Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

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1 Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene l grdble consecuenci de poder de nir l derivd de form totlmente nálog l conocid en el cso rel. (Recordemos, por un momento, cómo fué preciso introducir l de nición de Stone en el cso de l diferencibilidd pr C R 2, donde desechábmos el producto interno y sólo disponímos de su estructur vectoril.) De nición. función Sen ; 6 A C, f : A! C y 2 A \ A 0. Consideremos l f : Anfg! C; f(z) f() f (z) : ; 8z 2 Anfg: z Se dice que l función f es derivble en el punto si f tiene límite en ; en cuyo cso, dicho límite será l llmd derivd de f en, y que notremos por f 0 f(z) () : lim f (z) lim z! z! z f() 2 C: Cundo un función es derivble en cd punto de un conjunto B A \ A 0, se dice que f es derivble en B, y se de ne f 0 ; l función derivd de f en B; como f 0 : B! C; z! f 0 (z); 8z 2 B: Observmos que si A R y f : A! R, con 2 A \ A 0, tenemos ni más ni menos que est de nición extiende l que y conocemos del curso de un vrible rel. Ahor bien, si A R, pero f : A! C, tenemos: Proposición. Sen ; 6 A R, f : A! C y 2 A \ A 0. Son equivlentes: i. f es derivble en : ii. Re f e Im f son derivbles en : 1

2 Además, si se veri c lgun (y por tnto mbs) de ls proposiciones i. y ii., se tiene l fórmul: f 0 () (Re f()) 0 + i (Im f()) 0 : L demostrción consiste en tomr límites, cundo x! ; x 2 Anfg, en l expresión f (x) f(x) x f() Re f(x) Re f() x + i Im f(x) Im f() ; x y, por l unicidd del límite, se lleg lo desedo. Tmbién se tiene l desed continuidd de ls funciones derivbles: Proposición. Sen ; 6 A C, f : A! C y 2 A \ A 0. Si f es derivble en ; entonces tmbién f será continu en : Demostrción. Bst con tomr límites, cundo z! ; z 2 Anfg, en l expresión f(z) f() + (z )f (z) pr concluir que lim z! f(z) f(): Ls primers propieddes de cálculo reltivs l derivd complej tmbién nos resultrán fmilires: Proposición. Sen 2 C, ; 6 A C, f; g : A! C y 2 A\A 0. Supongmos que f y g son derivbles en. Entonces: i. Ls constntes son funciones derivbles en todo punto con derivd nul; esto es: : C! C; (z) : ; 8z 2 C ) 9 0 (z) 0; 8z 2 C: ii. L función identidd es derivble en todo C con derivd idénticmente 1; es decir: id : C! C; id (z) : z; 8z 2 C ) 9id 0 (z) 1; 8z 2 C: iii. L sum de funciones derivbles es otr función derivble con derivd dd por l sum de ls derivds correspondientes: (f + g) 0 () f 0 () + g 0 () : iv. El producto de dos funciones derivbles es tmbién un función derivble, con derivd dd por l fórmul: (fg) 0 () f 0 () g () + f () g 0 () : 2

