Segundo Examen eliminatorio estatal 28va OMM Durango

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1 Segundo Examen eliminatorio estatal 28va OMM Durango 1. En la división de 999 entre n donde n es un entero de dos cifras, el residuo es 3. Cuál es el residuo de la división de 2001 entre n? (a)3 (b)5 (c)6 (d)7 (e)9 Tenemos que 999 = nq + 3. para algún entero q. Entonces 1000 = nq + 4, 2000 = n(2q) + 8 y 2001 = n(2q) + 9. Como n tiene dos cifras, 9 es el resultado. Respuesta correcta:(e) 2. Aarón, Bety y Carlos siempre mienten. Cada uno tiene un lápiz que puede ser verde o rojo. Aarón dice "Mi lápiz es del mismo color que el de Bety", Bety dice: "Mi lápiz es del mismo color que el de Carlos". Carlos dice "Exactamente dos de nosotros tenemos lápiz rojo". Cuál de las siguientes a rmaciones es cierta? (a)el lápiz de Carlos es rojo. (b)el lápiz de Bety es verde. (c) El lápiz de Aarón es verde. (d)los lápices de Aarón y de Carlos son de distinto color. (e)los lápices de Aáron y de Bety son del mismo color. Sabemos que el lápiz de Bety es de distinto color que el de Aarón y que el de Carlos, así que los de Aarón y Carlos son del mismo color. Como también es falso que dos de ellos exactamente tengan lápices rojos entonces los lápices del mismo color son verdes y éstos son los de Aarón y Carlos. Respuesta correcta: (c) 3. Si 0 < a < b < 1, cuál número entre b, p a, p b y ab es mayor? (a)b (b) p a (c) p b (d) ab (e) No se puede determinar Demostremos que p b es el mayor. ab < b < p b pues a < 1 y p b < 1. a < p a < p b pues p a < 1 y a < b. Respuesta correcta:(c) 4. En la siguiente gura la recta MN es paralela a BC; además AB = 12; AC = 18; BC = 24, si I es el incentro del triángulo ABC Cuál es el perímetro del triángulo AMN? 1

2 *El incentro es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo* (a)27 (b)30 (c)33 (d)36 (e) 42 Como BI es bisectriz de \ABC, tenemos que \MBI = \IBC. Como MN es paralela a BC,\MIB = \IBC: Luego \IBC = \MBI = \MIB, de donde el triángulo MBI es isósceles con MI = MB: Observemos que AB = AM + MB = 12, como MI = MB, entonces AM + MI = 12: Análogamente podemos mostrar que AN + NI = 18: Finalmente el perímetro de AMN es igual a AM + MI + AN + NI = = 30 Respuesta correcta:(b) 5. Se tiene un hexágono regular y un triángulo equilátero de perímetros iguales, el área del hexágono es 60 Cuál es el área del triángulo? (a)30 (b)40 (c)50 (d)60 (e)ninguna de las anteriores Podemos dividir el hexágono en 6 triángulos equiláteros de área 10 cada uno, luego con 4 de ellos podemos formar un triángulo equilátero con el mismo perímetro que tiene el hexágono.este triángulo tiene un área de 4 10 = 40 2

3 Respuesta correcta:(b) 6. La suma de dos números es 1 y la suma de sus cuadrados es 2. Cuál es la suma de sus cubos? (a)1 (b)1:5 (c)2:5 (d)3 (e)4 Sean x y y los números, tenemos que: x + y = 1 x 2 + y 2 = 2 Elevando al cuadrado la primera ecuación tenemos que: x 2 + 2xy + y 2 = 1 Como x 2 + y 2 = 2; entonces: 2xy = 1 3xy = 1:5 Por otra parte elevando al cubo la primera ecuación tenemos que: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = 1 x 3 + 3xy(x + y) + y 3 = 1 Como x + y = 1; entonces: x 3 + 3xy + y 3 = 1 Como 3xy = x 3 1:5 + y 3 = 1 x 3 + y 3 = 2:5 1:5; entonces: Por lo tanto la suma de sus cubos es 2:5: Respuesta correcta:(c) 7. En la siguiente gura O es el centro de la circunferencia, se tiene que OD y AP son perpendiculares al diámetro BC. Si ]DCP = 15 Cuánto mide \ABC? (a)30 (b)60 (c)15 (d) 20 (e) 45 3

