Apuntes sobre la Parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Apuntes sobre la Parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades"

Transcripción

1 Investigación y Docencia por Néstor guilera puntes sobre la Parábola: su meición según rquímees y otras propieaes Introucción (Versión revisaa e mayo e 2001) Muchas veces habrán oío que rquímees fue el precursor el cálculo matemático, afirmación basaa en que, hacia el año 240.C., obtuvo la meición e cualquier segmento parabólico. unque este resultao marca un hito funamental en el esarrollo e las matemáticas, la afirmación e que rquímees fue el inventor el cálculo es un tanto temeraria. Según él mismo, este esarrollo suyo se apoya en lo hecho por los antiguos griegos, refiriénose muy posiblemente a los esarrollos que conujeron a los libros e Euclies, alreeor e 200 años.c.. Recoremos, por ejemplo, que en estos libros se presenta el métoo e exhaución para la meición el círculo. Por supuesto, rquímees vivía en Sicilia, Italia, lugar en one la cultura griega era bien conocia 1. Cómo hizo rquímees para meir el segmento parabólico, si no isponía e coorenaas cartesianas, y por lo tanto tampoco e funciones para integrar? La respuesta es que él tenía un conocimiento profuno e las propieaes e la parábola y, claro, una inteligencia superior. En estas notas nos proponemos estuiar algunas e las propieaes e la parábola, a partir e su efinición, y llegar a la reconstrucción e la meición e un segmento parabólico según rquímees. Usaremos las herramientas e las que isponía rquímees, es ecir no usaremos construcciones basaas en geometría analítica o integrales, sino que usaremos esencialmente la regla y el compás. Terminaremos con otros resultaos interesantes, algunos muy sencillos, otros no tanto, y comparano con las herramientas más nuevas como geometría analítica y cálculo. En el transcurso iremos ejano preguntas y problemas para el lector inquieto, pero ( atención remolones!) no son ecisivos para la obtención e los resultaos principales. 1 En realia, fue un solao romano quien asesinó a rquímees cuano los romanos, luego e un largo sitio, tomaron Siracusa. Por otra parte, es posible que rquímees hubiera sio iscípulo irecto e Euclies.

2 Pág. 2 La parábola y rquímees Una manera muy interesante e trabajar con este material es usar software como Cabri-Géomètre, ya que permite mover los objetos básicos estacano las propieaes subyacentes en las figuras geométricas. No obstante, las figuras que aquí presentamos están hechas con el software Mathematica 2. Pero empecemos por el principio La efinición clásica e la parábola y su construcción Una parábola es un objeto geométrico en el plano, efinio a partir e un punto llamao foco, al que en este artículo normalmente inicaremos por, y una recta llamaa irectriz, a la que inicaremos como. Para efinirla necesitamos las nociones e istancia entre os puntos (en realia poer comparar la istancia entre pares e puntos), y la istancia e un punto a una recta. Recoremos que la istancia e un punto a una recta es la menor istancia el punto a cualquier punto e la recta, y se obtiene tomano la proyección perpenicular el punto sobre la recta. hora sí: aos el foco y la irectriz, /, la parábola asociaa es el lugar geométrico e toos los puntos que están a igual istancia e y. En la igura 1 vemos el gráfico e una parábola con foco y irectriz, que e aquí en más inicaremos como (, ). Vemos en esa figura a un punto P sobre la parábola y su proyección perpenicular, P, sobre. Hemos sombreao con gris oscuro la región que llamaremos interior e la parábola, compuesta por los puntos que están más cerca e que e, y con gris claro su parte exterior, o sea, los puntos que están más cerca e que e. También hemos señalao en la igura 1 el eje e la parábola, e, que es la recta por y perpenicular a, y que constituye un eje e simetría. e P P igura 1 Una forma e construir un punto sobre la parábola es consierar que el punto a ibujar se encuentra a una istancia r e y. Entonces está en una circunferencia e centro y raio r, y en una recta paralela a a istancia r, por lo tanto en la intersección e esa circunferencia y recta. Necesitaremos que r no sea menor que la mita e la istancia entre y para que esa intersección exista, y habrá en general os puntos en la intersección, señalaos por P y Q en la igura 2. 2 El autor agraece a la Olimpíaa Matemática rgentina el apoyo brinao, y en particular el uso e las faciliaes e computación para el esarrollo e este artículo.

3 2. Tangentes a la parábola y otra construcción posible Pág. 3 P r Q r igura 2 2. Tangentes a la parábola y otra construcción posible Poemos hacer una construcción un tanto istinta: si P es un punto sobre la parábola (, ) y P es su proyección perpenicular sobre, entonces la meiatriz el segmento 3 P pasa por P, pues la meiatriz es el conjunto e puntos que están a igual istancia e y e P. Pensánolo al revés, poemos asignar a caa punto P sobre un punto P sobre la parábola tomano la intersección e la perpenicular a por P y la meiatriz m el segmento P como se inica en la igura 3. Q P P m igura 3 partir e este gráfico parece que la meiatriz m es tangente a la parábola por P. Claro que para ver esto formalmente eberíamos tener una efinición e tangente a una curva. unque no es aecuaa para cualquier curva, acá nos bastará con tener la iea intuitiva e tangente a una curva como la recta que interseca la curva y la eja a un lao. Esta conición es satisfecha por m porque 1) P m y 2) m ivie al plano en os semiplanos, uno e los cuales contiene a toos los puntos que están más cerca e P que e (como el punto Q en la igura 3), y entonces toos estos puntos están en el exterior e la parábola, ya que la istancia e estos puntos a es mayor que la istancia a P que es a su vez mayor o igual que la istancia a, por lo que ciertamente m eja a la curva a un lao. Más concretamente, poríamos ecir que el interior e la parábola está completamente contenio en uno e los semiplanos eterminaos por m, y que salvo el mismo punto e tangencia, la tangente está completamente contenia en el exterior e la parábola. 3 Por simpleza, inicamos con tanto el segmento, la longitu el segmento o la recta eterminaa por los puntos y. Por otra parte no ponremos notación especial para triángulos o polígonos en general.

