Confiabilidad en Ingeniería

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1 Confiabilidad en Ingeniería Carlos J. Zapaa Universidad Tecnológica de Pereira

2 Confiabilidad en Ingeniería Primera Edición 0 Carlos J. Zapaa Profesor Asociado Universidad Tecnológica de Pereira Pereira, Colombia

3 Confiabilidad en Ingeniería Primera edición: Año 0 ISBN: Auor: Carlos J. Zapaa, Profesor Asociado, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia 0 Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia Impresión: Publiprin Lda Cenro Comercial La Popa, Local 4 Dosquebradas, Colombia Primera impresión Impreso en Colombia, Prined in Colombia Prohibida la reproducción parcial o oal de esa obra, por cualquier méodo sin la auorización escria del edior.

4 Carlos Julio Zapaa Grisales es ingeniero elecricisa de la Universidad Tecnológica de Pereira (99), magíser en ingeniería elécrica de la Universidad de Los Andes (996) y docor en ingeniería de la Universidad de Los Andes (00). De enero de 99 a enero de 00 laboró para Consuloría Colombiana S. A Concol S. A. Desde diciembre de 00 labora como docene e invesigador en la Universidad Tecnológica de Pereira. Para comenarios o pregunas al auor, enviar un al correo

5 Tabla de Conenido Página Concepos generales Tipos de componenes y sisemas 3 Componenes no reparables 5 4 Componenes reparables 4 5 Sisemas no reparables 6 6 Sisemas reparables 70 7 Sisemas esfuerzo resisencia 80 8 Arboles de falla y de evenos 90

6 Presenación Confiabilidad en Ingeniería corresponde a las noas de clase de los cursos de posgrado que el auor ha dicado en la Universidad Tecnológica de Pereira (Pereira, Colombia) y en la Universidad de los Andes (Bogoá, Colombia). El principal objeivo de ese documeno es presenar los concepos de confiabilidad de componenes y sisemas no reparables y reparables denro del ámbio de la ingeniería. En el desarrollo de ese ema se enfaiza en los siguienes aspecos: La diferencia enre el modelamieno de componenes y sisemas reparables y no reparables, la información requerida para el modelamieno y los méodos para consruir modelos de confiabilidad de componenes reparables y no reparables. El enfoque de ese exo es hacia las aplicaciones prácicas, ya que exisen muchos libros donde la confiabilidad se aborda solamene desde el puno de visa eórico sin enseñar cómo es que se hace la aplicación de esos concepos a siuaciones reales. Así, el auor ha querido incorporar en esas noas la experiencia adquirida en los esudios de confiabilidad en que ha uvo la oporunidad de paricipar. En ese documeno se asume el conocimieno por pare del lecor de los concepos básicos de probabilidad, esadísica, procesos esocásicos y simulación de Monecarlo. Carlos J. Zapaa Carago, Febrero de 0

7 Capíulo Concepos Generales CAPÍTULO CONCEPTOS GENERALES. NECESIDAD DE LA CONFIABILIDAD Figura. Algunos producos y servicios uilizados por las personas en la vida diaria En la vida diaria de las sociedades modernas se uilizan muchos producos y servicios: Ejemplos Producos Bombilla elécrica Televisor Generador elécrico Biciclea Compuador (hardware) Sofware Diodo Jeringa plásica Lene de conaco Servicios Elecricidad Gas domiciliario Televisión Telefonía Agua poable Alumbrado público Radiodifusión Correo Transpore público Los producos pueden ser simples o complejos, dependiendo de la canidad de subcomponenes o pares que los conformen. En realidad, un componene puede ser un sisema de muchos subcomponenes. Los subcomponenes pueden ser clasificados funcionalmene por subsisemas. Sin embargo, sin imporar la canidad de subcomponenes, usualmene el produco se considera exeriormene un solo componene. Ejemplo Una unidad de generación elécrica esá conformada por el sisema de suminisro de combusible, el sisema mecánico que ransforma la energía primaria en energía roacional, el generador sincrónico, los conroles de velocidad y volaje, los servicios auxiliares, ec. Exernamene, odo eso puede ser considerado un solo componene. Los servicios son suminisrados por sisemas conformados por muchos componenes más las personas encargadas de su operación. Dado el gran amaño y complejidad de algunos sisemas, ésos suelen subdividirse por zonas funcionales o subsisemas. Ejemplo El servicio de elecricidad es proviso por el sisema elécrico de poencia, el cual suele subdividirse para su esudio y operación en sisema de generación, sisema de ransmisión y sisema de disribución.

8 Capíulo Concepos Generales A su vez, un sisema puede ser considerado desde un sisema mayor o más imporane como un componene. Por lo ano, en ese exo las palabras componene y sisema son inercambiables. Se denomina falla a la siuación en que [5], [6]: El componene o sisema deja cumplir parcialmene o oalmene su función Exise una diferencia inacepable enre el desempeño esperado y el observado Las fallas pueden ocurrir debido a [6]: Defecos écnicos o físicos Errores operaivos o procedimenales. Incluye el diseño, maeriales, manufacura, consrucción, ensamblaje y manenimieno Adminisración y conrol de calidad, lo cuales esán relacionados con facores humanos. La fallas de los componenes o sisemas pueden causar efecos que van desde molesias e inconvenienes para algunos de los usuarios hasa un severo impaco en la sociedad. Las fallas ambién pueden llevar a siuaciones poencialmene peligrosas o de riesgo para los usuarios o el medio ambiene, diferenes a las acepadas o permiidas. Por lo ano, se requiere que odo componene o sisema ofrezca calidad, seguridad y confiabilidad: Calidad Seguridad Confiabilidad Se refiere a su desempeño respeco a unas normas écnicas. Ejemplo: Calidad del agua, calidad de la imagen de elevisión, calidad de la recepción de la una señal de audio, calidad del maerial. Que su uso no implique poenciales peligros o riesgos para los usuarios o el medio ambiene diferenes a los acepados o permiidos. Que cumpla su función durane el iempo requerido bajo unas condiciones operaivas especificadas Debe aclararse que las definiciones presenadas corresponden al conexo de la ingeniería pudiéndose enconrar oras definiciones pariculares para oras áreas de aplicación y aún para sub áreas de la ingeniería. Ejemplos Confiabilidad en el área de las noicias: Se refiere al grado de veracidad de las mismas lo cual depende de facores como las fuenes de la información y su grado de dealle. Seguridad en las ransacciones bancarias: Se refiere al grado de proección exisene para eviar el acceso de personas no auorizadas. Seguridad en sisemas elécricos de poencia: Se refiere a la habilidad para operar esablemene ane disurbios como corocircuios, pérdida de componenes, ec. En la definición de confiabilidad aparece el aspeco emporal durane el cual se requiere que el componene cumpla su función. Las condiciones operaivas especificadas incluyen el rango de uilización (capacidad nominal, condiciones ambienales, ec.) y los requerimienos de calidad y seguridad.