4 Sea K la intersección de OD con la circunferencia. El arco DP mide 30 ya que \DCP = 15 : Observemos que KD y AP son paralelas, por lo que los arcos KA y DP son iguales, así que el arco KA mide 30 : Es fácil ver que el arco KC mide 90, como el arco KA es de 30 entonces el arco AC es de 60, se sigue que \ABC = 30 : Respuesta correcta:(a) 8. Se ha encuestado a un grupo de 132 alumnos preguntando qué les gusta jugar: básquet o fútbol. A 16 alumnos les gustan ambos juegos; el número de alumnos a los que les gusta jugar fútbol es el doble del número de alumnos a los que les justa jugar básquet y el número de alumnos a quienes no les gusta jugar ninguno de los dos juegos es la mitad de quienes sólo gustan de jugar fútbol. A cuántos alumnos les gusta jugar fútbol? (a)46 (b)39 (c)23 (d)62 (e) 78 Sea x e y la cantidad de alumnos que les gusta jugar únicamente fútbol y básquet respectivamente. Los alumnos que juegan básquet son x + 16 Los alumnos que juegan fútbol son 2x + 32 = y + 16; de esta ecuación y = 2x

5 Luego los alumnos que no les gusta ninguno de los dos juegos son x + 8: El total de alumnos está dado entonces por (x+8) +(x+16) +(2x+32) 16 = 132; de donde x = 23: Finalmente los alumnos que les gusta jugar futbol son 2(23) + 32 = 78: Respuesta correcta:(e) 9. Cuál es el diámetro del siguiente círculo, si se sabe que AC = 24cm y BC = BA = 20cm? (a)15 (b)20 (c)25 (d)27 (e) 32 Sea D el punto diametralmente opuesto a B, E la intersección de CA con BD y sean x; y e z las longitudes de los segmentos BE; DE y DC, respectivamente. Por el teorema de Pitágoras en el triángulo BCE tenemos que x = p = 16cm 2. Como BD es diámetro, el triángulo BCD es un triángulo rectángulo y por simetría el triángulo ECD también lo es. De aquí obtenemos las ecuaciones, z 2 = (y + 16) 2 y y = z 2 : Desarrollando y restando estas ecuaciones llegamos a 400 = y de donde y = 9cm y z = 15cm: Por lo tanto, el diámetro mide x + y = = 25cm: Respuesta correcta: (c) 5

6 10. Considera los números entre el 1 y el 10; 000 y quita los múltiplos de 5 y 7, de la lista resultante qué número ocupa la posición 2014? (a)2938 (b)2940 (c)3210 (d)3220 (e) 3713 Primero contemos los múltiplos de 7 y 5 que hay en el intervalo del 1 al 70, son = 22 (incluso se pueden contar uno por uno). Luego tenemos que en la posición = 48 se encuentra el número 70, en la posición 48 2 = 96 se encuentra el número 70 2 = 140, siguiendo ese razonamiento en la posición = 2016 se encuentra el número 2940, regresando dos números, en la posición 2014 tenemos el número 2938: 11. Un número telefónico de 7 digitos d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 se llama memorable si la sucesión d 1 d 2 d 3 coincide exactamente con d 4 d 5 d 6 o con d 5 d 6 d 7 (o con ambas). Suponiendo que cada d i puede se cualquiera de los digitos 0; 1; :::; 9; determina la cantidad de números telefónicos memorables. Dividamos en casos: Cuando d 1 = d 4 ; d 2 = d 5; d 3 = d 6 Tenemos 10 opciones para cada d i excepto para i = 4; 5; 6 ya que d 4 d 5 d 6 están de nidos al elegir d 1 d 2 d 3, por principio fundamental del conteo tenemos que hay 10 4 números memorables en este caso. Cuando d 1 = d 5 ; d 2 = d 6; d 3 = d 7 Análogamente tenemos 10 opciones para cada d i excepto para i = 5; 6; 7 ya que d 5 d 6 d 7 están de nidos al elegir d 1 d 2 d 3, por principio fundamental del conteo tenemos que hay 10 4 números memorables en este caso. Hasta ahora llevamos números memorables, pero en este número estamos contando dos veces a los números memorables con todos sus dígitos iguales, como son 10, tenemos que el total de números memorables en estos dos casos es : Si d 1 d 2 d 3 coincide con ambos tenemos que d 1 = d y d 1 = d 5, es decir d 1 = d 4 = d 5, pero además tendremos d 2 = d 5 y d 2 = d 6; luego d 1 = d 2 = d 4 = d 5 = d 6, con el mismo razonamiento llegamos a que d 1 = d 2 = d 3 = d 4 = d 5 = d 6 = d 7 = d 7, es decir es un número memorable con todos sus digitos iguales, estos números ya los contamos. Por lo tanto el total de números memorables es : 12. En la gura los puntos A; P; Q y R están sobre la circunferencia con centro en C; ABCD es un cuadrado la recta P R pasa por B y D; la recta QR pasa por C. Cuánto mide el ángulo \P QR?: 6