3 v. Pr el cociente, si en el denomindor es g () 6 0 (luego no se nul en todo un entorno suyo), entonces se tiene tmbién derivbilidd y, hor, l derivd viene dd por: (fg) 0 () f 0 () g () f () g 0 () g 2 : () vi. Los polinomios y ls funciones rcionles complejs de vrible complej son dervbles en todo su dominio de de nición. Demostrción. Tl vez merezc l pen entrr en los detlles de v.; ls otrs rmciones no reportn myor complejidd. Se, por tnto, z 2 Anfg. Unos cálculos nos dn: f g (z) f g (z) z f f(z) f() z g () f(z)g() f()g() + f()g() g(z)f() (z )g(z)g() g() g(z)g() + f() g(z)g() g() z g(z) ; lo que nos permite concluir lo desedo hciendo z!. ( Dónde y cómo hemos usdo quí, sin decirlo, el crácter locl de l derivbilidd?) Regl de l Cden. Sen ; 6 A C, f : A! C, 2 A \ A 0, f(a) B C, g : B! C, b : f() 2 B \ B 0. Si f es derivble en y g lo es en b, entonces tmbién l función g f será derivble en, con derivd donde (g f) 0 () g 0 (b) f 0 () : Demostrción. Sen z 2 Anfg y h : g f. Clculmos: h(z) z h() g (f(z)) g (f()) z '(w) : g(w) g(b) : ' (f(z)) w b :::; w 2 Bnfbg g 0 (b):::; w b: f(z) f() ; [] z Grcis g, l función ' es continu. Por tnto, si hcemos z! en []: 9h 0 () lim z! h (z) f(z) f() lim ' (f(z)) lim z! z! z '(b)f 0 () g 0 (b)f 0 (): A continución profundizremos en lo esencil de l portción del concepto de cuerpo est de nición. Concretmente, vmos ver cuán restrictiv es l derivbilidd en C respecto de l diferencibilidd en R 2. El siguiente resultdo, de prueb obvi (y que, por tnto, omitiremos), nos recuerd cómo se introducí l diferencibilidd en los euclídeos: 3

4 Lem. Sen f : A! C un función complej de vrible complej y 2 A \ A 0. Ls rmciones que siguen, son equivlentes: i. f es derivble en : ii. 9w 2 C : 8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz j < ; z 2 A ) jf(z) f() w(z )j " jz j : El ppel que jugb l diferencil Df() en R 2, lo jueg hor w f 0 () en C; es decir, el ppel de l plicción linel llí lo jueg quí un muy concret (recordemos l identi cción de C con un prte del conjunto de ls mtrices 2 2): Df() ; w R-linel y C-linel, respectivmente. Pues bien, est restricción que, como cbe sospechr, es muy fuerte, d lugr ls importntísims ecuciones de Cuchy-Riemnn (o de Euler-D Alembert, según quien cuente l histori): Teorem. Sen A C, f : A! C y 2 A, +i. Pr cd x+iy 2 A, se de nen Son equivlentes: i. f es derivble en : ii. u(x; y) : Re f(x + iy) v(x; y) : Im f(x + iy): u y v son diferencibles en (; ) y veri cn ls ecuciones [] ( (; ) (; ) (; ) (; ) : Además, cso de ser ciert lgun de ls proposiciones nteriores (luego ls dos), se tiene que f 0 () (; ) + i (; ) (; ) i (; ) : Ls ecuciones dds en [] son ls llmds ecuciones de Cuchy- Riemnn. 4

5 Demostrción. Llmemos f b (x; y) : f(z) f(x + iy); pr cd (x; y) 2 A R 2. i. ) ii. Pr ver l diferencibilidd de u y v bstrá con probr l de f. b L derivbilidd de f, según el lem nterior, l podemos expresr sí: 8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz j < ; z 2 A ) ) jf(z) f() f 0 ()(z )j " jz j : [] Ahor considermos l plicción linel T : R 2! R 2 c ; T (r; s) : d d c r s donde c : Re f 0 () y d : Im f 0 (). Si reescribimos hor l condición [] con lenguje de R 2, ) 8" > 0; 9 > 0 : 0 < j(x; y) (; )j < ; (x; y) 2 A ) ) f(x; b y) f(; b [ 0 ] ) T [(x; y) (; )] " k(x; y) (; )k ; de donde se sigue que b f es diferencible en (; ), con diferencil dd por D b f (; ) T. Y, en consecuenci, l condición (; ) (; ) (; ) c (; ) d d c estblece ls ecuciones de Cuchy-Riemnn. ii. ) i. L diferencibilidd de f b es consecuenci de l de u y v. Su diferencil l construimos del siguiente modo: Df b c d r (; ) (r; s) : (cr ds; dr + cs) : d c s Si cminmos en el recorrido inverso l primer prte y demostrd, tendremos que [ 0 ] conllev l derivbilidd de f en ; ví l identi cción f 0 () c d c + id (c; d) : Q.E.D. d c Con el lenguje y notción y introducidos en el enuncido y en l demostrción del teorem nterior, tenemos que: Corolrio. f es derivble en + i si, y sólo si, f b es diferencible en (; ) y Df b (; ) es C-linel. A continución mostrmos diversos ejemplos que visulizn lo enormemente restrictivo de est de nición de derivción complej. Ejemplo 1. Ls ecuciones de Cuchy-Riemnn no son condición su ciente pr l derivbilidd. 5

