Unidad 4: Variables aleatorias

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1 Unidad 4: Variables aleatorias Logro de la unidad 4 Al finalizar la unidad 4, el alumno aplica el concepto de variable aleatoria, valor esperado y probabilidad para la toma de decisiones en un trabajo de investigación. Temario Definición de variable aleatoria discreta y continua. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Función de densidad y función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua. Valor esperado y varianza de variables aleatorias discretas y continuas. Estudio de propiedades de las siguientes distribuciones: binomial, hipergeométrica, Poisson, uniforme, continua, normal, t-student

2 106 Estadística Descriptiva 0150 Variable aleatoria Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experimento. La variable aleatoria atribuye a cada evento un número que no es aleatorio o imprevisible, sino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo espacio muestral se define la variable aleatoria. Rango o recorrido de una variable aleatoria Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos R X, al conjunto de los valores reales que la variable aleatoria puede tomar. Tipos de variable aleatoria Una variable aleatoria es discreta si puede asumir un conjunto finito o infinito numerable de valores diferentes. Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en un intervalo. Caso Aerolínea Wayra Indique el tipo de la variable aleatoria y su rango. Variable aleatoria Tipo Rango W = tiempo de vuelo de Lima a Cusco, en minutos X = número de veces que un pasajero viaja al mes en avión Y = número de pasajeros que piden pollo durante un viaje de 100 personas Z = dinero gastado en las compras a bordo por una persona, en dólares R X = R X = R X = R X = Evento (X = a) El evento ( X a) se define como ( X a) { ws / X( w) a } Notas importantes

3 Unidad 4. Variables aleatorias 107 Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta asume cada uno de los valores con cierta probabilidad que se denota P(X = x). Por ejemplo: número de alumnos matriculados por curso, cantidad de preguntas correctamente contestadas en una evaluación de personal, cantidad de clientes que visitan un centro comercial en un día determinado. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se describe como una función de probabilidad representada por f(x) que asigna a cada valor de la variable aleatoria, la probabilidad de que X asuma ese valor, esto es: f(x) = P(X = x) Toda función de probabilidad debe cumplir que: - f(x) 0 - n i1 f( x ) 1 i Ejercicio 9 Sea S el espacio obtenido al lanzar una moneda dos veces y observar si sale cara (c) o sello (s) cada vez. Completar los espacios en blanco. El espacio muestral es S = {(, ), (, ), (, ), (, )}. Sea X el número de caras obtenidas, luego el rango de la variable X es R X = {,, }. El evento (X = 0) = {(, )} El evento (X = 1) = {(, ), (, )} El evento (X = ) = {(, )} Entonces, la probabilidad de cada evento es: f(0) = P(..) =.. f(1) = P(..) =.. f() = P(..) =.. Notas importantes

4 108 Estadística Descriptiva 0150 Ejercicio 30 Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado. Determine y grafique la función de probabilidad de la variable X. Ejercicio 31 Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad. Notas importantes

5 Unidad 4. Variables aleatorias 109 Ejercicio 3 Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad. f x x 6 0 x 1,, 3 en otro caso f x C x p x (1 p) 0 x x 0,1, en otro caso Ejemplo 19 Calcule a para que la siguiente función sea una función de probabilidad. Grafique f(x) f x ax x 10, 15, 0, 5 Tiene que cumplir dos condiciones: La primera condición, f(x) > 0, se cumple cuando a es mayor que cero, puesto que x > 0. La segunda condición, n i1 f ( x ) 1, se cumple si a 1015a 0a 5a 1, esto se cumple cuando 70a =1, luego a =1/70 i f(x) 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0 5 X Notas importantes

6 110 Estadística Descriptiva 0150 Ejemplo 0 Sea X el número de lanzamientos de un dado hasta que salga el primer seis. Determine la función de probabilidad de la variable X y calcule P ( X 3) Sea la variable aleatoria X:= número de lanzamientos de un dado hasta que salga el primer seis. El rango o recorrido de X es R X = {1,, 3, } = Z +. f(1) = P(X = 1) = 1/6 f() = P(X = ) = 5/6 x 1/6 f(3) = P(X = 3) = 5/6 x 5/6 x 1/6 Luego, la función de probabilidad de la variable X es: x1 5 1 f x PX x ; Rx 1,, 3, P ( X 3) 1 P( X 3) f (1) f () f (3) 1 0, 5787 Valor esperado de una variable aleatoria discreta El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una distribución de probabilidad de X se denota E(X). E Caso Aerolínea Wayra X n X x f x x f x x f x... x f x i1 i i 1 1 Objetivo específico: Estimar la media del número de personas que no se presentan al vuelo. El número de personas que no se presentan a un vuelo se modela con una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad. x f(x) 0,0 0,5 0, 0,15 0,10 0,05 a Calcule e interprete la media de X. n n Notas importantes

