Apuntes sobre la Parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades

Transcripción

1 Investigación y Docencia por Néstor guilera puntes sobre la Parábola: su meición según rquímees y otras propieaes Introucción (Versión revisaa e mayo e 2001) Muchas veces habrán oío que rquímees fue el precursor el cálculo matemático, afirmación basaa en que, hacia el año 240.C., obtuvo la meición e cualquier segmento parabólico. unque este resultao marca un hito funamental en el esarrollo e las matemáticas, la afirmación e que rquímees fue el inventor el cálculo es un tanto temeraria. Según él mismo, este esarrollo suyo se apoya en lo hecho por los antiguos griegos, refiriénose muy posiblemente a los esarrollos que conujeron a los libros e Euclies, alreeor e 200 años.c.. Recoremos, por ejemplo, que en estos libros se presenta el métoo e exhaución para la meición el círculo. Por supuesto, rquímees vivía en Sicilia, Italia, lugar en one la cultura griega era bien conocia 1. Cómo hizo rquímees para meir el segmento parabólico, si no isponía e coorenaas cartesianas, y por lo tanto tampoco e funciones para integrar? La respuesta es que él tenía un conocimiento profuno e las propieaes e la parábola y, claro, una inteligencia superior. En estas notas nos proponemos estuiar algunas e las propieaes e la parábola, a partir e su efinición, y llegar a la reconstrucción e la meición e un segmento parabólico según rquímees. Usaremos las herramientas e las que isponía rquímees, es ecir no usaremos construcciones basaas en geometría analítica o integrales, sino que usaremos esencialmente la regla y el compás. Terminaremos con otros resultaos interesantes, algunos muy sencillos, otros no tanto, y comparano con las herramientas más nuevas como geometría analítica y cálculo. En el transcurso iremos ejano preguntas y problemas para el lector inquieto, pero ( atención remolones!) no son ecisivos para la obtención e los resultaos principales. 1 En realia, fue un solao romano quien asesinó a rquímees cuano los romanos, luego e un largo sitio, tomaron Siracusa. Por otra parte, es posible que rquímees hubiera sio iscípulo irecto e Euclies.

2 Pág. 2 La parábola y rquímees Una manera muy interesante e trabajar con este material es usar software como Cabri-Géomètre, ya que permite mover los objetos básicos estacano las propieaes subyacentes en las figuras geométricas. No obstante, las figuras que aquí presentamos están hechas con el software Mathematica 2. Pero empecemos por el principio La efinición clásica e la parábola y su construcción Una parábola es un objeto geométrico en el plano, efinio a partir e un punto llamao foco, al que en este artículo normalmente inicaremos por, y una recta llamaa irectriz, a la que inicaremos como. Para efinirla necesitamos las nociones e istancia entre os puntos (en realia poer comparar la istancia entre pares e puntos), y la istancia e un punto a una recta. Recoremos que la istancia e un punto a una recta es la menor istancia el punto a cualquier punto e la recta, y se obtiene tomano la proyección perpenicular el punto sobre la recta. hora sí: aos el foco y la irectriz, /, la parábola asociaa es el lugar geométrico e toos los puntos que están a igual istancia e y. En la igura 1 vemos el gráfico e una parábola con foco y irectriz, que e aquí en más inicaremos como (, ). Vemos en esa figura a un punto P sobre la parábola y su proyección perpenicular, P, sobre. Hemos sombreao con gris oscuro la región que llamaremos interior e la parábola, compuesta por los puntos que están más cerca e que e, y con gris claro su parte exterior, o sea, los puntos que están más cerca e que e. También hemos señalao en la igura 1 el eje e la parábola, e, que es la recta por y perpenicular a, y que constituye un eje e simetría. e P P igura 1 Una forma e construir un punto sobre la parábola es consierar que el punto a ibujar se encuentra a una istancia r e y. Entonces está en una circunferencia e centro y raio r, y en una recta paralela a a istancia r, por lo tanto en la intersección e esa circunferencia y recta. Necesitaremos que r no sea menor que la mita e la istancia entre y para que esa intersección exista, y habrá en general os puntos en la intersección, señalaos por P y Q en la igura 2. 2 El autor agraece a la Olimpíaa Matemática rgentina el apoyo brinao, y en particular el uso e las faciliaes e computación para el esarrollo e este artículo.

