Matrices y determinantes

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1 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, Mtries eterminntes CTS. Sen ls mtries, C. Hll l mtri ( C). Soluión:

2 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, CLS. Clul os mtries urs sieno que que. Soluión: Es un sistem linel.. Multiplino por l segun euión sumno miemro miemro ms euiones, se tiene: Sustitueno espejno en l segun euión:

3 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, ES. Ds ls mtries: C eterminr l mtri que verifi l euión C. Justifir l respuest. Soluión: Si, ee umplirse que: L mtri.

4 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, NJ. Sen ls mtries. ) Clule l mtri C t t. ) Hlle l mtri que verifique. Soluión: ) C ) Pr que pue herse l multipliión, l mtri ee ser e imensión. Se, entones: /, L mtri es /

5 Mtemátis CCSS II Mtries CLJ. Se. ) Clul epres el resulto en funión e l mtri ienti. ) Utili l relión hll on l mtri ienti pr lulr. Soluión: ) I ) Puee oservrse que: I I I I I Los posiles resultos son: n I n n I n En onseueni, omo. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

6 Mtemátis CCSS II Mtries PJ. Sen ls mtries,, C, D () Si C D, plnte un sistem e os euiones os inógnits (represents por e ) en funión e. () Pr qué vlores e el sistem tiene soluión?; es siempre úni? Enuentr un soluión pr on. Soluión: () C D ( ) ( ) () Si oservmos l primer euión, vemos que uno que, lo que ini que el sistem será inomptile. Igulmente, l segun euión, uno, que, lo que ini que el sistem será omptile inetermino. Por tnto: Si el sistem es inomptile. Si, el sistem es omptile inetermino: on infinits soluiones. Si, el sistem es omptile etermino. En so tenrá un úni soluión. Pr el sistem que: ( ) lguns soluiones son:, ;, ; t t L úni que eluimos ene este so es:,. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

7 Mtemátis CCSS II Mtries LRJ. Es posile que un mtri e tmño oini on su trspuest? Y on su invers? Soluión: Un mtri retngulr nun puee oiniir on su trspuest. 8 t Por ejemplo, si l mtri, su trspuest es. Evientemente 8 no oinien. Un mtri retngulr no tiene invers. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

8 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, 8 NJ 8. Enontrr un mtri que verifique l igul:, on, Verifi tmién l mtri l igul? Soluión: Se l mtri us. Si ; ; ; L mtri es: Normlmente no se verifi que, pues el prouto e mtries no es onmuttivo; no ostnte, en este so, st on multiplir pr omprorlo. Efetivmente,

9 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, 9 RS 9. Se onsiern ls mtries ) Clule ( ) - ) Despeje e l euión mtriil ) Clule Soluión: ) Si ( ), se verifi: / / / / Luego, ( ) / / / / ) ( ) ) ( ) / / / /

10 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, CVS. Determin l mtri que verifi l euión t, one t represent l mtri trnspuest e. Soluión: t t I ) ( Si l mtri se tenrá: Multiplino e igulno se tiene: / / / / L mtri / / / /

11 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, CTJ. Ds ls mtries, verigu si eiste un mtri C que umpl C, si es el so, lúll. Soluión: Si eistiese l mtri C porí lulrse espejno. Esto es: C C. Como el eterminnte e vle, no eiste su mtri invers. En onseueni no eiste l mtri C us. De otr form: Si suponemos que eiste C que es igul C, ee umplirse que:, que omo puee verse fáilmente se trt e os sistems inomptiles.

12 Mtemátis CCSS II Mtries NJ. Sen ls mtries. ) Enuentre el vlor o vlores e e form que. ) Igulmente pr que I. ) Determine pr que I Soluión: ) Por tnto,. t ) Hllmos ( ij ), sieno ( ij ) l mtri e los juntos. Como ( ij ) Por tnto, I Not: L mtri invers se puee hllr por ulquier otro métoo. ) De I. Por tnto,. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

13 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, NS. Otener los vlores e,, que verifin l siguiente euión mtriil: Soluión: Operno on ls mtries se tiene: (trnsformno por Guss) E E

14 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, RS. ) Meinte álulo mtriil, isut resuelv el sistem: ) Clule l mtri soluión e l euión. Soluión: ) L mtri e oefiientes términos inepenientes soi este sistem es: plino trnsformiones elementles: F F F F 8 8 Como ls fils ª ª son proporionles, el sistem es omptile inetermino equivlente : O ien: t t t ) 9