7 Unidad 4. Variables aleatorias 111 Valor esperado de una función de variable aleatoria discreta Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es: n i i n n E G X G x f x G x f x G x f x G x f x i1 Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta La varianza V(X) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) se define por: X X V X E X x f x Se cumple V X E X E X xr X La varianza de la variable aleatoria X, V(X), también se denota por X, o simplemente como. La desviación estándar de X es la raíz cuadra de la varianza de X. Ejercicio 33 Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado. Calcule la media y desviación estándar de X. Propiedades del valor esperado en variables aleatorias Si X 1 y X son dos variables aleatorias, y a 1 y a son dos constantes, entonces: Ea 1 a1 E a X a X a EX a E X Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias, y a 1, a,..., a n son n constantes, entonces: E a X a X a X a EX a EX a EX 1 1 n n 1 1 Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias con la misma función de probabilidad, entonces se cumple que E y, por lo tanto: X i X X... X n E n 1 n n Notas importantes

8 11 Estadística Descriptiva 0150 Propiedades de la varianza en variables aleatorias Si Y = ax + b, con a y b son constantes, entonces a Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias independientes, y a 1, a, a 3,..., a n son n constantes, entonces: V a X a X a X a V X a V X a V X 1 1 n n 1 1 n n Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias independientes con la misma función de V X y, por lo tanto: probabilidad, entonces se cumple que i Caso Aerolínea Wayra X X X n V n 1... Objetivo específico: Comparar el grado de dispersión del número de cancelaciones en vuelos, tanto nacional e internacional. La distribución de probabilidades de las variables X: número de cancelaciones en vuelo nacional e Y: número de cancelaciones en vuelo internacional se muestran a continuación: x f(x) 0,5 0,4 0,15 0,10 a Y X y f(y) 0,7 0,37 0,18 0,1 b La empresa implementará cambios en aquel tipo de vuelo, nacional o internacional, cuyo número de cancelaciones sea más variable. En qué tipo de vuelo se harán los cambios? Notas importantes

9 Unidad 4. Variables aleatorias 113 Ejemplo 1 Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcular el valor esperado de X ax 1,, 3, 4, 5 f ( x) 0 en otro caso 5 i1 Lo primero es determinar a, planteamos que Nos piden i 1 f x 1, de donde a = 1/ E X xi f xi i Ejemplo Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcule la varianza de X. x f( x) ,, 3, 4, 5 en otro caso El esperado de X es E X xi f xi i 1 Se tiene que E X Luego se tiene que V X E X E X 15 1, Notas importantes

10 114 Estadística Descriptiva 0150 Distribuciones de probabilidad de variables discretas Distribución binomial Un experimento binomial consiste en una serie de n pruebas o ensayos, donde n se fija antes de realizar el experimento. Las pruebas son idénticas y cada una de ellos puede resultar en uno de dos posibles resultados que denotan éxito o fracaso. Las pruebas son independientes entre sí por lo que el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de cualquier otro. La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y la denotamos como p. Entonces para n intentos y la probabilidad p de éxito en cualquier intento, la probabilidad de tener x éxitos en los n intentos está dada por: n x 1 n x f x P X x C x p p x = 0, 1,,..., n La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones semejantes e independientes con probabilidad de éxito constante. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p, se denota X~B (n, p) Es simétrica si p = 0,5. Para valores de p < 0,5 la distribución tiene sesgo derecho y para valores p>0,5 tiene sesgo izquierdo, independientemente de los valores de n. Para valores de n suficientemente grandes (n > 50), y sólo tomando en cuenta los valores relevantes de probabilidad, la distribución es prácticamente simétrica. Media E X np Varianza V X np1 p En Excel 010, use la función =DISTR.BINOM.N(Núm_éxito, Ensayos, Prob_éxito, acumulado) Notas importantes

11 Unidad 4. Variables aleatorias 115 Caso Aerolínea Wayra Objetivo específico: Estimar la probabilidad de tener una emergencia médica durante el viaje. La aerolínea sabe por experiencias pasadas que el 0,5% de los pasajeros tendrá alguna emergencia médica durante el vuelo. Si en un vuelo hay 10 pasajeros, calcule la probabilidad de que ningún pasajero tenga una emergencia médica durante el viaje. Asuma independencia entre un pasajero y otro. La variable en estudio X es.... El rango o recorrido de la variable X es La distribución de la variable es.. Sus parámetros son La probabilidad pedida es f( ) = P(X ) =... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Si en un vuelo hay 10 pasajeros, calcule la probabilidad de que, como máximo, un pasajero tenga una emergencia médica durante el viaje. La probabilidad pedida es P(X ) =..... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Si en un vuelo hay 10 pasajeros, calcule la probabilidad de que por lo menos dos pasajeros tengan una emergencia médica durante el viaje. La probabilidad pedida es P(X ) =..... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Calcule el valor esperado del número de pasajeros que tengan una emergencia médica durante un viaje de 160 pasajeros. El valor pedido es E(X) =..... =. Notas importantes

