PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS

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1 UNIDAD TEMÁTICA II PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS Fases de la materia. Las fuerzas interatómicas son: Tan intensas en los sólidos que los átomos ermancen en osiciones fijas. Suficientes en los líquidos como ara mantenerlos juntos ocuando el menor olumen osible. Tan débiles en los gases que se mueen libremente or el reciiente que los contiene. Fluidos: sustancias que carecen de forma fija (en continuo moimiento). Incluyen a líquidos y gases. Líquidos: - olumen definido - densidad casi indeendiente de la resión (incomresibles). Gases: - olumen no definido (se exanden hasta ocuar todo el reciiente) - densidad deendiente de resión (comresibles) y temeratura. Ca. 4/

2 Caítulo 4 MECÁNICA DE FLUIDOS 4. Hidrostática 4.. Densidad y resión 4.. Presión hidrostática 4..3 Princiio de Arquímedes 4..4 Ejemlos biológicos 4. Hidrodinámica de fluidos ideales 4.. Ecuación de continuidad 4.. Ecuación de Bernoulli 4..3 Alicaciones y ejemlos biológicos 4.3 Hidrodinámica de fluidos reales 4.3. Viscosidad 4.3. Ley de Poiseuille Circulación sanguínea Ley de Stokes y sedimentación Ca. 4/

3 4. Hidrostática Estudia los fluidos estáticos (en equilibrio: en reoso resecto al reciiente). 4.. Densidad y resión Un fluido consta de un número muy eleado de artículas, or lo que los concetos de fuerza y masa no son manejables. Se sustituyen or los de resión y densidad, resectiamente. La densidad de una sustancia (sólido, líquido o gas) relaciona su masa con el olumen que ocua: m V ρ Unidades SI: kg/m 3 Unidades cgs: g/cm 3 (también kg/l: l dm cm 3 ) La resión de un fluido hace referencia a la fuerza que éste ejerce sobre las aredes del reciiente que lo contiene. Dicha fuerza es siemre erendicular a la suerficie considerada (cualquier fuerza tangencial haría que el fluido dejara de estar en reoso debido a su falta de rigidez). Ca. 4/3

4 FN A Unidades SI: N/m Pa (ascal) (también la atmósfera: atm 0 35 Pa) La suma de todas las fuerzas normales F N que actúan sobre una suerficie diidida or el área A de la misma es la resión media que ejerce el fluido sobre esa suerficie. es un escalar La densidad deende de la resión y la temeratura: Algunas densidades en condiciones normales: T 0 C y atm (niel del mar) Sólidos ρ (g/cm 3 ) Líquidos ρ (g/cm 3 ) Gases ρ (g/cm 3 ) Oro 9.3 Mercurio 3.6 CO Hierro 7.96 Sangre.05 O 0.00 Tierra (media) 5.5 Agua de mar.05 Aire Vidrio.6 Agua.0 Aire (0 C) 0.00 Hueso.7 Aceite 0.93 Vaor de agua Hielo 0.9 Etanol 0.8 Helio Madera 0.7 Gasolina 0.68 Hidrógeno Ca. 4/4

5 4.. Presión hidrostática Es la resión en cada unto de un fluido estático. Al sumergirnos en un líquido la resión aumenta con la rofundidad. Análogamente, la resión atmosférica disminuye al aumentar la altitud. 0 F 0 A En el caso de un líquido (densidad constante) la resión aumenta linealmente con la rofundidad. Demostrémoslo. El eso de esta columna de líquido es: mg ρvg ρahg h A 0 A ρahg 0 ( F i 0 : condición de equilibrio) mg 0 + ρgh Teorema fundamental de la hidrostática F resión del fluido a una rofundidad h 0 resión en la arte suerior (si abierto, es la atmosférica atm ) Ca. 4/5

6 Vemos que la resión es idéntica ara todos los untos a la misma rofundidad e indeendiente de la forma del reciiente. Consecuencia: Princiio de Pascal: la resión alicada a un fluido incomresible (líquido) se transmite or igual a todos los untos del fluido y a las aredes del reciiente que lo contiene. Alicación: Prensa o eleador hidráulico Émbolo equeño Émbolo grande Dos émbolos de distinto tamaño: F F F F A A A F >> >> F si A A (gatos y herramientas hidráulicas, frenos de los coches, ) A Ca. 4/6

