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1 LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté a, más s aroima los valors d la unción a L. Es imortant comrndr qu l concto d it s rir a las roimidads dl unto y nada tin qu vr con l unto, dond la unción ud o no istir, o tomar un valor distinto qu l dl it. DEFINICION. S dic qu l it d la unción y, cuando tind a, s igual a L, y scribirmos L, sí y sólo sí, dado cualquir ε ositivo, simr s osibl ncontrar al mnos un δ, también ositivo y dndint d él, tal qu, si la dirncia d la variabl al unto, n valor absoluto, s mnor qu δ, ntoncs la dirncia ntr los valors d la unción n dichos untos y l it, n valor absoluto, s mantin mnor qu l ε dado. D una orma simbólica: L ε > δ > / < δ L < ε A los trmos d la rcta ral tan sólo nos odmos aroimar or uno d sus lados, s dcir, qu a sólo nos odmos acrcar or su izquirda, mintras qu a sólo nos odmos acrcar or su drcha. Sin mbargo, a cualquir otro unto d la rcta ral nos odmos aroimar or ambos lados: or su izquirda mdiant valors mnors qu o or su drcha mdiant valors mayors qu. Pud rsultar intrsant vr qu ocurr n la unción al aroimarnos a or cada lado: aarcn d sta manra los its latrals d una unción n un unto. DEFINICION : Límit or la izquirda. S dic qu l it or la izquirda d una unción s L, cuando tind hacia, y s scrib L, si ara todo ε > ist un δ >, tal qu si < < δ, ntoncs s vriica qu L < ε. DEFINICION : Límit or la drcha. S dic qu l it or la drcha d una unción s L, cuando tind hacia, y s scrib L, si ara todo ε > ist un δ >, tal qu si < < δ, ntoncs s vriica qu L < ε. LÍMITES DE FUNCIONES

2 Cuando ambos its latrals istan y san iguals, ntoncs istirá it d la unción n l unto. L L y L ε > δ > / < δ L < ε Podmos dducir qu l it d una unción n un unto no ist cuando alguno d los its latrals n dicho unto no ist, o bin aún istindo ambos, no toman l mismo valor. PROPIEDADES DE LOS LIMITES.. Unicidad dl it: El it d una unción n un unto, si ist, s único.. Si una unción tin it n un unto, stá acotada n dicho unto.. Si una unción tin it n un unto, ntoncs ist un ntorno d dicho unto n l cual la unción tin l mismo signo qu l it.. Si una unción toma ininitos valors ositivos ininitos valors ngativos n un ntorno d un unto y tin it n dicho unto, ntoncs su it s igual a cro.. Si L, g L' y L < L', ntoncs < g n un ntorno rducido d 6. Si L, g L' y n un ntorno rducido d s vriica qu ntoncs L < L'. < g, 7. Si L, g L' y ntoncs h L. < h < g n un cirto ntorno rducido d, LÍMITES INFINITOS. S dic qu cuando dado un númro K, odmos ncontrar otro númro δ > tal qu si < < δ > K. S dic qu cuando dado un númro K, odmos ncontrar otro númro δ > tal qu si < < δ > K. S dic qu cuando dado un númro K, odmos ncontrar otro númro δ > tal qu si < < δ < K. LÍMITES DE FUNCIONES 6

3 S dic qu cuando dado un númro K, odmos ncontrar otro númro δ > tal qu si < < δ < K. LÍMITES EN EL INFINITO. El studio d its d uncions cuando s similar al d sucsions. Dirmos qu la unción tin or it L cuando y lo rrsntarmos or L, si dado un ε > ist un h tal qu si > h ntoncs L < ε. Cuando no ista ningún L qu vriiqu sta condición, la unción no tin it inito cuando. En st caso odría sucdr qu o o ninguna d stas cosas. S dic qu cuando, y s scrib, arbitrario K, odmos ncontrar otro, h, tal qu si > h > K. Análogamnt: > h < K. si dado un númro Dado un K arbitrario, odmos ncontrar otro númro h, tal qu si D orma similar s dinn los its d cuando. S dic qu, si dado un númro K, odmos ncontrar otro númro h, tal qu si < h > K. S dic qu, si dado un númro K, odmos ncontrar otro númro h, tal qu si < h < K. OPERACIONES CON LÍMITES.. Si L y g L', ntoncs [ g ] L L' s dcir, l it d la suma s igual a la suma d los its.. Si L y g L', ntoncs [ g ] L L' s dcir, l it dl roducto s igual al roducto d los its. L. Si L y g L', ntoncs s dcir, l it dl g L' cocint s igual al cocint d los its, simr y cuando l it dl dnominador sa distinto d cro. LÍMITES DE FUNCIONES 7