12 116 Estadística Descriptiva 0150 Distribución hipergeométrica Consideremos N elementos, de los cuales r son considerados éxitos y por lo tanto N - r como fracasos. Como en el caso de la distribución binomial estamos interesados en saber la probabilidad de obtener x éxitos en una muestra de n elementos. El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son éxitos y N - r son fracasos. La probabilidad de obtener de x éxitos en la muestra de n elementos es: r Nr C xcnx f ( x), x max{0, n ( N r)},...,min{ n, r} N C n El rango de X en la mayoría de los casos va de 0 a n, pero no siempre, por lo que se debe analizar en cada caso. La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una muestra de tamaño n, tomada de una vez de una población de tamaño N donde hay r éxitos. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución hipergeométrica con parámetros N, r y n y se denota X ~ H (n, r, N) r n N Media E X Varianza r 1 r V X n N n N N N 1 En Excel 010, use la función =DISTR.HIPERGEOM.N(muestra_éxito, núm_de_muestra, población_éxito, núm_de_población, acumulado) Notas importantes

13 Unidad 4. Variables aleatorias 117 Caso Aerolínea Wayra En un vuelo se van a servir 130 comidas. La oficina de control de calidad de los alimentos durante el vuelo selecciona al azar cinco de ellas para verificar que en perfecto estado. Dentro de las 130 comidas, hay seis que no están en perfecto estado. Calcule la probabilidad de no detectar a ninguna de las comidas que no están en perfecto estado. La variable en estudio X es.... El rango o recorrido de la variable X es La distribución de la variable es.. Sus parámetros son La probabilidad pedida es f( ) = P(X ) =... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Calcule la probabilidad de detectar a una de las comidas que no están en perfecto estado. La probabilidad pedida es P(X ) =..... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Calcule la probabilidad de detectar a más de una de las comidas que no están en perfecto estado. La probabilidad pedida es P(X ) =..... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Calcule el valor esperado del número de comidas que no están en perfecto estado que serán detectadas. El valor pedido es E(X) =..... =. Notas importantes

14 118 Estadística Descriptiva 0150 Distribución de Poisson El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades: El número de resultados que ocurre en un intervalo o región de espacio cualquiera es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante el intervalo muy corto o región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera del intervalo o región. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o caiga en tal región pequeña es insignificante. La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región específica es: x e f x PX x x = 0, 1,,... x! x = número de éxitos por unidad de tiempo o región. = número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región. e =,7188 f(x) 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0, X Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con parámetro y se denota X~P(). Siempre es una distribución sesgada a la derecha. A medida que aumenta y tomando en cuenta sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende a hacerse simétrica. Media: E X Varianza: V X En Excel 010, use la función =POISSON.DIST(x, media, acumulado) Notas importantes

15 Unidad 4. Variables aleatorias 119 Caso Aerolínea Wayra El número de llamadas hacia una azafata por los pasajeros durante un vuelo se modela con una variable Poisson con una media de 0,5 llamadas cada diez minutos. Calcule la probabilidad de que una azafata no reciba ninguna llamada durante un viaje de 50 minutos. La variable en estudio X es.... El rango o recorrido de la variable X es La distribución de la variable es.. Sus parámetros son La probabilidad pedida es f( ) = P(X ) =... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Calcule la probabilidad de que una azafata reciba más de una llamada durante un viaje de 50 minutos. La probabilidad pedida es P(X ) =..... =. Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema? En Excel 010, use la función = (..,.,..,. ) Si una azafata ya recibió una llamada durante los primeros veinte minutos del viaje, calcule la probabilidad de que reciba dos llamadas más durante dicho viaje de 50 minutos. Calcule la desviación estándar del número de llamadas hacia la azafata en un vuelo de dos horas. Notas importantes

16 10 Estadística Descriptiva 0150 Ejemplo 3 Suponga que el número de llamadas que llegan a una central telefónica es 0,5 por minuto en promedio. Calcule la probabilidad de que en un minuto no lleguen llamadas X:= número de llamadas / minuto = 0,5 llamadas / minuto e 0,5 P X 0 0,6065 0! Calcule la probabilidad de que en un minuto lleguen más de tres llamadas P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 (0, , , ,016) = 0,998 Calcule la probabilidad de que en tres minutos lleguen menos de cinco llamadas Y:= número de llamadas / 3 minutos = 1,5 llamadas / 3 minutos P(Y < 5) = 0,31 + 0, , , ,0471 = 0,9814 Calcule la probabilidad de que en cinco minutos lleguen más de dos llamadas W:= número de llamadas / 5 minutos =,5 llamadas / 5 minutos P(W > ) = 1 P(W ) = 1 (0, ,05 + 0,565) = 0,4565 Ejemplo 4 El administrador de un almacén ha observado que en promedio ingresan al establecimiento 0 personas cada 30 minutos. Cuál es la probabilidad de que en seis minutos ingresen al almacén a lo más 5 clientes pero más de 3? Lo primero es definir la variable adecuada, sea X:= número de personas que entren al establecimiento en un periodo de seis minutos. Como nos dicen que la variable cuenta las llegadas por unidad de tiempo, se tiene que X ~ P(). Luego, debemos determinar el valor de, para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson. Si en 30 minutos llegan en promedio 0 personas, entonces en 6 minutos llegarán, en promedio,,= 4 personas. Se tiene que X ~ P( = 4) e 4 e ,3517 4! 5! Nos piden P X P X P X Notas importantes

