p clcl el vlo de l gvedd noml γ soe el elipsoide de efeenci (el elipsoide de evolción definido po ls constntes fndmentles (, J, M, ω)), est fóml es γ γ ( βsin φ β sin φ) (.) donde γ es l gvedd noml en el ecdo del elipsoide y ls constntes β y β son fnción de f y m. L gvedd noml pede otenese deivndo el potencil de l gvedd noml U, ddo po l fóml (.), pes semos qe el cmpo de gvedd es consevtivo, esto signific qe pede otenese como el gdiente de n potencil. ntonces, deivndo l fóml (.) especto de otenemos 4 ω γ(, θ) J P (cosθ) J4 P4 (cosθ) sin θ (.) de l qe podemos otene inmeditmente el vlo de l gvedd noml en ecdo γ, poniendo y θ 9º, oteniendo ω γ J J4 (.) 8 L fóml (.) tmién se pede otene pti de l fóml (.) y esto es lo qe vmos eliz continción, definiendo tmién ls cntiddes γ, β y β, qe pecen en l fóml (.), en fnción de constntes y deteminds. P ello, esciiemos l ección (.) p pntos qe estén sitdos soe el elipsoide de evolción (soe l mism speficie de nivel de potencil U ). n este cso l distnci geocéntic tom el vlo ddo po (péndice II) e e cos ψ e e sen θ donde hemos tenido en cent qe l distnci pol θ es igl 9º - ψ. P intodci est fóml en l fóml (.), necesitmos clcl y ponelo como fnción de f y θ. sto podemos hcelo si tenemos en cent l poximción (.) p elimin el denomindo, oteniendo ( e ) ( e )( e sen θ) ( f f )( (f f )sen θ) e sen θ [ f cos θ f ( sen θ) ] (.4) donde hemos sdo ls fómls (.) p elimin l excenticidd e.

12 Tmién es necesio conoce ls cntiddes (/), (/) 4 y el témino centífgo, qe pecen en l fóml (.). Ls cntiddes (/) y (/) 4 peden hllse medinte l fóml (.4), sndo l poximción (.) p elimin el denomindo, oteniendo f cos θ f ( sen θ) 4 4f cos θ f ( sen θ) (.) l témino centífgo se clclá intodciendo l definición (.), con lo qe podemos esciilo en l fom ω sin ω θ sin θ msin θ msin donde hy qe not qe podemos emple ls fómls (.) y (.4), p clcl los cocientes (/), (/) y (/). Así, opendo y eliminndo ódenes de f y speioes, otenemos [ f ( cos θ) ] ω sin θ msin θ θ (.6) ntonces, con ls fómls (.4), (.) y (.6) intodcids en l fóml (.), podemos escii el vlo qe tom l gvedd noml soe el elipsoide medinte [ J ( f cos θ)p (cosθ) J P (cos θ) msin θ( f ( cos ))] γ 4 4 θ donde pede se sstitido po s vlo (ddo po l fóml (.4)) y elimindo del denomindo medinte l poximción (.), p escii γ medinte γ [ J ( f cos θ)p (cos θ) J P (cos θ) msin θ( f ( cos θ)) ] 4 4 [ f cos θ f ( sen θ ] ) [ J ( f cos θ)p (cos θ) J 4P4 (cos θ) m( cos θ)( f ( cos θ)) f cos θ 6J f cos θp (cosθ) mf( cos θ)cos θ f ( ( cos ))] (.7) θ donde P (cos θ) y P 4 (cos θ) son los polinomios de Legende ddos po (Spiegel, 988) 4 P (cosθ) cos θ P4 (cosθ) (cos θ cos θ ) 8 Hy qe not qe en l expesión (.7) qedn todví cntiddes como J, J 4 y cos θ, qe deemos otene y simplific, p qe l ección (.7) dopte n fom finl simil l ección (.). Concetmente, osevmos qe en l fóml (.) pece l ltitd geodésic φ en lg de l distnci pol θ. sto signific qe dee existi n elción ente ms viles qe deemos encont e incopo l ección (.7), p otene γ como fnción de l ltitd geodésic φ y no de l distnci pol θ, como scede ho en (.7). Tmién osevmos qe en l fóml (.), pece l gvedd noml en el ecdo γ como constnte. sto signific qe deemos clcl est cntidd e intodcil en l fóml (.7), de mne decd, p llev l expesión (.7) n fóml qe teng el mismo fomto qe l ección (.). n consecenci, deemos otene ls expesiones decds de ls cntiddes γ, J, J 4 y cos θ; p intodcils en l fóml (.7) y sí llev est ección n fóml simil (.). sto es lo qe vmos eliz continción, considendo sólo los téminos hst el oden f, pes l contición de los téminos de oden speio pede considese despecile (Toge, 99).