4 Pág. 4 La parábola y rquímees Problema 2.1. Otra forma e efinir la tangente a una curva es como la recta que interseca la curva en un solo punto. Ver que P es el único punto e m que está en la parábola. Miremos ahora la igura 4, one hemos enotao por M al punto meio el segmento P y por a la proyección e sobre. Por ser M el punto one la meiatriz m corta al segmento, el ángulo PM es recto. Claro que M pertenece a la recta r paralela a que pasa por el punto meio el segmento. El siguiente problema es una expresión e esta iea. veces, en vez e trazar las rectas, se ponen hilos, (tal vez e istintos colores) con chinches, ano por resultao ibujos atractivos. P M m P igura 4 r Problema 2.2. En una mesa se pone un tarugo y se fija una regla bien larga. Se apoya un cateto e una escuara sobre el tarugo y el vértice recto sobre la regla. Se trazan las rectas aas por el otro cateto e la escuara para varias posiciones e la escuara, resultano una serie e rectas envolventes a una curva. Cuál es esa curva? (Una envolvente e una familia e rectas es un objeto tal que too punto e ese objeto pertenece a alguna e las rectas e la familia, y esa recta a la que pertenece es precisamente la tangente al objeto por el punto). 3. Propieaes e la tangente y la normal En la igura 5 agregamos el segmento P. Vemos que hay varios ángulos iguales. En efecto, agregano los puntos Q y T para estacar los ángulos, vemos que los ángulos PM y P PM son iguales, pues P está sobre la meiatriz m el segmento P. También los ángulos P PM y TPQ son iguales, pues son ángulos opuestos por el vértice, por lo que los ángulos PM y TPQ son iguales. Esto nos a la propiea e reflexión e la parábola: si arrojamos una pelota (o un rayo e luz) ese hacia P, la pelota (o rayo) rebotará como si la parábola fuera la tangente m, y se irigirá hacia Q, es ecir, paralela al eje e la parábola. También poemos pensar al revés: si un rayo e luz o pelota viene paralelamente al eje e la parábola por su interior, entonces rebotará en irección al foco. Como sabemos, esta propiea e reflexión es usaa para la construcción e linternas y antenas satelitales. Problema 3.1. Qué pasa si el rayo o pelota viene en irección paralela al eje e la parábola pero ese el exterior? Y si viene ese el exterior hacia el foco?

5 3. Propieaes e la tangente y la normal Pág. 5 Q P T M m P igura 5 Problema 3.2. Los espejos e las linternas tienen la forma e una parábola rotaas sobre su eje y luego truncaa. Cuano proyectamos el haz e luz sobre una pare, vemos que se concentra si nos acercamos a la pare y se ifune si nos alejamos. Cómo puee ser, si los rayos eben reflejarse paralelamente al eje e la parábola, y por lo tanto el haz e luz ebería ser un cilinro? Problema 3.3. Supongamos que os móviles, y, en el interior e la parábola (, ) se acercan hacia la irectriz en irección paralela al eje e la parábola, y supongamos que ambos rebotarán al llegar a la parábola irigiénose hacia, como hemos escrito. Ver que si ambos se mueven a la misma velocia constante y están inicialmente a la misma istancia e, llegan juntos a. Nota: En particular, una ona (por ejemplo e luz o electromagnética) que viene ese el infinito y se esplaza hacia la irectriz y paralelamente, se concentra en sin esfasarse, como hemos tratao e ilustrar en la figura al costao, one los tramos e color azul y vere tienen toos la misma longitu. La recta normal en el punto P e la parábola, enotaa por n en la igura 6, es la recta por P perpenicular a la tangente a la parábola por P. En esa figura también hemos agregao otros elementos: el punto S, intersección e n con el eje e; el punto T, proyección perpenicular e P sobre e; el punto Q, intersección e la tangente m y e; así como el punto, proyección e sobre. Vemos que el segmento PS es paralelo al segmento P (ambos son perpeniculares a m), el segmento P P (que no hemos marcao) es paralelo al segmento S (ambos son perpeniculares a ), y finalmente que el segmento PT es paralelo al segmento P (ambos son perpeniculares a e), e lo que poemos obtener varios resultaos: Resultao 3.4: Con las notaciones anteriores, la longitu el segmento ST es la istancia característica e la parábola, es ecir, la longitu el segmento. Demostración: asta observar que los triángulos P y PTS son iguales. Resultao 3.5: Con las notaciones anteriores, el punto meio el segmento QS es.

6 Pág. 6 La parábola y rquímees n m P M P Q T S e igura 6 Demostración: M es el punto meio el segmento PQ, pues es punto meio el segmento P (m es su meiatriz), y sieno el segmento P P paralelo al segmento Q, los triángulos P PM y QM son congruentes (por una reflexión respecto e M). Entonces el segmento M es base meia el triángulo PQS, pues es paralelo al segmento PS, lo que implica el resultao. Problema 3.6. Demostrar que el cuarilátero QPP es un paralelogramo. En particular, los segmentos P Q y P tienen la misma longitu. 4. Tangente ese un punto exterior Repasemos: ao un punto P sobre la parábola (, ), poemos trazar la tangente tomano la meiatriz m el segmento P one P es la proyección perpenicular e P sobre. Nos preguntamos ahora cómo trazar una tangente a la parábola que pase por cualquier punto ao que no esté sobre la parábola. Es claro que el punto ao ebe estar en el exterior, pues la tangente nunca tiene puntos interiores. Supongamos que S es el punto ao, y que ya hemos construio una recta tangente t que toca a la parábola en el punto P que tiene proyección P sobre, como en la igura 7 a). Entonces, ao que S está en la meiatriz el segmento P, los segmentos S y SP tienen igual longitu, o en otras palabras, P está en una circunferencia e centro S que pasa por. En realia, esta circunferencia corta a la recta en os puntos, llamaos y en la igura 7 b). partir e estos puntos sobre es posible construir los puntos y sobre la parábola, como en la construcción e la igura 2. Es ecir, cualquier punto exterior a la parábola pertenece exactamente a os tangentes. P S t P S igura 7 a igura 7 b En realia, también hemos emostrao:

7 5. Tangente paralela a una recta aa Pág. 7 Resultao 4.1: Si y son os puntos e la parábola, cuyas proyecciones sobre son y (respectivamente) y las tangentes por y se cortan en S, entonces S es el circuncentro el triángulo. Problema 4.2. Sabemos que la intersección e una circunferencia y una recta es o bien os puntos, o uno, o ninguno. Por qué afirmamos que si el punto S es exterior a la parábola, la circunferencia e centro S que pasa por corta a en os puntos? Cuáles son los puntos S para los cuales esa circunferencia corta a en exactamente un punto? Y en ninguno? Problema 4.3. Encontrar el lugar geométrico e los puntos S ese los cuales se ve la parábola a 90. Sugerencia: Si S es intersección e las meiatrices e los segmentos y, el ángulo en S formao por las meiatrices (ÂS) es suplemento el ángulo Â. emás, un triángulo es rectángulo en si y sólo si el segmento es iámetro e la circunferencia circunscripta. Recorar que para emostrar que un objeto es un lugar geométrico e puntos, hay que emostrar os inclusiones. 5. Tangente paralela a una recta aa cabamos e ver cómo encontrar una recta (la tangente) ao un punto sobre ella, encontrano la peniente e esa recta (en el caso anterior había os posibiliaes). Otra posibilia es ar la peniente y encontrar el punto: aa una recta l (que no tiene por qué cortar a la parábola), encontrar una recta t paralela a l y tangente a la parábola (, ). Supongamos que ya hemos encontrao t y el punto e tangencia T t, que tiene proyección T sobre, como en la igura 8 a). Sabemos que t es la meiatriz el segmento T y por lo tanto la recta l ha e ser perpenicular a este segmento, en otras palabras, aos (, ) y l poemos encontrar T como la intersección e la perpenicular a l que pasa por. Como ya hemos visto, ahora poemos construir la meiatriz t y espués T. l T T t l T T igura 8 a igura 8 b Problema 5.1. Qué pasa si la recta l es perpenicular a? Si inicamos con y los puntos e intersección e la recta l con la parábola, y con y las corresponientes proyecciones sobre, como en la igura 8 b), mirano con atención observamos que el punto T parece ser justamente el punto meio el segmento.

8 Pág. 8 La parábola y rquímees Que esto es así siempre es nuestro próximo resultao: Resultao 5.2: Con las notaciones anteriores, el punto T es el punto meio el segmento. Demostración: Si trazamos os circunferencias con centros y (respectivamente), que pasan por, ellas son tangentes a. Si es la otra intersección e estas circunferencias (una es ), la potencia el punto T respecto a la circunferencia con centro en (ver por ejemplo Santaló [2]), es el proucto e las longitues e los segmentos T y T e igual al cuarao e la longitu el segmento T. Como esa potencia es igual a la potencia e T respecto a la circunferencia con centro en, obtenemos que los segmentos T y T tienen igual longitu. De aquí parece natural plantearse el siguiente: Problema 5.3. Encontrar, con regla y compás, la intersección e una recta l con la parábola (, ) (o sea aos los gráficos e las rectas l y y el punto, encontrar los puntos y e la igura 8 b)). Sugerencia: Encontrar el punto T, el punto R simétrico e respecto a l que es el otro punto e intersección e las circunferencias e la igura 8 b), y la meia geométrica e los segmentos T y T R para eterminar y. 6. El Triángulo e rquímees Consieremos ahora los puntos y sobre la parábola, que eterminan la recta l. En este caso las tangentes respectivas, que son las meiatrices e los segmentos eterminaos por y las proyecciones corresponientes y se cortan en un punto S. El triángulo S, que mostramos sombreao con gris en la igura 9, es particularmente interesante, y muchas veces se lo llama triángulo e rquímees. Sabemos construir un punto T sobre la parábola tal que la tangente corresponiente es paralela a l: T es la intersección e la perpenicular r a l por, y la perpenicular a por T, que ya sabemos es la meiatriz el segmento, contiene al punto T. También ya sabemos que S está en la meiatriz el segmento. Más aún: si M es el punto meio el segmento, entonces por ser los segmentos, y TT paralelos, M también estará en esta meiatriz. Resumimos estos resultaos: Resultao 6.1: Con las notaciones anteriores, los puntos M, S, T y T están en la meiatriz el segmento. M T l M T l t T S P T P S igura 9 igura 10

9 6. El Triángulo e rquímees Pág. 9 En la igura 9, poemos ver que T es aproximaamente el punto meio el segmento SM. El próximo resultao ice que esto es siempre así: Resultao 6.2: Con las notaciones anteriores, T es el punto meio el segmento SM. Demostración: Nos valemos e la igura 10. llí hemos construio el punto P, intersección e las tangentes por y por T (a la que llamamos t). También hemos construio el punto P, pie e la perpenicular a por P. Como sabemos, t es paralela a l, y P es el punto meio el segmento T. Más aún, como los segmentos, ST y PP son paralelos, por Tales sabemos que P es el punto meio el segmento S (aún en el caso extremo en que S = T ). Otra vez por Tales, ahora mirano al triángulo SM, poemos ver que T es el punto meio el segmento SM. También en el transcurso e la emostración hemos visto: Resultao 6.3: Con las notaciones anteriores el punto P, intersección e las tangentes por y por T, es punto meio el segmento S. Puesto que hay tantos puntos meios ano vueltas, poemos relacionar las áreas e varios e los triángulos que aparecen, en particular nos interesa: Resultao 6.4: Con las mismas notaciones, si P y Q son las intersecciones e la tangente por T con las tangentes por y respectivamente, entonces a) área(t ) = 1 2 área(s). b) área(pt ) + área(qt ) = 1 2 área(t ) = 1 4 área(s). Demostración: Ilustramos con la igura 11. Sieno el segmento PQ paralelo al segmento, y P el punto meio el segmento S, too triángulo que tenga como base al segmento y tercer vértice en el segmento PQ tiene área igual a la mita el área el triángulo S, en particular vale a). Para b), observamos que i) área(t ) = área(mt ) + área(mt ). ii) El segmento T es meiana el triángulo SM, e moo que área(mt ) = área(st ) = 1 2 área(ms). iii) El segmento PT es meiana el triángulo ST, e moo que área(pt ) = 1 2 área(st ). iv) De ii) y iii) obtenemos área(pt ) = 1 4 área(ms). v) nálogamente, área(qt ) = 1 4 vi) De i), iv) y v) obtenemos b). área(ms ).

