Universidad del CEMA Prof. José P Dapena Métodos Cuantitativos V - ESTIMACION PUNTUAL E INTERVALOS DE CONFIANZA. 5.1 Introducción

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad del CEMA Prof. José P Dapena Métodos Cuantitativos V - ESTIMACION PUNTUAL E INTERVALOS DE CONFIANZA. 5.1 Introducción"

Transcripción

1 V - ESTIMACION PUNTUAL E INTERVALOS DE CONFIANZA 5.1 Introducción En este capítulo nos ocuparemos de la estimación de caracteristicas de la población a partir de datos. Las caracteristicas poblacionales buscadas son cuantitativas, parámetros poblacionales. Dado un conjunto relevante de datos (una muestra) de una población, el problema es trabajar los mismos para arribar a un valor que, en algun sentido, se acerque los mas posible al valor poblacional desconocido que desamos estimar. El estadístico que calculamos es entonces llamado ESTIMADOR PUNTUAL. En realidad no esperamos, cuando utilizamos datos sujetos a aleatoriedad, encontrar un estimador puntual exactamente igual al parámetro poblacional, pero esperaríamos que este lo razonablemente cerca de forma tal que nuestro error de estimación, la diferencia entre el estimador y el valor del parámetros, sea pequeña. Empezaremos por definir que queremos decir por cerca del parámetro y a partir de alli establecer criterios bien definidos para la selección de estimadores puntuales. Este capítulo es acerca de la selección de estimadores puntuales en tanto que el capitulo siguiente concierne con la aplicación y evaluación de los mismos a partir de muestra el objeto de los intervalos de confianza. 1

2 Estimaciones simples de parámetros poblacionales serán: Si la media poblacional es desconocida, utilizaremos la media muestral como estimador puntual. Si la proporcion poblacional es desconocida, entonces utilizaremos las proporciones muestrales como estimadores puntuales. 5.2 Criterio de Estimacion Error al Cuadrado La medida básica que se utiliza para evaluar el desempeño de un estimado es la FUNCION DE PERDIDA, con un formato generalmente aceptado llamado PERDIDA DE LOS ERRORES AL CUADRADO. Este es un concepto muy simple y opera de la siguiente manera; si estamos interesados en un parámetro desconocido θ, y utilizamos un estimado t para estimarlo, entonces la diferencia de aproximación estara dada por (t - θ) e incurriremos en una penalidad de (t - θ) 2 como resultado de esta estimación. Si t es exactamente igual a θ no hay pérdida y es claramente lo mejor que podemos obtener; pero si t es diferente, incurrimos en una perdida que crece aceleradamente a medida que al diferencia se agranda. El objetivo obvio es acercarse lo mas posible a θ de manera tal de minimizar la pérdida. Este es un buen punto de partida para establecer criterios de estimación, pero como veremos, existen muchas dificultades asociadas al mismo. Para apreciar esto consideremos el problema de elegir entre dos estimadores t 1 y t 2 de θ. Los dos estimadores son funciones de los datos de la muestra y daran generalmente distintos valores no obstante estar basados en el mismo set de datos. Pero cual de los dos estara mas cerca de θ? Aplicando el concepto de perdida por errores al cuadrado, diremos que preferimos t 1 si 2

3 (t 1 - θ) 2 < (t 2 - θ) 2 pero ninguna de estas funciones son cantidades que son susceptibles de ser comparadas; son funciones del parámetro poblacional desconocido. Una visión simple de nuestro objetivo es que necesitamos asociar, de alguna manera, un número con cada t i de manera tal que uno seria considerado un mejor estimado que el otros si el número asociado fuese menor. Podemos avanzar un paso mas a los efectos de obtener un criterio manejable, haciendo uso de nuestro conocimiento de la distribución muestral de los datos. A traves de promediar la pérdida de los errores al cuadrado (calculando su valor esperado) sobre esta distribución muestral arribamos a un criterio mas manejable de comparación de estimadores, denominado el CRITERIO DE ERRORES AL CUADRADO, definido por: Error medio al cuadrado (MSE) de t = E{( t - θ) 2 } Ahora, preferiremos t 1 a t 2 si E{( t 1 - θ) 2 } < E{( t 2 - θ) 2 }, o equivalentemente MSE (t 1 ) < MSE (t 2 ) El Error medio al cuadrado es simplemente el promedio de pérdida; en un contexto mas general es conocida como la Función de riesgo. No estamos fuera del lio todavia! El MSE es todavia una funcion del parámetro θ, y no provee de una solución final para nuestro problema de estimación. Si por ejemplo, en el 3