4 . Si L, ntoncs n n [ ] L. Si L, ntoncs n n L, n N 6. Si L y g L', ntoncs g L' [ ] L CÁLCULO DE LÍMITES. Para calcular l it d una unción cuando l valor d sin más. S tndrán n cunta las siguints considracions: s sustituirá or y calcularmos a Si al ctuar las oracions qu rsultn, obtnmos rsions dl tio a s dará a dirctamnt l valor dl it: si a > a si < a < a a b En l caso d rsions d la orma a s calcularán los its latrals d la unción n l unto. c En l cálculo d its udn aarcr las indtrminacions siguints:,,,,,, Cuando al sustituir or llgumos a una rsión indtrminada, ara calcular dicho it tndrmos qu quitar rviamnt dicha indtrminación. Rcordmos algunos rocdimintos: c. En las indtrminacions dl tio convin distinguir l tio d unción qu tngamos: Si s trata d uncions racionals, sta indtrminación dsaarc dscomonindo n actors l numrador y l dnominador y simliicando. Ejmlo: Entoncs: LÍMITES DE FUNCIONES 8

5 Si s trata d uncions con radicals, s multilica y s divid la unción or la rsión radical conjugada: simliicando l rsultado dsaarcrá la indtrminación. Ejmlo: Entoncs:. c. En las indtrminacions convin ctuar la oración suma o dirncia con lo qu la indtrminación s transormará n la dl tio Ejmlo: [ ] ±. 8 Al qudarnos un númro dividido or cro, tndrmos qu calcular los its latrals d la unción n dicho unto:.. c. En las indtrminacions dl tio alicarmos la rgla siguint Si y g, ntoncs [ ] g g ara quitar dicha indtrminación. LÍMITES DE FUNCIONES 9

6 Ejmlo:. c. Cálculo d its cuando o. El cálculo d its cuando s raliza d igual orma qu n los its d sucsions. Rcordando: La indtrminación d uncions racionals dsaarc dividindo numrador y dnominador or la mayor otncia d la variabl. En st caso, l it sría quivalnt al it d la unción qu nos qudaría tomando los términos d mayor grado n numrador y dnominador. Ejmlo: D otra manra: tomamos los términos d mayor grado n numrador y dnominador La indtrminación d uncions con radicals dsaarc dividindo numrador y dnominador or la mayor otncia d la variabl. Ejmlo: LÍMITES DE FUNCIONES

7 . En las indtrminacions d uncions con radicals, multilicando y dividindo or la rsión radical conjugada, asamos a la indtrminación y oramos d la misma orma antrior. Ejmlo: Entoncs: En las indtrminacions dl tio alicamos la misma rgla antrior ara its cuando la variabl tind a un valor inito. Ejmlo: LÍMITES DE FUNCIONES

8 En l caso d qu, los its s calcularán d igual manra qu cuando, sin más qu hacr l cambio d or. Ejmlo: FUNCIONES EQUIVALENTES. Cálculo d sn sn tg sn y sus invrsos vriicarán: cos < <. Tomando its cuando, nos quda: sn cos < < El sno, l arco y la tangnt d un ángulo vriican la rlación: sn < < tg Dividindo la dobl dsigualdad ntr sn obtnmos tg < < < < sn sn sn cos sn cos < < sn < < sn En conscuncia, tg Cálculo d sn tg Si n dividimos or tg obtnmos: < < cos < < tg tg tg tg tg y sus invrsos vriicarán: > >. cos Tomando its cuando, nos quda: tg > > cos tg En conscuncia,. cos tg > > tg > > LÍMITES DE FUNCIONES

9 Dos uncions y g s dic qu son quivalnts n un unto si l it d su cocint n dicho unto s igual a. y g son quivalnts g Esto nos quir dcir qu las uncions y g toman valors rácticamnt iguals n un ntorno d s unto. Est rsultado s muy intrsant n l cálculo d its ya qu nos rmitirá sustituir una unción or otra quivalnt con la qu nos rsultará más ácil quitar indtrminacions. Son uncions quivalnts En : En : sn tg arcsn arctg cos L Ejmlos: L sn sn8 sn8 8 sn arctg tg sn LÍMITES DE FUNCIONES

