LIMITES DE ESBELTEZ PARA SOPORTES DE HORMIGÓN ARMADO

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1 LIMITES DE ESBELTEZ PARA SOPORTES DE HORMIGÓN ARMADO (SLENDERNESS BOUNDS FOR REINFORCED CONCRETE COLUMNS) Olg Río Suárez, y Frncisco Morn Cbré, Drs. Ingenieros de Cminos letcc/csic RESUMEN Se present un propuest rcionl de límites de esbeltez pr soportes de hormigón rmdo, que tiene en cuent los principles prámetros conocidos en el dimensionmiento: el esfuerzo xil, l excentricidd reltiv y l relción de excentriciddes en los extremos del soporte. En función de estos prámetros se define l esbeltez límite equivlente X^, que permite clibrr l importnci de los efectos de segundo orden. SUMMARY A rtionl proposl of slenderness bounds for r.c. columns is presented. Ttiis proposl tkes into ccount the min prmeters which re known in column desing: tfie reltive norml forcé, the reltive eccentricity of the lod nd the rtio between the lod eccentricities t column ends. The equivlent limit slenderness (ELS) X^ is defined s function of the bove-mentioned prmeters. This ELS llows the clibrtion of the importnce of the second-order effects in the column design. INTRODUCCIÓN Ls diverss norms vigentes sobre hormigón rmdo indicn que en l comprobción de elementos comprimidos (soportes) puede ser necesrio tener en cuent los efectos de segundo orden. Pr ello definen los llmdos límites de esbeltez, válidos pr soportes isldos o pertenecientes pórticos intrslciones. El límite de esbeltez inferior sepr el cmpo de los soportes cortos, pr los cules puede prescindirse de l considerción de los efectos de segundo orden, del de los soportes esbeltos, que requiern tener en cuent dichos efectos. El límite de esbeltez superior delimit el cmpo de los soportes de esbeltez moderd, pr los que los efectos de segundo orden pueden evlurse por lgún método simplificdo, del de los de esbeltez elevd, que requieren un estudio más riguroso en teorí de segundo orden. L myorí de ls norms estblecen estos límites en función de l esbeltez mecánic X^ del soporte birticuldo equivlente. Por ejemplo, l Instrucción espñol EH-82 dopt los siguientes vlores: límite inferior X^ = 35; límite superior X^ = 100. Est definición del límite inferior oblig clculr como esbeltos un grn número de soportes en los que los efectos de segundo orden crecen de importnci. Por ello prece conveniente encontrr un definición rcionl del límite de esbeltez inferior, que hg intervenir los principles prámetros que determinn l importnci rel de los efectos de segundo orden. Medid de los efectos de segundo orden Ante todo es necesrio estblecer un criterio pr medir l importnci de los efectos de segundo orden. Como mgnitud idóne pr ello se elige el error referido