3 2. Tangentes a la parábola y otra construcción posible Pág. 3 P r Q r igura 2 2. Tangentes a la parábola y otra construcción posible Poemos hacer una construcción un tanto istinta: si P es un punto sobre la parábola (, ) y P es su proyección perpenicular sobre, entonces la meiatriz el segmento 3 P pasa por P, pues la meiatriz es el conjunto e puntos que están a igual istancia e y e P. Pensánolo al revés, poemos asignar a caa punto P sobre un punto P sobre la parábola tomano la intersección e la perpenicular a por P y la meiatriz m el segmento P como se inica en la igura 3. Q P P m igura 3 partir e este gráfico parece que la meiatriz m es tangente a la parábola por P. Claro que para ver esto formalmente eberíamos tener una efinición e tangente a una curva. unque no es aecuaa para cualquier curva, acá nos bastará con tener la iea intuitiva e tangente a una curva como la recta que interseca la curva y la eja a un lao. Esta conición es satisfecha por m porque 1) P m y 2) m ivie al plano en os semiplanos, uno e los cuales contiene a toos los puntos que están más cerca e P que e (como el punto Q en la igura 3), y entonces toos estos puntos están en el exterior e la parábola, ya que la istancia e estos puntos a es mayor que la istancia a P que es a su vez mayor o igual que la istancia a, por lo que ciertamente m eja a la curva a un lao. Más concretamente, poríamos ecir que el interior e la parábola está completamente contenio en uno e los semiplanos eterminaos por m, y que salvo el mismo punto e tangencia, la tangente está completamente contenia en el exterior e la parábola. 3 Por simpleza, inicamos con tanto el segmento, la longitu el segmento o la recta eterminaa por los puntos y. Por otra parte no ponremos notación especial para triángulos o polígonos en general.

4 Pág. 4 La parábola y rquímees Problema 2.1. Otra forma e efinir la tangente a una curva es como la recta que interseca la curva en un solo punto. Ver que P es el único punto e m que está en la parábola. Miremos ahora la igura 4, one hemos enotao por M al punto meio el segmento P y por a la proyección e sobre. Por ser M el punto one la meiatriz m corta al segmento, el ángulo PM es recto. Claro que M pertenece a la recta r paralela a que pasa por el punto meio el segmento. El siguiente problema es una expresión e esta iea. veces, en vez e trazar las rectas, se ponen hilos, (tal vez e istintos colores) con chinches, ano por resultao ibujos atractivos. P M m P igura 4 r Problema 2.2. En una mesa se pone un tarugo y se fija una regla bien larga. Se apoya un cateto e una escuara sobre el tarugo y el vértice recto sobre la regla. Se trazan las rectas aas por el otro cateto e la escuara para varias posiciones e la escuara, resultano una serie e rectas envolventes a una curva. Cuál es esa curva? (Una envolvente e una familia e rectas es un objeto tal que too punto e ese objeto pertenece a alguna e las rectas e la familia, y esa recta a la que pertenece es precisamente la tangente al objeto por el punto). 3. Propieaes e la tangente y la normal En la igura 5 agregamos el segmento P. Vemos que hay varios ángulos iguales. En efecto, agregano los puntos Q y T para estacar los ángulos, vemos que los ángulos PM y P PM son iguales, pues P está sobre la meiatriz m el segmento P. También los ángulos P PM y TPQ son iguales, pues son ángulos opuestos por el vértice, por lo que los ángulos PM y TPQ son iguales. Esto nos a la propiea e reflexión e la parábola: si arrojamos una pelota (o un rayo e luz) ese hacia P, la pelota (o rayo) rebotará como si la parábola fuera la tangente m, y se irigirá hacia Q, es ecir, paralela al eje e la parábola. También poemos pensar al revés: si un rayo e luz o pelota viene paralelamente al eje e la parábola por su interior, entonces rebotará en irección al foco. Como sabemos, esta propiea e reflexión es usaa para la construcción e linternas y antenas satelitales. Problema 3.1. Qué pasa si el rayo o pelota viene en irección paralela al eje e la parábola pero ese el exterior? Y si viene ese el exterior hacia el foco?