10 EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcular los its d las siguints uncions n los untos qu s indican: tg sn cos sn cos.sn cos arctg L L Calcular los its d las siguints uncions cuando LÍMITES DE FUNCIONES

11 RAMAS INFINITAS. ASINTOTAS. S dic qu una unción y tin una RAMA INFINITA cuando, o ambas al mismo timo crcn ininitamnt. D sta manra l unto, s alja ininitamnt. Podríamos distinguir trs osibilidads d ramas ininitas: a, ininito, inito Es l caso d la unción qu cuando, ntoncs. b, inito, ininito Tnmos la unción qu cuando y cuando. c, ininito, ininito Es l caso d la unción Algunas d stas ramas ininitas s aroiman a unas rctas dtrminadas qu rcibn l nombr d ASÍNTOTAS. En conscuncia, odmos dcir qu las asíntotas son rctas tangnts a la gráica d la unción n l ininito, son rctas cuya distancia a la curva tind a cro cuando la distancia al orign tind a ininito. Eistn trs tios d asíntotas: horizontals, vrticals y oblicuas. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Si l, la rcta y l s asíntota, us la distancia ± rcta tind a cro cuando nos aljamos dl orign. l d la curva a la La situación d la curva rscto d la asíntota la odmos studiar calculando los its [ l] y [ l] qu nos dicn si la curva stá or ncima o or dbajo. Una unción ud tnr como máimo dos asíntotas horizontals, corrsondints a cada uno d los its n y n : tndríamos una asíntota hacia la izquirda y otra hacia la drcha aunqu rcuntmnt la misma rcta s asíntota or la izquirda y or la drcha. En uncions racionals, si hay asíntota ara, la misma rcta s asíntota ara. Sin mbargo, n uncions con radicals suln sr distintas. LÍMITES DE FUNCIONES

12 La gráica d una unción ud cortar a la asíntota horizontal n uno o varios untos, aunqu n la mayoría d las uncions lmntals la gráica stá or ncima o or dbajo d la asíntota. Ejmlos. Calcular las asíntotas horizontals, si istn, d la unción Vamos si ist l it d la unción cuando ± ± ± ± Al istir l it d la unción cuando ± y sr inito, ist asíntota horizontal. Ésta srá la rcta y. Para studiar la osición d la gráica d la unción rscto d la asíntota horizontal, calculamos la dirncia Entoncs: Si >> ya qu l dnominador crc más ráidamnt qu l numrador y ést s ngativo. Esto nos indica qu n la gráica d la unción stá or dbajo d la asíntota horizontal. y Si << ya qu l dnominador crc más ráidamnt qu l numrador y ést s ositivo. Esto nos indica qu n la gráica d la unción stá or ncima d la asíntota horizontal. ASÍNTOTAS VERTICALES. La rcta a s una asíntota vrtical d la unción y si s vriica qu ± o a a ± Así us, ara calcular las asíntotas vrticals d una unción, si s qu tin, hay qu localizar los valors initos d la variabl qu hacn tndr la unción a o a. Podríamos stablcr las siguints obsrvacions sobr las asíntotas vrticals: Una unción ud tnr ininitas asíntotas vrticals, como la unción tangnt. La gráica d la unción no corta nunca a la asíntota vrtical, ya qu n los untos dond ist asíntota no stá dinida la unción. En las uncions racionals, las asíntotas vrticals s hallan tomando los untos qu anulan l dnominador. LÍMITES DE FUNCIONES 6

13 La situación d la gráica d la unción rscto d la asíntota vrtical a s obtin calculando los its latrals n a y vindo si valn o. También ud hacrs studiando l signo d la unción n las rgions n las qu ist. Ejmlo. Encontrar las asíntotas vrticals d la unción: Para ncontrar las asíntotas vrticals d una unción, buscarmos aqullos untos dond la unción tinda a ininito: or tratars, n nustro caso, d una unción racional, ara qu la imagn tinda a ininito tndrmos qu anular l dnominador. ± ± a Por tanto, tndrmos dos asíntotas vrticals: y. Vamos la osición d la gráica d la unción rscto a cada una d las asíntotas: ara llo calcularmos los its latrals d la unción n cada una d los untos. En :.. En :.. ASÍNTOTAS OBLICUAS. La rcta y m n,, m, s una asíntota oblicua d la unción y si ist alguno d los its siguints:. m n. [ ] [ m n ] En l rimr caso s dic qu la unción tin asíntota n, y n l sgundo n. Una dtrminada unción ud tnr asíntotas oblicuas d ambos tios, d alguno o d ninguno d llos, dndindo d qu istan los dos its, sólo uno o ninguno. LÍMITES DE FUNCIONES 7

