Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas
|
|
- José Ramón Espinoza Venegas
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene l grdble consecuenci de poder de nir l derivd de form totlmente nálog l conocid en el cso rel. (Recordemos, por un momento, cómo fué preciso introducir l de nición de Stone en el cso de l diferencibilidd pr C R 2, donde desechábmos el producto interno y sólo disponímos de su estructur vectoril.) De nición. función Sen ; 6 A C, f : A! C y 2 A \ A 0. Consideremos l f : Anfg! C; f(z) f() f (z) : ; 8z 2 Anfg: z Se dice que l función f es derivble en el punto si f tiene límite en ; en cuyo cso, dicho límite será l llmd derivd de f en, y que notremos por f 0 f(z) () : lim f (z) lim z! z! z f() 2 C: Cundo un función es derivble en cd punto de un conjunto B A \ A 0, se dice que f es derivble en B, y se de ne f 0 ; l función derivd de f en B; como f 0 : B! C; z! f 0 (z); 8z 2 B: Observmos que si A R y f : A! R, con 2 A \ A 0, tenemos ni más ni menos que est de nición extiende l que y conocemos del curso de un vrible rel. Ahor bien, si A R, pero f : A! C, tenemos: Proposición. Sen ; 6 A R, f : A! C y 2 A \ A 0. Son equivlentes: i. f es derivble en : ii. Re f e Im f son derivbles en : 1
2 Además, si se veri c lgun (y por tnto mbs) de ls proposiciones i. y ii., se tiene l fórmul: f 0 () (Re f()) 0 + i (Im f()) 0 : L demostrción consiste en tomr límites, cundo x! ; x 2 Anfg, en l expresión f (x) f(x) x f() Re f(x) Re f() x + i Im f(x) Im f() ; x y, por l unicidd del límite, se lleg lo desedo. Tmbién se tiene l desed continuidd de ls funciones derivbles: Proposición. Sen ; 6 A C, f : A! C y 2 A \ A 0. Si f es derivble en ; entonces tmbién f será continu en : Demostrción. Bst con tomr límites, cundo z! ; z 2 Anfg, en l expresión f(z) f() + (z )f (z) pr concluir que lim z! f(z) f(): Ls primers propieddes de cálculo reltivs l derivd complej tmbién nos resultrán fmilires: Proposición. Sen 2 C, ; 6 A C, f; g : A! C y 2 A\A 0. Supongmos que f y g son derivbles en. Entonces: i. Ls constntes son funciones derivbles en todo punto con derivd nul; esto es: : C! C; (z) : ; 8z 2 C ) 9 0 (z) 0; 8z 2 C: ii. L función identidd es derivble en todo C con derivd idénticmente 1; es decir: id : C! C; id (z) : z; 8z 2 C ) 9id 0 (z) 1; 8z 2 C: iii. L sum de funciones derivbles es otr función derivble con derivd dd por l sum de ls derivds correspondientes: (f + g) 0 () f 0 () + g 0 () : iv. El producto de dos funciones derivbles es tmbién un función derivble, con derivd dd por l fórmul: (fg) 0 () f 0 () g () + f () g 0 () : 2
3 v. Pr el cociente, si en el denomindor es g () 6 0 (luego no se nul en todo un entorno suyo), entonces se tiene tmbién derivbilidd y, hor, l derivd viene dd por: (fg) 0 () f 0 () g () f () g 0 () g 2 : () vi. Los polinomios y ls funciones rcionles complejs de vrible complej son dervbles en todo su dominio de de nición. Demostrción. Tl vez merezc l pen entrr en los detlles de v.; ls otrs rmciones no reportn myor complejidd. Se, por tnto, z 2 Anfg. Unos cálculos nos dn: f g (z) f g (z) z f f(z) f() z g () f(z)g() f()g() + f()g() g(z)f() (z )g(z)g() g() g(z)g() + f() g(z)g() g() z g(z) ; lo que nos permite concluir lo desedo hciendo z!. ( Dónde y cómo hemos usdo quí, sin decirlo, el crácter locl de l derivbilidd?) Regl de l Cden. Sen ; 6 A C, f : A! C, 2 A \ A 0, f(a) B