4 contexto de la distribución binomial, utilizamos la proporcion muestral para calcular la proporcion poblaciónal p, entonces MSE es npq; no obstante n es conocido, el MSE no es un número sino una funcion del parámetro desconocido p. El siguiente gráfico muestra el problema de utilizar MSE como criterio de estimacion. Es una gráfica de t 1 y t 2 como funciones de θ. MSE t 1 t 2 θ Si el verdadero valor θ es bajo, claramente preferiremos t 1, mientras que si es alto, nos inclinaremos por t 2, el punto es que no conocemos θ. No obstante podemos tener una vaga idea de su ubicación, no es un método cuantitativo formal de determinación. Llegamos a un punto en el que no obstante MSE es un método claro y aceptado, no nos proporciona la solucion completa a nuestro problema. Por otro camino, podemos descomponer MSE en dos partes de la siguiente manera: esto surge de notar que el valor esperado del cuadrado de una variable aleatoria es igual a la suma de su varianza mas el cuadrado de su valor esperado. La variable aleatoria en este caso es (t- θ). 4

5 MSE = Var (t) + {E(t- θ)} 2 O equivalentemente, MSE = Varianza + (Sesgo) 2 El sesgo de un estimador es la diferencia entre la media (valor esperado) de la distribución muestral y el parámetro que se está estimando. Claramente, será provechoso tener un sesgo igual a Criterio de selección Estimadores insesgados Si t es un estimador de θ tal que E(t) = θ, entonces t es un ESTIMADOR INSESGADO de θ. Un enfoque generalmente aceptado al problema de estimación es el de restringir la atención a estimadores insesgados, y sujeto a esta propiedad, tratar de encontrar los estimadores con la menor varianza. Un estimador de estas características es considerado insesgado, y eficiente si su varianza es pequeña, por tener mayores probabilidades de encontrarse cerca del parámetro poblacional. No es difícil encontrar estimadores que satisfagan estos criterios, y en muchas circunstancias podemos construir y usar estimadores insesgados de mínima varianza. Ejemplo de estimadores insesgados son m para µ para datos de N {µ, σ 2 } 5

6 R/n para p en pruebas de Bernoulli con parámetro de éxito p s 2 para σ 2 para datos de N {µ, σ 2 } Para el calculo de s 2 se divide por (n-1) y no n, de manera tal que el estimador sea insesgado. Se debe mencionar que el hecho de obtener un estimador insesgado no implica que una transformación del mismo también lo será. Si t es insesgado para θ, t 2 lo sera para θ 2, esto puede ser apreciado inmediatamente en: E(t 2 ) = Var (t) + θ 2 > θ 2 Estimadores insesgado para funciones paramétricas pueden ser obtenidos a través de ajustes a un estimador obvio. Ejemplo : Supongamos que tenemos una muestra aleatoria de n elementos de una población con media µ y desviación estandar σ, y queremos encontrar un estimador insesgado para µ 2. Entonces intentaremos m 2, y veremos que E(m 2 ) = µ 2 + σ 2 /n, 6

7 Pero sabemos que E(s 2 ) = σ 2, de manera tal que combinando estas dos formulas podemos obtener m 2 s 2 /n como estimador insesgado de µ 2 Esto muestra un método rápido pero efectivo de obtener estimadores insesgados al elegir un estimador, calcular su sesgo y luego ajustar el estimador original de manera tal de remover el sesgo. La propiedad de ser insesgado es muy deseable en estimadores utilizados en encuestas, en donde la transparencia que implica el ser insesgado es considerada de extrema importancia. 5.4 Eficiencia Supongamos que tenemos dos estimadores insesgados del parámetro θ, t 1 y t 2, de forma tal que E(t 1 ) = E(t 2 ) = θ, entonces preferiremos 1 a 2 si Var (t 1 ) < Var(t 2 ) Cuando esto es así, decimos que t 1 es mas eficiente que t 2, y la eficiencia relativa de t 2 a t 1 es: 100 * Var(t 1 ) / Var(t 2 ) % 7