5 3. Propieaes e la tangente y la normal Pág. 5 Q P T M m P igura 5 Problema 3.2. Los espejos e las linternas tienen la forma e una parábola rotaas sobre su eje y luego truncaa. Cuano proyectamos el haz e luz sobre una pare, vemos que se concentra si nos acercamos a la pare y se ifune si nos alejamos. Cómo puee ser, si los rayos eben reflejarse paralelamente al eje e la parábola, y por lo tanto el haz e luz ebería ser un cilinro? Problema 3.3. Supongamos que os móviles, y, en el interior e la parábola (, ) se acercan hacia la irectriz en irección paralela al eje e la parábola, y supongamos que ambos rebotarán al llegar a la parábola irigiénose hacia, como hemos escrito. Ver que si ambos se mueven a la misma velocia constante y están inicialmente a la misma istancia e, llegan juntos a. Nota: En particular, una ona (por ejemplo e luz o electromagnética) que viene ese el infinito y se esplaza hacia la irectriz y paralelamente, se concentra en sin esfasarse, como hemos tratao e ilustrar en la figura al costao, one los tramos e color azul y vere tienen toos la misma longitu. La recta normal en el punto P e la parábola, enotaa por n en la igura 6, es la recta por P perpenicular a la tangente a la parábola por P. En esa figura también hemos agregao otros elementos: el punto S, intersección e n con el eje e; el punto T, proyección perpenicular e P sobre e; el punto Q, intersección e la tangente m y e; así como el punto, proyección e sobre. Vemos que el segmento PS es paralelo al segmento P (ambos son perpeniculares a m), el segmento P P (que no hemos marcao) es paralelo al segmento S (ambos son perpeniculares a ), y finalmente que el segmento PT es paralelo al segmento P (ambos son perpeniculares a e), e lo que poemos obtener varios resultaos: Resultao 3.4: Con las notaciones anteriores, la longitu el segmento ST es la istancia característica e la parábola, es ecir, la longitu el segmento. Demostración: asta observar que los triángulos P y PTS son iguales. Resultao 3.5: Con las notaciones anteriores, el punto meio el segmento QS es.

6 Pág. 6 La parábola y rquímees n m P M P Q T S e igura 6 Demostración: M es el punto meio el segmento PQ, pues es punto meio el segmento P (m es su meiatriz), y sieno el segmento P P paralelo al segmento Q, los triángulos P PM y QM son congruentes (por una reflexión respecto e M). Entonces el segmento M es base meia el triángulo PQS, pues es paralelo al segmento PS, lo que implica el resultao. Problema 3.6. Demostrar que el cuarilátero QPP es un paralelogramo. En particular, los segmentos P Q y P tienen la misma longitu. 4. Tangente ese un punto exterior Repasemos: ao un punto P sobre la parábola (, ), poemos trazar la tangente tomano la meiatriz m el segmento P one P es la proyección perpenicular e P sobre. Nos preguntamos ahora cómo trazar una tangente a la parábola que pase por cualquier punto ao que no esté sobre la parábola. Es claro que el punto ao ebe estar en el exterior, pues la tangente nunca tiene puntos interiores. Supongamos que S es el punto ao, y que ya hemos construio una recta tangente t que toca a la parábola en el punto P que tiene proyección P sobre, como en la igura 7 a). Entonces, ao que S está en la meiatriz el segmento P, los segmentos S y SP tienen igual longitu, o en otras palabras, P está en una circunferencia e centro S que pasa por. En realia, esta circunferencia corta a la recta en os puntos, llamaos y en la igura 7 b). partir e estos puntos sobre es posible construir los puntos y sobre la parábola, como en la construcción e la igura 2. Es ecir, cualquier punto exterior a la parábola pertenece exactamente a os tangentes. P S t P S igura 7 a igura 7 b En realia, también hemos emostrao:

7 5. Tangente paralela a una recta aa Pág. 7 Resultao 4.1: Si y son os puntos e la parábola, cuyas proyecciones sobre son y (respectivamente) y las tangentes por y se cortan en S, entonces S es el circuncentro el triángulo. Problema 4.2. Sabemos que la intersección e una circunferencia y una recta es o bien os puntos, o uno, o ninguno. Por qué afirmamos que si el punto S es exterior a la parábola, la circunferencia e centro S que pasa por corta a en os puntos? Cuáles son los puntos S para los cuales esa circunferencia corta a en exactamente un punto? Y en ninguno? Problema 4.3. Encontrar el lugar geométrico e los puntos S ese los cuales se ve la parábola a 90. Sugerencia: Si S es intersección e las meiatrices e los segmentos y, el ángulo en S formao por las meiatrices (ÂS) es suplemento el ángulo Â. emás, un triángulo es rectángulo en si y sólo si el segmento es iámetro e la circunferencia circunscripta. Recorar que para emostrar que un objeto es un lugar geométrico e puntos, hay que emostrar os inclusiones. 5. Tangente paralela a una recta aa cabamos e ver cómo encontrar una recta (la tangente) ao un punto sobre ella, encontrano la peniente e esa recta (en el caso anterior había os posibiliaes). Otra posibilia es ar la peniente y encontrar el punto: aa una recta l (que no tiene por qué cortar a la parábola), encontrar una recta t paralela a l y tangente a la parábola (, ). Supongamos que ya hemos encontrao t y el punto e tangencia T t, que tiene proyección T sobre, como en la igura 8 a). Sabemos que t es la meiatriz el segmento T y por lo tanto la recta l ha e ser perpenicular a este segmento, en otras palabras, aos (, ) y l poemos encontrar T como la intersección e la perpenicular a l que pasa por. Como ya hemos visto, ahora poemos construir la meiatriz t y espués T. l T T t l T T igura 8 a igura 8 b Problema 5.1. Qué pasa si la recta l es perpenicular a? Si inicamos con y los puntos e intersección e la recta l con la parábola, y con y las corresponientes proyecciones sobre, como en la igura 8 b), mirano con atención observamos que el punto T parece ser justamente el punto meio el segmento.

8 Pág. 8 La parábola y rquímees Que esto es así siempre es nuestro próximo resultao: Resultao 5.2: Con las notaciones anteriores, el punto T es el punto meio el segmento. Demostración: Si trazamos os circunferencias con centros y (respectivamente), que pasan por, ellas son tangentes a. Si es la otra intersección e estas circunferencias (una es ), la potencia el punto T respecto a la circunferencia con centro en (ver por ejemplo Santaló [2]), es el proucto e las longitues e los segmentos T y T e igual al cuarao e la longitu el segmento T. Como esa potencia es igual a la potencia e T respecto a la circunferencia con centro en, obtenemos que los segmentos T y T tienen igual longitu. De aquí parece natural plantearse el siguiente: Problema 5.3. Encontrar, con regla y compás, la intersección e una recta l con la parábola (, ) (o sea aos los gráficos e las rectas l y y el punto, encontrar los puntos y e la igura 8 b)). Sugerencia: Encontrar el punto T, el punto R simétrico e respecto a l que es el otro punto e intersección e las circunferencias e la igura 8 b), y la meia geométrica e los segmentos T y T R para eterminar y. 6. El Triángulo e rquímees Consieremos ahora los puntos y sobre la parábola, que eterminan la recta l. En este caso las tangentes respectivas, que son las meiatrices e los segmentos eterminaos por y las proyecciones corresponientes y se cortan en un punto S. El triángulo S, que mostramos sombreao con gris en la igura 9, es particularmente interesante, y muchas veces se lo llama triángulo e rquímees. Sabemos construir un punto T sobre la parábola tal que la tangente corresponiente es paralela a l: T es la intersección e la perpenicular r a l por, y la perpenicular a por T, que ya sabemos es la meiatriz el segmento, contiene al punto T. También ya sabemos que S está en la meiatriz el segmento. Más aún: si M es el punto meio el segmento, entonces por ser los segmentos, y TT paralelos, M también estará en esta meiatriz. Resumimos estos resultaos: Resultao 6.1: Con las notaciones anteriores, los puntos M, S, T y T están en la meiatriz el segmento. M T l M T l t T S P T P S igura 9 igura 10