C, g : B! C, b : f() 2 B \ B 0. Si f es derivble en y g lo es en b, entonces tmbién l función g f será derivble en, con derivd donde (g f) 0 () g 0 (b) f 0 () : Demostrción. Sen z 2 Anfg y h : g f. Clculmos: h(z) z h() g (f(z)) g (f()) z '(w) : g(w) g(b) : ' (f(z)) w b :::; w 2 Bnfbg g 0 (b):::; w b: f(z) f() ; [] z Grcis g, l función ' es continu. Por tnto, si hcemos z! en []: 9h 0 () lim z! h (z) f(z) f() lim ' (f(z)) lim z! z! z '(b)f 0 () g 0 (b)f 0 (): A continución profundizremos en lo esencil de l portción del concepto de cuerpo est de nición. Concretmente, vmos ver cuán restrictiv es l derivbilidd en C respecto de l diferencibilidd en R 2. El siguiente resultdo, de prueb obvi (y que, por tnto, omitiremos), nos recuerd cómo se introducí l diferencibilidd en los euclídeos: 3
4 Lem. Sen f : A! C un función complej de vrible complej y 2 A \ A 0. Ls rmciones que siguen, son equivlentes: i. f es derivble en : ii. 9w 2 C : 8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz j < ; z 2 A ) jf(z) f() w(z )j " jz j : El ppel que jugb l diferencil Df() en R 2, lo jueg hor w f 0 () en C; es decir, el ppel de l plicción linel llí lo jueg quí un muy concret (recordemos l identi cción de C con un prte del conjunto de ls mtrices 2 2): Df() ; w R-linel y C-linel, respectivmente. Pues bien, est restricción que, como cbe sospechr, es muy fuerte, d lugr ls importntísims ecuciones de Cuchy-Riemnn (o de Euler-D Alembert, según quien cuente l histori): Teorem. Sen A C, f : A! C y 2 A, +i. Pr cd x+iy 2 A, se de nen Son equivlentes: i. f es derivble en : ii. u(x; y) : Re f(x + iy) v(x; y) : Im f(x + iy): u y v son diferencibles en (; ) y veri cn ls ecuciones [] ( (; ) (; ) (; ) (; ) : Además, cso de ser ciert lgun de ls proposiciones nteriores (luego ls dos), se tiene que f 0 () (; ) + i (; ) (; ) i (; ) : Ls ecuciones dds en [] son ls llmds ecuciones de Cuchy- Riemnn. 4
5 Demostrción. Llmemos f b (x; y) : f(z) f(x + iy); pr cd (x; y) 2 A R 2. i. ) ii. Pr ver l diferencibilidd de u y v bstrá con probr l de f. b L derivbilidd de f, según el lem nterior, l podemos expresr sí: 8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz j < ; z 2 A ) ) jf(z) f() f 0 ()(z )j " jz j : [] Ahor considermos l plicción linel T : R 2! R 2 c ; T (r; s) : d d c r s donde c : Re f 0 () y d : Im f 0 (). Si reescribimos hor l condición [] con lenguje de R 2, ) 8" > 0; 9 > 0 : 0 < j(x; y) (; )j < ; (x; y) 2 A ) ) f(x; b y) f(; b [ 0 ] ) T [(x; y) (; )] " k(x; y) (; )k ; de donde se sigue que b f es diferencible en (; ), con diferencil dd por D b f (; ) T. Y, en consecuenci, l condición (; ) (; ) (; ) c (; ) d d c estblece ls ecuciones de Cuchy-Riemnn. ii. ) i. L diferencibilidd de f b es consecuenci de l de u y v. Su diferencil l construimos del siguiente modo: Df b c d r (; ) (r; s) : (cr ds; dr + cs) : d c s Si cminmos en el recorrido inverso l primer prte y demostrd, tendremos que [ 0 ] conllev l derivbilidd de f en ; ví l identi cción f 0 () c d c + id (c; d) : Q.E.D. d c Con el lenguje y notción y introducidos en el enuncido y en l demostrción del teorem nterior, tenemos que: Corolrio. f es derivble en + i si, y sólo si, f b es diferencible en (; ) y Df b (; ) es C-linel. A continución mostrmos diversos ejemplos que visulizn lo enormemente restrictivo de est de nición de derivción complej. Ejemplo 1. Ls ecuciones de Cuchy-Riemnn no son condición su ciente pr l derivbilidd. 5
