Estimación puntual y por intervalos de confianza

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1 Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza Itroducció Estimador Método de costrucció de estimadores Método de máxima verosimilitud Método de los mometos Estimadores Propiedades de los estimadores Estimació por Itervalos de Cofiaza Itervalos de cofiaza e ua població ormal Itervalos de cofiaza e dos poblacioes ormales Itervalos de cofiaza para muestras relacioadas Itervalos de cofiaza para proporcioes Itervalos de cofiaza para la diferecia de proporcioes Aplicació

2 Tema 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 Itroducció Este capítulo recoge detro de la Iferecia Estadística el problema de la estimació. Supogamos que algua característica de los elemetos de ua població se puede represetar mediate ua variable aleatoria X de la que se cooce el tipo de distribució pero o los parámetros que la determia. El objetivo de este tema es la obteció de u valor que pueda asigarse a cada uo de los parámetros descoocidos. Para ello se obtiee de la població la iformació precisa mediate ua muestra aleatoria, se establece ua fució de los valores muestrales, estimador, y se asiga al parámetro el valor que tome esta fució e ua muestra cocreta. Por ejemplo, si X Bep co p descoocido ó X Nµ, σ co media y variaza descoocidos, se desea coocer de la forma más aproximada posible el valor de dichos parámetros ó de ua fució de ellos, es decir, se pretede dar ua estimació de los parámetros. Para ello, obteemos ua muestra, cosiderado X 1, X,..., X m.a.s. y x 1, x,..., x los valores que se observa realizació muestral. Por tato para cada valor que se observa, se puede cosiderar que hay u elemeto de la m.a.s., es decir, ua variable aleatoria que los determia. La aproximació ó estimació se puede llevar a cabo de diferetes formas: desde el puto de vista de la estimació putual, desde el puto de vista de los itervalos de cofiaza y mediate los cotrastes de hipótesis que estudiaremos e el tema siguiete. La estimació putual cosiste e dar u valor real a partir de u estadístico, es decir, ua fució de la muestra que o depede de igú parámetro descoocido. La estimació por itervalos cosiste e proporcioar todo u itervalo de valores que, co ua probabilidad elevada, cotiee el verdadero valor del parámetro. 6.1

3 Tema 6. Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6. Estimador Sea X ua variable aleatoria co fució de distribució coocida salvo por u parámetro θ, lo que deotaremos como F θ. Defiició 6.1 Se defie el espacio paramétrico como el cojuto de todos los posibles valores del parámetro descoocido θ. Se represeta por Θ, θ Θ. Ejemplo 6.1 Si X Bep etoces θ = p y Θ = 0, 1]. Defiició 6. Cualquier estadístico cuyos valores se utiliza para estimar u parámetro, se deomia estimador de θ y se represeta por θ. Geeralmete a u estimador se le pide que tome valores detro del espacio paramétrico. Ejemplo 6. X = 1 Xi es u estimador de µ. S c = 1 1 Xi X es u estimador de σ. S = 1 Xi X es u estimador de σ. 6.3 Método de costrucció de estimadores Método de máxima verosimilitud Este método es bastate ituitivo pues se basa e supoer que siempre ocurre lo más probable, y por ello estima el parámetro mediate aquel valor que hace más probable la muestra. Defiició 6.3 Se defie la fució de verosimilitud de ua m.a.s. de tamaño como 1. Caso discreto Lθ; x 1,..., x = P θ X 1 = x 1, X = x,..., X = x ] = P θ X = x i ]. Caso cotiuo Lθ; x 1,..., x = f θ x 1, x,..., x = f θ x i θ. dode θ es u parámetro descoocido de la variable aleatoria. Fijados x 1, x,..., x, valores de la muestra coocidos, la fució de verosimilitud sólo depede de Ejemplo 6.3 Sea X B7, p y X 1, X m.a.s. de X. Si x 1 =, x = 3, la fució de verosimilitud de la muestra es 7 7 Lp;, 3 = PX 1 =, X = 3] = PX 1 = ] PX = 3] = p 1 p 5 p 3 1 p o Ig. Iformática