8 claramente, el mas eficiente es el mejor. 5.5 Consistencia Esta es una propiedad simple que básicamente nos dice que a medida que la muestra se agranda, el estimador converge al verdadero valor del parámetro desconocido. Definiciones mas formales y rigurosas pueden ser encontradas en libros de estadistica, pero puede ser mostrado que un estimador es consistente si las siguientes dos condiciones se cumplen: (i) (ii) El sesgo (si existe) tiende a cero a medida que la muestra se agranda. La varianza (y error estándar) tiende a cero a medida que la muestra se agranda. La mayoria de los estimadores comunes son consistentes, no obstante en tópicos como series de tiempo algunos estimadores no lo son. 5.6 Minimos Cuadrados y el teorema de Gauss Markov El método de minimos cuadrados es ampliamente utilizado para construir buenos estimadores en diversas disciplinas. Supongamos que tenemos un set de datos x 1, x 2,... x n de una población con media µ. 8

9 entonces si x 1, x 2,... x n son datos observados, {( x i µ ) 2 } es una funcion solamente de µ. Supongamos que ahora elegimos como estimador de µ el valor que hace mínima esa función, se puede ver en forma clara que se obtiene la media muestral como estimador. Este es un ejemplo simple del método cuantitativo de mínimos cuadrados. Puede ser mostrado que este método siempre proporciona los estimadores insesgados mas eficientes, conociéndose este resultado como el teorema de Gauss Markov. INTERVALOS DE CONFIANZA 5.7 Introducción Es usualmente fácil producir un estimador puntual del parámetro de una distribución poblaciónal. Por ejemplo, la media muestral es claramente un razonable estimador de la media poblacional, la varianza muestral estima la varianza poblacional, y así sucesivamente. Sin embargo estos valores citados fríamente no proporcionan una idea clara de la exactitud del valor citado. Una media muestral basada en 100 observaciones será 9

10 claramente mas confiable que una media muestral basada en solo 5. Hasta cierto punto podemos otorgar una idea de exactitud a nuestro estimador al citar el error estándar de manera que un error alto proporciona idea de mayor volatilidad; un mejor método de obtener un grado de exactitud es el método de los intervalos de confianza ie un intervalo en el cual uno espera se encuentre el verdadero valor del parámetro. Este método de expresar grado de exactitud es fácilmente entendible y no requiere de sofisticaciones estadísticas en su uso. Por ejemplo, supongamos que estimamos un parámetro a través del estimador puntual 3.7, y damos un intervalo de confianza de {3.5, 3.9}. Entonces estamos diciendo que, con evidencia en los datos, nuestra mejor elección del valor del parámetro es 3.7, y no obstante esperamos que se encuentra cercano al verdadero valor del parámetro, nos sorprendería si fuese igual. Pero si tenemos confianza que, cualquiera sea el valor del parámetro objetivo, tendra grandes probabilidades de estar en ese intervalo. Claramente un amplio intervalo de confianza muestra que nuestro estimado no es muy exacto debido a que no podemos estar muy seguros que se encuentre cerca del valor del parámetro; por otros lado, un intervalo de confianza estrecho nos dirá que nuestro estimador es bueno. El grado de confianza que tenemos en nuestro intervalo puede ser expresado numéricamente; la situación ideal es un intervalo corto con alto grado de confianza. Con estos puntos en mente, estos intervalos pueden ser computados a partir de los datos en el contexto de algunas situaciones básicas. El tópico de intervalos de confianza esta muy asociado a Tests de Significancia, materia del próximo capítulo. 5.8 Una formula general para estadísticos distribuidos normalmente Caso 1 Se conoce el Error estándar (Varianza) 10

11 Consideremos una situación en la que tenemos un estimador insesgado u para θ y supongamos que u sigue una distribución u ~ N (θ, SE 2 ) donde SE (el error estandar de u es conocido). Entonces estaremos mirando por una vía de cálculo de un par de valores de manera tal que exista una alta chance que θ esté entre los mismos. Ahora, sabemos que Z = (u - θ)/se se distribuye normal estándar, entonces se sigue de las tablas estadisticas que, P { < (u - θ)/se < } =.95 Redistribuyendo terminos en la igualdad: P { u *SE< θ < u *SE} =.95 entonces un intervalo de confianza del 95% para θ esta dado por u ± 1.96*SE [1] Este es un resultado muy simple pero a la vez muy importante; como veremos puede ser aplicado para obtener intervalos de confianza en diversas situaciones como la estimacion de la media, proporcion, diferencias de medias, coeficientes de regresion, coeficientes de series de tiempo, etc. 11