9 Capíulo Concepos Generales Exise una esrecha relación enre los aspecos de confiabilidad, calidad y seguridad: las mejoras en las dos úlimas conllevan a la mejora de la confiabilidad. El garanizar un nivel dado de calidad, seguridad y confiabilidad abarca odas las eapas de un componene o sisema: Planeamieno, diseño, fabricación, insalación y operación. No es económicamene posible diseñar, fabricar y operar un componene o sisema que ofrezca una confiabilidad del 00% (cero fallas) bajo odas las condiciones pues los evenos inernos y exernos que afecan a los componenes y producen las fallas son aleaorios; es decir, no puede conocerse en forma exaca el iempo de su ocurrencia. Por lo ano, la llegada de fallas a un componene o sisema es un fenómeno aleaorio o con inceridumbre.. DEFINICIONES.. Confiabilidad Es la probabilidad de que un componene o sisema pueda cumplir su función en las condiciones operaivas especificadas durane un inervalo de iempo dado Esa es la definición general de confiabilidad. Aplica a los componenes o sisemas orienados a una misión y se designa por la lera R (Reliabiliy). Esa definición no iene senido para los componenes o sisemas reparables pueso que ésos oleran las fallas; para esos sisemas se uiliza la disponibilidad... Disponibilidad Es la probabilidad de que un componene o sisema pueda cumplir su función en las condiciones operaivas especificadas en un insane de iempo dado Se designa por la lera A (Availabiliy). El complemeno de la disponibilidad se denomina indisponibilidad y se designa por la lera U (Unavailabiliy)...3 Seguridad Es la probabilidad de eviar un eveno peligroso Se designa por la lera S (Securiy) e incluye: La probabilidad de que ocurra el eveno peligroso La gravedad del eveno, es decir, su grado de peligro poencial El nivel de riesgo es función de esos dos íems, al como se muesra en la Figura. 3

10 Capíulo Concepos Generales ($) Gravedad Riesgo inacepable Riesgo acepable Probabilidad del eveno Figura. Función de riesgo en un análisis de seguridad La gravedad de los evenos no proviene de la nauraleza de su origen sino de sus consecuencias para los usuarios, el medio ambiene y para el mismo componene o sisema. En un análisis de riesgos se hace invenario de odas las siuaciones poencialmene peligrosas debido a la presencia y uilización del componene o sisema y se esablece su gravedad como coso económico o en oro ipo de escala cualiaiva o cuaniaiva...4 Manenibilidad Es la probabilidad de que una operación dada de manenimieno pueda ser realizada en un inervalo de iempo dado Se designa por la lera M (Mainainabiliy). El manenimieno puede ser correcivo (Salidas no planeadas) o prevenivo (Salida planeada)..3 OTRAS MEDIDAS PARA LA CONFIABILIDAD La probabilidad es la medida clásica para valorar la confiabilidad. Sin embargo, exisen muchas oras medidas uilizadas exensamene, por lo cual, confiabilidad es un érmino genérico que describe odas esas medidas sin que necesariamene esén relacionadas con la probabilidad. Gran pare de esas medidas corresponden a promedios esadísicos o valores esperados que se denominan índices de confiabilidad. Algunos ejemplos se presenan a coninuación. Índice de confiabilidad Definición Ejemplo Vida media Tiempo esperado para que ocurra una falla en un componene no reparable 0000 horas Frecuencia de fallas por año Número de fallas esperadas por año 0. fallas/año Indisponibilidad Número esperado de horas de indisponibilidad por año 0 horas/año Pérdida de carga Valor esperado de carga no aendida por año 80. kw Tiempo medio de reparación Tiempo medio esperado para cada reparación 4 horas/reparación LOLE Número esperado de horas por año en que no se podrá aender la demanda 0. horas/año 4

11 Capíulo Concepos Generales Endurance Número de operaciones que puede realizar un conacor, inerrupor o seccionador anes de enrar en su periodo de obsolescencia 6000 operaciones De ora pare, no exise una medida única que pueda aplicarse a odos los ipos de componenes o sisemas..4 CÓMO MEJORAR LA CONFIABILIDAD Exisen dos formas básicas mediane las cuales puede mejorarse la confiabilidad de un componene o sisema: Calidad Se refiere a la calidad de los maeriales uilizados y a su fabricación, pruebas, calibración, ranspore y puesa en servicio. Redundancia Se colocan elemenos de respaldo. Si un componene falla o sale, su función es asumida por componene de respaldo. Exisen dos ipos de redundancia: Aciva: El componene redundane siempre esá conecado en paralelo con el componene al cual da respaldo. Sand by: El componene redundane se coneca en el momeno en que el componene al cual da respaldo falla o sale. Oros méodos son: el manenimieno prevenivo, la diversidad de componenes, el sock de repuesos. La mejora de la confiabilidad conlleva a inversiones adicionales y cambios en el diseño que pueden afecar las presaciones del componene o sisema..5 COSTO DE LA CONFIABILIDAD ($) Coso Coso de inversión Coso de las fallas o R* Confiabilidad Valor acepado Ópimo maemáico Figura.3 Función de cosos de la confiabilidad 5