13 Relción ente distnci pol θ y ltitd geodésic φ. P encont est elción ptimos de l fóml (.4), en l qe podemos intodci f sndo ls ecciones (.), teniendo sin ψ sin φ 4 sin φ ( e ) ( f ) cos ψ cos φ cos φ sin ψ sin φ ( 4f 6f ) sin ψ sin φ donde hemos despecido ódenes myoes qe f l clcl (f) 4. Opendo con est fóml p despej el vlo de sin ψ otendemos el vlo de cos θ, ddo po l elción cos θ sin ψ ( 6f )sin φ ( f f )sin φ (.8) donde hy qe not qe pece n témino en sin φ y oto témino en sin φ, esto nos hce compende po qé pecen en l fóml (.) dos téminos, no con sin φ y oto con sin φ. xpesión de J y J 4 en fnción de f y m. P intodci los vloes de J y J 4 en l fóml (.7) es necesio esciilos como fnción de ls cntiddes f y m, pes en dich fóml todos los téminos qe pecen están en fnción de ests dos cntiddes. Po ello, vmos qí expes J y J 4 como fnción de f y m. P ello, ptimos de l fóml (.) l cl nos d n expesión de f f (J, m), de l qe tenemos qe lleg n expesión J J (f, m). P consegi este ojetivo vmos despej J de l fóml (.), en l fom 9 f J( J m) m m f m m (f m m ) J J m J m donde podemos tiliz l poximción (.) p elimin el denomindo, teniendo J ( f m m )( J m) f m m fj mj mf m f m m mf ( m f )J f m m mf ( m f )( f m) 4 4 J f m mf f (.9) L fóml (.9) tmién pede sse p otene el témino J 4, si l intodcimos en l elción (.), teniendo (Toge, 99) J 4 4 ( 4f J f ) f J f mf (.) f Gvedd noml en el ecdo γ en fnción de f y m. P intodci el vlo de γ en l fóml (.7) es necesio esciil como fnción de ls cntiddes f y m, pes en dich fóml todos los téminos qe pecen están en fnción de ests dos cntiddes. P expes γ de est fom, ptimos de l fóml (.) en l cl intodcimos el témino centífgo ddo po (.) mltiplicdo po, jnto con los vloes de J y J 4 ddos po ls ecciones (.9) y (.), oteniendo 4 4 γ ( f m mf f ) ( mf f ) (m mf ) γ f m f mf 4 (.)

14 Otenids y tods ls fómls necesis, podemos y escii l ección (.7), en l qe incopomos l infomción dd po ls ecciones (.8), (.9), (.) y (.), oteniendo γ en l fom γ γ ( βsin φ β sin φ) donde l gvedd noml en el ecdo γ está dd po (.) y los vloes de β y β vienen ddos po (Heisknen y Moitz, 98; Toge, 99) 7 β f m mf m β f mf (.) Podemos otene los vloes nméicos de ls cntiddes γ, β y β, tvés de ls ecciones (.) y (.), intodciendo los vloes de f y m nteiomente pesentdos, p escii l fóml de l gvedd noml soe el elipsoide de efeenci, en l fom (Toge, 99) γ (.4 sen φ.8 sen φ) m/s st fóml es my impotnte po s plicción en divesos cálclos geodésicos, como peden se el cálclo de nomlís de l gvedd o el cálclo de l ondlción del geoide. No ostnte, p cietos cálclos geodésicos tmién es necesio conoce l pime y segnd deivds de l gvedd noml, efeids l elipsoide de evolción (es deci, con h ). Po ello, continción vmos ve cómo se peden clcl estás deivds, emplendo p ello los dtos y fómls qe hemos otenido en este ptdo. Comenzemos con l deteminción de l pime deivd de l gvedd noml, qe pede se otenid medinte (péndice VIII) donde ρ M γ γ( ) ω h ρm ρn ( e sin φ) ( e ) / ρ N ( e sin φ) / (.) (.4) son los dios de cvt pinciples (péndice I), siendo ρ M el dio de cvt pincipl en l diección del meidino y ρ N el dio de cvt pincipl en l diección del plelo (llmdo gn noml, noml pincipl o tmién pime veticl de Q). P lleg n expesión sencill de l pime deivd de l gvedd noml, en fnción de ls cntiddes f y m, eliminemos l excenticidd e de ls fómls (.4), poniendo f en s lg, es deci / / ( e sin φ) ( (f f )sin φ) f f sin φ(f f ) ρ M ( e ) ( f f ) ρ / / φ) φ) N ( e sin ( (f f )sin sin donde podemos conside f y ódenes speioes despeciles, oteniendo [ f f sin φ] [ ] f sin φ ρm ρn φ(f f ) 4