4 6.3. Método de costrucció de estimadores Defiició 6.4 Sea Lθ; x 1,..., x la fució de verosimilitud para ua m.a.s. X 1, X,..., X. Se defie el estimador de máxima verosimilitud E.M.V. de θ, θ MV, al valor de θ que maximiza Lθ; x 1,..., x. Como iterpretació podríamos decir que el estimador de máxima verosimilitud es aquel valor que hace máxima la probabilidad de que se dé la muestra obteida. E la práctica para determiar el estimador de máxima verosimilitud, si la fució L es derivable respecto del parámetro se puede calcular la primera derivada respecto del parámetro, igualar a 0 y despejar el valor, θ L = 0 comprobado posteriormete que la solució obteida, θ, correspode a u máximo mediate la seguda derivada, es decir, θ L < 0. θ=ˆθ Suele ser útil aplicar previamete logaritmo eperiao ya que al ser el logaritmo eperiao ua fució creciete, la fució de verosimilitud alcazará el máximo para el mismo puto que su logaritmo. Ejemplo 6.4 Sea X Bep y X 1, X,..., X m.a.s. co p 0, 1. Vamos a calcular el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro p. Lθ; x 1,..., x = p x i 1 p 1 x i = pè x i 1 p È x i Tomamos logaritmo eperiao de la fució de verosimilitud: ll = x i lp + x i l1 p Calculamos la primera derivada del logaritmo de la fució de verosimilitud y la igualamos a 0: ll p = 1 x i p + 1 x i 1 p 1 = 0 1 p x i p x i = 0 x i p = 0 ˆp = x i = x. Calculamos la seguda derivada vemos que es egativa, por tato es u máximo Estadística 6.3

5 Tema 6. Estimació putual y por itervalos de cofiaza l L p = x i p x i 1 p p= x < 0, 0 < x < 1. Luego el resultado sería p MV = x i = x Teorema 6.1 Si θ es u E.M.V. de θ, etoces g θ es u E.M.V. de gθ. Ejemplo 6.5 Si X Bep y p = x, etoces q = 1 p = 1 x 6.3. Método de los mometos El método de los mometos proporcioa u estimador de u parámetro sustituyedo los mometos poblacioales EX r ] = r, co los mometos muestrales m r = 1 Xr i dode r = 1,,...,. Ejemplo 6.6 Sea X Bep sabemos que EX] = p, y que X = p, se sustituye EX] por X y el parámetro por su estimador, y os queda p = X. Ejemplo 6.7 Sea X Expλ sabemos que EX] = 1 λ, luego X = 1 λ, y por tato λ = 1 X Estimadores A cotiuació se muestra ua tabla co los estimadores más usuales segú la distribució de la variable e estudio. Nµ, σ Nµ, σ, µ coocida Bep BN, p, N coocido µ = X ˆσ = Sc ˆσ = 1 X i µ ˆp = X ˆp = X/N Pλ ˆλ = X Gep ˆp = 1/ X + 1 Eλ ˆλ = 1/ X U0, θ, ˆθ = X 6.4 Propiedades de los estimadores Cuado se lleva a cabo estimacioes se pretede que el resultado se halle lo más cerca posible del valor descoocido del parámetro. El objetivo de las propiedades que vamos a estudiar e este apartado es obteer u bue estimador que aproxime o estime al parámetro θ. Defiició 6.5 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua variable aleatoria X co F.d.D. F θ. Sea T = TX 1, X,..., X u estimador de θ. T es u estimador isesgado de θ si ETX 1, X,..., X ] = θ. Si ETX 1, X,..., X ] = θ+bθ, se dice que T es u estimador sesgado de θ co sesgo bθ. 6.4 o Ig. Iformática