12 Capíulo Concepos Generales Conforme se aumena el nivel de confiabilidad, se aumena el nivel de inversión requerido y viceversa. El coso de la confiabilidad debe compararse con los beneficios globales ano para el usuario como para la sociedad. El nivel acepable de confiabilidad depende de lo que los usuarios y la sociedad en su conjuno esén dispuesos a pagar por esa. Ese nivel acepable de confiabilidad puede ser diferene del ópimo maemáico. Para jusificar las inversiones en mejora de la confiabilidad se deben definir los cosos asociados a las fallas o inerrupciones del servicio (salidas) para los usuarios, las empresas disribuidoras y la sociedad. El coso de inerrupción se define como el valor de las pérdidas económicas debidas a la falla o salida. Para el caso del servicio de elecricidad los cosos de inerrupción del servicio pueden ser: Empresa disribuidora Disminución de uilidades por energía no vendida Pago de personal cesane Pago de mulas y sanciones Pago de compensación a los usuarios Imagen corporaiva Dependen de: Usuarios Criicidad de la carga Duración de la inerrupción Tiempo desde la úlima inerrupción Hora del día y época del año Oporuno aviso de la inerrupción Experiencia en el manejo de ese ipo de siuación Mienras a nivel de empresas del secor elécrico y usuarios indusriales exisen esudios de los cosos asociados a las inerrupciones, poco es lo que ha hecho con respeco a los oros ipos de usuarios. Esudios realizados en los países desarrollados muesran que el coso de las inerrupciones en el servicio de elecricidad depende en gran manera del ipo de usuario y de la duración de la inerrupción. ($) Coso de la inerrupción Usuario Usuario [minuos] Duración de la inerrupción Figura.5 Ejemplos de funciones de coso de las inerrupciones versus el iempo 6

13 Capíulo Concepos Generales En la Figura.5 se muesra un ejemplo de la variación del coso de las inerrupciones versus el iempo de la inerrupción para dos ipos diferenes de usuario. Esa función se conoce como función de daño del usuario ( cusomer damage funcion ). Basados en el coso de las inerrupciones, la empresa disribuidora y los usuarios deben definir cuál es el nivel de confiabilidad que esán dispuesos a ofrecer y a pagar, respecivamene..6 ENTIDADES QUE REGULAN LA CONFIABILIDAD A nivel de componenes, la confiabilidad esá regulada por las normas écnicas que cubren su diseño, fabricación y operación (Enorno de aplicación, rangos de uso). Ejemplo de esas enidades son: Enidad Alcance IEC Inernacional Elecroechnical Commision Equipo elécrico NFPA Naional Fire Proecion Associaion Insalaciones elécricas, equipo conra incendio IEEE Insiue of Elecrical and Elecronics Engineers UL Underwrier Laboraories Equipo elécrico ASME American Associaion of Mechanical Equipos mecánicos Engineers ICONTEC Insiuo Colombiano de Normas Técnicas Maeriales, equipos elécricos, poses de concreo, ec A nivel de sisemas, la confiabilidad esá regulada por las normas écnicas, leyes y resoluciones de enidades encargadas de regular y vigilar la calidad del servicio desde los punos de visa écnico y comercial. Ejemplo de esas enidades son: Comision de Regulación de Energía y Gas Comisión Nacional de Televisión Comisión Nacional de Telecomunicaciones Superinendencia de Servicios Públicos Naional Elecric Reliabiliy Council Servicios de elecricidad y gas Servicio de elevisión Servicios de radiodifusión y elefonía Todos los servicios públicos domiciliarios Servicio de elecricidad en Noreamérica.7 TIPOS DE ANÁLISIS Ó ESTUDIOS EN CONFIABILIDAD.7. Cualiaivo ó cuaniaivo Cualiaivo Es una valoración subjeiva. No se esablecen índices numéricos. Ejemplos: No fallará Es muy confiable Ese equipo es mejor que aquél No sirve para comparar alernaivas o hacer análisis económico. Se conoce como juicio de ingeniería Cuaniaivo Es una valoración objeiva. Se esablecen índices numéricos, que pueden ser deerminísicos o probabilísicos. Ejemplos: Probabilidad de falla del 50% Confiabilidad del Margen del 0% Sin embargo, la probabilidad puede ser esablecida mediane un juicio de ingeniería por lo cual ambién sería subjeivo. 7

14 Capíulo Concepos Generales.7. Deerminísico o probabilísico Deerminísico Las variables se consideran fijas o con funciones que deerminan su valor para cualquier insane del iempo. Ejemplo: Poencia disponible en un generador P = 00 [MW] P = 5*sin (377**38 ) [MW] Demanda = (Poencia aciva). Generalmene, se selecciona el peor escenario lo cual conlleva a sobrediseño. Se conocen odos los facores de las ecuaciones que modelan los componenes o el sisema. No exise inceridumbre con respeco a las ecuaciones a uilizar ni con respeco al valor de sus parámeros. Probabilísico Las variables se consideran aleaorias, es decir no ienen un valor fijo ni exise una función que permia deerminar su valor en un insane de iempo dado. La ocurrencia de deerminados valores de la variable se expresa en érminos de probabilidad. Ejemplo: Poencia disponible en un generador ( x 00) *0 x PMW [ x] = e dx * π *0 En ese ipo de análisis se puede deerminar el riesgo del análisis, que en ese caso es la probabilidad de que lo que se asume ocurra o no. Exise inceridumbre con respeco al modelamieno del fenómeno físico bajo esudio. El ipo de modelamieno a uilizar depende de la información de que se disponga para esudiar el fenómeno o proceso de inerés. En los problemas reales de ingeniería se encuenra que lo más común es que no exise la suficiene información o la ceridumbre como para esablecer los modelos deerminísicos. Sin embargo, esa es la forma clásica de modelamieno que es enseñado en las universidades [], [3], [8]. Con inceridumbre Sin inceridumb Deerminísica Aleaoria, ambigua, vaga, imprecisa Figura.4 Conjuno de información para esudiar un fenómeno o proceso Cuando se analiza la información disponible para esudiar los fenómenos físicos o procesos, se encuenra que solo una pequeña fracción de ésa es deerminísica o sin inceridumbre, al como se muesra en la Figura.4 [6]. La inceridumbre en la información aparece por [6]: 8