15 Si ho intodcimos ests expesiones en l ección (.), jnto con l poximción m ω /γ (péndice V), otenemos l expesión (Heisknen y Moitz, 98; Toge, 99) γ h γ ( ρ M ) ω ρ N γ h γ γ γ [ f f sin φ f sin φ] m [ f m f sin φ] (.) P otene l segnd deivd de l gvedd noml, ddo qe est cntidd v se my peqeñ, podemos eliz poximciones mcho más fetes qe en el cso nteio, expesndo γ en poximción esféic y deivándolo especto de. Así otenemos (Heisknen y Moitz, 98; Koishi, 99) γ γ γ h γ γ (.6) Hy qe not qe con ls fómls (.), (.) y (.6), podemos expes el vlo de l gvedd noml p n pnto P de ltitd φ qe se hlle n lt h (fig.), no my po encim del elipsoide de evolción, medinte n desollo en seie en fnción de est lt h, en l fom (Heisknen y Moitz, 98) γ( φ,h) γ γ γ h h γ φ ( f m f sin )h h h h st expesión pede eslt stnte útil p tjos geodésicos soe l speficie de l Tie, pes en este cso l lt h sele se sficientemente peqeñ (compd con ), como p qe est fóml ped plicse. 4. Línes geodésics del elipsoide de evolción L deteminción de ls línes geodésics de n speficie, es n polem clásico de l geodesi geométic, peo no po ello es n polem qe se hy qeddo desfsdo o nticdo. Hy mchs plicciones científics y técnics en ls qe se necesit conoce ls línes geodésics, o l distnci ente dos pntos de l Tie po el cmino más coto soe l speficie de l mism, es deci, sigiendo l líne geodésic del elipsoide de evolción teeste qe ne dichos pntos. n consecenci y deido l gn impotnci qe todví tiene l deteminción de ls línes geodésics, vmos dedic este ptdo estdi cómo se clcln ests línes. P ello, deemos ecod qe, según l geometí difeencil clásic, se denominn línes geodésics qells línes tzds soe n speficie p ls cles l cvt geodésic se nl. L cvt geodésic κg es n de ls dos componentes qe tiene el vecto cvt, este vecto pede expesse como (Stik, 9) κ κn κnn κgt donde n es el vecto noml l cv, N es el vecto noml l speficie y T es n vecto pependicl N y l vecto tngente l cv t. L cvt geodésic podá deteminse como el podcto vectoil de κ.t, donde hy qe ecod qe κ es l deivd del vecto tngente t con especto l co. ntonces, l cvt geodésic se podá detemin medinte κ g κ T t T t ( t N) (,, N) (N,, ) (4.)

16 donde es el vecto de posición (péndice I). P otene l cvt geodésic κg medinte l fóml (4.), deemos intodci ls elciones (péndice I y péndice III) α α αβ α β γ γ N (4.) donde (α, β, γ) son índices vín ente (, ) y (, ) son ls coodends cvilínes o cvs coodends de l speficie (péndice I). L deivd segnd de especto l co, se pede escii de fom más simple como γ cγ Nc (4.) si tenemos en cent qe γ c γ γ Γ αβα β αβ α β c (4.4) pesto qe si intodcimos ls elciones (4.4) en l fóml (4.), llegmos l expesión de l deivd segnd de especto l co dd po (4.), es deci γ γ c Nc ( Γ ) N( ) Γ N( ) γ γ γ γ αβ α β αβ α β γ γ γ αβ α β αβ α β γ γ γ γ γγαβ α β N(αβ α β ) γ γ α β(γ Γαβ Nαβ ) γ γ αβ α β donde hemos tilizdo qe (péndice XI) γ Γ N αβ γ αβ αβ (ecciones de Gss) Cndo intodcimos ls elciones (4.), (4.) y (4.4) en l fóml (4.), otenemos el vlo de l cvt geodésic en l fom (Cid y Fee, 997) κ (N,, ) (N, c Nc, ) (N, c, ) (N, Nc, ) (N, c, ) g γ γ ν ν γ γ ν ν ν ν γ γ ν ( N, c, ) (N, c, ) (N,, )(c c ) g(c c ) P ls línes geodésics po definición κg tiene qe se ceo. st condición se cmpliá siempe qe cγ se igl ceo, es deci γ c γ γ Γ α αβ β (4.) Ls ecciones (4.) nos dn ls condiciones qe se tienen qe cmpli p qe n cv clqie se n líne geodésic. Po ello, ls ecciones (4.) se les llm ecciones difeenciles de ls línes geodésics. No ostnte, hemos definido l pincipio de este ptdo l líne geodésic, como l líne tzd soe n speficie qe ne dos pntos de dich speficie, de tl fom qe l distnci medid soe est líne es l más peqeñ, es deci, l geodésic es el tyecto de mínim distnci ente dos pntos de n speficie. ntonces, l vist de ls ecciones (4.) consecenci de l condición κg, es difícil not qe est popiedd se cmple. P compo qe est popiedd de l geodésic es ciet, ecimos l cálclo de viciones, scndo ls cv C qe eselvn el polem vicionl ddo po (Stik, 9) δ( hds) h(ν, ν,s) ν, donde s denot el co. Ls cvs C qe eselvn este polem son ls solciones de ls ecciones de le-lgnge, dds po ν 6