9 6. El Triángulo e rquímees Pág. 9 En la igura 9, poemos ver que T es aproximaamente el punto meio el segmento SM. El próximo resultao ice que esto es siempre así: Resultao 6.2: Con las notaciones anteriores, T es el punto meio el segmento SM. Demostración: Nos valemos e la igura 10. llí hemos construio el punto P, intersección e las tangentes por y por T (a la que llamamos t). También hemos construio el punto P, pie e la perpenicular a por P. Como sabemos, t es paralela a l, y P es el punto meio el segmento T. Más aún, como los segmentos, ST y PP son paralelos, por Tales sabemos que P es el punto meio el segmento S (aún en el caso extremo en que S = T ). Otra vez por Tales, ahora mirano al triángulo SM, poemos ver que T es el punto meio el segmento SM. También en el transcurso e la emostración hemos visto: Resultao 6.3: Con las notaciones anteriores el punto P, intersección e las tangentes por y por T, es punto meio el segmento S. Puesto que hay tantos puntos meios ano vueltas, poemos relacionar las áreas e varios e los triángulos que aparecen, en particular nos interesa: Resultao 6.4: Con las mismas notaciones, si P y Q son las intersecciones e la tangente por T con las tangentes por y respectivamente, entonces a) área(t ) = 1 2 área(s). b) área(pt ) + área(qt ) = 1 2 área(t ) = 1 4 área(s). Demostración: Ilustramos con la igura 11. Sieno el segmento PQ paralelo al segmento, y P el punto meio el segmento S, too triángulo que tenga como base al segmento y tercer vértice en el segmento PQ tiene área igual a la mita el área el triángulo S, en particular vale a). Para b), observamos que i) área(t ) = área(mt ) + área(mt ). ii) El segmento T es meiana el triángulo SM, e moo que área(mt ) = área(st ) = 1 2 área(ms). iii) El segmento PT es meiana el triángulo ST, e moo que área(pt ) = 1 2 área(st ). iv) De ii) y iii) obtenemos área(pt ) = 1 4 área(ms). v) nálogamente, área(qt ) = 1 4 vi) De i), iv) y v) obtenemos b). área(ms ).

10 Pág. 10 La parábola y rquímees M P S T Q igura La meición el segmento parabólico según rquímees Siguieno con las mismas notaciones, aos los puntos y en la parábola (, ), el segmento parabólico entre y es el conjunto e puntos en el interior e la parábola limitaos por el segmento, como se inica con gris oscuro en la igura 12. En esa misma figura, hemos marcao con gris claro el triángulo e rquímees S, al que ya conocemos. S U P T S V Q igura 12 igura 13 El resultao e rquímees es: Resultao 7.1 (Teorema e rquímees): El área el segmento parabólico entre y es exactamente las os terceras partes el área el triángulo S. La iea e la emostración es aproximar lo mejor posible el área el segmento parabólico por triángulos que lo vayan encerrano. Por ejemplo, el lector porá ver el siguiente Problema 7.2. Demostrar que, con las notaciones e la igura 11, el triángulo S es el triángulo e menor área que tiene como base al segmento y contiene al segmento parabólico entre y. De moo similar, el triángulo T es el que tiene mayor área entre los triángulos que tienen como base al segmento que están contenios en el segmento parabólico entre y. Demostración el Teorema e rquímees (7.1): Nos ayuamos con la igura 13, one esta vez no incluimos la parábola para poer istinguir los puntos en la figura. Si s es el área el segmento parabólico, por inclusiones es claro que área(t ) s 2 área(t ).