15 Capíulo Concepos Generales La fala de conocimieno respeco al fenómeno o proceso bajo esudio La incapacidad para medir u observar en forma precisa el fenómeno o proceso bajo esudio 3 La ambigüedad o vaguedad en la información 4 La complejidad del proceso o fenómeno bajo esudio 5 La aleoriedad naural del fenómeno Con el análisis probabilísico se modelan aquellos fenómenos físicos en los cuales exise o se asume que hay inceridumbre debido a la aleoriedad en la información. Oros méodos de esudio se uilizan para esudiar fenómenos con inceridumbre, por ejemplo, la lógica difusa. Por lo cual, el análisis probabilísico es sola una forma de modelamieno. Finalmene, debe mencionarse lo manifesado por Alber Einsein: Las grandes leyes de la nauraleza son deerminísicas [7], lo cual quiere decir que es nuesra fala de conocimieno o nuesra incapacidad para medir u observar en forma precisa los fenómenos físicos lo que hace que aparezca la inceridumbre y engamos que uilizar modelamieno como el probabilísico. El iempo para que se forme o gese un ser humano. Ejemplo Ese fenómeno físico o proceso es deerminísico pues ha funcionado y funciona de la misma forma desde que se iene conocimieno. Sin embargo, no exise un modelo maemáico que permia deerminar en forma exaca el momeno en que ha de nacer el bebé. Lo único que se conoce empíricamene respeco a ese iempo es que iene un valor promedio de 9 meses, por lo cual, las observaciones pueden ser mayores o menores a ese dao. Enonces, ese fenómeno físico iene inceridumbre y se puede modelar mediane una disribución de probabilidad para el iempo de nacimieno del bebé. Esa disribución, se consruye a parir de los regisros de daos de iempo para varios nacimienos..7.3 Analíico o de simulación Analíico Se represena el componene o sisema bajo esudio por medio de un modelo maemáico (ecuación o conjuno de ecuaciones) y se evalúan los índices de confiabilidad por medio de soluciones maemáicas direcas. Ejemplos: P [ ] = e falla 0.5* Diagramas de bloques Proceso de Markov Simulación Se simula el comporamieno aleaorio del componene o sisema y se evalúan los índices de confiabilidad en forma indireca por medio de écnicas numéricas. Ejemplo: Simulación de Monecarlo. Ese méodo requiere conocer los modelos maemáicos de los componenes o de algunas variables del proceso aleaorio bajo esudio. Lo que se obiene arificialmene es la solución de una o varias variables que son función de las variables conocidas y de los cambios en el proceso del sisema. 9

16 Capíulo Concepos Generales.7.4 Hisórico o predicivo Hisórico Se esudia el componene o sisema basado en los daos de su comporamieno operaivo pasado. Con esos daos se esablecen índices hisóricos o medidas de desempeño que generalmene son esadísicas. Ejemplo: Frecuencia de fallas promedia: 8 por año por circuio primario Tiempo promedio por inerrupción: 4 horas Predicivo Mediane un esudio se predicen u obienen los índices del componene o sisema para un insane de iempo o periodo de iempo fuuro. Se deerminan los valores esperados de los índices de confiabilidad o las funciones de probabilidad. Ejemplo: Frecuencia de fallas esperada: 9 por año por circuio primario Tiempo esperado por inerrupción: 3 horas LOLE: 0.3 días por año La predicción es la función del planeamieno de sisemas de poencia. Los regisros hisóricos se uilizan para consruir los modelos probabilísicos con los cuales se hace la predicción de valores fuuros de las variables aleaorias bajo esudio. 0

17 Capíulo Concepos Generales.8 BIBLIOGRAFÍA [] Billinon R, Allan R, Reliabiliy evaluaion of engineering sysems Conceps and Techniques, segunda edición, Plenum Press, 99. [] Torres A, Probabilidad, variables aleaorias, confiabilidad y procesos esocásicos en ingeniería elécrica, Universidad de los Andes, 996. [3] Anders G, Probabiliy conceps in elecric power sysems, Wiley and Sons, 990. [4] Cabau E, Inroducción a la concepción de la garanía de funcionamieno, Cuaderno Técnico No. 44, Schneider Elecric, 000. Disponible en [5] Soskov B, Fundamenos de la eoría y del cálculo de fiabilidad de elemenos y disposiivos de auomaización y écnica de cálculo, Ediorial Mir, 97. [6] Tan Y, Damage of a disribuion ransformer due o hrough faul currens: An elecrical forensics viewpoin, IEEE Trans. Indusry Applicaions, Vol. 38, No., Enero/Febrero, 00. [7] Whirow G. J, Einsein The man and his achievemen, Dover publicaions, 973. [8] Ross T. J, Fuzzy logic wih engineering applicaions, Mc Graw Hill, 995. [9] Billinon R, Allan R, Reliabiliy evaluaion of power sysems, Plenum Press, 996. [0] CIGRE, Power sysem reliabiliy analysis Applicaion guide, 987. [] IEEE, Power sysem reliabiliy evaluaion, uorial course 8 EHO 95 8 PWR, IEEE, 98. [] Ascher H, Feingold H, Repairable sysems reliabiliy: Modeling, inference, misconcepions and heir causes, Marcel Dekker, 984.

18 Capíulo Tipos de componenes y sisemas CAPÍTULO TIPOS DE COMPONENTES Y SISTEMAS. QUÉ ES UN COMPONENTE Y QUÉ ES UN SISTEMA Modelamieno como componene Bombilla Modelamieno como sisema Bombilla Conecor Filameno Crisal Figura. Ejemplo de modelamieno de un íem como componene o sisema La confiabilidad de un íem dado depende de la confiabilidad de los componenes que lo conforman y de su configuración operaiva, es decir, de sus modos de falla. Si para un íem dado ineresa esudiar el efeco sobre su confiabilidad de la confiabilidad individual de cada uno de sus componenes y de su configuración operaiva, el íem debe ser raado como un sisema. Sí por el conrario, solo se desea esudiar la confiabilidad del íem como un odo sin deallar en lo que sucede inernamene, ése puede ser raado como un componene. En la Figura. se presena un ejemplo de un íem que es raado como componene y como sisema. Ascher y Feingold en la Referencia [], presenan las siguienes definiciones: Pare Socke Sisema Un íem que no es sujeo a desensamblaje y se descara la primera vez que falla. Una posición en un circuio o equipo que en un momeno dado pora una pare de un ipo dado. Una colección de dos o más sockes con sus pares asociadas los cuales esán inerconecados para realizar una o más funciones. Un sisema puede ser considerado como una pare de un sisema mayor. En ese documeno se adopan las siguienes definiciones: Se denomina componene a una pare, subsisema o sisema que será modelado como un íem que hace pare de un sisema o que se esudiará aislado en forma global. Se denomina sisema a una conjuno de componenes o subsisemas Así, las definiciones de componene y sisema son inercambiables, su uso depende del ipo de esudio a realizar.