10 Pág. 10 La parábola y rquímees M P S T Q igura La meición el segmento parabólico según rquímees Siguieno con las mismas notaciones, aos los puntos y en la parábola (, ), el segmento parabólico entre y es el conjunto e puntos en el interior e la parábola limitaos por el segmento, como se inica con gris oscuro en la igura 12. En esa misma figura, hemos marcao con gris claro el triángulo e rquímees S, al que ya conocemos. S U P T S V Q igura 12 igura 13 El resultao e rquímees es: Resultao 7.1 (Teorema e rquímees): El área el segmento parabólico entre y es exactamente las os terceras partes el área el triángulo S. La iea e la emostración es aproximar lo mejor posible el área el segmento parabólico por triángulos que lo vayan encerrano. Por ejemplo, el lector porá ver el siguiente Problema 7.2. Demostrar que, con las notaciones e la igura 11, el triángulo S es el triángulo e menor área que tiene como base al segmento y contiene al segmento parabólico entre y. De moo similar, el triángulo T es el que tiene mayor área entre los triángulos que tienen como base al segmento que están contenios en el segmento parabólico entre y. Demostración el Teorema e rquímees (7.1): Nos ayuamos con la igura 13, one esta vez no incluimos la parábola para poer istinguir los puntos en la figura. Si s es el área el segmento parabólico, por inclusiones es claro que área(t ) s 2 área(t ).

11 8. Otras propieaes el triángulo e rquímees Pág. 11 Si quitamos el triángulo T el segmento parabólico, nos quean os nuevos segmentos parabólicos: entre y T, y entre T y, y repetimos el argumento con estos nuevos segmentos parabólicos. Para ello añaimos los puntos U y V, que son los puntos e la parábola para los que las tangentes son paralelas, respectivamente, a los segmentos T y T. Obtenemos área(t ) + área(ut ) + área(vt ) s área(t ) + área(pt ) + área(qt ), expresión que poemos simplificar, usano el resultao anterior, puesto que área(ut ) + área(vt ) = 1 2 (área(pt ) + área(qt )) = 1 4 área(t ), y área(pt ) + área(qt ) = 1 2 área(t ). Entonces ( ) área(t ) s (1 + 1 ) área(t ). 2 Continuano con este proceso n veces, llegaremos a algo como ( n ) área(t ) s ( n ) área(t ). 2n y hora n = 4 n = 4 3 ( n+1 ) n n = n n = 4 ( 1 1 ) 3 4 n n. Es claro que a meia que n crece, el área buscaa s quea eterminaa por el valor s = 4 3 área(t ) = 2 3 área(s). 8. Otras propieaes el triángulo e rquímees Siguieno con las notaciones anteriores, el triángulo e rquímees, S en la igura 14, tiene otras propieaes interesantes. Por ejemplo, los ángulos S y S coincien. Veamos esto: por ser la recta por y S meiatriz el segmento, el complementario el ángulo S es el ángulo  = Â. Por otra parte, como

12 Pág. 12 La parábola y rquímees S igura 14 el segmento es perpenicular a, también el ángulo es complementario el ángulo Â, y por lo tanto los ángulos S y son iguales pues tienen igual complemento. Ya sabemos que S es el circuncentro el triángulo, por lo que e la relación ángulo inscripto y central, S = 2. Sieno la recta por S y meiatriz el segmento, resulta S = S =, por lo que S = = S. Problema 8.1. Ver que los triángulos S y S e la igura 14 son semejantes. En particular, el segmento S biseca al ángulo Â. Claro que si C es otro punto e la parábola y T es el punto e intersección e las tangentes por y C, tenremos T = TC (ver igura 15). Si ahora R es el punto e intersección e las tangentes por y C, tenremos SR = S = S = T = TC = TR. S T R C igura 15 Entonces, el cuarilátero STR se puee inscribir en una circunferencia, como se inica en la igura 15, es ecir obtenemos: Resultao 8.2: La circunferencia circunscripta al triángulo STR, formao por la intersección e tres tangentes a la parábola, contiene al foco e la parábola. 9. Más sobre rectas secantes a la parábola Ya hemos visto cómo construir una tangente con peniente aa, y hemos visto que la normal y la perpenicular al eje eterminan sobre el eje la istancia característica. Tomemos ahora os puntos sobre la parábola, la recta que pasa por ellos y la meiatriz el segmento que los une. Pensano que cuano ambos