14 La asíntota oblicua y m n,, m, qudará comltamnt dtrminada cuando conozcamos los valors d m y n. Cálculo d la ndint. Para obtnr la ndint m d la rcta, s calcula l valor hacia l qu tind l cocint d or cuando ± : m ± Sgún l valor d m obtnido al calcular l it n ± udn dars los siguints casos: a Si m s un númro ral no nulo, la unción tin una asíntota oblicua n. b Si m ±, la unción no tin asíntota oblicua n y la rama corrsondint d la misma tin la orma d la arábola vrtical y. c Si m, la unción no tin asíntota oblicua n. La rama corrsondint tin la orma d la arábola y. Cálculo d la ordnada n l orign n. Si m s un númro ral no nulo, s calcula n d la orma: n [ m] Si n s inito, ist asíntota oblicua d cuación y m n. Si n no s inito, hay una rama arabólica n la dircción y m. En las uncions racionals no s ncsario utilizar its ara calcular los valors d m y n ya qu s ud calcular dirctamnt la asíntota mdiant l siguint rocdiminto: Las uncions racionals, si l grado dl numrador s mayor qu l grado dl dnominador, udn rsars d la orma: P R C Q Q sin más qu hacr la división ntra. Para qu l grado d C sa uno, la dirncia d grados ntr numrador y dnominador db sr uno. Al tndr ±, la racción R Q y tndríamos qu la asíntota oblicua sría y C. ± Dbmos tnr n cunta las siguints considracions: Una unción ud tnr como máimo dos asíntotas oblicuas corrsondints a cada uno d los its. Las asíntotas horizontals y las oblicuas son mutuamnt cluynts. La gráica d una unción ud cortar a la asíntota oblicua n uno o varios untos. La situación d la gráica rscto d la asíntota oblicua s hac studiando l signo d m n ara valors grands d. LÍMITES DE FUNCIONES 8

15 EJEMPLO Rtomamos la unción y vamos a calcular sus asíntotas oblicuas, si istn. Primramnt, calculamos l it d la unción n ± ara studiar la istncia o no d asíntotas horizontals: ± ± ± ± Al sr st it ininito, no istn asíntotas horizontals. Vamos si istn oblicuas: Calculamos l valor d la ndint m: m ± ± ± ± Calculamos l valor d la ndint n: n m ± ± ± ± ± [ ] ± Por tanto, ist asíntota oblicua ara nustra unción qu sría la rcta d cuación y. Vamos la osición d la gráica d la unción rscto d la asíntota vrtical: Calculamos la dirncia ntr la unción y la asíntota, y studiamos l signo ara valors grands d, tanto ositivos como ngativos. m n Si >> ya qu tanto l numrador como l dnominador son ositivos, ro l dnominador crc más ráidamnt qu l numrador. Si << ya qu tanto l numrador s ngativo y l dnominador s ositivo, ro l dnominador crc más ráidamnt qu l numrador. Gráicamnt la situación d la curva con las asíntotas vrticals incluidas sría: LÍMITES DE FUNCIONES 9

16 EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcular las asíntotas d la unción rscto a llas. Calcular las asíntotas d la unción rscto a llas. Calcular las asíntotas d la unción rscto a llas. y studiar la osición d la curva y studiar la osición d la curva y studiar la osición d la curva Calcular las asíntotas d la unción y studiar la osición d la curva rscto a llas. S considra n l lano la rcta. Encontrara dos uncions cuyas gráicas admitan a dicha rcta como asíntota y tngan distintas osicions rscto a lla. Rrsntar dichas osicions. Calcular las asíntotas d la unción rscto a llas. Calcular las asíntotas d la unción rscto a llas. y studiar la osición d la curva y studiar la osición d la curva Dtrminar l valor d la constant k sabindo qu la curva d cuación os una asíntota qu asa or l unto,. y k S considra la unción dinida ara or. Calcula los its d cuando tind a y cuando tind a Tin la gráica d la unción asíntotas horizontals? Cuáls son? S considra la unción dinida or, L, dond L dnota l logaritmo nriano d.. Dtrminar l dominio d dinición d.. Dtrminar las asíntotas d. si si LÍMITES DE FUNCIONES

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