6 6.4. Propiedades de los estimadores Ejemplo 6.8 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ fiitas, y TX 1, X,..., X = X. Sabemos que e estas codicioes de dode X es u estimador isesgado de µ. E X] = µ, Ejemplo 6.9 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ fiitas, y TX 1, X,..., X = S c. Sabemos que e estas codicioes de dode S c es u estimador isesgado de σ. ES c] = σ, Ejemplo 6.10 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ fiitas, y TX 1, X,..., X = S. Sabemos que e estas codicioes ES ] = σ 1 = σ 1 σ, de dode S es u estimador sesgado de σ co sesgo bσ = σ /. Defiició 6.6 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua variable aleatoria X co F.d.D. F θ, para algú θ Θ. Sea T = TX 1, X,..., X y S = SX 1, X,..., X dos estimadores isesgados de θ. Se dice que T es más eficiete que S para estimar θ si V art] V ars]. Ejemplo 6.11 Sea X 1, X, X 3 m.a.s. de X tal que EX] = µ y V arx] = σ. Sea T 1 = X 1+X +X 3 T = X 1+X +X 3 4 dos estadísticos. Vamos a estudiar cuál es más eficiete. E primer lugar comprobamos si so isesgados ] X1 + X + X 3 ET 1 ] = E = ] X1 + X + X 3 ET ] = E 4 EX i ] = 1 3 3µ = µ = EX 1] + EX ] + EX 3 ] 4 = 4 4 µ = µ 3 y Por lo tato ambos estadísticos so isesgados de µ. Cuál de los dos es preferible como estimador de µ? Para cotestar vamos a calcular la eficiecia. V art 1 = 1 9 V arx i = 3σ 9 = σ 3 V art = 1 16 V arx 1 + 4V arx + V arx 3 ] = 6σ 16 = 3σ 8 Hemos comprobado que la V art 1 V art, luego T 1 es más eficiete que T. Nota 6.1 Si los estimadores o so isesgados, la comparació se hace mediate el error cuadrático medio ECM y será preferible aquel estimador e el que el error cuadrático medio sea meor. ECMT = ET θ ] Estadística 6.5

7 Tema 6. Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.5 Estimació por Itervalos de Cofiaza Ya vimos que la Iferecia Estadística podía ser abordada mediate varias estrategias estimació putual, estimació por itervalos, cotrastes de hipótesis. E este apartado estudiaremos el problema de la estimació por itervalos de cofiaza. Supogamos que queremos estudiar ua població descrita por ua v.a. X, co F.d.D. F y sea θ u parámetro descoocido de la població. Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de la població. El problema de la estimació por itervalos cosiste e la búsqueda de u itervalo que sea fució de la muestra y que cotega al verdadero y descoocido valor del parámetro co ua probabilidad especificada de atemao. Defiició 6.7 Sea X 1, X,..., X ua m.a.s. de ua població descrita por ua v.a. X co F.d.D. F θ, para algú θ Θ. Sea T 1 = T 1 X 1, X,..., X y T = T X 1, X,..., X dos estadísticos tales que T 1 T y PT 1 < θ < T ] = 1, 6.1 dode 0, 1 es ua catidad fija que o depede de θ. Etoces se dice que T 1, T es u itervalo aleatorio de cofiaza al ivel 1 para θ. A 1 se le deomia ivel de cofiaza. E la práctica se suele tomar 1 = 0.90, 0.95, 0.99 Para cada realizació de la muestra, esto es, para cada valor observado de la muestra, x 1, x,..., x, obtedremos u itervalo, T 1 x 1, x,..., x, T x 1, x,..., x, deomiado itervalo de cofiaza. Nótese que cada itervalo de cofiaza resultate de ua experimetació, puede o o coteer al parámetro θ. La codició 6.1 dice que u 1001 % de los itervalos que se calcule cotedrá al verdadero valor del parámetro Itervalos de cofiaza e ua població ormal E este apartado la iformació muestral siempre procederá de poblacioes co distribució ormal. Itervalo de cofiaza para µ co σ coocida De ua població descoocemos la media µ y deseamos estimarla a partir de la media muestral x obteida e ua muestra de tamaño. La distribució muestral de X está cetrada e µ y e la mayoría de las aplicacioes la variaza es más pequeña que la de otros estimadores cualesquiera de µ. La media muestral x se utilizará como estimació putual para la media de la població µ. Cosideramos ua muestra que se seleccioa a partir de ua distribució ormal, a falta de ésta, si es suficietemete grade, podemos establecer u itervalo de cofiaza para µ al cosiderar la distribució muestral de X. Como vimos e el tema aterior, la distribució de X es ua ormal del media µ y desviació típica σ. De acuerdo co esto, sabemos que ] P z 1 < Z < z 1 = 1, dode Z = X µ σ. 6.6 o Ig. Iformática