13 9. Más sobre rectas secantes a la parábola Pág. 13 puntos coincien la recta se convierte en tangente y la meiatriz en normal, es natural el siguiente resultao: P M Q T R S e m igura 16 Resultao 9.1: Sean y os puntos sobre la parábola, m y M respectivamente meiatriz y punto meio el segmento. Sea S la intersección e m con el eje e, y sea T la proyección e M sobre e. Entonces la istancia entre S y T es la istancia característica e la parábola. Demostración: Ilustramos con la igura 16, tomano como la proyección e en. Sea P el punto e la parábola cuya tangente es paralela al segmento, R la intersección e la normal por P con e, Q la proyección e P sobre e. Entonces, como sabemos, QR = (i.e. e longitu igual a la istancia característica ). El triángulo MTS es igual al triángulo PQR, pues P y M están sobre una paralela a e, y el segmento PR es paralelo al segmento MS (son perpeniculares a la recta por y y a la tangente por P ). Por lo tanto, los segmentos TS, QR y tienen igual longitu. Ya sabemos que si os rectas secantes son paralelas, los puntos meios e las cueras están sobre una misma perpenicular a la irectriz. El resultao anterior nos ice qué pasa cuano los puntos meios e las cueras están sobre una misma perpenicular al eje: Resultao 9.2: Sean,, C y D cuatro puntos sobre la parábola, m y n meiatrices e los segmentos y CD, M y N sus puntos meios, respectivamente. Si M y N están sobre una misma perpenicular al eje e, entonces m y n cortan a e en un mismo punto (ver igura 17). D M n N S e C igura 17 Demostración: Es inmeiata a partir el resultao anterior.

14 Pág. 14 La parábola y rquímees El lector porá preguntarse cómo hacer para ibujar la igura 17. La respuesta está en el próximo problema y en que, por un problema anterior, ya sabemos construir la intersección e una recta y una parábola. Problema 9.3. Sean y os puntos sobre la parábola, m meiatriz el segmento y M su punto meio. Sea S la intersección e m con el eje e y sea N un punto sobre la perpenicular a e por M que está en el interior e la parábola. Entonces N es punto meio el segmento CD, one C y D están sobre la parábola y la meiatriz el segmento CD contiene al segmento NS. Sugerencia: Trazar la recta perpenicular al segmento NS por N. Esta recta corta a la parábola en C y D. Si Q es el punto meio el segmento CD, ver que Q = N usano el resultao anterior. 10. Un poco e geometría analítica y cálculo Si bien estamos jugano a que no vamos a usar coorenaas ni cálculo, es interesante ver ese este punto e vista las construcciones que estamos realizano. Sabemos que si isponemos e ejes cartesianos, y la irectriz es paralela al eje e las x s, entonces la parábola puee escribirse con la ecuación y = f(x) = ax 2 + bx + c, para constantes a, b y c aecuaas, a 0. Por ejemplo, si los puntos = (x, y ) y = (x, y ) están sobre la parábola, entonces el punto meio entre y, que hemos llamao M en la igura 10, tiene por coorenaas M = (x M, y M ) one x M = x + x, y y M = y + y 2 2 = 1 2 a(x2 + x 2 ) (x + x ) + c. Más aún, si usamos cálculo, sabemos que la recta tangente a la parábola en el punto (x, y) tiene peniente aa por la erivaa, y = f (x) = 2ax + b. Por ejemplo, las tangentes por los puntos y tienen ecuaciones: t : y y = (2ax + b) (x x ) y t : y y = (2ax + b) (x x ), y se cortan en el punto S = (x S, y S ). Para encontrar estas nuevas coorenaas poemos, por ejemplo, espejar primeramente y S, obtenieno (2ax ) (x S x ) + ax 2 + bx + c = (2ax ) (x S x ) + ax 2 + bx + c, e one resulta, con un poco e álgebra, que x S = (x + x )/2, es ecir, x S = x M, como ya vimos. También el punto T e la igura 10 es el previsto por el Teorema e Rolle: aos x y x, existe ξ entre x y x tal que f (ξ) = f(x ) f(x ) x x, lo que aquí se trauce en que existe ξ tal que f (ξ) = 2aξ + b = a(x2 x2 ) + b(x x ) x x = a(x + x ) + b. Despejano, resulta ξ = (x + x )/2. Como ξ es la coorenaa x e T, resulta que M, S y T tienen toos la misma coorenaa x.

15 11. La parábola a partir e otros elementos Pág. 15 Problema En base a las ecuaciones anteriores, emostrar que T es el punto meio e M y S. Problema Sin usar cálculo, encontrar la peniente e la recta tangente (es ecir la erivaa) en términos e los coeficientes a, b y c, usano que la tangente a la parábola en un punto es una meiatriz. 11. Construcción e la parábola a partir e o- tros elementos Sigamos con el uso e coorenaas, con la irectriz paralela al eje e las x s. Si conocemos tres puntos sobre la parábola, poemos encontrar su ecuación y eterminarla completamente (en general, para un polinomio e grao n necesitamos n+1 puntos). Tenríamos tres ecuaciones que forman un sistema lineal (e Van er Mone) y tres incógnitas, a, b y c. Estaríamos tentaos e ecir que la parábola tiene tres graos e liberta : los coeficientes a, b y c. Pero nos estaríamos olviano que tenemos otro ato: es paralela al eje e las x s, es ecir tenemos aemás la peniente e. Más bien ebemos pensar que la parábola tiene cuatro graos e liberta, pensano que un punto e la parábola etermina un grao, así como la tangente en un punto, o la peniente e, o que pasa por cierto punto, pero el foco etermina os graos 4, así como la irectriz. En particular, poemos reconstruir la parábola (encontrar su foco y irectriz) si conocemos 4 e sus puntos, resultao ebio a Newton (es interesante saber que el se preocupaba por este tipo e problemas) y que se puee ver, por ejemplo, en Dörrie [1]. En este sentio, la parábola es aún más sencilla que un cuarilátero: con 4 puntos no alcanzamos a eterminar el cuarilátero que los contiene, salvo que sepamos que son los vértices o que tienen alguna otra particularia. También poemos relacionar con otras cónicas: para una circunferencia necesitamos 3 graos e liberta: el centro (equivalente al foco en la parábola: os graos) y el raio (otro grao), pero también poemos obtener la circunferencia a partir e 3 puntos sobre ella. En general, para una cónica necesitamos 5 atos (o graos e liberta), resultao asociao a los nombres e Pascal, rianchon y Desargues y a la geometría proyectiva. sí, aos 5 puntos sobre una cónica poemos eterminarla completamente, pero para una parábola bastan 4 y para una circunferencia bastan 3. Presentamos ahora algunos problemas basaos en la iea e los cuatro atos, ejano algunas inicaciones para el lector impaciente, aunque seguramente el lector inquieto pensará en otras alternativas. Problema Construir con regla y compás el foco aos la irectriz y os puntos sobre la parábola. Nota: en general hay os soluciones. Sugerencia: trazar los pies y circunferencias. Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco y os puntos sobre la parábola. Nota: hay os soluciones. 4 Toos los puntos son iguales... pero hay algunos más iguales que otros.