7 Alicaciones del rinciio fundamental de la hidrostática: El eso de la atmósfera (masa de aire que enuele a la Tierra) origina lo que llamamos resión atmosférica. La densidad del aire disminuye al aumentar la altura No es fácil hacer un cálculo exacto, ero es fácil medirla. 0 Barómetro de mercurio (exerimento de Torricelli) Para medir la resión atmosférica h atm Tubo de idrio comletamente lleno de mercurio y desués inertido en una cubeta de mercurio. atm ρgh ρ densidad del Hg A niel del mar y 0 C: h 760 mm Hg (0.33 m H O) atm estándar resión de una columna de Hg de 760 mm Ca. 4/7

8 Manómetro de tubo abierto en forma de U: Utilizan la resión atmosférica como niel de referencia y miden resión manométrica - atm Fluido cuya resión queremos medir A h atm B A B - atm ρgh atm + ρgh resión manométrica Para medir la resión Líquido de densidad alta ara que h sea equeña: se suele usar mercurio Determinación de densidades desconocidas de líquidos atm atm Se necesitan líquidos inmiscibles h A B atm + Por tanto: ρ gh atm + ρ gh A h B ρ h ρ h Ca. 4/8

9 Unidades de resión SI: N/m Pa (Pascal) cgs: dyn/cm baria Pa N m N m 5 0 dyn m N 4 0 cm 0 dyn cm 0 barias Otras unidades habituales: mm Hg torr (torricelli) (usada en medicina) bar 0 6 barias atm resión ejercida or una columna de Hg de 760 mm a 0 C 3 kg m m ρ Hg g h Hg mm 3 3 m s 0 mm.033 x0 5 Pa.033 x0 6 barias 03 mbar (usada en meteorología) 760 mm Hg Ca. 4/9

10 Presión sanguínea Los organismos ios no son alastados or la resión de la atmósfera orque los fluidos que llean dentro están rácticamente a la misma resión (la resión sanguínea en las arterias es mayor que la atmosférica). La resión de la sangre cuando sale del corazón debe ser lo suficientemente eleada ara que la sangre llegue al cerebro. En el hombre es de 00 mmhg. (resión manométrica) 00 torr 70 torr 00 torr 98.5 torr 00 torr 99.5 torr De ie : F > H > + ρgh F H H B B + ρgh B Presión hidrostática manométrica romediada a lo largo del ciclo cardíaco Sistema cardioascular animal: B: cerebro H: corazón F: ies Si h H.35 m y ρ sangre.05 g/cm 3 3 kg m ρghh.05x0 x9.8 x.35m.39x0 3 m s 4 760mmHg.39x0 Pax 04mmHg 5.03X0 Pa Jirafas: su corazón bombea a 60 mm Hg ara que la sangre alcance el cerebro. Retiles y conejos mueren al onerlos de ie. Animales arbóreos: muy alta (eitan falta riego) y corazón cerca de la cabeza. 4 Pa Ca. 4/0

11 4..3 Princiio de Arquímedes Todo cuero sumergido total o arcialmente en un fluido exerimenta un emuje hacia arriba igual al eso del fluido (gas o líquido) desalojado. Emuje: Fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto sumergido en él. En efecto, según el rinciio fundamental de la hidrostática: ρ f A ρ c F A F B h F F A B A B A A E F B F A ( B A )A ρ f gha ρ f gv B A + ρ f g h El emuje se roduce orque la resión del fluido en la arte inferior del cuero es mayor que en la arte suerior. Ca. 4/

12 A. Cuero totalmente sumergido ρ f E Fy E mg ρf Vg ρcvg ( ρf ρc )Vg ma ρ c mg Fuerza neta Ascendente: si E > mg ρ f > ρ c : se acelera hacia arriba Nula: si E mg ρ f ρ c : ermanece en equilibrio Descendente: si E < mg ρ f < ρ c : se acelera hacia abajo B. Flotación: Si ρ c <ρ f el cuero flotará arcialmente sumergido E Vs ρc Equilibrio: E mg ρ f gv s ρ c gv ( ) ρ c V ρf ρ f donde V s es el olumen de la arte sumergida mg Ejemlos: barcos, iceberg, densímetro, Iceberg: ρ c 0.99 g/cm 3 (hielo) ; ρ f.03 g/cm 3 (agua de mar) V s /V % sumergido Alicación del rinciio de Arquímedes: Permite determinar la densidad de un cuero de forma irregular sumergiéndolo en un líquido de densidad conocida y midiendo su eso aarente mg-e Ca. 4/

