7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

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1 Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos, por ejemplo, l función no cotd f : (,] R, f (t) = logt. Puesto que f es continu, pr cd (,] eiste su integrl en [,], que vle y como f = logt dt = [t logt t] t= t= = log + ; lím + prece nturl escribir, simplemente, f = lím +[ log + ] =, f =. Igulmente, si en el intervlo no cotdo [,+ ) tommos l función continu f (t) = e t, pr cd [,+ ) tenemos lo que sugiere escribir lím + f = e t dt = [ e t ] t= t= = e +, ( e + ) =, f = lím + e t dt =. Siguiendo ests ides podemos definir en distints situciones un integrl generlizd o integrl impropi, lo que nos llevrá estudir diferentes tipos de condiciones que permitn segurr su eistenci. 6

2 62 Cpítulo 7. Integrles impropis 7... Integrles impropis: definición de integrles impropis convergentes, divergentes, oscilntes Definición 7... Se A R. Se dice que un función f : A R es loclmente integrble en A si es integrble en cd intervlo cerrdo y cotdo contenido en A. Por ejemplo, tods ls funciones continus y tods ls funciones monótons, cotds o no, son loclmente integrbles. Obsérvese que si < < b +, un función f es loclmente integrble en [,b) si y solo si es integrble en cd intervlo [,] [,b). Análogmente, si < b < +, un función f es loclmente integrble en (,b] si y solo si es integrble en cd intervlo [,b] (,b]. Consideremos en primer lugr funciones definids en intervlos del tipo [,b), donde b es finito o +. Definición Dd un función f : [,b) R loclmente integrble, < < b +, si eiste el límite lím f (t) dt (7.) b y es finito, decimos que l integrl impropi f es convergente, y l vlor de dicho límite lo llmmos integrl impropi de f en el intervlo [,b); se denot por f. Si el límite (7.) eiste, pero es + o, decimos que l integrl impropi diverge + o, y si no eiste el límite decimos que l integrl impropi no eiste, o que no tiene sentido, o que es oscilnte (est últim denominción se reserv en lgunos tetos pr otro concepto distinto). Si l integrl impropi de un función en un intervlo es convergente se dice que l función es integrble en sentido impropio en dicho intervlo. De mner entermente nálog puede definirse l integrl impropi de un función en un intervlo (,b], < b < + : Definición Dd un función f : (,b] R loclmente integrble, < b < +, decimos que l integrl impropi f es convergente si eiste el límite lím f (t) dt (7.2) + y es finito, y l vlor de dicho límite lo llmmos integrl impropi de f en el intervlo (,b]; se denot por f. Si el límite (7.2) eiste, pero es + o, decimos que l integrl impropi diverge + o, y si no eiste el límite decimos que l integrl impropi no eiste, o no tiene sentido, o que es oscilnte. L definición de integrl impropi de funciones loclmente integrbles en intervlos biertos puede hcerse medinte límites en dos vribles o reduciéndol ls definiciones nteriores del siguiente modo: Definición Dd un función f : (,b) R loclmente integrble, < b +, decimos que l integrl impropi f es convergente si eiste un c (,b) tl que c f y c f son mbs convergentes; en ese cso, se define c f = f + f. c

3 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes 63 Del siguiente resultdo (y de su nálogo pr intervlos semibiertos por l izquierd) se deduce que en est definición es indiferente el punto c que se elij. Tmbién se deduce que l convergenci de un integrl impropi es un concepto locl, que depende solo del comportmiento del integrndo cerc del punto impropio, en un entorno del etremo conflictivo. Proposición Se f : [, b) R un función loclmente integrble y se < c < b. L función f es integrble en sentido impropio en [,b) si y solo si es integrble en sentido impropio en [c,b), en cuyo cso se tiene c f = f + f. (7.3) c Demostrción. Bst tener en cuent que pr cd (c,b) es c f = f + f. c Por tnto, el límite cundo b de l primer integrl eiste si y solo si eiste el límite de l tercer integrl, y cundo esto suced, psndo l límite se obtiene l relción (7.3). Los conceptos nteriores se etienden l cso de funciones definids en un unión finit de intervlos disjuntos. Por ejemplo: Definición Se J = n k= I k, donde (I k ) n k= es un fmili de intervlos disjuntos. Si f es un función loclmente integrble en J, se dice que l integrl impropi J f es convergente si converge cd un de ls integrles k k f, donde k y b k son los etremos de I k ; en ese cso, se define J f = n k k= k f. Not. Cundo los intervlos (I k ) son contiguos, es decir, cundo b = 2,...,b k = k,...,b n = n, suele escibirse n f en vez de J f. Ejemplos. ) Ddo α R, ls integrles impropis si α <, y divergen + si α. b) L integrl impropi c) L integrl impropi d) L función dt b (t ) α y dt son convergentes (b t) α dt es convergente si α >. Si α, diverge +. tα e αt dt es convergente si α >. Si α, diverge +. f () = 2 es loclmente integrble en (,) porque es continu. Su integrl impropi es convergente: 2 = 2 + ( f tiene como primitiv l función rcsen). 2 = ( π 2 ) + π 2 = π