12 Lo hemos utilizado para derivar un intervalo de confianza de 95% debido a que es un intervalo generalmente aceptado. Puede ser facilmente visto, de la derivacion realizada, como otros coeficientes pueden ser utilizados; solamente requiere de escoger el valor adecuado de la tabla estadistica de la distribución normal estandar. Por ejemplo: Para una confianza de 95% utilizamos 1.96, para 90%, 1.645, y 99%, Esta limitado, a pesar de todo, por el hecho que conocemos la varianza poblacional; en la mayoría de los casos prácticos será necesario estimar el error estandar desde los propios datos, y ello motivará una pequeña modificación en la fórmula. Si el tamaño de la muestra es grande entonces la anterior formula puede ser utilizada con SE reemplazada por un estimador apropiado; esto es debido al hecho que podemos ignorar la variabilidad del estimador cuando el tamaño de la muestra es grande. Caso 2 Error Estandar desconocido Consideremos casos en los que el error estandar es estimado usando cálculos basados en la suma corregida de cuadrados. Sea ESE el estimador del error estándar, en donde ESE esta basado en ν grados de libertad. En lugar de considerar el hecho que (u - θ)/se es normal estándar, estamos forzados a reemplazar el parámetro desconocido SE por su estimador ESE, y en consecuencia analizamos la distribución de (u - θ)/ese. Desafortunadamente, este estadístico no sigue una distribución normal estándar debido a la variabilidad muestral de ESE, y esta volatilidad extra causará que (u - θ)/ese tenga una distribución mas dispersa. Esta distribución ha sido derivada, tabulada y es conocida como la distribución t de Student; posee una función de densidad mas bien complicada (en la que no profundizaremos) y tiene, como la distribución normal, una forma simétrica, 12

13 acampanada y con centro en cero; pero posee una forma funcional diferente de la disrtibución normal estandar, y es mas dispersa. Converge a la distribución normal a medida que los grados de libertad se incrementan (la muestra incrementa su tamaño) Distribución t de Student Esta distribución se obtiene de la estandarizacion de una variable normalmente distribuida utilizando un estimador independiente de su desviación estándar. Cuando la distribución subyacente es aproximadamente normal, puede ser demostrado que el criterio de independencia se obtiene para los estimadores m y s. La distribución t se modifica de acuerdo a los grados de libertad (ν) considerados. Siendo que cada valor de ν da lugar a una nueva distribución t, las tablas estadísticas tienen tabuladas no más que los porcentajes de ciertos valores clave. Entonces, en tablas estaditicas o softwares especializados, podemos encontrar valores de t ν de manera que: P { -t ν < (u - θ)/ese < + t ν } =.95, O reacomodando las variables dentro de las llaves, P { u -t ν *ESE < θ < u + t ν * ESE} =.95, Entonces un intervalo de confianza del 95% para θ esta dado por: u ± t ν * ESE [2] 13

14 pudiendo utilizarse este resultado general en muchas situacion de calculo de intervalo de confianza. Procedemos ahora a demostrar estas técnicas para situaciones básicas e importantes. 5.9 Intervalo de Confianza para la media (varianza conocida) Dado un set de datos independientes x 1, x 2,... x n, estimamos la media poblaciónal µ a través de la media muestral m, siendo la desviación estandar de m igual a σ/ n. De aquí que sustituyendo en [1], un intervalo de confianza de 95% para µ puede ser computado como m ± 1.96*σ/ n. Es inusual conocer σ, pero si n es grande, entonces esta fórmula puede ser utilizada con σ reemplazada por s, la desviación estándar muestral; esto es asi porque s es un muy buen estimador de σ debido al gran tamaño de la muestra y no existe necesidad de preocuparse por su volatilidad. Generalmente, la version a ojo m ± 1.96*σ/ n es utilizada. 14

