SOLUCION DE UN ERROR CON OTRO ERROR

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1 SOLUCION DE UN ERROR CON OTRO ERROR El matemático, al igual que too ser humano, puee incurrir en errores; en algunos casos sucee que el error no ha sio cometio por el creaor e la obra sino por los encargaos e transcribir y eitar la obra el autor Sam Loy, ivulgaor y creaor e pasatiempos matemáticos, cometió algunas equivocaciones en la solución e problemas matemáticos; algún otro matemático pretenió corregir el error cometio por Sam Loy en el siguiente problema geométrico y, en realia, agregó un nuevo error: carece e interés nombrar al iluso y su pretenia corrección (esatinaa). PROBLEMA GEOMÉTRICO A cualquier cuarao le falta la cuarta parte según la siguiente figura. Diviir ésta en el menor número e componentes para obtener con ellas un cuarao. Solución incorrecta propuesta por Sam Loy COMENTARIOS La solución propuesta por Sam Loy no respeta el enunciao el problema ao que la figura e la izquiera correspone a un rectángulo e base 7 y e altura 8 (e acuero con los pelaños e la escalera inicaos en los ibujos) y la e la erecha representa otro rectángulo e base 6 y altura 7 (analice los pelaños). Recuere que en el enunciao se parte e un cuarao, al que se le ha suprimio un cuarto e área, y se ebe obtener un cuarao equivalente a los tres cuartos e área el inicial. 1

2 El hecho e que las figuras se ibujen cuaraas no significa que lo sean, los etalles internos esvirtúan la cuaratura en la solución e Sam Loy. En el supuesto e que los pelaños sean esiguales se obtiene, en apariencia, un cuarao: en realia la figura obtenia es un rectángulo cuya iferencia entre base y altura es poco notoria, hallar la iferencia es elemental; es posible que Loy no haya notao icha iferencia y, en tal caso, le es achacable el error e la solución. Se equivocó Sam Loy o los ibujos fueron istorsionaos por el impresor? En algunas ocasiones sucee que las figuras originales (correctas) no corresponen a las publicaas, ebio a fallas en el proceso e transcripción. El problema es creación e Sam Loy o correspone a otro autor? Algunos ivulgaores no publican los nombres e los autores originales, si se conocen, o no mencionan el hecho e ser creaciones e esconocios o e colaboraores. En la solución publicaa por Sam Loy, como veremos luego, se vislumbra la solución correcta el problema: La figura se corta e manera similar, solo que toos los pelaños no son iguales, y el resultao es un cuarao con un orificio (cuarito) central. La solución es vália con inepenencia el tamaño el cuarao, sieno constante la cantia e pelaños. SOLUCIÓN CORRECTA: en términos e pasatiempo Orificio Quienes intentaron corregir el problema, como puee observarse, jamás escubrieron que se trataba e un pasatiempo y, en consecuencia, no percibieron el orificio e la solución ni el truco e la misma (el número 8). 2

3 El truco consiste en olviar las imensiones originales el cuarao, iviir el lao el mismo en ocho partes iguales y proceer como lo inica la solución anterior. El cuarao resultante tenrá 49 uniaes e área y su orificio una unia, para un total e 48 uniaes excluyeno el orificio, 48 equivale a los tres cuartos e 64: Pasatiempo solucionao. PROBLEMA DE PESO Milton Garner, perioista con amplia trayectoria en la ivulgación e temas científicos, la inmensa mayoría e soluciones aas a su amplia colección e problemas y acertijos matemáticos resultan e claria meriiana para los lectores; las os soluciones siguientes constituyen excepción a lo afirmao. Al final se muestra la solución alterna que, se presume, es e mayor claria que la propuesta por Garner. PROBLEMA. Si una pelota e baloncesto pesa ½ kilo más la mita e su propio peso, cuánto pesa? SOLUCIÓN GARDNER Antes e responer este acertijo, es necesario saber exactamente qué significa caa palabra. Por ejemplo, se poría enfocar e esta manera: La pelota e baloncesto pesa meio kilo, la mita e su peso ebe ser un cuarto e kilo. Sumamos estos os valores y, obtenemos la respuesta = 3 4 e kilo Pero el problema consiste en escubrir el peso e la pelota, y si resulta ser e tres cuartos, entonces no puee ser e meio kilo como se afirma al principio. Resulta claro que hay una contraicción en este punto, así que ebemos haber interpretao mal la pregunta. Hay solamente una interpretación que tiene sentio. El peso e la pelota e baloncesto es igual a la suma e los os valores: ½ kilo y un valor esconocio que es la mita el peso e la pelota e baloncesto. Esto puee representarse en una balanza e platillos, tal como se ve en la ilustración. Si se retira meia pelota e baloncesto e caa platillo e la balanza, ésta seguirá en equilibrio. Habrá un peso e ½ kilo en un platillo y meia pelota e baloncesto en el otro, e moo que meia pelota e baloncesto ebe pesar ½ kilo y la pelota entera ebe pesar el oble, o sea un kilo. En realia, sin saberlo, hemos resuelto el problema por meio el álgebra! En vez e usar la ilustración, representemos meia pelota e baloncesto con la letra x. Y en vez e mostrar los os platillos en equilibrio en una balanza, utilicemos el signo algebraico e iguala. Ahora poemos escribir esta simple ecuación ½ + x = x + x 3