11 8. Otras propieaes el triángulo e rquímees Pág. 11 Si quitamos el triángulo T el segmento parabólico, nos quean os nuevos segmentos parabólicos: entre y T, y entre T y, y repetimos el argumento con estos nuevos segmentos parabólicos. Para ello añaimos los puntos U y V, que son los puntos e la parábola para los que las tangentes son paralelas, respectivamente, a los segmentos T y T. Obtenemos área(t ) + área(ut ) + área(vt ) s área(t ) + área(pt ) + área(qt ), expresión que poemos simplificar, usano el resultao anterior, puesto que área(ut ) + área(vt ) = 1 2 (área(pt ) + área(qt )) = 1 4 área(t ), y área(pt ) + área(qt ) = 1 2 área(t ). Entonces ( ) área(t ) s (1 + 1 ) área(t ). 2 Continuano con este proceso n veces, llegaremos a algo como ( n ) área(t ) s ( n ) área(t ). 2n y hora n = 4 n = 4 3 ( n+1 ) n n = n n = 4 ( 1 1 ) 3 4 n n. Es claro que a meia que n crece, el área buscaa s quea eterminaa por el valor s = 4 3 área(t ) = 2 3 área(s). 8. Otras propieaes el triángulo e rquímees Siguieno con las notaciones anteriores, el triángulo e rquímees, S en la igura 14, tiene otras propieaes interesantes. Por ejemplo, los ángulos S y S coincien. Veamos esto: por ser la recta por y S meiatriz el segmento, el complementario el ángulo S es el ángulo  = Â. Por otra parte, como

12 Pág. 12 La parábola y rquímees S igura 14 el segmento es perpenicular a, también el ángulo es complementario el ángulo Â, y por lo tanto los ángulos S y son iguales pues tienen igual complemento. Ya sabemos que S es el circuncentro el triángulo, por lo que e la relación ángulo inscripto y central, S = 2. Sieno la recta por S y meiatriz el segmento, resulta S = S =, por lo que S = = S. Problema 8.1. Ver que los triángulos S y S e la igura 14 son semejantes. En particular, el segmento S biseca al ángulo Â. Claro que si C es otro punto e la parábola y T es el punto e intersección e las tangentes por y C, tenremos T = TC (ver igura 15). Si ahora R es el punto e intersección e las tangentes por y C, tenremos SR = S = S = T = TC = TR. S T R C igura 15 Entonces, el cuarilátero STR se puee inscribir en una circunferencia, como se inica en la igura 15, es ecir obtenemos: Resultao 8.2: La circunferencia circunscripta al triángulo STR, formao por la intersección e tres tangentes a la parábola, contiene al foco e la parábola. 9. Más sobre rectas secantes a la parábola Ya hemos visto cómo construir una tangente con peniente aa, y hemos visto que la normal y la perpenicular al eje eterminan sobre el eje la istancia característica. Tomemos ahora os puntos sobre la parábola, la recta que pasa por ellos y la meiatriz el segmento que los une. Pensano que cuano ambos

13 9. Más sobre rectas secantes a la parábola Pág. 13 puntos coincien la recta se convierte en tangente y la meiatriz en normal, es natural el siguiente resultao: P M Q T R S e m igura 16 Resultao 9.1: Sean y os puntos sobre la parábola, m y M respectivamente meiatriz y punto meio el segmento. Sea S la intersección e m con el eje e, y sea T la proyección e M sobre e. Entonces la istancia entre S y T es la istancia característica e la parábola. Demostración: Ilustramos con la igura 16, tomano como la proyección e en. Sea P el punto e la parábola cuya tangente es paralela al segmento, R la intersección e la normal por P con e, Q la proyección e P sobre e. Entonces, como sabemos, QR = (i.e. e longitu igual a la istancia característica ). El triángulo MTS es igual al triángulo PQR, pues P y M están sobre una paralela a e, y el segmento PR es paralelo al segmento MS (son perpeniculares a la recta por y y a la tangente por P ). Por lo tanto, los segmentos TS, QR y tienen igual longitu. Ya sabemos que si os rectas secantes son paralelas, los puntos meios e las cueras están sobre una misma perpenicular a la irectriz. El resultao anterior nos ice qué pasa cuano los puntos meios e las cueras están sobre una misma perpenicular al eje: Resultao 9.2: Sean,, C y D cuatro puntos sobre la parábola, m y n meiatrices e los segmentos y CD, M y N sus puntos meios, respectivamente. Si M y N están sobre una misma perpenicular al eje e, entonces m y n cortan a e en un mismo punto (ver igura 17). D M n N S e C igura 17 Demostración: Es inmeiata a partir el resultao anterior.