15 5.10 Intervalo de Confianza para la media (varianza desconocida) En este caso aplicamos la formual general [2], con las sustituciones: m por u, s/ n por ESE, un intervalo de confianza para µ sera m t n-1 *s/ n < µ < m + t n-1 *s/ n donde el valor t es aquel que corta, digamos 2.5%, de la cola de la distribución t (para una confianza de 95%) Intervalos de Confianza para las Proporciones Sabemos que la varianza de la proporción muestral es igual a npq, donde p es la proporción, n el tamaño de la muestra y q = 1 p. Cuando construímos un intervalo de confianza para la proporción, no sabemos a priori la proporción poblacional, de manera tal que la varianza debe ser estimada; naturalmente reemplazamos p en esta varianza por la proporción muestral de manera de obtener nuestro desviación estándar estimada, SE = { (r/n) * (1- r/n)/n} y el intervalo de confianza para p es ahora r/n ± 1.96*SE 15

16 NOTA: no utilizamos la distribución t por dos razones, el error estandar no ha sido estimado en base a la suma corregida de cuadrados, y ademas el tamaño muestral debe ser grande para que la aproximación a la distribución normal sea válida Escogiendo el tamaño muestral La pregunta que tan grande debe ser la muestra? es común al muestrear datos. La respuesta yace en la calidad de inferencia que el encuestador u observador requiere de los datos. En el contexto de estimación esto puede ser considerado como el grado de precisión de la estimación. Si el observador requiere que debe haber una chance de 95% que el error de estimación no exceda d unidades, es equivalente a tener un intervalo de confianza de largo 2d. El intervalo de confianza de 95% esta basado en que el error de estimacion no exceda 2 (o mas exactamente 1.96) errores estándar. De alli tenemos 2*SE = d, y resolviendo esta simple ecuación nos proporciona el tamaño muestral buscado. Por ejemplo, para la estimación de la media poblaciónal el error estandar es σ/ n. Entonces tenemos d = 2 * σ/ n, o n = 4 * σ 2 /d 2, donde d es la tolerancia requerida y, si σ es desconocida, debe ser estimada en funcion a una muestra piloto. 16

17 5.13 La comparación de Proporciones El enfoque correcto para la comparación de proporciones de dos poblaciones es, naturalmente, a través de la comparación de la diferencia en sus proporciones muestrales. Para muestra grandes, este estadístico d = (r 1 /n 1 r 2 /n 2 ) tiene la siguiente distribución normal: d ~ N (p 1 p 2, p 1 q 1 /n 1 + p 2 q 2 /n 2 ), de donde el error estandar será igual a (p 1 q 1 /n 1 + p 2 q 2 /n 2 ) Esta distribución muestral es la base del siguiente intervalo de confianza y test; Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones Estimamos p 1 por r 1 /n 1, etc., de manera tal que un intervalo de confianza de 95% puede ser computado de la siguiente formula: u 1 u 2 ± 1.96 * {u 1 (1 - u 1 )/n 1 + u 2 (1 u 2 )/n 2 }, donde u 1 = r 1 /n 1 y u 2 = r 2 /n 2 17

18 5.14 Comparacion de dos medias poblacionales En esta sección estamos interesados principalmente en la diferencia entre dos medias poblacionales. Existen tres casos a ser analizados dependiendo en los tamaños de las muestras y en que medida los datos se matchean entre si o no. Caso 1 Datos no matcheados, - muestras grandes o varianzas conocidas Supongamos que tenemos muestras aleatorias de dos poblaciones con medias desconocidas y varianza conocidas. Para la población 1 media= µ 1 SD= σ 1 Tamaño muestral = n 1 media muestral= m 1 Para la población 2 media= µ 2 SD= σ 2 Tamaño muestral = n 2 media muestral= m 2 y deseamos estimar µ 1 - µ 2 Estimamos esto a través de un estimador insesgado que surge naturalmente m 1 - m 2 entonces 18

19 m 1 - m 2 ~ N (µ 1 - µ 2, σ 1 2 /n 1 + σ 2 2 /n 2 ) y el error estándar del estimador puntual es SE = (σ 1 2 /n 1 + σ 2 2 /n 2 ) Entonces m 1 - m 2 ± 1.96 * SE provee de un intervalo de confianza del 95%. Caso 2 Datos no matcheados tamaños muestrales pequeños Este es un caso difícil que debe ser analizado con cuidado. El rpblema es similar al visto en el caso 1 de manera tal que tenemos la siguiente distribución muestral m 1 - m 2 ~ N (µ 1 - µ 2, σ 1 2 /n 1 + σ 2 2 /n 2 ) como antes. Sin embargo, si procedemos a reemplazar las varianzas poblacionales por su correspondiente estimador muestral, entonces encontraremos dificultades porque el estadístico standarizado que obtenemos no sigue una distribución t y en consecuencia la teoria de intervalo de confianza no es de aplicación. Este dificil problema es conocido como el problema de Fisher Behrens, del que no nos ocuparemos aquí. En su lugar, si estamos en condiciones de hacer el supuesto que las poblaciones poseen la misma variabilidad, entonces es materia simple el computar el intervalo de confianza. Suponiendo σ 1 = σ 2 = σ, entonces el error estándar se transforma en σ (1/n 1 + 1/n 2 ), 19