17 n nesto polem l cntidd h es h ν d ds h ν αβ α β h g (4.6) ntonces clclndo ls deivds de h según l ección (4.6), tenemos h ν g αβ ν α β h gνα α ν d ds h g να ν β α β gνα α donde hemos omitido en ls expesiones nteioes n témino g αβ α β en el denomindo, poqe l igl ceo no v jg ningún ppel. Aplicndo ho l ección (4.6) con ls deivds de h otenids, tenemos h ν d ds h gαβ g g g να αβ g να α β α β να α α β gνα α ν ν β ν β si intodcimos en est ección l elción otenemos finlmente qe (péndice XI) g να gνβ g να α β α β β α β h ν d ds h ν [ αβ, ν] g donde podemos mltiplic po g νγ y sm especto del índice ν, oteniendo de nevo ls ecciones (4.), si intodciendo l definición de símolo de Chistoffel de segnd especie (péndice XI) y opemos en l fom α β να [, ] νγ g g γ αβ ν Γ νγ g α β να α αβ α β γ De est fom hemos confimdo qe ls ecciones (4.) son ls ecciones difeenciles qe hy qe integ, p otene l ección de ls línes geodésics de n speficie, definids tmién como ls línes tzds soe n speficie, qe cmplen l condición de se los tyectos de mínim distnci ente dos pntos de n speficie. Si est speficie es n elipsoide de evolción, en ls ecciones (4.) deeemos intodci los vloes de los símolos de Chistoffel de segnd especie qe coesponden est speficie, pes s vlo nos pemitiá pticliz ls ecciones (4.) p est speficie. P ello, otendemos en pime lg los símolos de Chistoffel de pime especie (péndices I y XI), cyo vlo es (los qe son igl ceo no son listdos) g P e W [, ] sin φ g [,] sin φ g 8 P 4 W P 4 W [,] [,] sin φ α 7

18 donde es el semieje myo del elipsoide, e es l excenticidd dd po ls ecciones (.) y (P, W) son ls sigientes evits P ( e ) W e sin φ A continción otenemos los coeficientes g αβ (péndices I y XI), cyo vlo es (los qe son igl ceo no son listdos) 6 g W g g W g g P g cos φ Clclndo finlmente los símolos de Chistoffel de segnd especie (péndices I y XI), cyo vlo es (los qe son igl ceo no son listdos) Γ g ν ν Γ g Γ g e W [, ν] g [, ] sin φ [, ν] g [,] sin φ W P P W [,] Γ tn φ Con el vlo de estos símolos intodcidos en ls ecciones (4.), pocedeemos escii ls ecciones difeenciles de ls línes geodésics del elipsoide de evolción en l fom Γ Γ Γ cmindo (, ) po ss vloes (φ, λ) y poniendo el vlo de los símolos, tenemos e W P φ sin φ( φ ) sin φ( λ ) λ tn φ( φ λ ) W P W Integndo l segnd ección otenemos d ds P dφ dλ P λ tn φ( λ ) tn φdφ W ds λ W W ln λ ln C ln cos φ sin φ ln λ ( e ) dφ ln C cosφw CW λ cos φ cos φdλ ds CW Si ho incopomos qí el vlo del elemento de co ddo po l pime fom fndmentl tvés de l ección (A.4), tenemos (Cid y Fee, 997) ( e ) cos φ ( ds) (dφ) (dλ) ( e sin φ) ( e sin φ) cos C W φ (dλ) C W P (dφ) / W cos φ(dλ) W ± CPdφ d λ (4.7) W cos φ cos φ C W 4 L integción de l ección (4.7) nos dá l ección de ls línes geodésics del elipsoide de evolción, escit en l fom λ λ(φ). 8