14 Pág. 14 La parábola y rquímees El lector porá preguntarse cómo hacer para ibujar la igura 17. La respuesta está en el próximo problema y en que, por un problema anterior, ya sabemos construir la intersección e una recta y una parábola. Problema 9.3. Sean y os puntos sobre la parábola, m meiatriz el segmento y M su punto meio. Sea S la intersección e m con el eje e y sea N un punto sobre la perpenicular a e por M que está en el interior e la parábola. Entonces N es punto meio el segmento CD, one C y D están sobre la parábola y la meiatriz el segmento CD contiene al segmento NS. Sugerencia: Trazar la recta perpenicular al segmento NS por N. Esta recta corta a la parábola en C y D. Si Q es el punto meio el segmento CD, ver que Q = N usano el resultao anterior. 10. Un poco e geometría analítica y cálculo Si bien estamos jugano a que no vamos a usar coorenaas ni cálculo, es interesante ver ese este punto e vista las construcciones que estamos realizano. Sabemos que si isponemos e ejes cartesianos, y la irectriz es paralela al eje e las x s, entonces la parábola puee escribirse con la ecuación y = f(x) = ax 2 + bx + c, para constantes a, b y c aecuaas, a 0. Por ejemplo, si los puntos = (x, y ) y = (x, y ) están sobre la parábola, entonces el punto meio entre y, que hemos llamao M en la igura 10, tiene por coorenaas M = (x M, y M ) one x M = x + x, y y M = y + y 2 2 = 1 2 a(x2 + x 2 ) (x + x ) + c. Más aún, si usamos cálculo, sabemos que la recta tangente a la parábola en el punto (x, y) tiene peniente aa por la erivaa, y = f (x) = 2ax + b. Por ejemplo, las tangentes por los puntos y tienen ecuaciones: t : y y = (2ax + b) (x x ) y t : y y = (2ax + b) (x x ), y se cortan en el punto S = (x S, y S ). Para encontrar estas nuevas coorenaas poemos, por ejemplo, espejar primeramente y S, obtenieno (2ax ) (x S x ) + ax 2 + bx + c = (2ax ) (x S x ) + ax 2 + bx + c, e one resulta, con un poco e álgebra, que x S = (x + x )/2, es ecir, x S = x M, como ya vimos. También el punto T e la igura 10 es el previsto por el Teorema e Rolle: aos x y x, existe ξ entre x y x tal que f (ξ) = f(x ) f(x ) x x, lo que aquí se trauce en que existe ξ tal que f (ξ) = 2aξ + b = a(x2 x2 ) + b(x x ) x x = a(x + x ) + b. Despejano, resulta ξ = (x + x )/2. Como ξ es la coorenaa x e T, resulta que M, S y T tienen toos la misma coorenaa x.