19 Capíulo Tipos de componenes y sisemas. CLASIFICACIÓN DE COMPONENTES Y SISTEMAS POR TIPO DE FUNCIONAMIENTO.. Orienados a una misión Deben operar sin falla durane un iempo esipulado que se denomina iempo de misión. Se acepan fallas de algunos de los subcomponenes siempre y cuando el componene o sisema coninúe cumpliendo su función. En ese ipo de componenes y sisemas, exisen dos formas operaivas: El componene o sisema empieza a operar una vez se chequea y se encuenra operable. Esado Operaivo Inacivo/fallado 0 misión falla Figura. Ciclo operaivo de un componene o sisema orienado a una misión Ejemplos Avión, cohee; en esos casos el iempo de misión es el iempo de vuelo El componene o sisema queda acivo ( idle ) una vez se chequea y se encuenra operable. Después de un iempo aleaorio empieza su misión. Esado Operaivo Acivo misión Figura.3 Ciclo operaivo de un componene o sisema cuya misión empieza después de un iempo aleaorio Fallado/inacivo 0 aleaorio falla Ejemplos Relés de proección, alarma; En el primer caso, el iempo de misión es el iempo para disparo o seing del relé. El iempo aleaorio en que se inicia la misión es el iempo en que ocurre la falla en el componene o sisema proegido (no en el relé) Para esos componenes o sisemas se esablece la función de vida con la cual se puede deerminar el iempo esperado para falla o vida media del componene. Como las fallas son evenos de nauraleza aleaoria, la función de vida es una función de probabilidad. Esos componenes o sisemas pueden someerse a procesos de reparación una vez fallan, o de manenimieno prevenivo una vez cumplen su misión. Generalmene, esos procesos no se incluyen en el 3

20 Capíulo Tipos de componenes y sisemas modelamieno que del componene o sisema se hace para la misión, por lo cual, se consideran no reparables. Sin embargo, no siempre iene que ser así, pues ambién se puede modelar oda la vida operaiva del componene o sisema (proceso de nacimieno y muere)... Coninuamene operados Operan en forma coninua. Se oleran los esados de indisponibilidad siempre y cuando esos no sean muy frecuenes o muy prolongados. Esado s si Disponible Indisponible 0 T oi rsi Figura.4 Ciclo operaivo de un componene o sisema coninuamene operado Ejemplos Sisema elécrico de poencia, Sisema de TV por cable, radiodifusión, sisema de agua poable, refrigerador. En esos componenes y sisemas se habla en general de las salidas que afecan su disponibilidad. Las salidas pueden ser: Tipo de salida Descripción Ejemplo Fallas propia de componene o sisema No planeadas No se conoce cuándo ocurrirán Vandalismo Incendios, inundaciones, erremoos, ec Planeadas Se conoce de anemano cuándo ocurrirán. Se pueden posponer Manenimieno prevenivo Ampliación/mejoramieno del sisema Soliciud de enidad exerna Las salidas definen la secuencia operaiva o secuencia de esados de disponibilidad e indisponibilidad mosrada en la Figura.4. No se consideran en la secuencia mosrada: salidas simuláneas, que el componene pueda ser reparado mienras opera (falla parcial), ni que el componene vuelva a fallar mienras es reparado. Cada salida (si) iene asociado un iempo para salida (oi) y un iempo para resauración (rsi), los cuales son independienes enre sí en cuano a su duración. Los o de las salidas no planeadas son aleaorios; para las salidas planeadas son deerminísicos, al menos para el coro plazo. Los iempos para resauración se denominan iempos para reparación si la salida es no planeada; para las salidas planeadas se denomina iempo para reconexión. 4

21 Capíulo Tipos de componenes y sisemas En general, los iempos para resauración son aleaorios sin imporar que la salida sea planeada o no planeada pues dependen del ipo de falla, la ubicación del componene que falló, la canidad de personal y equipo para las acividades de manenimieno, el enrenamieno del personal de manenimieno, ec. El cero en la secuencia operaiva es el momeno en el cual el componene inicia su operación nuevo. Sin embargo, usualmene solo se dispone de una muesra de daos regisrados durane un periodo de iempo T. El número de fallas en un periodo de iempo T es aleaorio. Esos componenes o sisemas pueden ener subcomponenes de ipo orienado a una misión los cuales, cuando fallan, se reparan mediane el reemplazo. En ese ipo de componene o sisema ineresa conocer para un periodo de iempo dado, generalmene de un año, cuál es la fracción de iempo en la cual se encuenra cumpliendo su función u operando. En el modelamieno del componene se incluyen los procesos de resauración de las salidas, por lo cual, se consideran reparables...3 Reparables y no reparables Sisema o componene no reparable Aquel que se descara la primera vez que deja de operar saisfacoriamene (falla). Ejemplos: Pasilla de frenos, empaque plásico, aislador elécrico Sisema o componene reparable Aquel que una vez falla en cumplir al menos una de sus funciones puede ser resaurado para que cumpla odas sus funciones mediane cualquier méodo (reparación, ajuse, ec.) excepo el reemplazo del componene o sisema compleo. Ejemplos: Plancha elécrica, sisema elécrico de poencia Un sisema no reparable puede ser considerado como una pare de un sisema mayor no reparable o reparable; a su vez, el sisema no reparable ambién puede ener rayecorias reparables. Un sisema reparable puede ener pares o subsisemas reparables y no reparables. Como se observa, esas definiciones no permien una clasificación única; un mismo íem puede ser raado como pare, como sisema reparable o como sisema no reparable; la aplicación de cada una de esas definiciones y del correspondiene ipo de modelamieno que cada una de ellas implica depende enonces del ipo de esudio de confiabilidad que se preende realizar, es decir, de su nivel de dealle y objeivos...4 Cuál ipo de modelamieno uilizar? Un componene o sisema se puede considerar como orienado a una misión, coninuamene operado, reparable o no reparable dependiendo del ipo de esudio a adelanar. 5