13 htt://fisinfo.ugr.es Ascensor de barcos de Niederfinow (canal Oder-Hael, Alemania) Contenedor: 85.5 m 3 Peso (con o sin barco): 4300 toneladas 9 contraesos lo comensan salo 90 t Barcos de hasta 000 t Desniel 60 m a cm/s, 4 motores 75 CV Ca. 4/3

14 4..4 Ejemlos biológicos Vejiga natatoria de los eces Los tejidos biológicos, exceto los adiosos son más densos que el agua. La densidad de un ez suele ser algo mayor que la del agua (se hundiría). Sin embargo oseen una caidad, la ejiga natatoria, bajo su esina dorsal, que ueden rellenar de un gas ligero (mezcla de O y N obtenida de la sangre). Variando la cantidad de gas dentro de la caidad, ueden ajustar su roia densidad ara ariar la fuerza de emuje y así ascender o descender a oluntad. Para ascender la llenan de gas: V ρ Para descender la acían: V ρ Ca. 4/4

15 4. Hidrodinámica de los fluidos ideales La hidrodinámica estudia el moimiento (flujo) de los fluidos. Clasificaciones según tio de flujo: Estacionario: si su elocidad en cada unto no aría con el tiemo, (x,y,z). En tal caso, se ueden definir las líneas de corriente como las trayectorias que siguen las artículas del fluido. Uniforme: si su elocidad en cada instante es la misma en todos los untos, (t). Laminar: si el fluido se desliza en caas que fluyen aralelamente sin mezclarse. Lo contrario es turbulento, caracterizado or regiones con remolinos. No iscoso: si se desrecia la iscosidad (fricción interna del fluido). En este aartado nos concentraremos en los fluidos ideales, es decir, incomresibles (densidad indeendiente de osición y tiemo) y no iscosos. Ca. 4/5

16 S 4.. Ecuación de continuidad t t S Consecuencia de la conseración de la materia: La masa que atraiesa las secciones y en el mismo interalo de tiemo t deber ser idéntica, m ρv ρs x ρs t m ρv ρs x ρs Si el fluido es incomresible (densidad constante) ρ ρ y entonces S S S constante Ecuación de continuidad (no hace falta que el fluido sea ideal) Es decir: la elocidad del fluido es mayor en las artes más estrechas. Definimos caudal Q como el olumen de fluido que atraiesa una sección del conducto or unidad de tiemo. Por S en t, asa V S t Q S m m ρs ρs S: sección transersal del conducto : elocidad del fluido Ecuación de continuidad ara un fluido incomresible Unidades SI: m 3 /s Frecuentemente: litros/s Ejemlo: Con una manguera de cm de diámetro llenamos un cubo de 0 l en un minuto. Cuál es la elocidad con que sale el agua de la manguera? t Ca. 4/6

17 4.. Ecuación de Bernoulli Consecuencia de la conseración de la energía: W trabajo realizado sobre un fluido ideal (sin fricción) E m E c + U S F F S y E c m m y x x W U F x F x S x S x m gy mgy y de la ecuación de continuidad de un fluido ideal (densidad constante): m m ρs x ρs x S x S x m m De donde: ρ ρ m( ) + mg(y y ) m ρ Y or tanto, ρ( ) + ρg(y y ) Ca. 4/7

18 Reordenando: ρ + ρgy + ρ + ρgy + Ecuación de Bernoulli Y también: + ρ + ρgy constante Ecuación de Bernoulli Nótese que: Si el fluido es estático ( 0) se recuera el teorema fundamental de la hidrostática (resión hidrostática aumenta con rofundidad): Si los untos y se encuentran a la misma altura (resión cinética disminuye con ): ρg h ρ( ) Ejemlo: Calcular cómo modifica el término de elocidad (resión cinética) los alores obtenidos ara la resión de la sangre en los ies. Datos: aorta 0. m/s ; ies 0. m/s a ρ( a ) + ρg(y a y ) ρg(y a ρ( ) 5.75Pa y ) a.39x0 Los efectos de resión cinética ueden tener consecuencias imortantes: La elocidad del iento en un tornado uede hacer saltar los cristales e incluso leantar el tejado de una casa. 4 Pa Ca. 4/8