4 64 Cpítulo 7. Integrles impropis Not. Pr más sencillez, solo vmos considerr por lo generl integrles impropis en intervlos del tipo [,b), donde < < b +. Dejmos l lector escribir ls modificciones pertinentes pr los otros csos. L noción de integrl impropi se reduce l de integrl de Riemnn cundo trtmos con funciones integrbles-riemnn. Proposición Se f : [, b] R un función integrble-riemnn en [, b]. Entonces f es integrble en sentido impropio en [,b) y su integrl impropi es igul l integrl de Riemnn. Demostrción. Según el teorem fundmentl del cálculo integrl (teorem 6.3.4), l función es continu en b, sí que F() = f f = lím f. b Esto demuestr que f es integrble en sentido impropio en [,b) y que su integrl impropi es igul l integrl de Riemnn. L mism ide sirve pr demostrr que si un función es continu en [,b) y en b tiene un discontinuidd evitble, entonces es integrble en sentido impropio en [,b): Proposición Se < < b < +. Si f : [,b) R es un función continu y eiste el límite lím f () R, entonces f es integrble en sentido impropio en [,b) y b donde g es l etensión continu de f [,b]. f = g, Demostrción. L función g es integrble Riemnn, y que es continu en [, b]. Según l definición de integrl impropi, f = lím f = lím g = g, b b donde en l últim iguldd se us el teorem fundmentl del cálculo integrl (teorem 6.3.4). Observción. Con l mism demostrción, se puede probr que si f es un función loclmente integrble en [,b) y se puede etender un función integrble-riemnn en [,b], entonces l integrl impropi f es convergente.

5 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes Primers propieddes de ls integrles impropis Alguns propieddes de l integrl de Riemnn se trsldn sin dificultd ls integrles impropis, como muestrn ls proposiciones siguientes. Proposición Sen f, g funciones integrbles en sentido impropio en un intervlo [,b). Ddos λ, µ R, l integrl impropi (λ f + µg) es convergente, y se cumple (λ f + µg) = λ f + µ g. Proposición 7.. (regl de Brrow pr integrles impropis). Se g un función derivble en [,b) y tl que g es loclmente integrble en [,b). L integrl impropi solo si el límite lím g() eiste y es finito. Y si eso ocurre, entonces se verific b g = lím g() g(). b g es convergente si y Proposición 7.. (integrción por prtes en integrles impropis). Sen u, v funciones derivbles en [,b) y tles que u, v son loclmente integrbles en [,b). Si eisten y son reles dos de los límites siguientes: lím uv, b lím u()v(), b entonces el otro tmbién eiste y es rel y se verific lím u v, b uv = lím u()v() u()v() u v. b Proposición 7..2 (cmbio de vrible en integrles impropis). Sen I y J intervlos biertos, [, b) J, f : I R un función continu, u : J I un función derivble tl que eiste lím u(y) = y b l R {± } y con derivd u continu. Entonces l integrl converge si y solo si converge l integrl en cuyo cso mbs integrles son igules: f (u())u () l u() f (t)dt, l f (u())u () = f (t)dt. u()

6 66 Cpítulo 7. Integrles impropis 7.2. Convergenci de integrles impropis Convergenci de integrles impropis con integrndo no negtivo. Criterios de comprción En el cso prticulr de que l función se no negtiv, el estudio de l convergenci de su integrl es más sencillo: Proposición Se f un función loclmente integrble y no negtiv en [, b). L integrl impropi f es convergente si y solo si l función F() = f, [,b) está cotd. En cso contrrio, l integrl diverge +. Demostrción. Como f es no negtiv, l función F es monóton no decreciente. Recordndo que lím F() = sup{f() : [,b)}, b se deduce que el límite es finito si F está cotd (superiormente), mientrs que si no está cotd el límite es +. Un consecuenci importnte de este resultdo es el siguiente criterio de comprción, que permite reducir el estudio de l convergenci de un integrl impropi l de otrs conocids. Proposición (criterio de comprción por myorción). Sen f, g funciones no negtivs loclmente integrbles en un intervlo [, b). Supongmos que eisten un constnte K y lgún c [,b) tles que f () Kg() siempre que c < < b. Si l integrl impropi g es convergente, entonces tmbién l integrl impropi f es convergente. Demostrción. Pr cd [, b) es c f f + K g, c sí que el resultdo se deduce de l proposición Proposición (criterio de comprción por pso l límite). Sen f, g funciones no negtivs loclmente integrbles en un intervlo [,b). Supongmos que eiste lím b f () = l [,+ ) {+ }. g() ) Si l < + y l integrl impropi g converge, entonces l integrl impropi f tmbién converge. b) Si < l y l integrl impropi g diverge, entonces l integrl impropi f tmbién diverge. c) Si < l <, ls dos integrles f y g tienen el mismo crácter: o ls dos son convergentes, o ls dos son divergentes.