17 Unidad 4. Variables aleatorias 11 Ejemplo 5 Si se sabe que en cada 100 metros de longitud de un cable hay un promedio de 80 puntos por los cuales este puede ser seccionado. Cuál es la probabilidad de que en un tramo de 13,5 metros se encuentren cinco puntos de seccionamiento? Sea X:= número de puntos de seccionamiento. Como nos dicen que la variable cuenta puntos por unidad de longitud, se tiene que X ~ P(). Luego, debemos determinar el valor de, para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson. Si en 100 metros hay en promedio 80 puntos de seccionamiento, entonces en 13,5 metros hay, en promedio,,= 10,8 puntos. Se tiene que X ~ P( = 10,8) Nos piden P X e , 05 5! Observe que si lambda sale un valor que no es entero, no se debe redondear a un entero. Notas importantes

18 1 Estadística Descriptiva 0150 Variable aleatoria continua Es una variable cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores. Por ejemplo: peso, en kilos, de una persona, tiempo en resolver la primera pregunta del examen parcial de un curso o volumen, en decibeles, en una discoteca a una hora determinada. Función de densidad de una variable aleatoria continua Se denomina función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua a la función que satisface: f x 0 para todo x R f xdx 1 b Se tiene que P a X b f x dx a Ejercicio 34 Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: ax 0 x 5 f ( x) 0 en otro caso Determine el valor de a. Notas importantes

19 Unidad 4. Variables aleatorias 13 Calcule la probabilidad de P(X < 3) Calcule la probabilidad de P(1,5< X < 3,5) Ejemplo 6 Para cierto negocio por correo electrónico la proporción de los pedidos procesados en 4 horas tiene la función de densidad de probabilidad. Notas importantes f ( x) (1 x) ; 0 x 1 Compruebe si f(x) es una función de densidad. Se debe comprobar que: - 0 f x para todo x R. Este se cumple pues para 0 x 1, es f ( x) (1 x) 0 - f xdx 1. Existen dos formas de responder esta pregunta. Integrando la función de densidad f(x) y verificando que el área es igual a 1 y que cada f(x) sea positivo 1 0 f x Ahora debemos evaluar en 0 y en Calculando el área del triángulo a partir de la gráfica y verificando que el área es igual a y que cada f(x) sea positivo. bh 1 Área x dx (1 x) dx x x x

20 14 Estadística Descriptiva 0150 Cuál es la probabilidad que al menos el 80% de los pedidos sean procesados dentro de 4 horas? Existen dos formas de responder esta pregunta. Integrando la función de densidad f(x) de 0,8 a ,8 x ,8 0,8 0,04 Calculando el área de triángulo desde 0,8 a ,8 1 0,8 bh Área 0,04 Observe que para la segunda forma de resolución, se usó la función de densidad para hallar la altura del triángulo. Si el porcentaje de pedidos procesados en 4 horas es mayor al 80%, calcular la probabilidad de que sea mayor a 90%. P(X > 0,9 / X > 0,8) = (0,1 x 0, / ) / (0, x 0,4 / ) = 0,5 Función de distribución acumulada de probabilidad La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) se define por: F(x) = P(X x) para - < x < + P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = F(b) F(a) df x dx f x F(x) es una función que siempre está entre 0 y 1 (0 F(x) 1), pues es igual a una probabilidad. F(x) es una función que nunca decrece, y F x lim F x 0 x lim 1 x F(x) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, Notas importantes

21 Unidad 4. Variables aleatorias 15 Ejercicio 35 Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad = 0 1 Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X. Use la función de distribución acumulada de la variable X para calcular P(0,1 < X < 0,7) Ejercicio 36 Marque la(s) gráfica(s) que pueden ser funciones de distribución acumulada. Notas importantes

22 16 Estadística Descriptiva 0150 Ejercicio 37 Indique la(s) funciones que pueden ser función de distribución acumulada. 1 x F x x 1 1 x 0 x 1 1 x F x x 1 1 x 0 x 1 Notas importantes Ejemplo 7 Encuentre el rango intercuartil de X, si X es el tiempo de vida de un sistema es una variable aleatoria, en años, cuya función de distribución acumulada es: 0 x 5 F x 5 1 x 5 x Sea X:= tiempo, en años, de vida de un sistema. Para calcular el rango intercuartil, debemos hallar el cuartil 1 y el cuartil 3, para esto hay dos posibilidades: integrar la función de densidad f(x) o reemplazar en la función de distribución acumulada Por definición de cuartil 3, el 75% de los datos es menor o igual a él, es decir P(X Q 3 ) = 0,75, o lo que es lo mismo F(Q 3 ) = 0,75 F Q 5 0,75 1 de donde Q 3 = Q3 Haciendo lo mismo para el cuartil 1. F Q Luego el RIC = Q 3 Q 1 = 4,3. 5 0,5 1 de donde Q 1 = 5,77. 1 Q1 Si se sabe que el tiempo de vida de un dispositivo se encuentra en el cuarto superior, cuál es la probabilidad que pertenezca al quinto superior? Como nos dicen que ya se sabe que está en el cuarto superior, es una probabilidad condicional. P X P X P P X P P X P75 0,5 0,0 0,80