2 66 Informes de l Construcción, Vol. 38 n. 388, mrzo/bril, 1987 xiles, que expres l sobreestimción de l cpci- Por lo que respect los otros prámetros v, r, y\ dd portnte de un soporte esbelto cundo se clcul se h relizdo un estudio sistemático de su influencomo corto: ci en el error e^, que se describe en el prtdo.. siguiente. siendo: p^ - e = esfuerzo xil que resiste el soporte en teorí de primer orden (cálculo de sección o soporte corto); í^'i = esfuerzo xil que resiste el soporte, con l mism excentricidd que Í^', en teorí de segundo orden (soporte esbelto). El error referido xiles e es más difícil de clculr que el error referido momentos e^, doptdo en otros estudios de límites de esbeltez [2,3], pero prece más representtivo [4,5]. Ls discrepncis entre mbos errores son importntes [2,4]. Estudio prmétrico de los efectos de segundo orden Pr evlur l influenci de los prámetros citdos en l importnci de los efectos de segundo orden se h estudido el siguiente modelo: GEOMETRÍA: Soporte birticuldo de longitud 1^ igul l longitud de pndeo del soporte considerdo y sección rectngulr con rmdurs igules As/2 en dos crs opuests. L sección y sus rmdurs son constntes lo lrgo de l ltur del soporte. MATERIALES: Digrm prábol-rectángulo pr el hormigón sin considerr fluenci. Digrm bilinel pr el cero (durez nturl) con límite elástico fy, = 4200/1,1 kp/cm2 y E^ = kp/cm^. Prámetros considerdos CARGAS: Crgs xiles instntánes N ctundo en mbos extremos del soporte con igules o distints excentriciddes de primer orden ei,, e^ En segundo lugres preciso elegir, entre los prámetros conocidos en el dimensionmiento de un soporte, quellos que tengn myor influenci en el error e. Estos prámetros son los siguientes: form de l sección; distribución de l rmdur; esfuerzo xil reducido: v - HJ{\^^.b.\\)\ excentricidd de primer orden reltiv r^ = e2h; relción de excentriciddes en los extremos del soporte = e' / e^; esbeltez geométric del soporte: X = \J\\. Ls forms de l sección más frecuentes en un soporte son l rectngulr, que pr flexión digonl se trnsform en rombo, y l circulr. Un estudio comprtivo sobre ests forms de sección h demostrdo que este prámetro no tiene grn influenci. Por ello se consider sólo l sección rectngulr. CUANTÍAS MÁXIMA Y MÍNIMA: Se considern ls siguientes cuntís mecánics extrems: ^min = A3,J(f,,.b.h) = 0,1 ^máx = K^J(l,.b.h) = 1,4 RELACIÓN DE EXCENTRICIDADES : Se estudin ls tres relciones de excentriciddes = -1, O y 1. EXCENTRICIDADES RELATIVAS 7/.'. Se considern los diez vlores siguientes: rj = 0,1; 0,2; ; 1,0. AXILES REDUCIDOS P: Se considern todos los comprendidos entre v,^^ (xil inferior pr el que w = co^i^) y el í^3,p (pr el queo? = w^^,, siendo en todo cso í^3,p ^ 1) con intervlos de 0,02. ERROR DE AXILES e: Se tom constnte e igul 0,1 (error del 10%) pr el límite de esbeltez inferior. L distribución de rmdurs es desconocid priori en el dimensionmiento, porque depende de l cuntí resultnte. Un estudio comprtivo sobre vris distribuciones de rmdo simétrics h demostrdo que los myores errores se presentn pr rmdurs igules en ls cutro crs de l sección. Sin embrgo, y ddo que los resultdos no difieren demsido si se considern rmdurs igules en dos crs opuests, se h utilizdo est últim por ser más sencill de clculr. El procedimiento seguido es el siguiente: ) Conocido el xil v^ del soporte corto y su excentricidd t\ se dimension como soporte corto (cálculo de sección). Se obtiene l cuntí co, que debe cumplir co^i, ^co^co^3. Si no es sí, se elige otr prej b) El xil z^" del soporte esbelto, pr un error en xiles del 10%, vldrá z^" = W1,1.

3 67 Informes de l Construcción, Vol. 38 n 388, mrzo/bril, 1987 '^T p -itt 8'--' 1,0 + c) Se clcul cuál es l esbeltez geométric X de un soporte esbelto rmdo con l cuntí w, tl que su xil último con l excentricidd r} se precismente í^". Este cálculo se hce por tnteos, utilizndo el método generl (método de Engesser-Vinello o de ls diferencis finits [5]). En otros estudios de límites de esbeltez [2,4] se hn utilizdo métodos proximdos (Método de l Column Modelo); pero entonces el error propio de estos métodos (del orden del 6%) puede flser ls conclusiones del estudio. L esbeltez X^ sí clculd se denomin esbeltez equivlente; y pr ell el error de xiles es constnte e igul l 10%. Los resultdos del estudio prmétrico (vénse figs. 1 4) muestrn que l esbeltez equivlente depende en efecto de los prámetros restntes p,rj,. _, i 1 5 D 15 \, Influenci del esfuerzo xil f. Fig. 2»P + 0,6 4- ofii- H 1 1 ] « O 5 10» ^^ _i I 1^ <r.o,i í'^,15 -.os _ j,,,, I 1 _ -H 1 1 H i Influenci de l excentricidd r, Influenci del recubrimiento S'. Fig. 1 Fig. 3