20 que procedemos a estimar por s (1/n 1 + 1/n 2 ) en n 1 + n 2-2 grados de libertad., donde s 2 es computada a través de hacer un pool entre la suma corregida de cuadrados de ambas muestras, así s 2 = (SCC 1 + SCC 1 ) / (n 1 + n 2-2), o equivalentemente s 2 = {(n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 }/ (n 1 + n 2-2) con n 1 + n 2-2 grados de libertad. Esta última formula muestra que s 2 es una función ponderada de las varianzas muestrales ponderada por los grado de libertad-. Caso 3 Datos matcheados muestras pequeñas Este es el caso mas fácil de analizar, debido a que se reduce únicamente al análisis de diferencias. Si, en cada par de datos, tomamos la diferencia de los mismos, tendremos d 1 = x 1 y 1, d 2 = x 2 y 2,...d n = x n y n, entonces m d = m x m y, entonces utilizamos los d s para computar un intervalo de confianza para µ d obteniendo el requerido intervalo de confianza para µ x - µ y. La técnica utilizada es la misma que la de las secciones 7.3 y

21 5.15 Intervalos de confianza para las varianzas En esta sección describimos técnicas para determinar intervalo de confianza para varianzas en lugar de medias; en este caso estamos interesados en evaluar la variabilidad de nuestra población y en comparar la variabilidad de dos poblaciones mas que la media de dos poblaciones. No obstante los estadísticos y las distribuciónes muestrales son diferentes, los conceptos esenciales subyacentes en los que estos métodos se basan son exactamente iguales. Una diferencia básica entre inferencias de varianza e inferencias de medias surge en las distribuciónes muestrales. Para las medias, estan son simétricas (normal, o t), mientras que para las varianzas las distribuciones (chi cuadrada, o F) no lo son. Varianzas muestrales son estimadores bastante menos confiables que medias muestrales, de manera que buenos estimadores son posibles únicamente si el tamaño muestral es razonablemente grande o los datos no poseen mucha volatilidad. También, se parte del supuesto que los datos se obtienen de una distribución normal y, a diferencia de la media muestral, la distribución de la varianza muestral no es robusta a desviaciones de este supuesto. Se debe tener cuidado en asegurarse que los datos se distribuyen aproximadamente en forma normal. Finalmente, debe ser notado que, no obstante la discusión de este capítulo apunta a varianza poblacionales, su aplicación se extiende a desviaciones estandar poblacionales, con la obvia precaución de tomar la raiz cuadrada positiva. Un intervalo de confianza para una varianza Tests e intervalos de confianza para varianzas poblaciónales estan basados en la distribución muestral de la varianza muestral. Esando esta distribución muestral estamos en condiciones de hacer una aformacion como:- 21

22 P(L < (n 1) s 2 / σ 2 < U) =.95, donde L corta a nivel inferior la distribución chi cuadrada (χ 2 ) a.025 (2.5%), y U corta a nivel superior la distribución chi cuadrada a.025 (2.5%). Algunas manipulaciones algebraicas de esta relación proporcionan la formula estandar para el intervalo de confianza de la varianza: Esta es (n- 1)s 2 / U a (n- 1) s 2 / L Comparación de varianza El enfoque correcto para al comparación de volatilidades de dos poblaciones normales es a traves del ratio de sus varianzas poblacionales. Este tipo de procedimiento de inferencia es particularmente importante, como procedimiento de test, en el contexto de regresion y analisis de varianza (ANOVA). El ratio de varianzas muestrales es el estadístico natural a considerar en este caso, y puede ser demostrado que la distribución muestral basica en las que se respaldan estas inferencias se encuentra bien tabulada y es conocida como la distribución F. En términos generales, posee la misma forma que la distribución χ 2 y es, de hecho, la distribución muestral de la función: F = { s 1 2 / s 2 2 } / {σ 1 2 / σ 2 2 } [3] Esta basada en dos tipos de grados de libertad, los grados de libertda del numerador y del denominador. Los superiores estan asociados con s 1, mientras que los inferiores estan asociados a s 2. Tanto las tablas como funciones especiales de softwares proporcionan probabilidades a partir de los parámetros de consideración. 22

