Econometría. Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresión. Profesor: Carlos R. Pitta 1

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1 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresón Profesor: Carlos R. Ptta 1 1

2 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Parte 01: Comentes Señale s las sguentes afrmacones son verdaderas, falsas o ambguas Comente 01: Puesto que la correlacón entre dos varables, Y y X, puede varar de -1 a +1, esto sgnfca que cov(y, X) tambén está dentro de esos límtes. Comente 0: S la correlacón entre dos varables es cero, esto quere decr que no exste nnguna relacón entre las dos varables. Comente 03: S se hace la regresón de Y sobre (es decr, la Yreal sobre la Yestmada), el valor de la nterseccón y de la pendente serán O y 1, respectvamente. Problema 1 (0 pts): Modelo Smple. Parte 0: Problemas Una encuesta de Ingreso Famlar a 10 Famlas Representatvas ha sdo llevada a cabo. A usted se le proporcona la sguente nformacón, en donde x (mnúscula) representa al Ingreso Famlar mentras que y (mnúscula) representa al consumo. NOTE QUE LA INFORMACIÓN SE PROPORCIONA COMO DESVÍOS DE LA MEDIA. Además, usted sabe que los prmeros momentos son: E(x)=0.13 y E(y)=15.4 n x Y e (5 pts) Calcule el modelo Y = B 1 + B *X + e. Es decr, encuentre los valores numércos para B 1 y B.. (5 pts) Calcule de manera aproxmada el R para esta regresón partcular. 3. (5 pts) Calcule la DESVIACIÓN ESTÁNDAR para el parámetro B. 4. (5 pts) Son los resultados acordes con las teorías cláscas del consumo? Exste alguna crítca que usted pueda hacer a este modelo, basado en los resultados de esta muestra en partcular? Σ

3 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Problema (30 pts): Utlzando de nueva cuenta el modelo: Y 0 1 Demuestre (es sufcente que lo demuestre para α 1 ) que los estmadores basados en el Modelo Lneal Clásco ó MICO son: 1. Lneales. (3 pts). Insesgados. (7 pts) 3. Efcentes. (15 pts) Para ello, calcule prmero su varanza en térmnos de las X s y de la varanza poblaconal desconocda. (5 pts) Después, obtenga un estmador para la varanza poblaconal y demuestre que dcho estmador es nsesgado. (5 pts) Por últmo, demuestre el teorema de Gauss-Markov. (5 pts). 4. La (el) Nova (o) que más le ha nteresado hasta el momento t 0 le nvta fnalmente a conocer a sus padres durante una cena. Esta es una ocasón mportantísma y usted de nnguna manera quere pasar vergüenzas. Lamentablemente, el padre de su pareja es un estadístco bastante promnente. En el transcurso de la velada, el estadístco se enfrasca en una férrea defensa de los Estmadores Mínmos Cuadrados Ordnaros (MICO). Él arguye que, s se cumplen todos los supuestos del modelo clásco de regresón lneal, el Teorema de Gauss-Markov garantza que los estmadores MICO son los Mejores Estmadores Lneales Insesgados (MELI), por lo tanto, son los mejores estmadores posbles. Utlzando su mejor pose de ntelectual, su suegro contnúa dcendo que ncluso utlzando otros métodos de estmacón, como Máxma Verosmltud o el Método de Generalzado de Momentos, en el mejor de los casos sólo podríamos encontrar un estmador que guale a MELI. Usted, desesperado por decr algo ntelgente, recuerda su curso de. Es verdadero o falso el argumento de su suegro? Fundamente su respuesta. (5 pts) PISTA: Pregúntese s exste algo mejor que MELI. En caso afrmatvo, el suegro no tene la razón, y vceversa. Problema 03: (10 pts) Explque los crteros para selecconar entre estmadores. En partcular, explque Insesgamento ( pts) y Efcenca ( pts). Tene sentdo selecconar aquel estmador que maxmce el R? ( pts) Explque el crtero del Error Cuadrátco Medo. (4 pts) X e

4 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Problema 04: La empresa «La onda veloz» ha especfcado un modelo de regresón lneal clásco para explcar la funcón de demanda de sus aparatos de rado (Y), expresada en mles de undades, y en funcón del preco de los aparatos de rado (X), en mles de pesos. Para su estmacón se recoge una muestra de 4 observacones, con los sguentes resultados: A partr de lo anteror, se pde: 1. Estmar los parámetros del modelo.. Obtener el coefcente de determnacón. 3. Calcular la desvacón estándar del parámetro de pendente. Problema 05: Regresón sn Regresores. Supóngase que se le proporcona el sguente modelo:. Utlce MICO para determnar el estmador de. Cuál es su varanza y su SRC? El estmado tene algún sentdo ntutvo? Ahora consdere el modelo de dos varables. Vale la pena añadr X al modelo? S no es así, por qué molestarse con el análss de regresón?