16 Pág. 16 Referencias Sugerencia: cómo se traza una tangente exterior a os circunferencias? Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco y os rectas tangentes. Nota: no se an los puntos e tangencia. Sugerencia: Encontrar simétricos e respecto a las rectas aas. Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco, un punto sobre la parábola y su tangente. Repetir para el caso en que la tangente no pasa por el punto ao. Nota: En el primer caso hay una solución, en el otro, os. Sugerencia: a) trazar el simétrico e respecto e la tangente, b) cómo se traza la tangente a una circunferencia que pasa por un punto? Problema Construir con regla y compás la irectriz aos el foco, el eje y un punto sobre la parábola. Nota: Observar que en este caso el foco y el eje an sólo os graos e liberta. Sugerencia: Trazar una circunferencia con centro y raio (el punto ao sobre la parábola), cortano al eje en os puntos. Problema Construir con regla y compás la irectriz y el foco aos os puntos e la parábola y sus respectivas tangentes. Sugerencia: Usar problemas anteriores y que es punto meio e las intersecciones e la tangente y la normal por un punto e la parábola con el eje (trazar rectas e puntos meios ). Problema Construir con regla y compás la irectriz y el foco aos os puntos sobre la parábola y el eje. Nota: Los puntos no eben ser simétricos uno el otro respecto el eje. Sugerencia: Consierar el punto meio M entre y, los puntos e la parábola. Las intersecciones e la meiatriz por M y la perpenicular al eje por M eterminan el istancia característica e la parábola. Con este parámetro y una perpenicular al eje por se pueen construir la tangente y la normal por, y se reuce a un problema anterior. Problema Construir con regla y compás el foco y la irectriz e la parábola, aas cuatro rectas tangentes. Nota: Observar que no se an los puntos e tangencia, sólo las rectas. Sugerencia: Usar que triángulos formaos por la intersección e tangentes tienen circunferencias circunscriptas que pasan por. Referencias [1] H. Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History an Solution. Dover, [2] L.. Santaló: La Geometría en la Enseñanza e los Profesores. Eitorial Re Olímpica, 1993.

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función

Más detalles

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( ) Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.

Más detalles

TEMA 4: Transformaciones 3D

TEMA 4: Transformaciones 3D TEMA 4: Transformaciones D Ínice. Sistemas e Coorenaas. Transformaciones Básicas. Traslación. Escalao. Rotación lana 4. Afilamiento 5. Deformaciones. Composición e Transformaciones 4. Rotación General

Más detalles

Información importante

Información importante Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT021) 1 er Semestre e 2010 Semana 9: Lunes 17 viernes 21 e Mayo Información importante El control Q2A es el

Más detalles

Boletín audioprotésico número 35

Boletín audioprotésico número 35 Boletín auioprotésico número 35 Cómo asegurar la ganancia in-situ correcta Noveaes el epartamento e Investigación auioprotésica y comunicación 9 502 1041 004 / 06-07 Introucción Normalmente, los auífonos

Más detalles

SOLUCION DE UN ERROR CON OTRO ERROR

SOLUCION DE UN ERROR CON OTRO ERROR SOLUCION DE UN ERROR CON OTRO ERROR El matemático, al igual que too ser humano, puee incurrir en errores; en algunos casos sucee que el error no ha sio cometio por el creaor e la obra sino por los encargaos

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

U(r, θ) = 1. 2.1. Conjunto completo de operadores del dipolo puntual. Si usamos el operador asociado a la componente z del momento angular

U(r, θ) = 1. 2.1. Conjunto completo de operadores del dipolo puntual. Si usamos el operador asociado a la componente z del momento angular Capítulo Dipolo puntual. Como vimos en la introucción al primer capítulo, la energía potencial que aquiere una partícula e carga eléctrica e cuano interacciona con un ipolo puntual es Ur, θ) = 4πϵ ep cos

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

LA DERIVADA POR FÓRMULAS

LA DERIVADA POR FÓRMULAS CAPÍTULO LA DERIVADA POR FÓRMULAS. FÓRMULAS Obtener la erivaa e cualquier función por alguno e los os métoos vistos anteriormente, el e tabulaciones y el e incrementos, resulta una tarea muy engorrosa,

Más detalles

Cada grado se divide en 60 minutos (60 ) y cada minuto en 60 segundos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puede medir = 38º

Cada grado se divide en 60 minutos (60 ) y cada minuto en 60 segundos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puede medir = 38º Sistemas e meición e ángulos Como en toos los elementos susceptibles a meiciones, en los ángulos se han establecio iversos sistemas e meición, entre ellos los más importantes son: El sistema seagesimal

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

UN TERCER METODO EXPERIMENTAL PARA LA DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE UN RESORTE

UN TERCER METODO EXPERIMENTAL PARA LA DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE UN RESORTE REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 6, No. 1. 004 UN TERCER METODO EXPERIMENTAL PARA LA DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE UN RESORTE Francisco Ernesto Cortés Sánchez Funación Interamericana

Más detalles

Información importante

Información importante Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT01) 1 er Semestre e 010 Semana 1: Lunes 07 viernes 11 e Junio Información importante Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en