23 Unidad 4. Variables aleatorias 17 Valor esperado de una variable aleatoria continua El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una variable aleatoria X se denota E(X). X E X x f x dx Valor esperado de una función de variable aleatoria continua Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es: E G X G x f x dx Propiedades del valor esperado en variables aleatorias E(b) = b Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias, y a 1, a, a 3,..., a n son n constantes, entonces: E a X a X a X a E X a E X a E X 1 1 n n 1 1 n n Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias con la misma función de densidad, enton- E X y, por lo tanto: ces se cumple que i Caso Aerolínea Wayra E X X X n 1... n El tiempo, en minutos, que se tarda una persona en ser atendido en el counter del aeropuerto se modela con una variable aleatoria X: f( x) k kx 4 x Determine la media de la variable aleatoria X. 0 0 x x 4 en otrocaso Notas importantes

24 18 Estadística Descriptiva 0150 Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria continua X V X E X E X La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de la varianza de X. Propiedades de la varianza en variables aleatorias Si Y = ax + b, con a y b son constantes, entonces a Y X Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias independientes, y a 1, a, a 3,..., a n son n constantes, entonces: V a X a X a X a V X a V X a V X 1 1 n n 1 1 n n Si X 1, X, X 3,..., X n son n variables aleatorias independientes con la misma función de V X y, por lo tanto: densidad, entonces se cumple que V X X X n 1... n i Caso Aerolínea Wayra El sobrepeso, en kilos, del equipaje de mano de un pasajero se modela con una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad: k 6 - x 0 x 6 f ( x) 0 otro caso Determine la desviación estándar de la variable aleatoria X. Notas importantes

25 Unidad 4. Variables aleatorias 19 Distribuciones de probabilidad de variable continua Distribución de probabilidad uniforme Función de densidad 1 f x b a 0 a x b en otro caso Se dice que X tiene una distribución uniforme y se denota X ~ U (a, b) La función de distribución acumulada de una variable uniforme es: 0 x a x a F x a x b b a 1 x b Media: Varianza: a b b a 1 Caso Aerolínea Wayra Objetivo específico: Determinar el número esperado de vuelos con retraso. El tiempo en el que un avión llega a su destino con respecto a su hora programada se modela con una variable aleatoria uniforme de parámetros -10 y 10. De tal manera que los valores negativos indican que el avión llegó antes de la hora programada y los valores positivos indican que el avión llegó después de la hora programada. Notas importantes

26 130 Estadística Descriptiva 0150 Calcule la probabilidad de que un avión llegue con un retraso mayor a cuatro minutos. Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la hora de llegada programada y la hora de llegada sea mayor a cuatro minutos. Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un avión llegue con un adelanto máximo de cinco minutos. Si se escoge al azar 0 vuelos, calcule la probabilidad de que, como máximo, se tenga un vuelo con retraso mayor a ocho minutos. Si se escoge al azar 100 vuelos, calcule el número esperado de viajes con retrasos mayores cuatro minutos. Notas importantes

27 Unidad 4. Variables aleatorias 131 Ejemplo 8 En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad de una sustancia es una variable aleatoria cuya distribución es uniforme con a = -0,05 y b = 0,05. a. Cuál es la probabilidad de que tal error esté entre 0,010 y 0,015? Sea X:= error al determinar la densidad de una sustancia La variable X ~ U(a = -0,05, b = 0,05) tiene la siguiente función de densidad 1 f ( x) 0, 05 ( 0, 05) 0 1 f ( x) 0,05 0 0,05 x 0,05 en otro caso 0, 05 x 0,05 en otro caso Nos piden P ( 0, 010 X 0, 015). Existen dos formas de calcular esta probabilidad: integrando la función de densidad f(x) o calculándola a partir del área del rectángulo. 0, P(0,010 X 0,015) dx 0,015 0,010 0,10 0,050 0,050 0,010 b. Cuál es el error esperado cometido? La variable X ~ U(a = -0,05, b = 0,05) tiene el siguiente número esperado de errores Ejemplo 9 a b 0,05+0,05 0 La llegada de cada uno de los empleados a su centro de labores se produce independientemente, de acuerdo a la distribución uniforme en el intervalo comprendido entre las 8:00 y 8:5 am. De una muestra de 10 empleados, calcule la probabilidad de que cuatro de ellos hayan llegado entre las 8:15 y 8:0 AM. Sea X:= tiempo, en minutos, desde las 8 AM hasta la hora de llegada de los empleados al centro de trabajo, luego XU (0, 5) 1 f ( x) ; 0 x 5 5 Se define la variable Y:= número de empleados que llegan al centro de trabajo entre 8:15 y 8:0 AM. Debe calcularse la probabilidad de éxito p de que un empleado llegue al centro de trabajo entre 8:15 y 8:0 AM esto es: Entonces Y B(10; 0,0) 0 15 p 0,0 5 f y C y 10 y 10y ( ) y (0,0) (0,80), 0,1,, Se pide P( Y 4) f (4) C (0,) (0,80) 0, Notas importantes