15 11. La parábola a partir e otros elementos Pág. 15 Problema En base a las ecuaciones anteriores, emostrar que T es el punto meio e M y S. Problema Sin usar cálculo, encontrar la peniente e la recta tangente (es ecir la erivaa) en términos e los coeficientes a, b y c, usano que la tangente a la parábola en un punto es una meiatriz. 11. Construcción e la parábola a partir e o- tros elementos Sigamos con el uso e coorenaas, con la irectriz paralela al eje e las x s. Si conocemos tres puntos sobre la parábola, poemos encontrar su ecuación y eterminarla completamente (en general, para un polinomio e grao n necesitamos n+1 puntos). Tenríamos tres ecuaciones que forman un sistema lineal (e Van er Mone) y tres incógnitas, a, b y c. Estaríamos tentaos e ecir que la parábola tiene tres graos e liberta : los coeficientes a, b y c. Pero nos estaríamos olviano que tenemos otro ato: es paralela al eje e las x s, es ecir tenemos aemás la peniente e. Más bien ebemos pensar que la parábola tiene cuatro graos e liberta, pensano que un punto e la parábola etermina un grao, así como la tangente en un punto, o la peniente e, o que pasa por cierto punto, pero el foco etermina os graos 4, así como la irectriz. En particular, poemos reconstruir la parábola (encontrar su foco y irectriz) si conocemos 4 e sus puntos, resultao ebio a Newton (es interesante saber que el se preocupaba por este tipo e problemas) y que se puee ver, por ejemplo, en Dörrie [1]. En este sentio, la parábola es aún más sencilla que un cuarilátero: con 4 puntos no alcanzamos a eterminar el cuarilátero que los contiene, salvo que sepamos que son los vértices o que tienen alguna otra particularia. También poemos relacionar con otras cónicas: para una circunferencia necesitamos 3 graos e liberta: el centro (equivalente al foco en la parábola: os graos) y el raio (otro grao), pero también poemos obtener la circunferencia a partir e 3 puntos sobre ella. En general, para una cónica necesitamos 5 atos (o graos e liberta), resultao asociao a los nombres e Pascal, rianchon y Desargues y a la geometría proyectiva. sí, aos 5 puntos sobre una cónica poemos eterminarla completamente, pero para una parábola bastan 4 y para una circunferencia bastan 3. Presentamos ahora algunos problemas basaos en la iea e los cuatro atos, ejano algunas inicaciones para el lector impaciente, aunque seguramente el lector inquieto pensará en otras alternativas. Problema Construir con regla y compás el foco aos la irectriz y os puntos sobre la parábola. Nota: en general hay os soluciones. Sugerencia: trazar los pies y circunferencias. Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco y os puntos sobre la parábola. Nota: hay os soluciones. 4 Toos los puntos son iguales... pero hay algunos más iguales que otros.

16 Pág. 16 Referencias Sugerencia: cómo se traza una tangente exterior a os circunferencias? Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco y os rectas tangentes. Nota: no se an los puntos e tangencia. Sugerencia: Encontrar simétricos e respecto a las rectas aas. Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco, un punto sobre la parábola y su tangente. Repetir para el caso en que la tangente no pasa por el punto ao. Nota: En el primer caso hay una solución, en el otro, os. Sugerencia: a) trazar el simétrico e respecto e la tangente, b) cómo se traza la tangente a una circunferencia que pasa por un punto? Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco, el eje y un punto sobre la parábola. Nota: Observar que en este caso el foco y el eje an sólo os graos e liberta. Sugerencia: Trazar una circunferencia con centro y raio (el punto ao sobre la parábola), cortano al eje en os puntos. Problema Construir con regla y compás la irectriz y el foco aos os puntos e la parábola y sus respectivas tangentes. Sugerencia: Usar problemas anteriores y que es punto meio e las intersecciones e la tangente y la normal por un punto e la parábola con el eje (trazar rectas e puntos meios ). Problema Construir con regla y compás la irectriz y el foco aos os puntos sobre la parábola y el eje. Nota: Los puntos no eben ser simétricos uno el otro respecto el eje. Sugerencia: Consierar el punto meio M entre y, los puntos e la parábola. Las intersecciones e la meiatriz por M y la perpenicular al eje por M eterminan el istancia característica e la parábola. Con este parámetro y una perpenicular al eje por se pueen construir la tangente y la normal por, y se reuce a un problema anterior. Problema Construir con regla y compás el foco y la irectriz e la parábola, aas cuatro rectas tangentes. Nota: Observar que no se an los puntos e tangencia, sólo las rectas. Sugerencia: Usar que triángulos formaos por la intersección e tangentes tienen circunferencias circunscriptas que pasan por. Referencias [1] H. Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History an Solution. Dover, [2] L.. Santaló: La Geometría en la Enseñanza e los Profesores. Eitorial Re Olímpica, 1993.