4 Si se quita la misma cantia e ambos laos e esta ecuación, seguirá equilibraa. Así, si quitamos una x e caa lao, nos quea: ½ = x. Recoremos que x representaba la mita el peso e la pelota e baloncesto. Si meia pelota pesa ½ kilo, entonces la pelota entera ebe pesar un kilo. COMENTARIOS La ilustración presupone que la pelota e baloncesto se encuentra inflaa, la meia pelota e la izquiera no se correspone con la presunción. Aemás, a quién se le ocurre partir, real o hipotéticamente, la pelota e baloncesto? La ecuación ½ + x = x + x no es solución por meio el álgebra, ella es la representación el análisis realizao a través e la hipotética balanza. Dicha ecuación es ifícil e comprener con rapiez, ao que es concebible luego e haberse resuelto el problema, cualquiera que sea el proceimiento. El lector ebe realizar un esfuerzo aicional para encontrar la contraicción en el ejemplo inicial e la posible solución. La explicación propuesta por Garner es remotamente viable para aficionaos a las matemáticas. Veamos el problema y su solución ese una perspectiva que le evitará perer varios kilos e su anatomía; aemás, no requiere emplear la balanza ni el cuchillo e su vecina! SOLUCIIÓN ALTERNA x = peso e la pelota x = x 2 x = 1, la pelota pesa 1 kilo VIAJE DE IDA Y REGRESO Cuano se viaja en auto, sin ua el auto viajará a velociaes iferentes en iferentes momentos. Si la istancia total se ivie por el tiempo total e manejo, el resultao es la velocia promeio e ese viaje. El señor Smith quería viajar e Chicago a Detroit y luego regresar. Deseaba hacer una velocia promeio e 60 kilómetros por hora en too el viaje e ia y vuelta. Al llegar a Detroit escubrió que la velocia promeio, hasta ese momento, era e 30 kilómetros por hora. Cuál ebe ser la velocia promeio en el viaje e vuelta para que el promeio el viaje completo sea e 60 kilómetros por hora? SOLUCIÓN GARDNER No es necesario saber la istancia entre Chicago y Detroit para resolver este problema. Cuano Smith llegó a Detroit, había recorrio cierta istancia y le había insumio cierta cantia e tiempo. Si lo que esea es uplicar su velocia promeio, es necesario que recorra el oble e esa istancia en la misma cantia e tiempo. Resulta claro que, para lograrlo, ebe volver a Chicago sin insumir ningún tiempo! Como eso es imposible, no hay manera en la que Smith 4

5 puea aumentar su velocia promeio a 60 kilómetros por hora. No importa con cuánta rapiez haga el viaje e regreso, siempre logrará un promeio menor e 60 kilómetros por hora. Será más fácil comprenerlo si atribuimos una cierta istancia para que Smith recorra, igamos 30 kilómetros e ia y 30 e vuelta. Como su velocia promeio es e 30 kilómetros por hora, Smith completará la primera mita e su viaje en una hora. Desea hacer el viaje completo a una velocia promeio e 60 kilómetros por hora, lo que significa que ebe completar el viaje entero en una hora. Pero ya ha usao esa hora. No importa con cuánta rapiez retorne, pues el tiempo total será e más e una hora, por lo que habrá recorrio 60 kilómetros en más e una hora y su velocia promeio será menor e 60 kilómetros por hora. COMENTARIO: Felicitaciones si a uste le resulta fácil comprener la solución propuesta por Garner! En caso contrario sería conveniente que estuie la siguiente forma e solucionar el problema y, con seguria, regresará a Chicago sin olores estomacales ni e cabeza. SOLUCIÓN ALTERNA CHICAGO t DETROIT T CHICAGO t = 30 2 t + T = 60 30t = 30(t +T) t = t + T T = 0 Imposible alcanzar la velocia promeio e 60 kilómetros por hora ao que el viaje e regreso se ebe realizar en 0 horas. agraece sus comentarios y sugerencias 5

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función

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