6 Consideremos l función: Se z + ib 6 0, tendremos f (x + iy) Así: f(z) : ( z 5 :::; jzj 4 z 6 0 0:::; z 0 x 5 10x 3 y 2 + 5xy 4 + i 5x 4 10x 2 y 3 + y 5 (x 2 + y 2 ) 2 x5 10x 3 y 2 + 5xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 + i 5x4 10x 2 y 3 + y 5 (x 2 + y 2 ) 2 : u(x; y) + iv(x; y): (0; 0) : lim h!0 u(h;0) u(0;0) h lim h!0 h 0 (0; 0) : lim k!0 u(0;k) u(0;0) k 0 (0; 0) : lim h!0 v(h;0) v(0;0) h 0 (0; 0) : lim k!0 v(0;k) v(0;0) k lim k!0 k 0 nos dice que se veri cn ls ecuciones de Cuchy-Riemnn pr f; pero, con h 6 0: f(h) f(0) h5 h h jhj 4 h4 jhj 4 ei ; se mni est cómo su derivbilidd depende del ángulo en el que nos proximmos l origen; y, por tnto, f no dmite derivd en el origen. Ejemplo 2. punto. Vlor bsoluto y conjugción no se pueden derivr en ningún i. Pr l conjugción: z x + iy! z x iy : u(x; y) + iv(x; y), de modo que: 1; 0; 0; 1; lo que conllevrí contrdicción ( 1 1). ii. Pr el vlor bsoluto: z x + iy! jzj p x 2 + y 2 : u(x; y) + iv(x; y), de modo que: (; b) p 2 +b 2 ; b (; b) p 2 +b 2 ; 0; 0; luego sólo podrí ser derivble en el origen; y, sin embrgo, jhj j0j jhj 1:::; h! 0; h 2 R h h 1:::; h! 0; h 2 R + : Ejemplo 3. @z. 6
7 A veces, l derivbilidd se podrá probr de form un tnto heterodox; por ejemplo, si considermos l función f : C! C; f(x + iy) : 2xy + i y 2 x 2 ; en vez de rzonr sobre su diferencibilidd (l de b f(x; y) : f(x + iy), propimente dich) y ver si veri c ls ecuciones de Cuchy-Riemnn, podemos hcer cálculos: f(x + iy) 2xy + i y 2 x 2 i( i)2xy + i y 2 x 2 de modo que se tiene i i2xy + y 2 x 2 i (x + iy) 2 ; f(z) iz 2 ; 8z 2 C; clrmente derivble, l ser polinómic. Ciertmente, dr l zr con un función derivble... es muy complicdo! En efecto, como f(z) f(x; b y) f b z + z 2 ; z z g(z; z); i2 hemos de concluir que ls "genuins" funciones complejs son ls que no dependen de z. L trscendenci de este hecho es mucho myor de lo que, priori, podrímos imginrnos. Si escribimos z + z f(z) u(x; y) + iv(x; y) u 2 ; z z z + z + iv i2 2 ; z z ; i2 podemos hcer l siguiente derivción forml (siguiendo l regl de l cden pr l derivción prcil en i 2 i2 2 i2 1 + i ; 0, u; v veri cn ls ecuciones de Observemos que podemos incorporr l derivd ; de un mner nturl, l nterior rzonmiento: dd f(x; y) u(x; y) + iv(x; y); 7
8 si introducimos el cmbio de vrible tenemos x + b y c + d d 6 + b + d Como pr los prámetros no hy más restricciones que d 6 cd, podemos hcer b 12; c d i2; de modo que y, por i + i z; z i 2 + i 2 + En resumen: l derivbilidd de f equivle y en este cso f 0 + i ; de modo que, cso de derivbilidd, se tiene que 0 (o bien i ); f 0 : (Puede volverse este ejemplo cundo estudiemos los polinomios nlíticos l nl del tem siguiente.) Como debemos recordr, en el plno euclídeo no tenímos teorems de vlor medio (en el sentido estricto que nos ofreció el cálculo en un vrible rel). Eso lo mni est el siguiente ejemplo: L función f : [0; 2]! C; f(t) : cos (t) + i sin (t) es diferencible y f(0) f(2). Sin embrgo, f 0 (t) sin (t) + i cos (t) 6 0; 8t 2 [0; 2] : No obstnte, sí que dispondremos de resultdos que nos permiten ugurr buens perspectivs: Teorem. Se un dominio de C. Se f :! C un función derivble en : Supongmos que f 0 (z) 0 en todo punto z de. Entonces f es constnte en : 8