19 No ostnte, hy qe deci qe l integción de l ección (4.7) no es nd fácil, nqe no lo pezc deido s sencill pienci. Se tt de n integl p otene l geodésic en l fom λ λ(φ), qe ovimente no es l fom más conveniente de est cv, pes vloes igles de l vile φ nos dn distintos vloes de λ, es deci, l cv pede est mltivld en lgnos csos. Po ello, n expesión nlític de l geodésic en l fom λ λ(φ), qe siv p ni clqie p de pntos del elipsoide, pede se stnte difícil de otene. Deido est complejidd, pede se my útil simplific el polem intentndo consegi n solción nméic en lg de n solción nlític. P ello, esciimos l ección (4.7) en l fom dφ Wcosφ ± dλ cos φ C CP Aho notmos qe l fóml (4.8) expes el vlo de l deivd de l fnción φ φ(λ), qe ovimente no pede se tmpoco integd de fom nlític, pes está en fnción de φ y no de λ. No ostnte, l fóml (4.8) nos pemite hce n estimción nméic de l geodésic escit en l fom φ φ(λ), pes podemos plnte el pocedimiento de cálclo poximdo, ddo po dφ dφ φ φ dλ φi φi ( λi λi) dλ dλ φ P eject este pocedimiento nméico en n odendo, conocemos los pntos inicil P (φ,λ ) y finl P (φ,λ ), qe vmos ni tzndo l geodésic. ntonces, clclmos l geodésic qe ne mos pntos medinte l fóml (4.9), siendo λ i clcldo medinte W φ i (4.8) (4.9) λ i λ ( i )( λ λ)/(n ) (4.) donde i,,, N. P i comenzmos dndo el vlo φ i φ, oteniendo los estntes φ i medinte l fóml (4.9), en l qe incopomos los vloes de λ i ddos po (4.) y clclmos l deivd de φ especto de λ medinte (4.8), evld en el vlo de φ nteio. Cndo llegemos l último vlo λ N, tiene qe cmplise qe φ φ dφ N N ( λn λn) dλ φ N s deci, l ltitd φ del pnto P, conocid como dto inicil, nos pemite clcl el eo cometido en este poceso de cálclo poximdo, hllndo l difeenci qe hy ente el vlo clcldo φ N y el vlo veddeo φ del pnto P. De est fom, podemos estlece n mesteo de vloes N, tn gnde como se necesio p qe l geodésic φ i φ( λ i ), otenid de fom nméic, se tn pecis como se qie, pesto qe p consegi myo pecisión lo qe hemos seá hce más peqeño el intevlo λ λ i λ i-. φ 9

20 Apéndices A. cciones del elipsoide de evolción en coodends geodésics Tl como se h dicho en el ptdo, p otene ls ecciones (.) ptimos de ls ecciones x cosλ y sinλ z f() (A.) Ls ecciones (A.) son ls ecciones pmétics de n speficie de evolción (Stik, 9), donde (, λ) son ls coodends cvilínes de n pnto clqie de dich speficie (Stik, 9). Ls cvs pmétics con ls cvs qe se fomn soe n speficie cndo lgno de ls coodends cvilínes es constnte (Stik, 9). Ls cvs pmétics constnte son los plelos de n speficie de evolción, siendo ls cvs pmétics con λ constnte ss meidinos (Stik, 9). A ls cvs pmétics de n speficie se le llmn tmién cvs coodends (Stik, 9). n est notción l vile λ coincide con l longitd geodésic y ví desde hst 6º, siendo ρ N cosφ (fig.). Si considemos el elipsoide de evolción como n cso pticl de fig de evolción, tenemos qe l cv f(), qe se ot lededo del eje OB de l fig. p otene el elipsoide de evolción, se otiene de l ección implícit de dich speficie de evolción (Stik, 9; Toge, 99) x y z medinte l identificción del pámeto en l fom x y, entonces opendo tenemos z z oteniendo ls ecciones (.), pti de ls cles llegmos ls ecciones (.) sin más qe not qe ρ N cosφ (fig.), entonces z ρ N ρ N sin x cosλ ρ N cosφ cosλ y sinλ ρ N cosφ sinλ φ ρ N cos φ ρ N ( sin p simplific l expesión de z podemos eci l definición de ρ N dd po (.), teniendo qe ρ N e sin φ ρn e sin φ φ) e sin N φ ρ ρ N( e sin φ) ρ N e ρ N sin φ

21 ho ponemos este vlo de en l ección nteio p z, teniendo z ρn ρn sin φ ρn sin φ( e ) ( e ) ρn sin φ con lo qe finlmente otenemos ls ecciones (.) en l fom ρn ρn e sin φ ρn ρn sin φ x ρn cosφcos λ y ρn cosφ sin λ z ( e ) ρn sin φ (A.) donde sólo nos qed po encont qé es l cntidd ρ N (A.) e sin φ P ello, deemos not pimeo qe ls ecciones (A.) son ls ecciones pmétics del elipsoide de evolción, de n fom nálog ls ecciones (A.), peo ho hemos elegido los pámetos (φ, λ) como coodends cvilínes de n pnto clqie Q de dich speficie (el elipsoide de evolción), en lg de s los pámetos (, λ). n este cso, ls cvs pmétics φ constnte seán los plelos del elipsoide de evolción, siendo ls cvs pmétics con λ constnte como ntes, los meidinos (Cid y Fee, 997). n est notción φ es l ltitd geodésic y λ es l longitd geodésic (fig.). Con ests nevs coodends cvilínes (φ, λ) podemos escii ls pime y segnd foms fndmentles de l speficie (qe en este cso es n elipsoide de evolción) medinte ls ecciones (Cid y Fee, 997) ( e ) cos φ I (dφ) (dλ) (A.4) ( e sin φ) ( e sin φ) ( e ) cos φ II (dφ) (dλ) (A.) / / ( e sin φ) ( e sin φ) donde I y II son l pime y segnd foms fndmentles, espectivmente. L ección (A.4) se otiene tvés de l definición de pime fom fndmentl de n speficie, dd po (Stik, 9) I ds d.d ( d dv).( d dv) g (d) g (d)(dv) g (dv) (A.6) donde ds es elemento de co p n cv tzd soe dich speficie, siendo los g ij ddos po ls deivds pciles (Stik, 9) g.. g.. g.. (A.7) v v v siendo (, v) x(, v) i y(, v) j z(,v) k (A.8) donde (i, j, k) son los vectoes nitios ctesinos qe dn diección y sentido los ejes ctesinos (x, y, z). Cndo plicmos l ección (A.8) los vloes de (x, y, z) ddos po ls ecciones (A.) y (A.), podemos clcl los g ij ddos po ls ecciones (A.7), considendo como coodends cvilínes (, v) ls coodends geodésics (φ, λ). ntonces, esciimos l ección (A.6) con los vloes de g ij otenidos p ls coodends cvilínes (φ, λ), teniendo como esltdo ls ecciones (A.4). Donde hy qe not qe g, esto signific qe ls cvs coodends son otogonles ente sí, es deci, qe los meidinos y plelos del elipsoide de evolción fomn dos conjntos de línes otogonles ente sí (Stik, 9).

