Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones. Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula:

Transcripción

1 Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula: 1- Reacciones: En primer lugar determinamos el valor de las reacciones en el empotramiento. La reacción horizontal es nula, porque no hay cargas con componente en esta dirección. La reacción vertical es hacia arriba y por equilibrio vertical: R=6kN/m.1,8m=10,8kN El sentido del momento en la reacción dependerá de la magnitud relativa del momento que genera la carga distribuida, y el momento puntual. El momento en el empotramiento, causado SOLO por la carga distribuida es 6 kn/m. 1,8m. (1,2 m + 0,9 m) = 22,68 knm antihorario. Por lo tanto es mayor que el momento horario de 10 knm. Entonces el momento que debe hacer el empotramiento para que la barra se mantenga en equilibrio debe ser horario e igual a: 22,68 knm 10 knm = 12,68 knm Las reacciones en el empotramiento son: R = 10,8 kn hacia arriba, M = 12,68 knm horario 2- Diagramas de solicitaciones Condiciones de borde 1. En el extremo libre: a. Como no hay carga puntual aplicada en este extremo, el cortante es nulo. b. Del mismo modo, como no hay momento puntual aplicado, el momento flector en este extremo también es nulo. 2. En el empotramiento: a. El valor del cortante es el de la reacción vertical. El valor del momento flector en el empotramiento es el del momento que hace este tipo de apoyo.

2 Vemos a continuación los signos correspondientes. Se aplica el método de las secciones. Cortando la barra cerca del empotramiento y planteando equilibrio vertical se tiene: V = R = 10,8 kn M fl = M reacción = 12,68 knm Según la convención de signos, el cortante con este sentido es negativo. El momento flector tracciona las fibras superiores de la barra. Análisis cualitativo a partir del teorema de vigas 1. Entre A y B hay una carga distribuida uniforme hacia abajo, entonces: a. el diagrama de cortante varía de forma lineal y decreciente b. el momento es parabólico y con concavidad, envolviendo la carga. c. Como en A el cortante es nulo, el diagrama de momento comienza con tangente horizontal. 2. Entre B y C no hay carga distribuida, entonces: a. el diagrama de cortante es constante b. el diagrama de momento flector es lineal 3. No hay carga puntual aplicada, por lo que el diagrama de cortante no tiene saltos, es decir, es continuo. 4. Hay un momento puntual externo, por lo que el diagrama de momento debe tener un salto de valor 10kNm en el punto de aplicación de dicho momento. A partir del análisis anterior ya es posible trazar en forma cualitativa los siguientes diagramas:

3 Cálculo de valores característicos Calculamos entonces los valores de los extremos relativos que faltan. Para el diagrama de cortante no es necesario definir otros valores dado que ya se tiene el valor máximo (V = -10,8 kn). En el diagrama de momento falta determinar el valor de 2 extremos relativos, a la derecha e izquierda de B. El valor extremo en la parábola se puede calcular de al menos 2 formas diferentes: a) Por el método de las secciones. Cortando la barra apenas a la izquierda de B, de forma de no incluir el momento puntual (El valor de la directa N es nulo, por lo que no se incluye en el esquema). Para equilibrar los 6kN/m actuantes, el cortante debe ser hacia arriba y el momento horario. Planteando equilibrio de momentos en la sección en la que se cortó (para que V no aparezca en la ecuación) M = 6 kn/m. 1,8 m. 0,9 m = 9,72 knm. Este momento tracciona las fibras superiores. Obsérvese que a partir del equilibrio vertical de la sección cortada se verifica el valor ya determinado del cortante: 6 kn/m. 1,8 m = 10,8 kn y, por la convención de signos utilizada, el signo del cortante es negativo. Si se hubiera planteado el mismo método, pero aislando la parte derecha de la barra, se llegaría al mismo resultado, tanto en módulo como en signos. Sin embargo, se puede ver que la cuenta es más compleja. El diagrama de cuerpo libre correspondiente es el siguiente: b) Integrando el cortante. Por el teorema de vigas se sabe que el valor del cortante en un punto con coordenada x, es la derivada el diagrama del momento en ese mismo punto. Por lo tanto, si integramos el diagrama de

4 cortante entre A y B, se determina la diferencia de momentos entre esos puntos. No es necesario plantear la ecuación del cortante como una función V(x) ya que se cuenta con el gráfico de la función y, en consecuencia, la integral corresponde al área bajo la curva, es decir, el área del triángulo de lado 1,8 m y alto 10,8 kn. Entonces: M B,izq = 1,8 m. 10,8 knm / 2 = 9,72 knm El valor del extremo relativo que falta se puede determinar nuevamente de al menos 2 formas diferentes: 1. Método de las secciones en un diferencial de barra. Si se aísla una sección de barra cortando apenas a la izquierda y apenas a la derecha del punto donde se aplica el momento externo de 10kN: Y se plantea que la sección debe estar en equilibrio de momentos, se tiene entonces: M der = 10 knm - 9,72 knm = 0,28 knm. (En el esquema no se incluyeron los cortantes, dado que no producen momentos) 2. Método de las secciones en una parte de la barra. Cortando apenas a la derecha deby planteando equilibrio en una de las dos secciones de barra que se obtienen. Es decir, trabajando con la parte de la izquierda o la de la derecha según los siguientes esquemas de cuerpo libre. En este caso resulta un poco más sencillo operar con la sección derecha, sin embargo se reitera que se debe llegar a los mismos valores, con igual signo, si se trabaja con la otra sección. a) Planteando, en la sección derecha, el equilibrio de momentos en el punto en que se cortó, se tiene M der = 10,8 kn. 1,2 m - 12,68 knm = 0,28 knm b) Si se plantea lo mismo en la sección izquierda: M der = -6 kn/m. 1,8 m. 0,9 m + 10 knm = 0,28 knm

5 Resultado final