DEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe

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1 DERIVADA DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f en a y se enota por f '( a). EJEMPLO 1 FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA DERIVADA

2 Observación: Esta forma e escribir la erivaa facilita el cálculo el límite. En el caso particular en que la variable inepeniente coincie con el tiempo entonces la epresión mie la razón e cambio (o tasa e variación) instantánea e y con respecto a t cuano Hasta el momento se ha hablao e "erivaa en un punto". Esto sugiere la necesia e efinir la erivaa en cualquier punto, esto es, efinir la función erivaa.

3 Definición Sea f una función. La Derivaa e f es la función f` cuyo ominio Dom f es el conjunto e puntos en que f es erivable, está efinia por Notación: Si e y están relacionaos por la ecuación, poemos escribir : Se ebe notar que f '(0) no eiste si 0 Teorema Nota: Si f es erivable en, e moo que Dom f R 0 o, entonces es continua en o Si la gráfica e una función termina en punta entonces es continua, pero no iferenciable.

4 Propieaes: TECNICAS DE DERIVACION : 3) (Algebra e Derivaas) Sean f y g funciones iferenciables entonces

5 : : Derivaas e algunas funciones elementales: a) Derivaa e la función f. Si f ( ) f ( ) 1 b) Derivaa e la función f sen f sen f cos Si c) Derivaa e la función f cos

6 Si cos f f sen La Derivaa e la función cos es la función sen ) Derivaa e la función f log a 1 f log a f logae Si e) Derivaa e la función f Ln : 1 Si f Ln f 1 1 3sen 3 sen cos a) ( ln ) b) c) ( ln ln ) ( ln ) + l ( ) ( ln ) ( ) ( ln ) ln 1 ( ln ) 1

7 sen sen sen cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos Derivaas e algunas funciones trigonométricas: 1) Derivaa e la función tg Si f ( ) tg f ( ) sec Demostración: tg sen cos ( tg ) ( sen cos cos ( sen ) sen ) ( cos ) ( cos ) cos ( cos ) sen ( sen ) ( cos ) 1 cos f sec Luego sec cos sen cos ) Derivaa e la función sec : Si f ( ) sec f ( ) sec tg 3) Derivaa e la función cotg : Si f ( ) cotg f ( ) -cosec f cos ec f cos ec ctg 4) Derivaa e la función cosec : Si

8 Teorema Derivaa e la función Compuesta: Regla e la Caena Si en cierto punto la función u g ( ) es erivable y la función y f ( u ) es valor corresponiente e u en el punto, entonces la función compuesta una función erivable en e y ( f o g )( ) f ( u ) * g ( ) u ó ( f o g ) ( ) f ( g ( ) ) * g ( ) ó y y u * u erivable en el y ( f o g )( ) f ( g ( ) ) es La Derivaa e una Función Compuesta es igual al proucto e la erivaa e esta función respecto a la variable intermeia u por la erivaa e la variable intermeia respecto a. u f ( u ) f ( u ) ; u : variable intermeia. y f 5 ; Hallar a) Si 3 Desarrollo: 5 3 y y u g 5, entonces y 5 u Sea 3 3 y u u u y como Entonces hacemos uso e la regla e la u u caena y obtenemos : y y u 3 ( u 1/ ) ( ) 3( + 5 ) 1/ 3 5 u

9 5 b) Si ycos Desarrollo: 1, hallar y Sea 5 u y u 1, entonces cos y y y u u -5 4 sen ( ) ( cos u ). ( ) ( -sen u )( 5 4 ) u c) Si y f () Desarrollo: Sea u 1 1. Hallar f '( ) 1, entonces y u y 1 u ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) y u u 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) y y u 1 u ( u ( 1 ) 1 1 ) ( )( 1 ( 1 ) ) y ( 1 )( 1 3 ( 1 ) ) DERIVACIÓN IMPLICITA

10 Es posible hallar sin necesia e espejar y previamente en función e? El proceimiento a emplear se enomina DERIVACION IMPLICITA y consiste en erivar los os laos e la ecuación que efine la función implícita, sin tener que espejar y en forma eplícita. Este proceimiento se puee resumir como sigue

11 Factorizano y espejano, se obtiene: Derivaas e Oren Superior. Supongamos que la función está efinia en D. Si la función erivaa función erivaa e y f es erivable en un conjunto D, entonces la erivaa f f es erivable en D, erivano f con respecto a, obtenemos la f efinia en D, llamaa Derivaa e Seguno Oren o Seguna Derivaa e f y se enota por : y y" f ",, etc. a) y y Si y sen, entonces cos y sen b) Si y 5 Ln, entonces y 1 5 y y" 5 La erivaa e la seguna erivaa se enomina Derivaa e Tercer Oren o Tercera Derivaa e f. En general, la erivaa e la erivaa e oren (n-1) se llama Derivaa e n - ésimo Oren y se esigna por : y n n y n ;, f, etc. n n n1 Nótese que por efinición f f

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