22 L ección (A.) se otiene tvés de l definición de segnd fom fndmentl de n speficie, dd po (Stik, 9) II d.dn ( d dv).(n d N dv) (d) (d)(dv) (dv (A.9) ) donde N es el vecto nitio noml l speficie y está ddo po (A.8), siendo los ij ddos po ls deivds pciles (Stik, 9) N N N.N..N..N. (A.) v v v donde p el vecto N podemos s l ección (péndice III) N (cos φcos λ, cos φ sin λ, sin φ) Cndo plicmos l ección (A.8) los vloes de (x, y, z) ddos po ls ecciones (A.) y (A.), podemos clcl los ij ddos ls ecciones (A.), considendo tmién ls deivds pciles del vecto N. ntonces, esciimos l ección (A.9) con los vloes de ij otenidos p ls coodends cvilínes (φ, λ), teniendo como esltdo ls ecciones (A.). Donde hy qe not qe, este esltdo jnto con g signific qe ls cvs coodends, qe son otogonles ente sí, son demás línes de cvt (Stik, 9), es deci, qe los meidinos y plelos del elipsoide de evolción fomn dos conjntos de línes, qe demás de se otogonles ente sí, son ls línes en ls cles l cvt es pincipl. ste esltdo poviene de estdi l zón qe existe ente l pime y segnd foms, qe po definición es l cvt noml κ n, es deci (Stik, 9) d.dn II κ n (A.) I d.d Cndo scmos ls diecciones tngentes n cv p ls cles κ n es máxim o mínim, encontmos ns diecciones qe se llmn diecciones de cvt pincipl o diecciones pinciples. A ls cvs, o línes soe l speficie, qe tienen ests diecciones se les denomin línes de cvt. n ests línes l cvt noml κ n es máxim o mínim, denominándose cvt pincipl l cvt noml κ n en l diección de n líne de cvt (diección pincipl). n el cso del elipsoide de evolción, po se y g, ls cvs coodends son línes de cvt. sto signific qe l cvt noml κ n p los meidinos (dλ ) y los plelos (dφ ) es pincipl, pdiendo otene los vloes de κ n medinte ls fómls (A.4), (A.) y (A.), poniendo dλ p los meidinos y dφ p los plelos. stos vloes son (Cid y Fee, 997) κ ( e sin ( e (dλ ) φ) ) / κ ( e (dφ ) sin φ) / (A.) Conocids ls cvts pinciples, podemos detemin los dios de cvt pinciples, pes éstos son ss invesos (Stik, 9). ntonces, plicndo el teoem de le tenemos κ n κ cos A κ sin A (/ R) (/ ρ)cos A (/ ρ )sin A (A.) donde R es el dio de cvt de n sección noml de cimt A, medido este cimt especto l meidino qe ps po ese mismo pnto Q del elipsoide, po el qe ps el plno noml qe define es cv. Un sección noml es l cv qe se fom soe el elipsoide, cndo lo cotmos con n plno qe contiene l diección noml l elipsoide, en n pnto Q de dicho