8 6.5. Estimació por Itervalos de Cofiaza Por ello P z 1 < X ] µ < z 1 σ = 1. Al multiplicar cada térmio e la desigualdad por σ, y después restar X de cada térmio y multiplicar por -1, obteemos P X z 1 σ < µ < X + z 1 σ ] = 1. Si X es la media de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co variaza σ coocida, u itervalo de cofiaza de 1 % para µ viee dado por X z 1 σ < µ < X + z 1 σ. Itervalo de cofiaza para µ co σ descoocida De ua població deseamos estimar la media cuado la variaza se descooce. Por el tema aterior sabemos, si teemos ua muestra aleatoria a partir de ua distribució ormal, etoces la variable aleatoria T = X µ S c tiee ua distribució t de Studet co -1 grados de libertad. El procedimieto es el mismo que cuado se cooce σ, excepto que σ al ser descoocido se sustituye por la cuasivariaza muestral Sc y la distribució ormal se reemplaza por la distribució t de Studet. E este caso podemos decir que ] P t 1,1 < T < t 1,1 = 1, de dode obteemos que P X t 1,1 S c < µ < X + t 1,1 S c ] = 1. Si X y S c so la media y la cuasivariaza de ua muestra aleatoria de ua població ormal co variaza σ descoocida, u itervalo de cofiaza de 1 % para µ viee dado por X t 1,1 S c < µ < X + t 1,1 S c Resumiedo: Si σ es coocida I.Cµ; 1 = X z1 σ Si σ es descoocida I.Cµ; 1 = X t 1,1 S c Estadística 6.7

9 Tema 6. Estimació putual y por itervalos de cofiaza Geeralmete, cuado la distribució o es ormal co σ descoocida y tamaño de muestra grade > 30, se puede utilizar el siguiete itervalo de cofiaza para estimar la media µ, si la variaza σ es descoocida I.Cµ ; 1 = X z 1 S c Itervalo de cofiaza para σ, si µ es descoocida Se obtiee por u procedimieto similar al utilizado e los casos ateriores I.C σ ; 1 = 1S c χ 1,1 ; 1S c χ 1,, co S c = X i X Itervalos de cofiaza e dos poblacioes ormales Sea X 1,...,X m.a. de Nµ 1 ; σ1 ; Y 1,...,Y m m.a. de Nµ ; σ idepedietes de tamaño y m respectivamete. Itervalo de Cofiaza para la diferecia de medias, si σ 1 = σ descoocidas: I.Cµ 1 µ ; 1 = X Ȳ t +m,1 1Sc 1 + m 1Sc 1 + m + 1 m Itervalo de Cofiaza para la diferecia de medias, si σ 1 σ descoocidas: I.Cµ 1 µ ; 1 = X S Ȳ t c1 ν,1 + S c m, co ν = Sc 1 + S c m S c S c 1 m m 1. Itervalo de Cofiaza para el cociete de variazas, si µ 1, µ descoocidas: σ I.C 1 σ S ; 1 = c1 1 Sc F 1,m 1,1 ; Sc 1 1 Sc F 1,m 1, 6.8 o Ig. Iformática