7 Observemos que los triángulos ADR y DRC son congruentes por criterio LAL ya que AD = DC, \ADR = \RDC = 135 y DR es un lado común de ambos triángulos. De la congruencia se sigue que AR = RC. Por otra parte tenemos que RC = AC, porque son radios de la circunferencia. Luego AR = RC = AC, es decir el triángulo ARC es equilátero y todos sus ángulos son de 60, particularmente\acr = 60. Como ABCD es un cuadrado, sus diagonales AC y BD son perpendiculares. Como RQ es un diametro, \RP Q = 90, es decir P Q y la recta BD son perpendiculares. Entonces como AC y P Q son perpendiculares a BD, AC y P Q son paralelos. Luego \ACR = \P QR = 60 por ser correspondientes. 13. En una lista están escritos los números del 1 al 16. Es posible tachar 4 de ellos de manera que al multiplicar cualesquiera 2 de los 12 restantes que queden el resultado no sea el cuadrado de un número entero? Como los números 1; 4; 9 y16 son cuadrados de un número entero, al multiplicar dos de ellos se obtiene otro cuadrado, así que hay que tachar de la lista al menos a 3 de ellos. Como 28 = 16 es un cuadrado hay que tachar 7

8 también al 2 o al 8. De la misma manera, como 312 = 36 hay que tachar al 3 o al 12. Por lo anterior, para no tener cuadrados como producto de dos números habría que tachar al menos 5 números de la lista. Por lo tanto no es posible. 14. Dada una lista de 0 s y 1 s le podemos aplicar la operación siguiente: se escogen dos números a y b de la lista, se borran y se agrega a la lista el número 0 si a = b, y 1 si a 6= b: Se repite esta operación hasta quedarse con un sólo número. Determinar cómo debe ser la lista para terminar con un 1. Sea k la cantidad de 1 s inicialmente. Si tomamos dos ceros; escribiremos otro cero en la lista y la cantidad de 1 s seguirá siendo k. Si tomamos dos 1 s; escribiremos otro cero en la lista y la cantidad de 1 s será k 2. Si tomamos un cero y un uno; escribiremos un 1 pero tambien borraremos un 1 y la cantidad de 1s se mantendrá igual a k: Entonces no importa las operaciones que se hagan la paridad de k se conserva, entonces para terminar con un 1 (cantidad impar), la cantidad inicial k de 1s debe ser impar. 15. Si CA = 2; CB = 3; ]CAD = 90 ; ]DBC = 90 y ]ADB = 60 Cuánto mide DC? Primero prolongamos los segmentos AD y BC hasta su interseccion en P como en la siguiente gura. 8

9 Tenemos que ]CAD + ]ADB + ]DBC + BCA = 360 por ser ángulos internos de un cuadrilátero, sustituyendo, tenemos que ]BCA = 360 así que ]BCA = 120. También tenemos ]BCA + ]ACP = 180 entonces ]ACP = 60 y como AC? DP tenemos que ]CP A = 30, por lo que el M ACP es un triángulo con ángulos de 90, 60 y 30, el cual tiene como propiedad que el cateto opuesto al ángulo de 30 mide la mitad que la hipotenusa, entonces como AC = 2 obtenemos que CP = 4 y que BP = 7. Aplicando el Teorema de Pitágoras en el M ACP obtenemos que CP 2 AC 2 = AP 2, sustituyendo; AP = p 16 4 = p 12 = 2 p 3, M ACP M DBP; ya que ambos son triángulos rectángulos y ademas comparten el ]AP C entonces: BP AP = DB AC ) DB = p 3 = p 7 3 Ahora tenemos lo 2 catetos del M DBC así que sólo falta aplicar Pitágoras una vez más para obtener DC : r r r DC = = 3 = 2 3 9

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