19 4..3 Alicaciones y ejemlos biológicos Ley de Torricelli Velocidad a la que sale el agua en el unto de derrame de un tanque. S a a S b b. Si S a >> S b a << b Alicando la ec. de Bernoulli entre a y b: a + ρgy a atm + ρ b + ρgy b ( ρ a atm b + ) gh donde h y a y b es la rofundidad del orificio resecto al niel del líquido. Si el tanque está abierto a la atmósfera a atm y entonces: b gh igual a la que adquiere un cuero en caída libre desde una altura h Ca. 4/9

20 Efecto Venturi S S Alicando la ec. de Bernoulli entre y : + ρ + ρ Como S S (ec. continuidad) tenemos que S > S < de donde ρ( El aso del fluido or un estrechamiento roduce una reducción de resión. La diferencia de resión roduce la fuerza necesaria ara acelerar el fluido. Este es el fundamento de los ulerizadores y de la arterioesclerosis. sangre ) > 0 > Se roducen ariaciones del flujo: ared arterial laquetas y fibrina Si la elocidad de la sangre es suficientemente alta en el estrechamiento la arteria uede colasarse 0, aumenta de nueo y uele a abrirse. Ca. 4/0

21 Efecto Magnus La trayectoria de un cuero en rotación se cura al deslazarse. Para que se formen remolinos es necesario que la bola tenga costuras (fútbol, béisbol) o rugosidades (golf). < > Las caas de aire cerca de la suerficie de la elota son "arrastradas" en la dirección del giro. Al rotar se forman remolinos (fluido real ues se necesita fricción): corrientes de fluido en direcciones ouestas a ambos lados de la trayectoria. La elocidad a cada lado es distinta (el moimiento del remolino es a faor en un lado y en contra en el otro). En consecuencia, se roduce una diferencia de resión y or tanto una fuerza neta erendicular al moimiento. Ca. 4/

22 Fuerza de sustentación. Vuelo de los ájaros Las aes y aiones (mucho más densos que el aire) uelan gracias al moimiento. La orientación y forma asimétrica de las alas hacen que la elocidad del aire que asa or encima y or debajo del ala sea distinta. La diferencia de elocidades del aire roduce una diferencia de resión que se traduce en una fuerza de sustentación. Los tiburones carecen de ejiga natatoria y utilizan este mecanismo ara no hundirse nadando continuamente. su inf su > inf Aliquemos la ec. de Bernoulli ara hallar la fuerza de sustentación (desreciando ρg h): F s ( inf su )A ρa( su inf donde A es la suerficie total de las alas. ) ½A ½A Ca. 4/

23 Si es la elocidad del ájaro (o del aión), se define el coeficiente de sustentación C s que deende de la forma del ala, ángulo de inclinación, a artir de: C su Con lo que la fuerza de sustentación queda: inf s F ρac Para mantener el uelo estable es necesario que F iguale o suere al eso: ρac s mg mg ρac s s elocidad mínima de desegue Para elocidades no demasiado grandes (ej. desegue) hay que aumentar el ángulo de inclinación ( C s ) ara aumentar la fuerza de sustentación. Analicemos la deendencia de la elocidad de desegue con el tamaño de los ájaros utilizando las leyes de escala: L' k L 3 m' k m A' k A A mayor tamaño mayor elocidad 3 (k m)g de desegue. Las aes grandes ' k necesitan un hábitat que les ermita ρ(k A)Cs alcanzar la necesaria laneando (acantilados, montañas o árboles) s Ca. 4/3

24 Otro ejemlo: naegación de bolina (orzando) casi contra el iento Los eleros no sólo naegan emujados or el iento, también ueden ir en contra (aunque formando cierto ángulo) Velas cuadradas Velas triangulares Análogo a la sustentación en el uelo: iento más ráido or detrás de la ela que or delante, debido a su forma embolsada, arecida al ala de un aión. La diferencia de resiones imulsa al barco hacia adelante. La orza es necesaria 90 ara eitar que el barco sea arrastrado en la dirección del iento. Ca. 4/4