6 Consideremos l función: Se z + ib 6 0, tendremos f (x + iy) Así: f(z) : ( z 5 :::; jzj 4 z 6 0 0:::; z 0 x 5 10x 3 y 2 + 5xy 4 + i 5x 4 10x 2 y 3 + y 5 (x 2 + y 2 ) 2 x5 10x 3 y 2 + 5xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 + i 5x4 10x 2 y 3 + y 5 (x 2 + y 2 ) 2 : u(x; y) + iv(x; y): (0; 0) : lim h!0 u(h;0) u(0;0) h lim h!0 h 0 (0; 0) : lim k!0 u(0;k) u(0;0) k 0 (0; 0) : lim h!0 v(h;0) v(0;0) h 0 (0; 0) : lim k!0 v(0;k) v(0;0) k lim k!0 k 0 nos dice que se veri cn ls ecuciones de Cuchy-Riemnn pr f; pero, con h 6 0: f(h) f(0) h5 h h jhj 4 h4 jhj 4 ei ; se mni est cómo su derivbilidd depende del ángulo en el que nos proximmos l origen; y, por tnto, f no dmite derivd en el origen. Ejemplo 2. punto. Vlor bsoluto y conjugción no se pueden derivr en ningún i. Pr l conjugción: z x + iy! z x iy : u(x; y) + iv(x; y), de modo que: 1; 0; 0; 1; lo que conllevrí contrdicción ( 1 1). ii. Pr el vlor bsoluto: z x + iy! jzj p x 2 + y 2 : u(x; y) + iv(x; y), de modo que: (; b) p 2 +b 2 ; b (; b) p 2 +b 2 ; 0; 0; luego sólo podrí ser derivble en el origen; y, sin embrgo, jhj j0j jhj 1:::; h! 0; h 2 R h h 1:::; h! 0; h 2 R + : Ejemplo 3. @z. 6

7 A veces, l derivbilidd se podrá probr de form un tnto heterodox; por ejemplo, si considermos l función f : C! C; f(x + iy) : 2xy + i y 2 x 2 ; en vez de rzonr sobre su diferencibilidd (l de b f(x; y) : f(x + iy), propimente dich) y ver si veri c ls ecuciones de Cuchy-Riemnn, podemos hcer cálculos: f(x + iy) 2xy + i y 2 x 2 i( i)2xy + i y 2 x 2 de modo que se tiene i i2xy + y 2 x 2 i (x + iy) 2 ; f(z) iz 2 ; 8z 2 C; clrmente derivble, l ser polinómic. Ciertmente, dr l zr con un función derivble... es muy complicdo! En efecto, como f(z) f(x; b y) f b z + z 2 ; z z g(z; z); i2 hemos de concluir que ls "genuins" funciones complejs son ls que no dependen de z. L trscendenci de este hecho es mucho myor de lo que, priori, podrímos imginrnos. Si escribimos z + z f(z) u(x; y) + iv(x; y) u 2 ; z z z + z + iv i2 2 ; z z ; i2 podemos hcer l siguiente derivción forml (siguiendo l regl de l cden pr l derivción prcil en i 2 i2 2 i2 1 + i ; 0, u; v veri cn ls ecuciones de Observemos que podemos incorporr l derivd ; de un mner nturl, l nterior rzonmiento: dd f(x; y) u(x; y) + iv(x; y); 7