15 Mtemátis CCSS II Mtries GS. Un empres fri juguetes e tres tipos iferentes T, T T. El preio e oste e juguete los ingresos que otiene l empres por juguete venio vienen os por l siguiente tl: T T T Preio e oste 9 Ingreso El número e vents nules es e juguetes T, juguetes T juguetes T. Sieno que l mtri e ostes (C) l mtri e ingresos (I) son mtries igonles que l mtri e vents nules (V) es un mtri fil. ) Determin ls mtries C, I V. ) Otén, utilino ls mtries nteriores, l mtri e ostes nules, l mtri e ingresos nules, l mtri e enefiios nules, orresponientes los tres tipos e juguetes. Soluión: ) Mtri e vents: V ( ) Mtri e ostes: C 9 Mtri e ingresos: I ) Costes nules: V C ( ) 9 ( 9 ) ( 8 ) Ingresos nules: V I ( ) ( ) ( ) enefiios nules: VC VI ( ) (8 ) ( ) Los enefiios nules son e euros por l vent e los juguetes T ; euros por l vent e los juguetes T euros por l vent e los juguetes T. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

16 Mtemátis CCSS II Mtries CTS. Un lmén e rues e vehíulos e iferentes tipos tiene en stok los omponentes (en ientos e unies) os por l tl siguiente: Neumátios Emelleeores Llnts Utilitrios,,, erlins,,, Too terreno,9, L nti e quilos e mteri prim neesri pr omponente es: ero Cuho Neumátios,, Emelleeores, Llnts ) Clul el totl e ero umulo en el lmén. ) Clul l nti e uho umulo en el lmén. Soluión: ) Cnti e ero: (Unies e vehíulos quilos e ero) Utilitrios:, erlins:, Too terreno: 9, 9 Totl: 9 kg ) Cnti e uho: (Unies e vehíulos quilos e uho) Utilitrios:,,, erlins:,,, Too terreno: 9,, Totl:,, 8 kg NOT: Ls nties nteriores pueen otenerse meinte álulo mtriil sí: Mtri e vehíulos: V 9,, Mtri e mteris prims: M, ero uho, Mtri e nties e ero uho: V M, 9 Totl 8 José Mrí Mrtíne Meino (SM,

17 Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, IJ. Tres fmilis vn un feterí. L primer fmili tom fés, orto esfeinos; l segun fmili tom fés ortos; l terer fmili tom fé esfeinos. l primer fmili le orn ; l segun,, ; l terer,,9. Se enot por,, ls inógnits que representn respetivmente los preios e un fé, e un orto e un esfeino. ) Dr l mtri que epres el nomre e fés, e ortos e esfeinos que tom un e ls fmilis, e mner que one,9, ) Clulr. ) Resolver l euión mtriil Soluión: Si esignmos por C, Co D los fés, los ortos los esfeinos, respetivmente, l mtri puee ser l siguiente: ª ª ª fmili fmili fmili D Co C. Esto es: ) L mtri invers es t ij ) (, sieno ( ij ) l mtri e los juntos. Como ( ) ij, se tiene: / / ), luego:,,9,9, / / El preio e fé es: Cfé:,9 euros; Corto:, euros; Desfeino: euro.

18 Mtemátis CCSS II Mtries 8 CJ 8. Un importor e gloos los import e os olores: e olor nrnj (N) e olor fres (F). Toos ellos se envsn en pquetes e, unies, que vene los siguientes preios (en pesets): unies unies unies Color N 8 Color F 8 Sieno que en un ño se venen el siguiente número e pquetes, Color N Color F De unies De unies De unies se pie:. Resumir l informión nterior en os mtries : será un mtri que reoj ls vents en un ño un mtri que reoj los preios.. Clulr los elementos e l igonl prinipl e l mtri por r su signifio.. Clulr los elementos e l igonl prinipl e l mtri por r su signifio Soluión:. Mtri e vents: Mtri e preios: C 8 El elemento los ingresos por vent e los gloos e olor nrnj. El elemento los ingresos por vent e los gloos e olor fres D 8 88 El elemento 9 los ingresos por vent e los gloos envsos e os en os (e mos olores). El elemento los ingresos por vent e los pquetes e unies. El elemento los ingresos por vent e los pquetes e unies. Not: Puee oservrse que l sum e los elementos e ms igonles es l mism: 9 pt. José Mrí Mrtíne Meino (SM,

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