Más detalles

x x x x x x qv o B =m v o 2

x x x x x x qv o B =m v o 2 ísica e 2º achillerato Activia Una partícula e masa m, carga positiva q y otaa e velocia horizontal, penetra en una región el espacio one hay un campo eléctrico E y un campo magnético. Ambos campos son

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2

Más detalles

RADIACIÓN SOLAR. Las características más singulares que presenta la radiación son:

RADIACIÓN SOLAR. Las características más singulares que presenta la radiación son: RADIACIÓN SOLAR El flujo e raiación solar que llega a la tierra es la fuente primaria e toas las formas e energía conocias. La raiación solar es el origen e los movimientos e circulación e la atmósfera

Más detalles

Potencial eléctrico (V)

Potencial eléctrico (V) Activia 1 [a] xplica el concepto e potencial electrostático en un punto. [b] Dibuja aproximaamente en un sistema e coorenaas el gráfico ue relaciona el potencial creao por una carga puntual positiva (eje

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Electromagnetismo Pedagogía en Física R. Lagos. PROBLEMAS RESUELTOS

Electromagnetismo Pedagogía en Física R. Lagos. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS. Un capacitor e lleno e aire está compuesto e os placas paralela, caa una con un área e 7 6 [ 2 ], separaas por una istancia e,8 [mm]. Si se aplica una iferencia e potencial e 20 [V]

Más detalles

OPCIONES. c.- Titular o Comprador de la Opción: inversionista que adquiere el derecho a comprar/vender el activo subyacente.

OPCIONES. c.- Titular o Comprador de la Opción: inversionista que adquiere el derecho a comprar/vender el activo subyacente. arlos A. Díaz ontreras 1 OPIONES La opción es "un contrato que a erecho a su poseeor o titular (el que compró la opción), a comprar o vener un activo eterminao y a un precio eterminao, urante un perioo

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

DEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe

DEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe DERIVADA DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Métodos multivariantes en control estadístico de la calidad

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Métodos multivariantes en control estadístico de la calidad UNIVESIDAD NACIONAL MAYO DE SAN MACOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE ESTADÍSTICA Métoos multivariantes en control estaístico e la calia Capítulo I. Gráficos e control estaístico univariaa TABAJO

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

4. CÁLCULO INTEGRAL...71

4. CÁLCULO INTEGRAL...71 Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES...9.. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Síntesis de Imágenes: ray casting básico

Síntesis de Imágenes: ray casting básico Tema III Síntesis e Imágenes: ray casting básico Ricaro Ramos Colaboraores: Enrique Sierra Blanco, Eloy Álvarez Fernánez, Reyes Berguillos Moretón, Mª el Carmen Suárez Torrente, Mª Sanra García Peláez,

Más detalles

Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA

Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA Fuente Martos, Miguel de la 1 Resumen Partiendo sólo de un conocimiento muy básico de GEOGEBRA, pretendemos trabajar con la mayoría de herramientas y comandos

Más detalles

Tema 5 Elasticidades. Economía Aplicada

Tema 5 Elasticidades. Economía Aplicada Tema 5 lasticiaes conomía Aplicaa Curso 2008-2009 Ínice 1. Introucción 2. lasticia e la emana 2.1. lasticia-precio 2.2. lasticia-renta 2.3. lasticia cruzaa 3. lasticia-precio e la oferta 4. lasticia-precio

Más detalles

IMPLEMENTACIÓN DE SENSORES VIRTUALES EN FOUNDATION FIELDBUS

IMPLEMENTACIÓN DE SENSORES VIRTUALES EN FOUNDATION FIELDBUS IMPLEMENACIÓN DE SENSORES VIRUALES EN FOUNDAION FIELDBUS Anrés J. Piñón Pazos Dpto. Ingeniería Inustrial, Universiae e A Coruña. E.U.P. Ferrol, Ava. 19 e Febrero, s/n, 15405 A Coruña, anrespp@cf.uc.es

Más detalles

Derivación de funciones de una variable real

Derivación de funciones de una variable real Capítulo 4 Derivación e funciones e una variable real 4.1. Derivaa e una función 4.1.1. Introucción Definición 4.1.1. Sea f : (a, b) R R y x 0 (a, b). Se ice que la función f es erivable en el punto x

Más detalles

TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRA I TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ELEAZAR

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Logaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1)

Logaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1) Logaritmo Natural Si n 6= ya sabemos que R x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. De nición. La regla e corresponencia ln(x) = Z x t t = Z x I e ne una función con ominio D ln = (0; ): A esta función

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)

1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x) . Hallar la erivaa por efinición e f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim 0 ara allar la erivaa meiante efinición ebemos

Más detalles

F, su unidad es el Newton, las masas su unidad es el kg y la distancia, en metros, donde G es:

F, su unidad es el Newton, las masas su unidad es el kg y la distancia, en metros, donde G es: Si los cuerpos que tienen masa se atraen, por qué no vemos que se atraigan os pupitres e la clase? Efectivamente, los os pupitres se atraen, e acuero con la ley e gravitación universal, pero en la misma

Más detalles

Introducción. Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenido y... A estudiar!

Introducción. Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenido y... A estudiar! Introducción La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.

DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella. DERIVADA Interpretación Geométrica Objetivo: Encontrar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto ao e ella. Para precisar correctamente la iea e tangente a una curva en un punto, se utilizará

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte)

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) Matemática UNIDD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) 1 Medio GUÍ N 1 INTRODUCCIÓN El artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898 1972) es considerado uno de los artistas gráficos más famosos

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

L A P R O G R A M A C I O N

L A P R O G R A M A C I O N L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer

Más detalles

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar Geometría Analítica Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Geometría Analítica 010 edición.