28 13 Estadística Descriptiva 0150 Distribución de probabilidad normal Función de densidad 1 f x e 1 x Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros y. Se denota X ~ N (, ) La función de densidad tiene forma de campana y es simétrica, por lo que las medidas de tendencia central coinciden. El rango de la variable normal es toda la recta real, esto es, de a +. En Excel 010, use la función =DISTR.NORM.N(x, media, desviación estándar, acumulado) En Excel 010, use la función =INV.NORM(Probabilidad, media, desviación estándar) Estandarización Se toma como referencia una distribución normal estándar ( = 0 y = 1). Se trabaja con la distancia entre x y en función de la desviación estándar, tal como se muestra. X Z Notas importantes

29 Unidad 4. Variables aleatorias 133 Ejercicio 38 Si Z ~ N 0, 1, calcular P(Z < 1,1) = P(Z > 0,45) = P(0,3 < Z < 1,5) = P(Z < -4) = Tabla de la distribución normal estándar z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , ,539 0,5790 0, , ,1 0, , , ,5517 0, ,5596 0, , ,5714 0, , 0,5796 0, , , , , ,6057 0,6064 0,6106 0, ,3 0, ,617 0,655 0,6930 0, , , , , , ,4 0,6554 0, ,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5 0, , , , , , ,716 0, , ,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, , ,7415 0, , , , ,7 0, , ,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8 0, , , , , ,8034 0, , , ,8137 0,9 0, , ,811 0,8381 0,8639 0,8894 0, , , , ,0 0, , , , , , , , , ,8614 1,1 0, , , , ,8786 0, , , , ,8898 1, 0, , , , ,8951 0, , , , ,90147 Notas importantes

30 134 Estadística Descriptiva 0150 P(Z = 1,16) = Hallar c para que P(Z < c) = 0,67003 Hallar c para que P(Z > c) = 0,050 Hallar c para que P(-c <Z < c) = 0,950 Tabla de la distribución normal estándar z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , ,539 0,5790 0, , ,1 0, , , ,5517 0, ,5596 0, , ,5714 0, , 0,5796 0, , , , , ,6057 0,6064 0,6106 0, ,3 0, ,617 0,655 0,6930 0, , , , , , ,4 0,6554 0, ,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5 0, , , , , , ,716 0, , ,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, , ,7415 0, , , , ,7 0, , ,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8 0, , , , , ,8034 0, , , ,8137 0,9 0, , ,811 0,8381 0,8639 0,8894 0, , , , ,0 0, , , , , , , , , ,8614 1,1 0, , , , ,8786 0, , , , ,8898 1, 0, , , , ,8951 0, , , , ,90147 Notas importantes

31 Unidad 4. Variables aleatorias 135 Ejercicio 39 La cantidad de dinero destinada al ahorro mensual de los clientes de un banco es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media igual a 460 soles y una desviación estándar igual a 50 soles. Calcule la probabilidad de que un cliente ahorre menos de 480 soles en un mes. En Excel 010, use la función =DISTR.NORM.N(,,, ) Calcule la probabilidad de que un cliente ahorre más de 500 soles mensuales. En Excel 010, use la función =1-DISTR.NORM.N(,,, ) Calcule la probabilidad que el ahorro mensual de un cliente esté entre 460 y 50 soles. Cuál es el ahorro mínimo mensual para estar en el 15% de los clientes que más ahorran? En Excel 010, use la función =INV.NORM(,,, ) Notas importantes

32 136 Estadística Descriptiva 0150 Cuál es el ahorro máximo mensual para estar en el 5% de los clientes que menos ahorran? En Excel 010, use la función =INV.NORM(,,, ) Ejemplo 30 En Buck Café, la máquina surtidora de refrescos está ajustada de tal forma que sirve en promedio 50 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco servido en los vasos sigue, aproximadamente, una distribución normal con una desviación estándar de 10 mililitros. Qué proporción de los vasos servidos contendrán entre 40 y 55 mililitros de refresco? Sea X:= cantidad de refresco servido por vaso, X ~ N(µ = 50, = 10 ) Se pide P(40 X 55). Estandarizando se tiene 40 X 55 P P Z P 1 Z 0,5 0,5 1 0,6915 0,1587 0,538 Ejemplo 31 Se informa que la cantidad X de azúcar de los paquetes marcados con un kilo, tiene distribución normal con media kilos y desviación estándar 0,0 kilos. Hallar el valor de si la cantidad de azúcar que contiene cada paquete es menor o igual a 0,95 kilos con probabilidad 0,10. Sea X:= pesos de los paquetes de azúcar, en kilos. X ~ N(µ, = 0,0 ) Se pide P X 0,95 0,10 X 0,95 Estandarizando se tiene P 0,10 0,95 P Z 0,10 0,0 Usando la tabla normal estándar para calcular el valor z correspondiente. 0,95 1,7. De donde µ = 0,9754 0,0 Notas importantes