7 7.2. Convergenci de integrles impropis 67 Demostrción. ) Si l <, tomemos l < K < ; eiste un c tl que f () < Kg() si c < < b. Bst entonces plicr el criterio de myorción. b) Si < l, tomemos < K < l; eiste lgún c tl que f () > Kg() si c < < b. Por el criterio de myorción, si l integrl impropi g diverge necesrimente l integrl impropi f debe divergir. c) Es un consecuenci inmedit de ) y b). Nótese que si, en prticulr, es f () g() cundo b, entonces f y g tienen el mismo crácter. Eminndo los ejemplos que hemos visto de convergenci y divergenci, del criterio se deduce: Corolrio (criterio de Pringsheim). ) Se f un función no negtiv, loclmente integrble en un intervlo [,+ ) y tl que pr lgún α eiste el límite Entonces: lím + α f () = l [,+ ) {+ }. si α y l >, l integrl f diverge ( + ). si α > y l +, l integrl f converge. b) Se f un función no negtiv, loclmente integrble en un intervlo [,b), con < < b < +, y tl que pr lgún α eiste el límite Entonces: lím b (b )α f () = l [,+ ) {+ }. si α y l >, l integrl f diverge ( + ). si α < y l +, l integrl f converge Integrles impropis de integrndo culquier: convergenci bsolut y convergenci condicionl. Criterios de Abel y Dirichlet Definición Se f un función loclmente integrble en [, b). Decimos que l integrl impropi de f en [,b) es bsolutmente convergente si l integrl impropi es convergente. f (t) dt Proposición Tod integrl impropi bsolutmente convergente es convergente. Demostrción. Se f : [,b) R loclmente integrble y supongmos que l integrl impropi f es convergente. Definmos f + () = má{ f (),}, f () = má{ f (),}.

8 68 Cpítulo 7. Integrles impropis Ls funciones f + y f son loclmente integrbles y es fácil comprobr que f + f, f f, sí que ls integrles impropis f + y f son convergentes. Tmbién es fácil comprobr que f = f + f, luego l integrl f es convergente. f f + f Ls funciones f, f + y f Como l convergenci bsolut de un integrl impropi es l convergenci de l integrl de un función no negtiv, l proposición permite provechr en muchos csos los métodos de comprción de integrndos no negtivos. Por ejemplo: ) l integrl y l integrl b) l integrl cos 2 + es convergente, porque es bsolutmente convergente ( cos converge); sen es convergente, puesto que integrndo por prtes y sen [ cos = ] y y cos 2 y el segundo miembro de est iguldd tiene límite finito pr y +, como consecuenci de ). Sin embrgo, hy integrles impropis convergentes que no son bsolutmente convergentes. El ejemplo estándr es precismente l integrl, como vemos continución. Ejemplo. L integrl Luego nπ (n )π Nπ sen sen no es convergente. En efecto: pr cd n N, sen nπ sen = 2 nπ (n )π nπ 2 n+ π n. sen 2 N+ π = 2 log(n + ) +. π Definición Si un integrl impropi es convergente pero no es bsolutmente convergente, se dice que es condicionlmente convergente.

9 7.3. Ejercicios 69 Como hy integrles impropis condicionlmente convergentes, es importnte disponer de criterios de convergenci que no dependn de l convergenci bsolut; de ellos, los que más se usn en l práctic son los criterios de Abel y Dirichlet. Proposición (criterio de Abel). Se f un función integrble en sentido impropio en un intervlo [,b) y g un función monóton y cotd en dicho intervlo. Entonces l integrl f g es convergente. Proposición (criterio de Dirichlet). Se f un función loclmente integrble en un interv- lo [,b) y tl que sup f es finito y se g un función monóton en [,b) con lím g() =. <<b b Entonces l integrl f g es convergente Ejercicios Ejercicio 7.. Estudir l convergenci de l integrl ( 2 ). Ejercicio 7.2. Determinr el crácter de ls siguientes integrles impropis: ) e) i) m) p) t) /2 π/ b) log cos 2 + f) j) n) 3 + c) log g) 2 k) ( 2 ) 2 ñ 2 e + 2 q) e 3 r) log d) h) l) o) 2 3 log ( ) /3 ( + 5 ) /6 ((3 )) /3 sen + 2 s) (log)sen Ejercicio 7.3. Estudir l convergenci de ls siguientes integrles y, si convergen, clculr su vlor: ) e) i) m) π ( + 2 ) 2 + cos e b) f) 2 π 2 c) cos 2 + cos 2 g) j) + e + 3 e k) e d) 2 h) e 2 l) log log

10 7 Cpítulo 7. Integrles impropis Ejercicio 7.4 (funciones gmm y bet de Euler). Probr que ddos t,u,v (,+ ), ls siguientes integrles son convergentes: Γ(t) = t e, B(u,v) = u ( ) v. Ejercicio 7.5. ) Probr que Γ(t + ) = tγ(t), pr todo t >. b) Probr que Γ(n + ) = n! pr todo entero n. Ejercicio 7.6. Teniendo en cuent l función Γ y sbiendo que Γ( 2 ) = π, clculr ests integrles: ) e) 2 e 2 b) 3 e 2 f) 3 42 c) ( 3)e 2 g) 2 e d) ( 2 + )e 2 log 4

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