22 Capíulo Tipos de componenes y sisemas Tipo de componene o sisema Modelo Tipo de esudio En esudios donde ineresa la vida esperada del componene o sisema denro de una misión. Orienado a una misión Modelo no reparable Modelo reparable Por ejemplo, para deerminar la garanía que un fabricane puede ofrecer sobre el produco o para que el usuario deermine el iempo para reemplazo del componene. Esudios donde ineresa el número esperado de misiones que puede servir anes de descararlo. Coninuamene operado Modelo reparable Ineresa esudiar la disponibilidad del componene y su efeco sobre el sisema al que perenece. Ejemplo: Un ransformador de disribución El fabricane lo esudia con un modelo no reparable para deerminar su vida esperada y ofrecer la garanía del produco. El modelo represenará varios componenes iguales. El operador del sisema lo esudia con un modelo reparable para incluirlo en los esudios de fallas o de disponibilidad a nivel de sisema. Si las reparaciones se hacen con reemplazo, el modelo considera componenes que proceden de diversos fabricanes y ienen diferene edad..3 TIPOS DE ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD Pasado Presene Fuuro Evaluar el desempeño hisórico Cálculo de índices de confiabilidad Planear medidas correcivas Regisros operaivos Simular el comporamieno pasado Consruir modelos probabilísicos Predicción Simular el comporamieno fuuro Simular el comporamieno presene Figura.5 Tipos de análisis de confiabilidad de componenes Basados en los regisros operaivos de un componene o grupo de componenes idénicos se pueden realizar las siguienes acividades: 6

23 Capíulo Tipos de componenes y sisemas Calcular índices de confiabilidad que son esadísicas descripivas; por ejemplo, el iempo promedio para falla, las horas de indisponibilidad por año, ec. Consruir modelos probabilísicos que represenen al componene Con los índices de confiabilidad se pueden hacer los siguienes análisis: Evaluar el desempeño del componene con respeco a valores de referencia u objeivo Planear medidas correcivas para mejorar la confiabilidad del componene. Con los modelos probabilísicos se pueden hacer los siguienes análisis: Simular la operación pasada y presene del componene Predecir el comporamieno fuuro del componene En ese caso simular se refiere al hecho de que el modelo es una represenación de un fenómeno real, no a que el méodo de solución sea numérico..4 TIPOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS.4. Inerno o exerno Modelo inerno Se planea un modelo probabilísico en érminos de las variables que describen el fenómeno físico, físicoquímico, biofísico ec que produce la ransición del esado bueno al esado fallado. Es decir se esudia lo que pasa denro del componene. Modelo exerno Se planea un modelo probabilísico únicamene en érminos del iempo de ransición del esado bueno al esado fallado. Ese modelo es exerno pues no se ocupa de lo que sucede inernamene en el componene para que pase del esado bueno al esado fallado. Ese ipo de modelo es compleamene esadísico. En ese documeno solo se raa el ipo de modelamieno exerno; para ejemplos del modelamieno inerno consular la Referencia [5]. 7

24 Capíulo Tipos de componenes y sisemas.4. Dos esados o muliesado Bueno Fallado Bueno Fallado (a) No reparable dos esados (b) Reparable dos esados 3 (c) No reparable res esados Equipo nuevo Desgase acepable Obsoleo 3 (d) Reparable res esados Equipo bueno 0 MW Salida parcial 5 MW Salida oal 0 MW Figura.6 Ejemplos de diagramas de esados para componenes reparables y no reparables Modelo de dos esados En ese modelo solo exisen dos esados operaivos de inerés: el esado de operación saisfacoria y el esado de falla. Es el modelamieno más uilizado. Se uilizan disribuciones de probabilidad sencillas para el componene no reparable y procesos esocásicos para el componene reparable Modelo muliesado En ese modelo se definen varios esados operaivos de inerés. Cuando solo es posible la ransición enre esados adyacenes, ese modelo se denomina proceso de nacimieno y muere. Se uilizan procesos esocásicos. En la figura.6 se presenan varios ejemplos de esos ipos de modelos. 8

25 Capíulo Tipos de componenes y sisemas.5 REGISTROS OPERATIVOS REQUERIDOS Realidad Idealización Población de componenes idénicos Inferencia Componenes que fallan Muesra de n daos (Regisros operaivos) Esadísicas descripivas Esimación del modelo Modelo probabilísico Disribuciones de probabilidad Procesos de Markov Procesos esocásicos punuales Figura.7 Procedimieno para consruir modelos probabilísicos de componenes En la Figura.7 se presena el procedimieno de consrucción de modelos probabilísicos y cálculo de los índices de confiabilidad; los regisros operaivos requeridos son: Componene no reparable Una muesra de n iempos para falla f, f,, fn. Esa muesra corresponde a n componenes idénicos de una población dada que fallaron. Componene reparable Una muesra de n iempos para falla f, f,, fn con sus correspondienes iempos para reparación r, r,, rn. Esa muesra puede corresponder a un componene que falló n veces ó a n fallas observadas en un grupo de componenes idénicos. Sin embargo, es común el disponer únicamene de la siguiene muesra: Componene no reparable El repore de que n componenes idénicos de una población de amaño N fallaron durane un periodo de observación T. Componene reparable El repore de que un componene ó un grupo de componenes idénicos de una población de amaño N falló ó fallaron n veces durane un periodo de observación T y los correspondienes iempos para reparación r, r,, rn. Noa: Si los componenes bajo esudio son de ipo lineal como líneas de ransmisión, cables, uberías, ec, N se expresa en unidades longiudinales, por ejemplo, en [km]. Ese úlimo ipo de muesra sólo permie calcular esadísicas descripivas aproximadas que implican asumir la disribución exponencial, y por lo ano, que los componenes esán en su periodo de vida úil. 9

26 Capíulo Tipos de componenes y sisemas Es común el agrupar la información de varios componenes similares por las siguienes razones: Se aumena la muesra de daos. Eso es especialmene úil en componenes que ienen asas de falla muy bajas o donde los iempos de regisro disponibles son pequeños Se desea obener índices de confiabilidad ó modelos probabilísicos para un solo componene que represene al grupo, no para cada uno de los componenes. Esa siuación es común en sisemas con grandes canidades de componenes del mismo ipo; por ejemplo, los sisemas de disribución de energía elécrica Algo muy imporane a verificar cuando se hacen esas agrupaciones es la homogeneidad de la población y de los daos..6 TASA DE FALLAS DURANTE LA VIDA DE UN COMPONENTE O SISTEMA Tasa de fallas Obsolescencia Periodo infanil Vida úil Figura.8 Tasa de fallas de un componene o sisema Se denomina asa de fallas λ de un componene o sisema a la relación enre el número de fallas que experimena el componene por unidad de iempo en que se encuenra operando En confiabilidad es común asumir que la asa de fallas durane la vida operaiva de un componene reparable o no reparable sigue la curva en forma de ina (bah ub) presenada en la Figura.8. La Referencia [3] cia que, al parecer, el origen de esa curva se remona a 693. Esa curva iene res periodos: Infanil Vida úil Obsolescencia La asa de fallas decrece con el iempo. Las fallas ocurren debido a errores de diseño o fabricación. Una vez se revisa el diseño o se ajusa el componene empieza su vida úil. Oros nombres: early life, debugging ime, break in period, burn in period. La asa de fallas es consane y iene el valor más bajo. Las fallas ocurren en forma compleamene aleaoria. Enonces, el asumir que un componene iene asa de fallas consane implica asumir que esá en su vida úil y viceversa. La asa de fallas crece con el iempo. Oros nombres: wear ou period. 0