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González

Más detalles

RECOMENDACIÓN 326-6. (Cuestión 59/1)

RECOMENDACIÓN 326-6. (Cuestión 59/1) Rc. 326-6 RECOMENDACIÓN 326-6 DETERMINACIÓN Y MEDICIÓN DE LA POTENCIA DE LOS TRANSMISORES RADIOELÉCTRICOS (Cuestión 59/) Rc. 326-6 (95-959-963-966-974-978-982-986-990) El CCIR, CONSIDERANDO a) que el artículo

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

Reflexiones sobre los conceptos velocidad y rapidez de una partícula en física

Reflexiones sobre los conceptos velocidad y rapidez de una partícula en física ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FÍSICA E 56 () 181 189 DICIEMBRE 1 Reflexiones sobre los conceptos velocia y rapiez e una partícula en física S. Díaz-Solórzano y L. González-Díaz Centro e Investigaciones

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

FORMULARIO V Introducción a la Física. Licenciatura en Física. f (z) = = lim = lim

FORMULARIO V Introducción a la Física. Licenciatura en Física. f (z) = = lim = lim FORMULARIO V1.00 - Introucción a la Física Licenciatura en Física 1 Operaor Derivaa 1.1 De nición formal f (z 0 ) lim lim z 0!z z z 0 4z!0 f (z + 4z) 4z (1) 1. Derivaas e algunas funciones elementales

Más detalles

UNIDAD 2: SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS

UNIDAD 2: SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS UNIDAD 2: : SSI ISSTEEMASS DEE COORDEENADASS Y LLUGAREESS GEEOMEETRI ICOSS UNIDAD 2: SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS Propósitos: Mostrar una visión global del método de la Geometría Analítica

Más detalles

Un Aparato Virtual para trazar la Función Derivada: su uso en la enseñanza

Un Aparato Virtual para trazar la Función Derivada: su uso en la enseñanza Un Aparato Virtual para trazar la Función Derivada: su uso en la enseñanza Eduardo Tellechea Armenta Resumen. En este trabajo se presenta un acercamiento gráfico a la enseñanza del concepto de derivada

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Mucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 UNIDAD 1: LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Y RELACIONES El sistema de numeración decimal Estimación y redondeo de un número natural Las operaciones con números

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O.

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. Este programa está destinado a los alumnos que han promocionado a cursos superiores sin haber superado esta materia.

Más detalles

Cálculos de instalaciones de fontanería, gas y calefacción. Volumen 2: métodos de cálculos de calefacción y gas. Santiago Durán Montejano

Cálculos de instalaciones de fontanería, gas y calefacción. Volumen 2: métodos de cálculos de calefacción y gas. Santiago Durán Montejano Cálculos e instalaciones e fontanería, gas y calefacción. Volumen 2: métoos e cálculos e calefacción y gas. Santiago Durán Montejano 1ª eición: febrero 2008 Santiago Durán Montejano Tornapunta Eiciones,

Más detalles

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo 10 La circunferencia y el círculo Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el círculo. Conocer las posiciones relativas de puntos,

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Más detalles

Geometría Computacional

Geometría Computacional Geometría Computacional La geometría computacional es una rama de ciencia de la computación que estudia algoritmos para resolver problemas geométricos. Nos concetraremos en la representación y programación

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16 Geometría dinámica con Cabri Sesión 16 SAEM THALES Material recopilado y elaborado por: Encarnación Amaro Parrado Agustín Carrillo de Albornoz Torres Granada, 8 de marzo de 2008-2 - Actividades de repaso

Más detalles

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6%

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6% Capítulo Funciones lineales Todos los días leemos, en los medios de comunicación, información basada en datos recopilados de fuentes estadísticas. En el Ecuador, el organismo encargado de recopilar datos

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos

Más detalles

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo) Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO UNIDAD 6 RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Página 1 1. Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (, ), B (8, ) y C (1, ) no están alineados. A (, ) B (8, ) C (1, ) AB = (, 1); BC = (, ) No tienen

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas.... Operaciones con vectores... 5.. Suma y resta de vectores... 5.. Producto de un número real por un vector....

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies.

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

Tutorial de Geogebra. Software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Ministerio de Educación

Tutorial de Geogebra. Software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Ministerio de Educación Tutorial de Geogebra Software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo Colección de aplicaciones gratuitas para contextos educativos Ministerio de Educación para contextos

Más detalles

El baricentro y la división en dos partes de igual área

El baricentro y la división en dos partes de igual área Investigación y Docencia por Néstor guilera El baricentro y la división en dos partes de igual área 1. El baricentro y posibles concepciones falsas Quizás el lector se haya preguntado alguna vez por qué

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Dibujo Técnico Curvas cónicas-parábola

Dibujo Técnico Curvas cónicas-parábola 22. CURVAS CÓNICAS-PARÁBOLAS 22.1. Características generales. Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución. El cono de revolución es la superficie que genera una recta r al girar

Más detalles

[b] Aunque se puede calcular los índices de refracción, vamos a utilizar la expresión de la ley de

[b] Aunque se puede calcular los índices de refracción, vamos a utilizar la expresión de la ley de Opción A. Ejercicio [a] En qué consiste el fenómeno e la reflexión total e una ona? Qué circunstancias eben cumplirse para que ocurra? Defina el concepto e ángulo límite. ( punto) [b] Una ona sonora que

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE

LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA LA CICLOIDE UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE Una breve introucción 1 Ecuaciones paramétricas La tangente y la normal en un punto 3 Longitu e un arco 4 El

Más detalles

6. PROBLEMAS DE MARKETING

6. PROBLEMAS DE MARKETING 6. PROBLEMAS DE MARKETING PROBLEMA 1 (POSICIONAMIENTO DEL PRODUCTO) Se ha realizao una encuesta sobre un grupo e consumiores e vino tinto e mesa para que, sobre una escala e 0 a 10, califiquen a las iferentes

Más detalles

- De una entrada, si tiene un solo filete

- De una entrada, si tiene un solo filete TEMA.- UNIÓN DE ELEMENTOSE TORNILLOS Y TUERCAS Los tornillos y tuercas se utilizan para unir e forma no permanente los elementos e máquinas. Son componentes e gran utilia, insustituibles en iversas ocasiones

Más detalles