23 elipsoide. ste plno noml fomá n ánglo A con el plno meidino. l plno meidino es el plno noml (qe tmién contiene l diección noml l elipsoide en el mismo pnto Q) qe fom l líne del meidino cndo cot l elipsoide. Cndo ponemos los vloes A y A 9º en l ección (A.) e intodcimos los vloes de κ y κ ddos po (A.), otenemos los dios de cvt nomles p los meidinos y plelos (Toge, 99) R ρ / κ ( e ) ( e sin φ) A (meidinos dλ ) / ρ M R ρ / κ ( e sin A 9º (plelos dφ ) donde ρ N es l cntidd dd po l ección (A.), qe ttámos de identific desde el pincipio. Al dio de cvt noml en l diección de n plelo se le llm gn noml, noml pincipl o tmién pime veticl de Q (Toge, 99). l teoem de le (A.) es n esltdo my impotnte de l geometí difeencil clásic, pes este teoem jnto con el teoem de Mesnie, nos d tod l infomción especto l cvt, p clqie cv de n speficie qe pse po n pnto clqie de dich speficie (Stik, 9). l teoem de Mesnie nos dice qe p clqie cv de n speficie se veific qe κn κ cosϕ R cosϕ (A.4) donde /κ es el dio de cvt de l cv, R /κ n el dio de cvt noml y ϕ es el ánglo qe fomn el vecto noml l speficie y el vecto noml l cv. Lógicmente l ección (A.4) p los dios de cvt, no podá esciise p ls cvs sintótics, pes p ests cvs II, entonces κ n (Stik, 9). n el cso qe nos ocp, el elipsoide de evolción, podemos plic el teoem de Mesnie los plelos y los meidinos, pes ningn de ests cvs es sintótic. P los plelos tenemos (fig.) R cosϕ ρn cosϕ ρn cosφ y qe, n plelo es simplemente n cicnfeenci de dio (el plelo qe ps po n pnto Q clqie del elipsoide), entonces el ánglo ϕ qe fom el vecto noml est cv con el vecto noml l speficie, es pecismente l ltitd geodésic φ, siendo el dio de est cicnfeenci el dio de cvt de est cv (Toge, 99). Aho podemos compo qe el dio de cvt en el pime veticl ρ N es l distnci NQ (fig.), qedndo pefectmente identificd l cntidd dd po l ección (A.), tnto de fom nméic como gáfic. Respecto los meidinos, po est fomdos po el cote de n plno noml con el elipsoide, el ánglo qe fomn el vecto noml l speficie y el vecto noml l cv es ϕ. n consecenci, según l ección (A.4) el dio de cvt de l cv y el dio de cvt noml son idénticos (Toge, 99). A. Relción ente ltitd geodésic y geocéntic P hll l elción qe existe ente ltitd geodésic φ y ltitd geocéntic ψ, deemos osev en l fig. qe cndo nos sitmos en n pnto Q del elipsoide y nos desplzmos n peqeño incemento d, psmos oto pnto del elipsoide Q infinitmente póximo Q peo jsto po dejo, es deci, dz es negtivo. n consecenci, cndo estdiemos el vlo de dich pendiente, tendemos (Toge, 99) φ) / ρ N

24 dz tn α tn(8 9º φ) tn(9º φ) cot φ d tn φ tn φ donde podemos intodci el vlo est deivd pti de ls expesiones (.), despejndo n elción (z) y deivndo especto de z, con lo qe otendímos z d z tn φ tn ψ dz d dz tn ψ tn φ ( e ) tn φ donde hemos tilizdo de nevo ls expesiones (.) p encont el vlo del cociente /. Así, otenemos finlmente l ección (.4), l cl nos d l elción existente ente l ltitd geodésic φ y l ltitd geocéntic ψ, p clqie pnto Q de l speficie del elipsoide de evolción. L elción (.4) es my impotnte po s gn tilidd, lo mismo qe l expesión del dio geocéntico ρ (fig.) en fnción de l ltitd geocéntic ψ, de n pnto Q del elipsoide de evolción, est elción es (Rpp, 97) e ρ (A.) e cos ψ P demost l ección (A.) st con osev l fig., notndo ensegid qe z z ρ (sinψ) (cosψ) ( ρcosψ) ( ρsin ψ) ρ (sinψ) (cosψ) entonces, hid cent de qe ( e ) tenemos l ección (A.). Ls expesiones (.4) y (A.) son my impotntes pes ls coodends geocéntics son ls más sds p escii l posición de n pnto Q del elipsoide, en los desollos en seie del potencil gvittoio teeste (Rpp, 97; Koishi, 99). A. Vecto noml l speficie del elipsoide de evolción P hll l expesión del vecto noml l speficie elipsoide de evolción, dd po (Cid y Fee, 997) N (cos φcos λ, cos φ sin λ, sin φ) (A.) otendemos pimeo el vlo del vecto noml n speficie, pticlizndo lego este esltdo l cso del elipsoide de evolción. Así, deemos ecod qe el vecto nitio noml n speficie se clcl medinte el podcto vectoil (Stik, 9) N g gg g (A.) g donde los vectoes y los g ij están ddos po ls elciones (A.7) y (A.8). Si considemos como coodends cvilínes (, v) ls coodends geodésics (φ, λ), podemos plic l ección (A.8) los vloes de (x, y, z) ddos po ls ecciones (A.) y (A.), clclndo los g ij medinte ls ecciones (A.7) y como consecenci el podcto vectoil (A.), oteniendo entonces como esltdo finl l ección (A.). 4