25 4.3 Hidrodinámica de los fluidos reales Los fluidos reales, a diferencia de los ideales, ofrecen resistencia al deslizamiento de unas caas de fluido sobre otras. Esta fricción interna, debida a las fuerzas intermoleculares, se llama iscosidad. A causa de la iscosidad es necesario hacer una fuerza ara que una caa líquida se deslice sobre otra Viscosidad Sea un fluido entre dos suerficies lanas. Manteniendo fija la suerficie inferior hay que hacer una fuerza ara moer la suerior a cte. A Y y Perfil de elocidades: La caa de fluido en contacto con una suerficie se adhiere a ella y se muee a la misma elocidad. Debido a la iscosidad hay una érdida de elocidad entre las caas sucesias. Si la elocidad es equeña, las caas se mueen aralelamente. X Ca. 4/5

26 La fuerza que hay que alicar a una caa de fluido es roorcional al área A y a la ariación de la elocidad entre las distintas caas, e inersamente roorcional a la distancia entre las láminas. La constante de roorcionalidad es el coeficiente de iscosidad η, F ηa y F ηa d dy Exresión álida sólo ara fluidos newtonianos ara los que η es cte. Coeficientes de iscosidad En los líquidos, la iscosidad disminuye al aumentar la temeratura. Para los gases η aumenta si T El mercurio tiene η arecida a la del agua ero ρ mucho mayor. Para el aceite η es mucho mayor a temeraturas bajas (imortante ara los motores) Unidades de η en cgs: dyn s/cm P (oise) en SI: N s/m 0 P Fluido T ( C) η (cp) Aire Agua Mercurio Plasma sanguíneo Sangre Aceite Glicerina Ca. 4/6

27 Si la iscosidad de un fluido no es desreciable la energía mecánica no se consera y, or tanto, no se satisface la ecuación de Bernoulli. y y (ues no hay estrechamiento: conseración de la materia) (ues ambos untos se encuentran a la misma altura) Pero: (ues ambos untos tienen distinta rofundidad) El trabajo de las fuerzas intermoleculares que roducen la fricción entre las caas de fluido son las resonsables de la érdida de energía. Ca. 4/7

28 Flujo laminar y flujo turbulento. Número de Reynolds El flujo laminar corresonde a la situación considerada al definir el coeficiente de iscosidad: láminas que mantienen su forma. Es estacionario y se roduce ara equeñas elocidades y si el fluido no encuentra obstáculos que sean muy angulosos. Piénsese en un río que fluye lentamente or un alle: los objetos flotantes, lejos de la orilla, se mueen como en una ista (lámina de fluido). El flujo turbulento aarece cuando las láminas se mezclan, se forman remolinos en ciertos sitios y desaarecen en otros. Es no estacionario y se roduce cuando aumenta la elocidad (flujo de agua que cae de un grifo: rimero laminar y luego turbulento ). La transición de flujo laminar a turbulento no sólo deende de la elocidad, sino también de la iscosidad η, de la densidad del fluido ρ y de la geometría del conducto. Para un fluido que circule or un tubo de sección circular y diámetro D: Número de Reynolds: (adimensional) N R ρ D η (siendo la elocidad media del fluido) Si N R < 000: flujo laminar. Si N R > 3000: flujo turbulento. Ca. 4/8

29 r 4.3. Ley de Poiseuille La ley de Poiseuille se debe a un médico francés esecialista en el flujo de la sangre en asos sanguíneos. Nos ermite relacionar el caudal de un fluido iscoso que circula or un tubo con la diferencia de resión que lo origina. Consideremos un fluido que circula or un tubo horizontal de sección constante. Si hay iscosidad la ecuación de Bernoulli no se cumlirá ues se ierde resión entre dos secciones del tubo debido a la fricción. Debido a la iscosidad la elocidad no es la misma en todas las caas. L (r) r R F isc F η res d dr A η d dr S(r) πrl S(r) suonemos flujo laminar en caas concéntricas El fluido aanza imulsado or la resión contra la acción de la resión. ( ) πr Caudal constante d Fisc + Fres 0 dr ηl r disminuye cuando r aumenta Ca. 4/9

30 Ca. 4/30 η η η R r L r L dr r L d r R r R 0 η R r L 4 )R ( elocidad en función de r L 4 )R ( máx η 0 0 max ( r ) La en cada caa disminuye de forma continua desde max en el centro hasta 0 ara la caa más externa (rr) que se adhiere a las aredes. Para la caa más externa, rr 0 En el centro, r0 la elocidad es máxima Alternatiamente, max R L 4 η érdida de resión que se roduce en un fluido que circula or un conducto. Imortante si R es equeño.