8 si introducimos el cmbio de vrible tenemos x + b y c + d d 6 + b + d Como pr los prámetros no hy más restricciones que d 6 cd, podemos hcer b 12; c d i2; de modo que y, por i + i z; z i 2 + i 2 + En resumen: l derivbilidd de f equivle y en este cso f 0 + i ; de modo que, cso de derivbilidd, se tiene que 0 (o bien i ); f 0 : (Puede volverse este ejemplo cundo estudiemos los polinomios nlíticos l nl del tem siguiente.) Como debemos recordr, en el plno euclídeo no tenímos teorems de vlor medio (en el sentido estricto que nos ofreció el cálculo en un vrible rel). Eso lo mni est el siguiente ejemplo: L función f : [0; 2]! C; f(t) : cos (t) + i sin (t) es diferencible y f(0) f(2). Sin embrgo, f 0 (t) sin (t) + i cos (t) 6 0; 8t 2 [0; 2] : No obstnte, sí que dispondremos de resultdos que nos permiten ugurr buens perspectivs: Teorem. Se un dominio de C. Se f :! C un función derivble en : Supongmos que f 0 (z) 0 en todo punto z de. Entonces f es constnte en : 8

9 Este resultdo es el que v motivr que estudiemos derivbilidd complej sobre biertos del plno. Algo que, l postre, nos d el concepto (centrl en l vrible complej) de holomorfí de un función complej de vrible complej. Por tnto, l hipótesis 2 A \ A 0, nos result insu ciente, y es preciso l considerción de entornos de. Demostrción (del teorem). Se 2 y de nmos el conjunto A : fz 2 : f(z) f()g : ( Rzon que es no vcío!) Se b 2 y D(b; r) : Vemos que D(b; r) A, y sí, el lem de conexión nos drá que, de hecho, es A. Pr w 2 D(b; r), se ' : [0; 1]! C; ' (t) : f [(1 t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ; que está bien de nid, pues (1 t) b + tw 2 D(b; r) ; pr todo t 2 [0; 1]. Aplicndo l regl de l cden, obtenemos l derivbilidd de ' en [0; 1]: ' 0 (t) (w b) f 0 [(1 t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ; pero, entonces se tiene que ' 0 es idénticmente nul en [0; 1], y podemos plicrle el teorem de vlor medio ls funciones Re ' e Im ' de modo que concluimos que son constntes; luego ' es constnte. Por tnto, f(b) '(0) '(1) f(w) de donde se sigue que w 2 A. D(b; r) A. Q.E.D. Dd l rbitrriedd de w en D(b; r), será De nición de Holomorfí. Se f :! C un función complej de vrible complej. Se 2. Se dice que l función f es holomorf en el punto si es derivble en un disco D(; r), pr lgún r > 0. Cundo el conjunto se bierto, diremos que es holomorf en cundo se derivble (u holomorf) en todo punto del bierto. Ddo un bierto, notremos por H () l clse de tods ls funciones holomorfs en. Cundo : C, los elementos de H (C) se les llm funciones enters. Proposición. L clse H () es un álgebr. Se observ que si f 2 H () con 0 2 f(), entonces 1 f 2 H () : En consecuenci, ls funciones rcionles en son holomorfs en ; esto es, R () H () : Cigmos en l cuent de que no conocemos funciones holomorfs en un bierto más que ls rcionles en. Y que no conocemos funciones enters más llá de los polinomios. El siguiente tem nos resrcirá de estos dé cits. El teorem enuncido y probdo más rrib tiene est lectur en términos de holomorfí: 9