25 A4. Tnsfomción de coodends po otción Cndo elizmos el cálclo excto de l mtiz de otción R de l fóml (.), nos dmos cent de qe l expesión (.) es sólo n poximción válid cndo los ánglos (ε x, ε y, ε z ) son sficientemente peqeños (Toge, 99). n l páctic, sele se siempe sí, pes estos ánglos tienen vloes qe nos spen nos pocos segndos de co. Po ello, no se s nnc l tnsfomción exct en l qe R es el podcto de tes mtices (Donedd, 978; Spiegel, 988), qe expesn tes otciones otogonles consectivs, cd n de ells lededo de no de los ejes ctesinos (x, y, z), con los ánglos (ε x, ε y, ε z ), es deci, qe l expesión exct de R es (Leick, 99) donde cd mtiz está dd po R R(ε x )R(ε y )R(ε z ) (A4.) R ( εx ) cosεx sin εx εx (A4.) sin εx cosεx εx cosεy sin εy εy R ( εy ) (A4.) sin εy cosεy εy cosεz sin εz εz R ( εz ) sin εz cosεz εz (A4.4) donde l poximción del coseno del ánglo con vlo y del seno del ánglo con el ánglo, es válid cndo dicho ánglo es my peqeño, cos qe fotndmente sele scede siempe en n tnsfomción de cmio de dátm, pes como y se h dicho ntes, los vloes de los ánglos nnc exceden nos pocos segndos de co. n este cso, el podcto de mtices indicdo po (A4.), emplendo ls mtices poximds dds po ls expesiones (A4.), (A4.) y (A4.4), dá como esltdo l mtiz R de l expesión (.), en l qe hemos despecido los téminos en ε y potencis speioes (Hofmnn-Wellenhof nd Lichtenegge, 994). A. Potencil centífgo Si qeemos conside en el elipsoide teeste (o en l Tie) n sistem de efeenci con los ejes fijos l mismo, deemos tene en cent l fez centífg. st fez de ineci es intodcid, como y es ien sido, p d cent de l no inecilidd del sistem de efeenci elegido. st fez fictici es l qe d cent de qe no estmos midiendo ls fezs en n sistem de efeenci inecil. Po ello, necesitmos intodci fezs de este tipo, p d cent de los efectos qe osevmos socidos l no inecilidd del sistem de efeenci elegido. n nesto cso l medi l celeción de gvedd deemos ñdi n témino C, en l fom γ G C donde γ es l celeción de l gvedd noml, G es l pte deid l gvitción y C es l pte deid l fez centífg (l celeción centífg). L celeción centífg C se pede clcl desde el potencil centífgo Φ, tvés del opedo gdiente (Toge, 99)

26 Φ ω (x y ) ω C gd(φ) ω donde osevndo l fig., identificmos fácilmente ls cntiddes y, como x cosλ y sinλ x y xi yj donde (i, j) son los vectoes nitios ctesinos qe dn diección y sentido los ejes ctesinos (x, y). Cndo plicmos el opedo gdiente l potencil noml U ddo po l ección (.), otenemos l celeción de l gvedd noml o simplemente l gvedd noml γ. Llegdos este pnto, es inteesnte estdi el significdo de l cntidd m definid como ω m (A.) donde K constnte de gvitción de Newton y M es l ms de l Tie. st cntidd m definid medinte l fóml (A.), es n evit my tilizd en geodesi físic, pes s vlo es my peqeño, po ello, pede sse my ien en desollos en seie de potencis, qe convegeán p ls pimes potencis de m, pes los téminos coespondientes potencis de gdo speio seán despeciles. ntonces, dd l impotnci de est cntidd en ftos desollos, es conveniente estdi qí qé significdo tiene. P ello, deemos not qe l celeción centífg C definid ntes, tendá n vlo de ω (en módlo) cndo l clclemos en el ecdo. P éste mismo lg, el vlo en modlo de l gvedd noml seá γ gd(u) (A.) donde podemos tiliz l fóml (.) p otene el vlo de U. No ostnte, si poximmos l fóml (.) en l fom U cndo l intodcimos en l fóml (A.) y ponemos (en el ecdo), tenemos γ con lo qe podemos escii l fóml (A.) en fnción de l celeción centífg y l gvedd noml (ms clclds en el ecdo), medinte (Heisknen y Moitz, 98) ω γ ( ω ) / ω ω m Po lo tnto, conclimos qe l cntidd m definid po l fóml (A.) es poximdmente l zón qe existe ente l celeción centífg y l gvedd noml, cndo ms son clclds en el ecdo. Éste es el significdo físico (poximdo) qe tiene l cntidd m qe hemos definido. A6. Potencil de l gvedd noml en mónicos esféicos L ecciones (.) y (.) son impotntes elciones, de ls cles vmos otene mch infomción soe el cmpo de gvedd noml. Po ello, es impotnte otenels pti del concepto de potencil de l gvedd noml, indicndo cómo llegmos l desollo en mónicos esféicos ddo po l fóml (.), cyos coeficientes constntes están ddos po l fóml (.). 6