9 Este resultdo es el que v motivr que estudiemos derivbilidd complej sobre biertos del plno. Algo que, l postre, nos d el concepto (centrl en l vrible complej) de holomorfí de un función complej de vrible complej. Por tnto, l hipótesis 2 A \ A 0, nos result insu ciente, y es preciso l considerción de entornos de. Demostrción (del teorem). Se 2 y de nmos el conjunto A : fz 2 : f(z) f()g : ( Rzon que es no vcío!) Se b 2 y D(b; r) : Vemos que D(b; r) A, y sí, el lem de conexión nos drá que, de hecho, es A. Pr w 2 D(b; r), se ' : [0; 1]! C; ' (t) : f [(1 t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ; que está bien de nid, pues (1 t) b + tw 2 D(b; r) ; pr todo t 2 [0; 1]. Aplicndo l regl de l cden, obtenemos l derivbilidd de ' en [0; 1]: ' 0 (t) (w b) f 0 [(1 t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ; pero, entonces se tiene que ' 0 es idénticmente nul en [0; 1], y podemos plicrle el teorem de vlor medio ls funciones Re ' e Im ' de modo que concluimos que son constntes; luego ' es constnte. Por tnto, f(b) '(0) '(1) f(w) de donde se sigue que w 2 A. D(b; r) A. Q.E.D. Dd l rbitrriedd de w en D(b; r), será De nición de Holomorfí. Se f :! C un función complej de vrible complej. Se 2. Se dice que l función f es holomorf en el punto si es derivble en un disco D(; r), pr lgún r > 0. Cundo el conjunto se bierto, diremos que es holomorf en cundo se derivble (u holomorf) en todo punto del bierto. Ddo un bierto, notremos por H () l clse de tods ls funciones holomorfs en. Cundo : C, los elementos de H (C) se les llm funciones enters. Proposición. L clse H () es un álgebr. Se observ que si f 2 H () con 0 2 f(), entonces 1 f 2 H () : En consecuenci, ls funciones rcionles en son holomorfs en ; esto es, R () H () : Cigmos en l cuent de que no conocemos funciones holomorfs en un bierto más que ls rcionles en. Y que no conocemos funciones enters más llá de los polinomios. El siguiente tem nos resrcirá de estos dé cits. El teorem enuncido y probdo más rrib tiene est lectur en términos de holomorfí: 9
10 Teorem. Tod función holomorf sobre un dominio cuy derivd se l función constntemente nul hbrá de ser, necesrimente, constnte. Corolrio. Sen un dominio de C y f 2 H () : Supongmos que f veri c lgun de ls siguientes tres condiciones:. Re f es constnte. b. Im f es constnte. c. jf j es constnte. Entonces, f es constnte. Demostrción. Pongmos y recordemos que f(z) f(x + iy) u(x; y) + iv(x; y); 8z x + iy 2 ; f 0 () (; ) + i (; ) (; ) i (; ) (; ) + i (; ) ; 8 + i 2. Se + i 2 ; jo, pero rbitrrio. Como u es constnte: f 0 () (; ) i y el teorem nos d lo desedo. b. Análogo l nterior. c. Se c 2 R tl que (; ) 0; u 2 (x; y) + v 2 (x; y) c: Podemos suponer c > 0 (pues c 0 conllev, trivilmente, que f 0). Derivndo en l expresión nterior respecto de cd un de ls dos vribles, tendremos: u + v 0; u + v 0: Usndo ls ecuciones de Cuchy-Riemnn, prece el sistem 2 2 : ) u (; ) (; ) v (; ) (; ) 0 u (; ) (; ) + v (; ) (; ) 0 con determinnte c 6 0. Por tnto, pr cd + i 2 : de donde se concluye l prueb. (; ) (; ) 0; 10