4 68 Informes de l Construcción, Vol. 38 n. 388, mrzo/bril, 1987 V t 9f -bisf «o H H ' ' ' ' 3*0 ' ' ' ' 4) ' ' ' '»[) K) t I «^ \. Influenci de l relción de excentriciddes. Fig. 4 Límite de esbeltez inferior En virtud de l definición de esbeltez equivlente X^, result l siguiente definición del límite de esbeltez inferior: X^Xe = f (i^, rj, Oí) Sobre l bse de ests conclusiones se just un fórmul proximd de l form: K = (K, + K,v - K3) (K, + K,r ), resultndo los vlores numéricos de los coeficientes K; K, = 12,4; K, = 7; K3 = 10; K, = 1; K, = 1,1. o se, un soporte podrá clculrse como corto siem- Los errores resultntes de est proximción pueden pre que su esbeltez geométric X no supere l esbel- verse en l tbl I. tez equivlente X^, función de los prámetros Í^, rj y, con un error cotdo l vlor considerdo dmisible Un mejor solución se obtiene medinte el nomogr- (10%). m de l fig. 5. Este nomogrm represent l función: Pr deducir un expresión nlític pr X^ se obser- e - 9 l^^, o^m, rj) vn ls forms de ls curvs de l fig. 4, pudiéndose y en él ls curvs g(p, ) de l prte izquierd se hn concluir lo siguiente: obtenido gráficmente como envolventes de ls nubes de puntos representtivos de soportes reles estudidos numéricmente medinte el proceso indicdo en - ls curvs rj = r - de ls fmilis = O y = -1 3, prtdo nterior, resultn, proximdmente, de efectur un trslción horizontl de l curv rj = rj.^de l fmili =1. "'"^'^'^ ' Ls curvs rj = rj^óe un fmili = 1 resultn, proximdmente, de efectur un finidd horizontl de l curv r = 0,2 de l mism fmili = 1. 1 ri 0,1-1,0 ''inl 1' ''sup e, 8,99 14,06 4,18 0 1,35 2,25 1,45

5 69 Informes de l Construcción, Vol. 38 n. 388, mrzo/bril, 1987 «-1,0 I I i I I j I I I I I t I -IjJ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I t I I I I I I I I I I I I I I i ti O t I I I I I I á o 15 á) 25» so 55 Nomogrm pr l obtención de A^ Fig. 5 Los errores resultntes de l plicción del nomogrm pueden verse en l tbl II. Ls ventjs del nomogrm son ls siguientes: fcilit el vlor de X^ por lectur direct sin cálculos uxilires; permite un mejor precisión que l fórmul proximd; sobre el nomogrm (prte derech) se h representdo otr fmili de curvs (curvs ). Est fmili corresponde situciones en ls que l cuntí resultnte es l mínim, OÜ^,,. Por consiguiente pr X ^ Xe no es preciso efectur el dimensionmiento del soporte corto (cálculo de sección), bstndo rmrlo con ;^,., = 0,1. 1 V 0,1-1,0 Tbl II V "i.l f.up t^ 9,39 9,27 9,97 1,05 1,23 1,39 Método proximdo y límite de esbeltez superior Si l esbeltez geométric X de un soporte super l esbeltez equivlente es preciso tener en cuent en el dimensionmiento los efectos de segundo orden. Pr esbelteces moderds, es decir, hst el límite de esbeltez superior, el cálculo del soporte esbelto podrá hcerse estimndo los efectos de segundo orden medinte lgún método proximdo, mientrs que pr esbelteces elevds será preciso recurrir un cálculo riguroso en teorí de segundo orden. El límite de esbeltez superior dependerá por tnto de cuál se el método proximdo que se utilice y del vlor máximo que se dmit pr el error e,,. Un estudio sistemático de los errores, referido tres norms (Código Modelo CM-78 del CEB, Instrucción Espñol EH-82, Eurocódigo-2) y sus correspondientes métodos proximdos y límites superiores h demostrdo que los errores cometidos, unque quedn del ldo de l seguridd, son importntes y se comportn de form irregulr. Por ello h precido procedente proponer un nuevo método proximdo, en el que los efectos de segundo or-