33 Unidad 4. Variables aleatorias 137 Distribución exponencial En variables que representan los tiempos de vida útil, tiempos de sobrevivencia, en tiempos de ocurrencia en procesos de Poisson se suele utilizar la distribución exponencial. La variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro β (β > 0) si su función de densidad de probabilidad es: 1 f ( x) e x ; x 0 Se denota X ~ Exp(β) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución exponencial con parámetro β. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores en el intervalo [c,d] es numéricamente igual al área sombreada, y se calcula de la siguiente manera: P c X d d 1 c e 1 t dt Esperanza de X: E X Varianza de X: V X Nótese que el parámetro β es igual a la media de la variable aleatoria. Función de distribución acumulada de X F( x) P t 1 X x e dt 1 e ; x 0 0 t x Se cumple que: P P x X x e X k t / X k PX t Notas importantes

34 138 Estadística Descriptiva 0150 Caso Aerolínea Wayra El tiempo de vida útil de tipo de una llanta de avión se modela con una variable aleatoria con distribución exponencial, cuya media es 0 días. Calcule la probabilidad de que la vida útil de una llanta sea mayor a 0 días. Calcule la probabilidad de que la vida útil de una llanta esté entre 0 y 5 días. Si una llanta ya duró 0 días, calcule la probabilidad de que la vida útil de esa llanta sea menor a 5 días. Notas importantes

35 Unidad 4. Variables aleatorias 139 Ejercicios de la Unidad En un lote de 30 polos hay tres con fallas. Se toma una muestra aleatoria de cinco polos y se define la variable aleatoria X como el número de polos defectuosos en la muestra. Determine y grafique la función de probabilidad de la variable X. Calcule la probabilidad de tener dos polos defectuosos en la muestra. Calcule la probabilidad de tener al menos dos polos defectuosos en la muestra. 81. La demanda diaria de un producto es una variable aleatoria X cuya distribución de probabilidades es simétrica y está dada por la tabla siguiente: x f(x) a 0,0 b c 0,05 La empresa obtiene por cada unidad demandada de producto 100 soles de utilidad. Si la cantidad demanda en un día es mayor a dos unidades, se obtiene una utilidad adicional de 15 soles por unidad demandada de producto. Calcule el valor de a, b y c. Determine la probabilidad que la demanda diaria sea de por lo menos tres productos. Calcule el valor esperado de la utilidad por la demanda diaria de productos. 8. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Afirmación Verdadero Falso Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experimento El valor esperado es el valor más probable de ocurrencia El valor esperado es un valor que puede ser mayor que el máximo de los valores del rango de la variable aleatoria El valor esperado es un valor que siempre es igual a uno de los valores del rango de la variable Variable aleatoria continua es una variable cuyo rango es un conjunto infinito numerable de valores La función de distribución acumulada es siempre mayor a la función de densidad para cualquier valor de la variable aleatoria El esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de los dos esperados de las variables aleatorias La varianza de una variable aleatoria puede ser menor a cero Notas importantes

36 140 Estadística Descriptiva Un examen de admisión consta de 100 preguntas. Cada una pregunta tiene cinco opciones para marcar y solamente una respuesta correcta Por cada respuesta correcta se le otorga al postulante un punto, mientras que si la respuesta es incorrecta al postulante se le resta un cuarto de punto. Si un postulante contesta todas las preguntas del examen al azar, calcule el valor esperado del puntaje obtenido. 84. Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior. Calcule la varianza y desviación estándar de la variable X. 85. Se lanzan dos dados y sea la variable aleatoria X igual a la suma de los números de las caras superiores. Calcule la varianza de la variable X. 86. Un restaurante pone a la venta diariamente diversas ensaladas. El número de ensaladas demandadas diariamente se modela con una variable aleatoria X que tiene la siguiente distribución de probabilidad. Notas importantes x f(x) a 0,1 0,35 a 0,14 0,09 El costo de cada ensalada es de cuatro nuevos soles y las vende a seis soles. Toda ensalada no vendida en el día se desecha. Calcule la media y desviación estándar de la utilidad diaria, si el restaurante prepara 0 ensaladas por día. 87. Una compañía de comida rápida sabe que el 90% de sus tiendas por franquicia tendrán éxito comercial. Si el éxito de cada tienda se puede considerar independiente de las demás tiendas. Calcule la probabilidad de que al menos dieciocho tiendas tengan éxito, si la compañía va a instalar 0 tiendas el año Según la Asociación para el Fomento de la Infraestructura Nacional el 48% de los hogares de Lima no tienen acceso a agua potable de calidad, por no contar con la dosificación adecuada de cloro o comprarla de manera informal a los camiones cisternas. Si se eligen al azar a diez hogares de Lima, calcule la probabilidad de que cinco de ellos no tengan acceso agua potable de calidad. 89. La empresa San Fernando ha lanzado su campaña Plato calato no para salvar sus ventas de verano 013. Si de un total de 60 personas, donde 34 recuerdan la campaña, se eligen al azar a ocho personas para entrevistarlos, calcule la probabilidad de elegir al menos a tres personas que recuerden la campaña. 90. En una distribuidora hay 5 televisores de los cuales seis son de tecnología OLED. Si se seleccionan al azar diez televisores, calcule la probabilidad de que se haya seleccionado por lo menos dos televisores de tecnología OLED. 91. Un comerciante recibe un lote de 30 computadoras portátiles. Para protegerse de una mala remesa, el comerciante revisará diez computadoras y rechazará todo el lote si encuentra una o más computadoras defectuosas. Si en el lote hay seis computadoras defectuosas, cuál es la probabilidad de que rechace el lote? 9. En una pastelería, el número demandado de un cierto tipo de torta se modela con una variable Poisson con una media de tres tortas al día. La pastelería, siempre, produce tres tortas diarias. Cada torta cuesta producirla 50 nuevos soles y se vende a 80 nuevos soles. Toda torta no vendida en el día se remata en 0 soles y siempre las compran todas las tortas a ese precio. Calcule el valor esperado de la utilidad por dicho concepto.