11 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Estúdiense l derivbilidd y l holomorfí de l función f complej de vrible complej dd en cd uno de los siguientes csos: () f(z) : z(re z) 2 ; pr todo complejo z (b) f(x + iy) : x 3 y + i(y 3 + x 2 2); pr culesquier reles x e y (c) f(x + iy) : x3 +iy 3 x 2 +y 2 ; si x + iy 6 0; y f(0) : 0 2. Pruébese que existe un función enter f tl que Re f(x + iy) x 4 6x 2 y 2 + y 4 pr culesquier reles x e y. Pruébese que si se exige l condición f(0) 0, entonces l función f es únic. 3. Encuéntrese un condición necesri y su ciente que deben cumplir ls constntes reles ; b; c, pr que exist un función enter f tl que Re f(x + iy) x 2 + bxy + cy 2 pr culesquier reles x e y. Pr tles vlores de ; b; c, determínense tods ls funciones enters que veri quen () : 4. Se un dominio del plno complejo y f 2 H (). Supongmos que existen tres constntes reles ; b; c, (bjo l restricción 2 + b 2 > 0) tles que Re f(z) + b Im f(z) c; 8z 2 : Pruébese que l tl función f es constnte. 5. Se un bierto del plno complejo y f 2 H (). Consideremos el bierto b : fz 2 C : z 2 g y se l función b f(z) : f(z) de nid sobre b. Pruébese que b f 2 H () b. 6. Se f 2 H () un función holomorf sobre un dominio del plno complejo. Pruébese que si su imgen está contenid en un rect, entonces f es constnte. 7. Busc un función rel v en dos vribles reles que se l prte imginri de un función enter f tl que Re f(x + iy) e x sin (y) xy; pr todo x+iy del plno. (A v Im f se le llm conjugd rmónic de u Re f. Es simétric est relción?) 8. Búsquese un función rel v en dos vribles reles que se l conjugd rmónic de l función u dd por u(x; y) : 3 + x 2 y 2 y 2(x 2 + y 2 ) pr todo x + iy no nulo del plno. 11
12 9. No siempre existe l conjugd rmónic: Existe lgun elección pr Im f de modo que f 2 H (C), cundo Re f(z) jzj 2 ; 8z 2 C? 10. Clcúlense ls derivds prciles siguientes csos: en cd uno de los. f(z) : z; b. f(z) : z; c. f(z) : jzj 2 ; d. f(z) : Re z; e. f(z) : jzj ; z 6 0; f. f(z) : z jzj ; z 6 0; g. f(z) : Log jzj ; z 6 0; h. f(z) : Log jzj + irctg y x ; Re z > 0: 11. Existe lgun función enter f cuy prte rel se de l form u(x; y) : sin x sinh y? En cso rmtivo pr l respuest, clcúlese y exprésese l tl función en términos de l vrible z. 12. Determin ls condiciones veri cr por los prámetros ; b; c 2 C pr l que l función dd por se enter. f(z) z 2 + bzz + cz 2 ; 8z 2 C 12
Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales
Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesA modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Más detallesSEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.
42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detallesPresentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesTEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detallesResumen Segundo Parcial, MM-502
Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L
Más detallesTema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa
Tema 5.: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 8-9 Enrique de Amo, Universidad de Almería En
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detallesIntegrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas
Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detalles7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
Más detalles4.6. Teorema Fundamental del Cálculo
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un
Más detallesSEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl
Más detallesFunciones de una variable real II Integrales impropias
Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)
Más detallesTema 4. Integración compleja
Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.
Más detallesEn este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.
Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición 4.1.1. Un espcio
Más detallesIntegrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a)
Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Integrndo Derivds Denición. Un función F es un ntiderivd de un función f sobre un conjunto A si tnto F, f estn denidos
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesFunciones continuas. Mariano Suárez-Alvarez. 4 de junio, Índice
Funciones continus Mrino Suárez-Alvrez 4 de junio, 2013 Índice 1. Funciones continus................... 1 2. Alguns propieddes básics............ 3 3. Los teorems de Weierstrss y Bolzno... 6 4. Funciones
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesAPUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elaborados por José Manuel Rodríguez Versión abreviada de Dmitry Yakubovich (2011)
APUNTES DE VARIABLE COMPLEJA PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACION Elbordos por José Mnuel Rodríguez Versión brevid de Dmitry Ykubovich (20). INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se define el conjunto de
Más detalles1. Cuales son los números naturales?
Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l
Más detallesIntegrales de ĺınea complejas
Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos
Más detallesTema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann.
Tem 9 L Integrl de Riemnn. 9.1. Construcción de l integrl de Riemnn. Definición 9.1.1. Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x 1,,
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior
Más detalles(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g
Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como
Más detallesCampos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2
Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i
Más detallesDERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos
Más detallesNotas de Integral de Riemann-Stieltjes
Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos
Más detallesP 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesPrimitivas e Integrales
Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
Más detallesExamen de Admisión a la Maestría 1 de Julio de 2015
Exmen de Admisión l Mestrí 1 de Julio de 215 Nombre: Instrucciones: En cd rectivo seleccione l respuest correct encerrndo en un círculo l letr correspondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesAplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales
Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesLas Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim
Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.
Más detalles7.1. Definición de la Integral de Riemann
Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo
Más detallesCurvas en el espacio.
Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos
Más detallesTEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo
TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x
Más detallesFunciones trascendentes
Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte
Más detalles7 Integral triple de Riemann
Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]
Más detallesFunciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto
Funciones de R n en R m Teorem de l Función Invers Funciones de R en R Se f(x) un función rel de vrible rel con derivd continu sobre un conjunto bierto A se x 0 un punto de A donde f (x 0 ) 0. Considere
Más detallesHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detallesFunciones de una variable real II Integrales impropias
Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 203-204 Contents
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesAproximación e interpolación mediante polinomios
LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción
Más detallesOBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
. DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN
Más detallesTeorema fundamental del Cálculo.
Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc
Más detallesFunciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar
Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define
Más detallesClase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.
Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund
Más detallesLa Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005
L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes
Más detallesTema 3.1: Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes
Tema 3.1: Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo En esta lección pretendemos conectar la derivabilidad de las funciones
Más detallesFunciones Algebraicas
1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver
Más detallesTeoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita
Teorems de l Función Invers y de l Función Impĺıcit Betriz Porrs 1 Introducción En el cpítulo nterior estudimos lguns propieddes de ls funciones diferencibles que tenín l diferencil nul El desrrollo de
Más detallesAplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
Más detallesPortal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)
Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir
Más detallesParte 7. Derivación e integración numérica
Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso 006-007 Los problems de derivción e integrción numéric El
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesApuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción
Más detallesTEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:
I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente
Más detalles2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo
2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un
Más detallesCÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.
CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel
Más detallesPara Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,
Más detallesIntegrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Diferencil de un función Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible.
Más detallesTeorema de la Función Inversa
Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones
Más detalles3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.
Más detallesOptimización de funciones
Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr
Más detallesZ := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano
Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de
Más detalles6.1 Sumas de Riemann e integral definida
Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el
Más detallesTema 1. Funciones y matrices básico
Tem Funciones y mtrices básico FUENTE Y REFERENCIAS Funciones Introducción ls funciones Cuestiones repsr Funciones y tipos de funciones Mtriz cudrd Mtriz digonl Mtriz identidd Trz de un mtriz Mtriz trnspuest
Más detallesn f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.
Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N
Más detallesTEMA 4. Cálculo integral
TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl
Más detallesLímite - Continuidad
Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente
Más detallesMATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA
MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesPrimitiva de una función.
Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)
Más detallesApunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica
Apunte sobre Integrción Numéric y Polinomios de Tylor Cálculo II Licencitur en Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Químic Universidd Ncionl del litorl 1. Integrción numéric En este tem veremos sólo dos
Más detalles