27 Capíulo Tipos de componenes y sisemas Si se asume que un componene iene una asa de fallas consane su función de vida será la disribución exponencial o el proceso de Poisson homogéneo y viceversa. Dependiendo de la asa de fallas enconrada en los regisros operaivos debe escogerse la disribución de probabilidad que modele los iempos para falla del componene. Algunos invesigadores cuesionan la validez de esa curva [], [3], sin embargo esa profusamene difundida en la lieraura écnica y es ampliamene uilizada..7 DIAGRAMAS DE RED Un sisema se puede represenar por medio de un diagrama de red, bloques o lógico en el cual, cada componene se represena como un bloque independiene de los oros componenes; la conexión enre componenes dependerá de la configuración operaiva del sisema. Ese ipo de modelamieno se puede aplicar si el sisema es una esrucura monoónica, aquella donde se cumple que: Cada componene solo iene dos esados: bueno y fallado, disponible e indisponible, ec. El sisema solo iene dos esados: bueno y fallado, disponible e indisponible, ec. 3 El sisema esá operando si odos los componenes esán operando. 4 El sisema esá fallado o indisponible si odos los componenes han fallado o esán indisponibles 5 La falla de un componene en un sisema ya fallado no puede resaurar el sisema a la operación 6 La reparación de un componene en un sisema operaivo no puede causar la falla del sisema. Un diagrama de red indica cuáles combinaciones de fallas de los componenes resularán en la falla del sisema. Si un componene falla o esá indisponible, se remueve del diagrama de red. Si se reiran suficienes bloques del diagrama de red de al forma que se inerrumpe la conexión enre los punos de enrada y salida, el sisema ha fallado o queda indisponible. Para modelar un sisema por medio de un diagrama de red se sigue el siguiene procedimieno: Dividir el sisema en componenes Conecar enre sí los componenes según la configuración operaiva del sisema Los modos de falla de las secciones o subsisemas del sisema que se represenen como bloques del diagrama de red ienen que ser independienes enre sí. Debido a la dependencia enre los modos de falla de los componenes y a lo complejo de las configuraciones operaivas, a veces, puede ser difícil esablecer el diagrama de red de un sisema. Se definen las conexiones básicas serie y paralelo desde el puno de visa de confiabilidad. Oras conexiones más complejas ambién son posibles. Los ipos básicos de conexión de los bloques de un diagrama de red son:

28 Capíulo Tipos de componenes y sisemas Conexión serie Conexión paralelo Dos componenes esán en serie desde el puno de visa de confiabilidad si ambos deben operar para que el sisema opere. Si uno de los componenes falla, el sisema falla. Esa conexión represena un sisema no redundane. Dos componenes esán en paralelo desde el puno de visa de confiabilidad si únicamene un componene debe operar para que el sisema opere. Todos los componenes deben fallar para que el sisema falle. Esa conexión represena un sisema redundane. Tener en cuena que: El diagrama de red y el sisema real no ienen necesariamene la misma opología. La opología física indica cómo esán conecados enre sí los componenes en el sisema real, mienras que la opología del diagrama de bloques represena la configuración operaiva del sisema, es decir, sus modos de falla. Un sisema físico con una esrucura opológica definida puede ener diferenes opologías de red en cuano a confiabilidad dependiendo de los requerimienos a los cuales es someido. EJEMPLO. Línea Línea Figura.9 diagrama de red para dos líneas de disribución insaladas sobre la misma esrucura Un sisema elécrico cuena con dos líneas de disribución de media ensión las cuales salen de una misma subesación y van a dos punos de producción diferenes. En la Figura.9 se muesra el diagrama elécrico y la configuración física. Aunque las líneas de disribución esán elécricamene en paralelo, en cuano a confiabilidad esán conecadas en serie pues al comparir las mismas esrucuras cualquier falla en ésas implica la salida de ambas líneas. Además, las labores de reparación o manenimieno en una de las líneas requerirán la desconexión de la ora.

29 Capíulo Tipos de componenes y sisemas EJEMPLO. Fuene 3 T T T3 T T T T T3 T T3 T T3 Carga Transformadores requeridos para aender la carga T T T3 Figura.0 Diagramas de red para un sisema elécrico con varios requerimienos operaivos Un sisema elécrico cuena con res ransformadores de disribución conecados en paralelo para aender una carga. En la Figura.0 se muesra el diagrama elécrico y los diagramas de red de confiabilidad para diferenes requerimienos operaivos. 3

30 Capíulo Tipos de componenes y sisemas.8 BIBLIOGRAFÍA [] Billinon R, Allan R, Reliabiliy evaluaion of engineering sysems Conceps and Techniques, segunda edición, Plenum Press, 99. [] Torres A, Probabilidad, variables aleaorias, confiabilidad y procesos esocásicos en ingeniería elécrica, Universidad de los Andes, 996. [3] Anders G, Probabiliy conceps in elecric power sysems, Wiley and Sons, 990. [4] Cabau E, Inroducción a la concepción de la garanía de funcionamieno, Cuaderno Técnico No. 44, Schneider Elecric, 000. Disponible en [5] Soskov B, Fundamenos de la eoría y del cálculo de fiabilidad de elemenos y disposiivos de auomaización y écnica de cálculo, Ediorial Mir, 97. [6] Tan Y, Damage of a disribuion ransformer due o hrough faul currens: An elecrical forensics viewpoin, IEEE Trans. Indusry Applicaions, Vol. 38, No., Enero/Febrero, 00. [7] Whirow G. J, Einsein The man and his achievemen, Dover publicaions, 973. [8] Ross T. J, Fuzzy logic wih engineering applicaions, Mc Graw Hill, 995. [9] Billinon R, Allan R, Reliabiliy evaluaion of power sysems, Plenum Press, 996. [0] CIGRE, Power sysem reliabiliy analysis Applicaion guide, 987. [] IEEE, Power sysem reliabiliy evaluaion, uorial course 8 EHO 95 8 PWR, IEEE, 98. [] Ascher H, Feingold H, Repairable sysems reliabiliy: Modeling, inference, misconcepions and heir causes, Marcel Dekker,