31 Nos interesa introducir el caudal. Tengamos en cuenta que (r): ds πr dr r dq (r) ds (r) π r dr máx π r R Integrando r entre 0 y R obtenemos el caudal total: Q máx r π Hemos obtenido: y la ley de Poiseuille: Q r 4 4R Q S R 0 (, máx donde π ) πr 8ηL 4 R 4 máx máx πr (elocidad dr media) relaciona el caudal con la caída de resión debida a la iscosidad deende de R Ejemlos: agujas hiodérmicas (jeringuillas), cailares, 4!! Fluido Ideal Fluido Real (η) Ec. de Bernoulli Ley de Poiseuille Ca. 4/3

32 Resistencia hidrodinámica Podemos reescribir la ecuación de Poiseuille como: Q R H, donde R H 8ηL πr 4 es la resistencia hidrodinámica dimensiones: [R H ] []/[Q] unidades de R H en SI: N s m -5 (en Fisiología se usa: torr s cm -3 ) La resistencia al flujo R H es mayor cuanto mayor sea la iscosidad η y cuanto más largo y estrecho sea el conducto. Ésta es una exresión muy arecida a la ley de Ohm (I V/R) Intensidad de corriente I caudal Q, Diferencia de otencial V caída de resión, Resistencia R resistencia hidrodinámica R H (resistencia al flujo). Ca. 4/3

33 4.3.3 Circulación sanguínea El sistema circulatorio de los animales En los organismos comlejos (animales y lantas mayores de mm) los nutrientes, o los roductos de desecho, no llegan a, o salen de, las células or difusión directa sino mediante un sistema circulatorio que transorta los nutrientes y otros materiales a todo el organismo. En las lantas sueriores el transorte se hace mediante la saia, cuyo moimiento tiene que er con fenómenos suerficiales y roiedades de las disoluciones, según eremos. En los animales el sistema circulatorio uede ser abierto (muchos inertebrados: el corazón bombea la hemolinfa a traés de una arteria a una caidad llamada hemocele donde baña directamente a los tejidos) o cerrado (los cefalóodos y los ertebrados: el corazón bombea la sangre a traés de un circuito cerrado formado or arterias, cailares y enas que la deuelen al corazón). Aquí nos centraremos en el sistema circulatorio de los mamíferos. Ca. 4/33

34 El sistema circulatorio de los mamíferos (el humano) Dos subsistemas: ulmonar y eriférico y un corazón (casi dos en uno). La sangre sale del corazón or las arterias y uele a él or las enas. La sangre sale del corazón obre en oxígeno or la arteria ulmonar, recoge el oxígeno en los ulmones y entra en el corazón or la ena ulmonar. La arteria aorta sale del corazón con sangre rica en oxígeno, que se llea or el sistema eriférico a los tejidos, y es deuelta al corazón (obre en oxígeno) or la ena caa. Los cailares están en contacto con todos los tejidos y sus aredes muy finas ermiten la transferencia de materiales con las células. La sangre se muee or diferencias de resión, imulsada or los latidos del corazón controlados eléctricamente: contracciones (sístoles) y dilataciones (diástoles) sucesias, que exulsan y atraen la sangre del corazón, resectiamente. Ca. 4/34

35 Velocidades y secciones en el sistema circulatorio Caudal Q 83 cm 3 /s ; V 5 litros (lo que bombea el corazón en reoso en min) Q Q S (téngase en cuenta que hay estrechamientos y ramificaciones) S Secciones: Aorta:.5 cm (r aorta 9 mm) Velocidad Sección (sistema eriférico) Arterias: 0 cm (ramificaciones: 00 de 0. cm cada una) Cailares: 500 cm (ramificaciones: 5 mil millones de cm cada uno) Velocidades medias: Aorta: 33 cm/s Arterias: 4. cm/s Cailares: cm/s Ca. 4/35