10 Teorem. Tod función holomorf sobre un dominio cuy derivd se l función constntemente nul hbrá de ser, necesrimente, constnte. Corolrio. Sen un dominio de C y f 2 H () : Supongmos que f veri c lgun de ls siguientes tres condiciones:. Re f es constnte. b. Im f es constnte. c. jf j es constnte. Entonces, f es constnte. Demostrción. Pongmos y recordemos que f(z) f(x + iy) u(x; y) + iv(x; y); 8z x + iy 2 ; f 0 () (; ) + i (; ) (; ) i (; ) (; ) + i (; ) ; 8 + i 2. Se + i 2 ; jo, pero rbitrrio. Como u es constnte: f 0 () (; ) i y el teorem nos d lo desedo. b. Análogo l nterior. c. Se c 2 R tl que (; ) 0; u 2 (x; y) + v 2 (x; y) c: Podemos suponer c > 0 (pues c 0 conllev, trivilmente, que f 0). Derivndo en l expresión nterior respecto de cd un de ls dos vribles, tendremos: u + v 0; u + v 0: Usndo ls ecuciones de Cuchy-Riemnn, prece el sistem 2 2 : ) u (; ) (; ) v (; ) (; ) 0 u (; ) (; ) + v (; ) (; ) 0 con determinnte c 6 0. Por tnto, pr cd + i 2 : de donde se concluye l prueb. (; ) (; ) 0; 10

11 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Estúdiense l derivbilidd y l holomorfí de l función f complej de vrible complej dd en cd uno de los siguientes csos: () f(z) : z(re z) 2 ; pr todo complejo z (b) f(x + iy) : x 3 y + i(y 3 + x 2 2); pr culesquier reles x e y (c) f(x + iy) : x3 +iy 3 x 2 +y 2 ; si x + iy 6 0; y f(0) : 0 2. Pruébese que existe un función enter f tl que Re f(x + iy) x 4 6x 2 y 2 + y 4 pr culesquier reles x e y. Pruébese que si se exige l condición f(0) 0, entonces l función f es únic. 3. Encuéntrese un condición necesri y su ciente que deben cumplir ls constntes reles ; b; c, pr que exist un función enter f tl que Re f(x + iy) x 2 + bxy + cy 2 pr culesquier reles x e y. Pr tles vlores de ; b; c, determínense tods ls funciones enters que veri quen () : 4. Se un dominio del plno complejo y f 2 H (). Supongmos que existen tres constntes reles ; b; c, (bjo l restricción 2 + b 2 > 0) tles que Re f(z) + b Im f(z) c; 8z 2 : Pruébese que l tl función f es constnte. 5. Se un bierto del plno complejo y f 2 H (). Consideremos el bierto b : fz 2 C : z 2 g y se l función b f(z) : f(z) de nid sobre b. Pruébese que b f 2 H () b. 6. Se f 2 H () un función holomorf sobre un dominio del plno complejo. Pruébese que si su imgen está contenid en un rect, entonces f es constnte. 7. Busc un función rel v en dos vribles reles que se l prte imginri de un función enter f tl que Re f(x + iy) e x sin (y) xy; pr todo x+iy del plno. (A v Im f se le llm conjugd rmónic de u Re f. Es simétric est relción?) 8. Búsquese un función rel v en dos vribles reles que se l conjugd rmónic de l función u dd por u(x; y) : 3 + x 2 y 2 y 2(x 2 + y 2 ) pr todo x + iy no nulo del plno. 11

12 9. No siempre existe l conjugd rmónic: Existe lgun elección pr Im f de modo que f 2 H (C), cundo Re f(z) jzj 2 ; 8z 2 C? 10. Clcúlense ls derivds prciles siguientes csos: en cd uno de los. f(z) : z; b. f(z) : z; c. f(z) : jzj 2 ; d. f(z) : Re z; e. f(z) : jzj ; z 6 0; f. f(z) : z jzj ; z 6 0; g. f(z) : Log jzj ; z 6 0; h. f(z) : Log jzj + irctg y x ; Re z > 0: 11. Existe lgun función enter f cuy prte rel se de l form u(x; y) : sin x sinh y? En cso rmtivo pr l respuest, clcúlese y exprésese l tl función en términos de l vrible z. 12. Determin ls condiciones veri cr por los prámetros ; b; c 2 C pr l que l función dd por se enter. f(z) z 2 + bzz + cz 2 ; 8z 2 C 12

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