31 Capíulo 3 Componenes no reparables 3. MODELO DE DOS ESTADOS CAPÍTULO 3 COMPONENTES NO REPARABLES Bueno Fallado Esado operaivo Falla Bueno Fallado 0 f Figura 3. Diagrama de esados de un componene no reparable y su secuencia operaiva en el iempo El modelo de confiabilidad básico y radicional para componenes no reparables es el de dos esados que se muesra en la pare izquierda de la Figura 3.. A la derecha de esa figura, se muesra la secuencia operaiva del componene. La ransición del esado bueno al esado fallado ocurre en un iempo para falla aleaorio f (ime o failure), el cual indica cuáno vive el componene. La variable represena el iempo de operación del componene. En = 0 el componene se pone en servicio esando nuevo y bueno. En = el componene habrá fallado. El iempo de operación siempre se refiere a un periodo de iempo que se encuenra referenciado con respeco al cero. No debe pensarse que es un insane de iempo. La falla de un solo componene no reparable da: Un dao de iempo para falla El regisro de que ocurrió una falla en un periodo dado de observación T, sin que necesariamene, se haya regisrado el iempo para falla del componene Así, no es posible medir ni modelar la confiabilidad de un solo componene no reparable. Para eso, se requiere una muesra aleaoria represenaiva de iempos para falla omada de una población con N componenes idénicos al que ineresa esudiar y en la cual n componenes fallaron. Esa muesra permie hallar el modelo de confiabilidad y los índices esadísicos de confiabilidad, al como se ilusra en la Figura 3.. Población de N componenes idénicos Muesra de daos f, f,, f n Modelo de confiabilidad Índices esadísicos de confiabilidad Figura 3. Muesra de iempos para falla de componenes no reparables El modelo de confiabilidad del componene no reparable es la función de disribución de probabilidad del iempo para falla F () o la correspondiene función de densidad de probabilidad f (). 5

32 Capíulo 3 Componenes no reparables 3. TOMA DE LA MUESTRA DE DATOS La muesra de daos aleaoria y represenaiva puede omarse: Observando el proceso de fallas en la población de N componenes hasa que se regisren n fallas. En ese caso, no se sabe cuál será el iempo del esudio T. Observando el proceso de fallas en la población de N componenes durane un periodo T. En ese caso, no se sabe cuál será el amaño de muesra n. En ambos casos, es imporane conocer el error de esimación que exise para el amaño de muesra n. Tal como se muesra en la figura 3.3, cada f se mide con respeco al insane en el cual el componene fallado fue pueso en servicio esando nuevo. Es decir, no es necesario que odos los componenes se pongan a operar en el mismo insane de iempo. f f f 3 f 4 f n Figura 3.3 Muesra de iempos para falla de componenes no reparables En la prácica, es usual que la muesra de daos se ome de regisros operaivos y en muchas ocasiones aparecen los siguienes problemas: 3 Se iene el regisro de que n fallas ocurrieron en un periodo T pero no se cuena con los iempos para falla de cada uno de los componenes que fallaron. Se ienen el regisro del insane en que n componenes fallaron en un periodo T, pero no se conoce el insane en que esos componenes fueron puesos en servicio. Se ienen los iempos para falla de n componenes que fallaron en un periodo T pero no se conoce el amaño de la población de componenes que esaba en servicio en ese periodo. En ese caso, no se puede hallar el modelo de confiabilidad del componene, sólo índices esadísicos de confiabilidad. En ese caso, no se puede hallar el modelo de confiabilidad del componene, sólo índices esadísicos de confiabilidad. En ese caso, se puede hallar el modelo de confiabilidad del componene y los índices esadísicos de confiabilidad, pero no se puede esablecer si esa muesra es represenaiva ni el error de esimación al uilizarla. 6

33 Capíulo 3 Componenes no reparables 3.3 CÓMO CONSTRUIR EL MODELO PROBABILÍSTICO Para hallar el modelo de confiabilidad de un componene no reparable, se recomienda aplicar el procedimieno mosrado en la Figura 3.4. Muesra de daos Prueba de aleaoriedad Aleaoriedad? Si No Revisar causas de no aleaoriedad Prueba de endencia Esacionario? Si No Revisar causas de no esacionariedad Prueba de independencia Independencia? Si No Revisar causas de dependencia Prueba de bondad de ajuse a disribución Ajuse? Si No Revisar homogeneidad de la muesra (Disribución Exponencial, Lognormal, Gamma, ec.) Figura 3.4 Procedimieno para hallar el modelo de confiabilidad de un componene no reparable 7

34 Capíulo 3 Componenes no reparables La aleaoriedad, endencia e independencia se pueden hallar por medio de pruebas esadísicas o del análisis de las condiciones bajo las cuales se desarrolla el proceso de fallas de los componenes no reparables (razonamieno puro). En la prácica, lo que ha sido recomendado en diversas referencias, es direcamene probar el ajuse de los daos a una disribución, porque: Los iempos para falla son de nauraleza aleaoria La falla de un componene es independiene de la falla de oros componenes 3 Sí los componenes bajo esudio son idénicos, ienen la misma disribución de probabilidad (homogeneidad) Sin embargo, no se menciona en esos argumenos el concepo de endencia. Algo imporane a ener en cuena cuando se aplican las pruebas para la aleaoriedad, endencia e independencia, es que si ésas se realizan sobre una muesra de iempos para falla referenciados a un mismo origen, dichas pruebas fallan porque los daos aparecen cronológicamene ordenados en forma creciene. Así, en ese caso, un procedimieno a seguir anes de aplicar esas pruebas es: Obener los iempos iner arribo de fallas bf (Time beween failures). Ver la Figura 3.5. Aplicar a la muesra de iempos iner arribo de fallas las pruebas de aleaoriedad, endencia e independencia. Recordar, que para esas pruebas es obligaorio conservar el orden cronológico de los daos. f f f 3 Falla de los componenes no reparables f 4 f n f f f 3 f 4 f n Arribo de fallas a la población de componenes bf bf bf 3 bf 4 bfn Figura 3.5 Calculo de los iempos iner arribo de fallas La muesra de iempos iner arribo de fallas ambién permie esudiar el proceso de llegada de fallas a la población de componenes no reparables. 8

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