36 Pérdidas de resión debidas sólo a la iscosidad Presión manométrica (mm Hg) Salida (arteria) Entrada (ena) Sistema eriférico 00 (aorta) 0 (caa) Sistema ulmonar 3 (ulmonar) 0 (ulmonar) Presión manométrica (sistema eriférico) En el sistema eriférico, la mayor sobreresión se acumula en la zona arterial, siendo muy equeña en la zona enosa (en el ulmonar, es mitad y mitad, aroximadamente): 8ηL Q 4 πr Aorta: 3 mm Hg Arterias: 7 mm Hg Arteriolas: 50 mm Hg Cailares: 0 mm Hg Vénulas y enas: 0 mm Hg En la zona enosa la mayor arte de la sangre: de ahí se saca en las donaciones (sale lentamente). Las enas oseen álulas que se abren o cierran en contracciones y dilataciones ara deoler la sangre al corazón enciendo resión hidrostática (arices; mareos y embolsamientos desaarecen tumbados) Ca. 4/36

37 Asociación de conductos (or ejemlo cailares sanguíneos): El sistema circulatorio del cuero es una red comleja de asos sanguíneos conectados. Se ueden alicar los mismos métodos que en circuitos eléctricos ara calcular la resistencia global (resistencia equialente) de dos o más conductos conectados en serie o en aralelo. Paralelo R R R R R R H Serie R R R 3 R R + R + R H 3 R 3 Ca. 4/37

38 Demostración Paralelo (la érdida de resión es la misma en todos, el caudal NO) Q R R R 3 Q R H Q Q + R H + Q Q3 R R + R + + R R 3 + R 3 Serie (or todos circula el mismo Q) R A R B R 3 ( A ) + ( A B ) + (B ) Q R Q R + Q R + H H R R + R + R 3 Q R 3 Ca. 4/38

39 Resistencia al flujo sanguíneo Caudal: Q 83 cm 3 / s Caída de resión (sistema eriférico): 5 atm.03 0 Pa 00 mm Hg 00 mm Hg mm Hg atm Resistencia total del sistema circulatorio: Pa 8-5 RH.6 0 N s m (. torr s Q m / s Si R H crece de forma anormal (obstrucción) debe aumentar la resión ara mantener el caudal (hiertensión). R H disminuye manteniéndose la resión constante al hacer ejercicio físico (asodilatación) ara aumentar el caudal (se necesita ara la regulación térmica y ara una mayor oxigenación). En ambos casos, el corazón realizará mayor trabajo que en condiciones normales cm -3 ) 4 Pa Ca. 4/39

40 Potencia cardiaca La otencia mínima P desarrollada or el corazón ara moer un caudal Q enciendo la caída de resión debida a la iscosidad es: Pis F S Q RHQ.0 W ena caa aorta Suoniendo un rendimiento muscular del 5% esto imlica un consumo mínimo de 4.4 W. Vemos que efectiamente la otencia que desarrolla el corazón es mayor cuando aumenta la resión, el caudal o la resistencia al flujo. Además el corazón debe desarrollar una otencia (cinemática) ara imulsar la sangre or la aorta con 33 cm/s artiendo de 0: P cin ρ( ) Q Vemos que un 99.5% de la otencia cardiaca se inierte en contrarrestar la fricción en el sistema circulatorio debida a la iscosidad de la sangre. W P tot P is + P cin P is Nota: hemos considerado sólo el sistema eriférico (lado izquierdo del corazón). La otencia del lado derecho (sistema ulmonar) es mucho menor (comruébese). Ca. 4/40

41 Cambios de resión debidos a graedad y iscosidad Si ignoramos los efectos de la iscosidad obtenemos las resiones hidrostáticas, debidas exclusiamente a la acción de la graedad (diferencias de altura) 00 torr 70 torr 00 torr 98.5 torr 00 torr 99.5 torr Presión hidrostática manométrica romediada a lo largo del ciclo cardíaco B: cerebro H: corazón F: ies Cuando la ersona está de ie, las resiones en la cabeza, cerca del corazón y en los ies son muy distintas. Veamos ahora el efecto conjunto de graedad y iscosidad (mostraremos sólo el sistema eriférico). Ca. 4/4

42 Sistema eriférico debidas a indiiduo tumbado Presiones manométricas graedad iscosidad (mm Hg) indiiduo erguido cabeza corazón 00 Sector enoso Sector arterial ies Ca. 4/4