10 6.5.3 Itervalos de cofiaza para muestras relacioadas 6.5. Estimació por Itervalos de Cofiaza A diferecia del caso de dos poblacioes idepedietes, para cada idividuo de la muestra se observa las dos variables y tedremos situacioes del tipo ates-después, izquierda-derecha, etc. Por ejemplo, medimos la variable tiempo de ejecució de dos algoritmos sobre u mismo cojuto de datos. Bajo esta codició, vamos a calcular la diferecia etre las dos variables y trabajamos co la variable diferecia distribuida ormalmete. Para la variable diferecia calculamos la media, d, y la cuasivariaza Scd. De forma similar a los apartados ateriores, se deduce que el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias, µ D, al 1 % es S d t 1,1 cd < µ D < d S + t 1,1 cd Itervalos de cofiaza para proporcioes E este apartado queremos calcular u itervalo de cofiaza para estimar la proporció biomial p de éxitos; por ejemplo detro del cotrol de calidad os puede iteresar la proporció de artículos defectuosos producidos e ua líea de producció. Por el teorema cetral del límite, para suficietemete grade, p proporció de éxitos de la muestra está distribuida ormalmete co media µ p = p, y variaza pq σ = p. dode Sabemos que P ] z 1 < Z < z 1 = 1, Z = p p pq y al sustituir Z, teemos P p z 1 p q < p < p + z 1 ] p q = 1. Resumiedo, u itervalo de cofiaza para el parámetro p de ua biomial al 1 % I.Cp ; 1 = ˆp z 1 p q Estadística 6.9

11 Tema 6. Estimació putual y por itervalos de cofiaza Itervalos de cofiaza para la diferecia de proporcioes Sea X 1,...,X m.a. de Bep 1 ; Y 1,...,Y m m.a. de Bep idepedietes, co y m respectivamete. Se desea estimar la diferecia etre los dos parámetros de las biomiales p 1 y p. Sabemos que, si y m so elevados, p 1 y p está distribuidos cada uo de forma aproximadamete ormal, co medias p 1 y p y variazas p 1q 1 y p q m, respectivamete. Al seleccioar muestras idepedietes de las dos poblacioes, las variables p 1 y p será idepedietes, y p 1 p está distribuida de forma aproximadamete ormal co media µˆp1 ˆp = p 1 p, y variaza σ ˆp 1 ˆp = p 1q 1 + p q m. Igual que e casos ateriores, teemos que, P z 1 < Z < z 1 ] = 1, dode Z = p 1 p p 1 p p1 q 1 + p q m sustituyedo Z, obteemos u itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes al 1 % ˆp1ˆq 1 I.Cp 1 p ; 1 = ˆp 1 ˆp z 1 + ˆp ˆq m 6.6 Aplicació Cosideremos la siguiete aplicació, e ella se teía las medidas realizadas por Albert Michelso e 1879 sobre la velocidad de la luz e el aire. Se cosideró como població X : velocidad de la luz e el aire, X Nµ, σ. - Estimemos los parámetros por itervalos de cofiaza. El úmero de observacioes es = 100. A partir de los datos teíamos: x = 85.40; s c = ; s c = = Itervalo de Cofiaza para µ a ivel de cofiaza de 95%: s c I.Cµ; 1 = x t 1,1 = , = , = , Se ha aproximado t 1,0.975 = t 99,0.975 t 100,0.975 = Itervalo de Cofiaza para σ a ivel de cofiaza de 95%: I.C σ ; 1 1s c = χ ; 1, 1 1s c χ 1, 6.10 o Ig. Iformática

12 6.6. Aplicació = , = , Se ha aproximado χ 1,0.05 = χ 99,0.05 χ 100,0.05 = χ 1,0.975 = χ 99,0.975 χ 100,0.975 = Estadística 6.11

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