6 70 Informes de l Construcción, Vol. 38 n. 388, mrzo/bril, 1987 den se tengn en cuent trvés del prámetro esbeltez equivlente X^, que como se h visto incorpor l influenci de los prámetros xil v, excentricidd T) y relción de excentriciddes en esos efectos de segundo orden. Más precismente, trvés de l diferenci entre es esbeltez equivlente \ y l esbeltez geométric del soporte X. En l figur 7 se represent un nomogrm pr l obtención de l esbeltez límite superior X^g. En l prte derech de dicho nomogrm se hn trzdo l igul que en el de l fig. 5, ls curvs \ que permiten obtener l esbeltez \\^ por debjo de l cul no es preciso dimensionr el soporte esbelto, y que l cuntí resultnte pr el mismo serí inferior l mínim C^min. = 0,1. El método propuesto consiste en reducir el dimensionmiento del soporte esbelto l de un soporte corto Ejemplos (cálculo de sección), cuyos esfuerzos son los de quél multiplicdos por un coeficiente 7^ que viene ddo por l fórmul: Dimensionr un soporte birticuldo con X = l/h = 15 y los siguientes dtos dimensionles: = 1,1 + Ali^prX^Xe 200 b c d e Pr esbelteces geométrics menores que l esbeltez equivlente, X< X^, o se, por debjo del límite inferior, no es preciso plicr el coeficiente 7R, si bien, pr quedr siempre del ldo de l seguridd, podrí plicrse el coeficiente y^ = 1,1. Si se observ l vrición del error e cundo se plic este método proximdo, (fig. 6) puede verse que estos errores vrín de un form grdul y uniforme. L observción de l figur 6 menciond sugiere un propuest de límite de esbeltez superior coherente con el límite de esbeltez inferior. Tomndo como vlor del error e dmisible el 20% del ldo de l seguridd, result: V 1) -0,40 0, , ,30 0,30-0,30-0,20 0,20 1,00 ) En este cso se entr en el nomogrm de l fig. 5 y se obtiene un esbeltez límite equivlente: X, = 24,4. Como X < Xe el soporte se puede dimensionr como soporte corto. Además como el punto P^ qued l izquierd de l curv ce' =, l cuntí será menor que l mínim y se dopt como vlor de l cuntí: Xes = X.+ 10 ^ = w^in = OJb) En este cso se obtiene: C 60 Xe = 28,7 y se puede dimensionr el soporte como soporte corto. Como el punto P2 qued l derech de l curv - 0,5 es necesrio clculr l cuntí OÜ por un dimensionmiento de sección. El vlor resultnte es: Fig. 6 x-x O) = 0,242 c) En este cso se debe entrr en los nomogrms de ls figs. 5 y 7 obteniéndose: Xe = 12,2 Xes = 22,2 Se tiene entonces: X, < X < X,,. el soporte se dimension entonces como soporte esbelto, pero se puede utilizr pr ello el método del coe-

7 Informes de l Construcción, Vol. 38 n. 388, mrzo/bril, 's -'ft^»i. '\Q 'Ofi o ÍO A Nomogrm pr l obtención de X^^. Fig. 7 ficiente 7^. Como el punto P3 qued l izquierd de e) En este cso se obtiene: l curv - 0,5 en l fig. 7, l cuntí será menor que l mínim, por lo que se dopt l mínim: X^^ = 14,6, como X > \^ no se puede empler el método proximdo del coeficiente 7^. Pr este cso se ^ = ^mín. = 0,1. ^jql3q utilizr necesrimente el método generl. d) En este cso se obtiene: \ = 14,2 Xe.s = 24,2. Como \< X< X^3, entonces el soporte se dimension utilizndo el método del coeficiente 7R. El punto P4 qued l derech de l curv = 0,5; entonces se debe proceder l dimensionmiento con dicho método proximdo. 7, = 1,1 + ((15-14,2)2/200) = 1,103; V* = 1,103 X 0,3 = 0,331; rj = 0,5. Con los vlores óe p* y TJ se procede l dimensionmiento de sección obteniéndose: 0,145 BIBLIOGRAFÍA 1. Instrucción EH-82 pr el proyecto y l ejecución de obrs de hormigón en ms o rmdo. Comisión Permnente del Hormigón. MOPU, MENEGOTTO, M. "Summry considertions bout the probiem of slenderness bounds for columns". C.E.B. Permnent Commission III. London, CAUVIN, A.; MACCHI, G. "Définition modifiée d'élncement des colonnes dns les osstures en béton rmé noeuds déplgbles". Béton Armé. Ingénieurs et Architectes Suisses n. 21. October, FOURE, B. "Gontribution to item 5-Slenderness Bounds". C.E.B. Commissión III. "Buckiing nd Instbility". Pris meeting. November4/ RIO, 0. "El problem de los límites de esbeltez en el dimensionmiento en teorí de segundo orden de soportes esbeltos de hormigón rmdo". Tesis Doctorl presentd en l E.T.S.I.C.C.P. Mdrid, junio de 1986.