37 Unidad 4. Variables aleatorias Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Afirmación Verdadero Falso El mayor valor del rango de la variable hipergeométrica es siempre menor o igual a n En un proceso de Poisson el número de resultados que ocurre en un intervalo es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo del espacio disjunto La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones independientes con la misma probabilidad de fracaso en cada repetición La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una muestra de tamaño n de una población N que tiene r éxitos y donde el muestreo es con reemplazo 94. La duración (en minutos) de una llamada telefónica en la sala de profesores puede modelarse por una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad Determine el valor de a. f x a 3 x 0 x 3 0 en otro caso Calcule la probabilidad de que una llamada dure menos de un minuto y medio. Si una llamada ya duró un minuto, calcule la probabilidad de que dure más de dos minutos. 95. La proporción de personas que responden a una encuesta enviada por correo electrónico se modela con una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad f x x x 1 en otro caso Notas importantes Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X. Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que respondan entre 60% y 80% de las personas a la encuesta. Use la función de distribución acumulada para calcular la mediana de X. 96. El gerente comercial de la sucursal de Santiago de Surco informa que el gasto mensual, en cientos de nuevos soles, por la venta de libros a sus clientes es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad: 1 = Calcule el valor esperado del gasto mensual en libros.

38 14 Estadística Descriptiva La variable X se distribuye uniformemente con media igual a 4 y varianza igual a 1, calcular los parámetros de la función de densidad. 98. La función de Excel =ALEATORIO() genera un número con distribución uniforme con parámetros a igual a cero y b igual a uno. Sea X una variable aleatoria definida como el número generado por dicha función. Calcule la probabilidad de que la función genere un número aleatorio entre 0, y 0,7. Use la función de distribución acumulada para calcular P(0,15 < X < 0,55). 99. El tiempo, en minutos, que demora un servicio de delivery en entregar una pizza puede modelarse por una variable aleatoria uniforme con parámetros 10 y 38. Si la pizza se tarda más de 30 minutos en ser entregada, el cliente no la pagará. Si una familia pide una pizza, calcule la probabilidad de que le salga gratis. Si la familia pide una pizza diaria durante diez días seguidos, calcule la probabilidad de que por lo menos una de ellas le salga gratis. Una familia pidió una pizza hace 5 minutos y aún no ha llegado, cuál es la probabilidad de que le salga gratis? 100. Una compañía ha comprado una prueba para seleccionar personal. Los que han diseñado la prueba saben que las notas siguen una distribución normal con una media de 75 puntos y una desviación estándar de diez puntos. Calcule la probabilidad de que una persona que rinda esta prueba obtenga una nota superior a 90 puntos En una ciudad se estima que la temperatura máxima en un día del mes de enero puede modelarse con una variable normal con media 30 C y desviación estándar C. Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la temperatura máxima sea menor a 31 C. Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la temperatura máxima esté entre 8,5 y 3 C. Calcule el número esperado de días en el mes de enero en que la temperatura máxima es mayor a 33 C. Asuma independencia entre las temperaturas de un día y otro. 10. Marque la opción correcta. La moda de una variable aleatoria normal X es: a. Igual a cero b. El esperado de X c. Aquel valor para el cual f(me) = 0,5, donde f es la función de densidad de X d. No se puede determinar sin saber la desviación estándar. e. Es el valor que acumula más del 50% del área 103. La vida útil, en meses, de un artefacto eléctrico es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro β. El fabricante afirma que el 90% de estos componentes tienen una vida útil que supera los 60 meses. Cuál es la media de la vida útil de estos componentes? Notas importantes

39 Unidad 4. Variables aleatorias Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Afirmación Verdadero Falso La media de una variable normal puede ser negativa Si Z es una variable normal estándar P(Z > c) = 0,05, entonces c = -1,96 Si X es una variable normal se cumple que P(X < c) = P (X c) Si Z es una variable normal estándar se cumple que P(Z < - c) = 1 - P (Z < c) Si X es una variable normal se cumple que P(X < -c) = 1 - P (X < c) El rango de toda variable normal es igual a toda la recta real La función de densidad de la distribución normal toma su mayor valor en X = µ La función de densidad de la distribución normal en algunos casos no es simétrica El esperado de una variable normal es siempre igual a µ Notas importantes

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