5 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 SECCIÓN DE RESPUESTAS Seccón 1: Comentes

6 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Seccón 0: Problemas Problema 1: Lo prmero es establecer una estratega de ataque al problema. Ya que tenemos la nformacón de las medas, podríamos transformar toda la nformacón de que dsponemos a varables es nveles en lugar de trabajar con medas, pero eso nos consumrá demasado tempo. Una estratega más económca en tempo es utlzar drectamente las fórmulas que hemos aprenddo para el modelo expresado es desvíos de la meda. Lo segundo que debemos hacer es completar con algunos cálculos una tabla que contenga toda la nformacón que necestamos. N x y xy x y e e Σ Para 1.1, utlzamos es estmador de B 1 y B : B1 B Y B x y x * X *

7 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Para 1., usamos la fórmula del R en desvíos: R SCE SCT B y x 3 * Para 1.3, utlzamos la fórmula de la Varanza y sacamos raíz cuadrada. Recuerde que SE PIDE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR, NO LA VARIANZA: e ( ( n ) e B ) VAR( B ) x ( n ) x (10 ) 13.1 Para 1.4, podemos argür que el valor estmado de la propensón margnal a consumr está fuera de la realdad. El argumento keynesano clásco marca un 0 B 1, por lo que ésta muestra en partcular está sobreestmando lo que la teoría económca marca como rango aceptable para B. Esto sgnfcaría que por cada peso extra que ganamos, consummos 3 pesos, lo que no es coherente con el sentdo común. Problema 0: Las respuestas de.1,. y.3 son bastante complejas en cálculo y notacón, por lo que no se reproducen aquí, aunque se referen drectamente a las notas de clase, o remítase al apéndce 3A del Gujarat..4 El argumento de su suegro es Falso. Aun cuando las condcones de Gauss-Markov se cumplan, recordemos que nos movemos en la rama de los estmadores lneales. Hasta el momento, nada garantza que, dentro de los estmadores no lneales exsta un mejor estmador. En la segunda mtad del curso demostraremos que agregando el supuesto de dstrbucón normal de los errores, los estmadores MICO alcanzan la cota de Cramer-Rao. Éste fortísmo resultado mplcará que son MEI, es decr, los Mejores Estmadores Insesgados, que es un concepto de estmador más fuerte que MELI porque abarca tanto a los estmadores lneales como a los no lneales. Exste algo mejor aun que MEI? MEI es tan poderoso que yo sempre me conformaría con encontrarlo! Sn embargo, recordemos que aun nos movemos dentro de los estmadores nsesgados. Pero justamente eso es lo que queremos, O no? Recordemos que aun podría exstr un estmador sesgado, pero con varanza tan pequeña que compense al sesgo. La mejor manera de soluconar este trade-off entre varanza y sesgo, y de paso encontrar el Mejor

8 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Estmador, es utlzar el crtero del Mínmo Error Cuadrátco Medo. Éste sería el frst-best, o el "mejor de los mejores". Dado que exsten nfntos estmadores, en la práctca hallar MELI será sufcente, pero sendo rgurosos, no debemos olvdar que sempre exste algo mejor. Problema 03: Como vnos repetdamente, un estmador es nsesgado s su valor esperado es gual al verdadero valor poblaconal, es decr, s: E ( ) Por otra parte, es efcente s tene varanza mínma dentro de todos los estmadores nsesgados. El utlzar el máxmo R como crtero de seleccón de estmadores es una mala dea ya que, para cada muestra en partcular, nuestro problema de optmzacón garantza mnmzar el error estándar, lo que sgnfca maxmzar el R. El mejor crtero de decsón, en todo caso, es el crtero del mínmo error cuadrátco medo. Defndo como: ECM VAR( B) SESGO ECM E B E( B) E E( B) B Implca un trade-off entre varanza y sesgo. En el caso de los estmadores nsesgados, el segundo membro del ECM es cero y sólo nos preocupa mnmzar la varanza del estmador para encontrar el MELI. Problema 04:

9 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 3) Esa es la varanza de la regresón. Para obtener la varanza de la pendente, debemos dvdr por, es decr, 3,09161, con lo qué: 1,045

10 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Problema 05:

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