43 Casi todo el torrente circulatorio está a mayor resión que la atmósfera (resión manométrica ositia): sale sangre al inchar un aso. Si se mide la resión en las arterias rinciales (érdidas or iscosidad aún equeñas), el alor se debe rincialmente a la altura. Pero: las resiones (debido a la iscosidad) se reducen mucho al llegar a las enas. Así, en la zona enosa del corazón 0. En la ena del ie, lo que aumenta or graedad casi se ierde or iscosidad. Nótese que en el sistema enoso hay untos con resión manométrica negatia (cerebro), lo que significa que una incisión en una de estas enas roduciría la entrada de aire cortando la circulación (riesgo de embolia). Presiones enosas manométricas Ca. 4/43

44 Ca. 4/ Ley de Stokes y sedimentación r 6 F a η π Cuando un cuero se muee en el seno de un fluido iscoso exerimenta una fuerza de rozamiento o de arrastre F a, que se oone al moimiento. Para cueros equeños moiéndose a elocidades equeñas, esta fuerza es roorcional a (resultado exerimental). La constante de roorcionalidad (adimensional) ara un cuero esférico de radio r fue hallada or Stokes: La exresión de la fuerza se uede deducir mediante análisis dimensional. Para un cuero de tamaño r en un fluido de densidad ρ y iscosidad η: r F c 0 b a c c 3b a c b LT [] ML ] [ L [r] T ML ] [ MLT ] [F r F a 3 a c b a a η + + ρ η η ρ Ley de Stokes (indeendiente de ρ) c c 3b a c b T L M MLT + + Imortante en el estudio del moimiento de artículas equeñas en disolución

45 Exresión útil ara analizar rocesos de sedimentación. Ejemlo: en una muestra de sangre en reoso, los glóbulos rojos, más esados que el lasma, caen lentamente hacia el fondo. F a P E Σ F P E Fa Peso : Emuje : Arrastre : mg E ρ ρ c f ma Vg Vg ρ F a ρ c f πr πr 6πrη 3 3 g g ρ ρ c f densidad del cuero densidad del fluido elocidad La elocidad límite (cte) se alcanza cuando la fuerza de arrastre es contrarrestada or el eso y el emuje a0. Cuando se alcanza el equilibrio, F a P E Esta exresión nos ermite hallar la elocidad de sedimentación (límite) de un cuero esférico en un fluido (cuando el eso iguala a emuje y F a ): F a 6πrη L ( ρ c ρ f ) 4 3 πr 3 g s r g ( ρ 9η c ρ f ) ( s seguirá constante, ues las fuerzas se anulan) Ca. 4/45

46 Puede calcularse que esta elocidad límite se alcanza en muy oco tiemo. En la ráctica, ésta es la elocidad a la que se roduce la sedimentación. Si hay moléculas de diferentes tamaños tendrán diferentes alores de s. Permite identificar los diferentes comonentes sólidos en susensión. La sedimentación es tanto más ráida cuanto mayor sea (ρ c ρ f ). Si la diferencia de densidades es muy equeña, la sedimentación asia es lenta. Por ello se utilizan las centrífugas. Ejemlo: glóbulo rojo de r 0-6 m y ρ c kg/m 3 en lasma sanguíneo de ρ kg/m 3 y η kg m - s - : s m/s Lento: cm en h 3 min Si en cambio la susensión se introduce en una centrífuga con aceleración centríeta ω r0 3 g (ω: elocidad angular de rotación; r: distancia al centro), 3 3 s 0 s t 0 t 8.6 s Ca. 4/46

47 La ley de Stokes es álida ara equeña. Más concretamente cuando el número de Reynolds asociado al cuero de diámetro D (análogo al definido ara un fluido en un tubo) sea menor que la unidad: Si N R > (altas elocidades, objetos grandes) la iscosidad es irreleante y la fuerza de arrastre es roorcional a : F ρac a ρd ρr N R < η η a (se cumle la ley de Stokes: cueros y elocidades equeñas) (analogía con sustentación: F ρac ) Mejor coeficiente de arrastre C A equeño ara aerodinámica de coches, aiones La elocidad límite que se alcanza en este caso (desreciemos el emuje: ρ c >> ρ): mg L Ejemlo: L en el aire: ρac s a s > Arrastre Sustentación Objeto (C a ) masa A frontal L N R Gota lluia kg m m/s 4 0 Gota granizo kg m 4 0 m/s 0 4 Persona caída ertical 75 kg 0.6 m m/s Ca. 4/47