23 Intervalo de Confianza para el ratio de varianzas. Sea L el valor que corta a nivel inferior la distribución F con una probabilidad de 2.5%, y sea U el valor que corta a nivel superior la distribución F con una probabilidad de 2.5%. Entonces p(l < F < U) =.95 y sustituyendo en la formual [3] y después de un pequeño manipuleo de la desigualdad, arribamos a la fórmula para un intervalo de confianza del 95% para el ratio de varianzas, σ 2 1 / σ 2 2 como { s 1 2 / s 2 2 } /U a {s 1 2 / s 2 2 } /L 23

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística EYP14 Estadística para Construcción Civil 1 Inferencia Estadística El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre

Más detalles

Tests de hipótesis estadísticas

Tests de hipótesis estadísticas Tests de hipótesis estadísticas Test de hipótesis sobre la media de una población. Introducción con un ejemplo. Los tests de hipótesis estadísticas se emplean para muchos problemas, en particular para

Más detalles

Tema 10. Estimación Puntual.

Tema 10. Estimación Puntual. Tema 10. Estimación Puntual. Presentación y Objetivos. 1. Comprender el concepto de estimador y su distribución. 2. Conocer y saber aplicar el método de los momentos y el de máxima verosimilitud para obtener

Más detalles

Capítulo 7: Distribuciones muestrales

Capítulo 7: Distribuciones muestrales Capítulo 7: Distribuciones muestrales Recordemos: Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos.

Más detalles

Clase 8: Distribuciones Muestrales

Clase 8: Distribuciones Muestrales Clase 8: Distribuciones Muestrales Distribución Muestral La inferencia estadística trata básicamente con generalizaciones y predicciones. Por ejemplo, podemos afirmar, con base a opiniones de varias personas

Más detalles

Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza. Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD.

Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza. Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD. Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD. Experimentación en sistemas aleatorios: Factores Controlables Entradas proceso Salidas Factores No controlables

Más detalles

8. Estimación puntual

8. Estimación puntual 8. Estimación puntual Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 8. Estimación puntual Curso 2009-2010 1 / 30 Contenidos 1 Introducción 2 Construcción de estimadores

Más detalles

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA pag 3. Prohibida su reproducción ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA Una muestra permite realizar estimaciones puntuales de los parámetros de la población. Utilizando las propiedades de las distribuciones

Más detalles

Grado en Finanzas y Contabilidad

Grado en Finanzas y Contabilidad Econometría Grado en Finanzas y Contabilidad Apuntes basados en el libro Introduction to Econometrics: A modern Approach de Wooldridge 5.2 Estimadores de Variables Instrumentales La endogeneidad aparece

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística Felipe José Bravo Márquez 11 de noviembre de 2013 Para realizar conclusiones sobre una población, generalmente no es factible reunir todos los datos de ésta. Debemos realizar conclusiones razonables respecto

Más detalles

Estimación de una probabilidad

Estimación de una probabilidad Estimación de una probabilidad Introducción En general, la probabilidad de un suceso es desconocida y debe estimarse a partir de una muestra representativa. Para ello, deberemos conocer el procedimiento

Más detalles

T.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL

T.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL T.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL 1. INTRODUCCIÓN: ESTIMACIÓN Y ESTIMADOR 2. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES 3. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN. EJEMPLO 1, EJEMPLO 2 1. Introducción: Estimación y Estimador En este tema se analizan

Más detalles

Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales

Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales Cuando se analizan datos, el interés del analista suele centrarse en dos grandes objetivos:

Más detalles

TABLAS DE CONTINGENCIA (CROSS-TAB): BUSCANDO RELACIONES DE DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES CATEGÓRICAS 1

TABLAS DE CONTINGENCIA (CROSS-TAB): BUSCANDO RELACIONES DE DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES CATEGÓRICAS 1 TABLAS DE CONTINGENCIA (CROSS-TAB): BUSCANDO RELACIONES DE DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES CATEGÓRICAS 1 rafael.dearce@uam.es El objeto de las tablas de contingencia es extraer información de cruce entre dos

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA INFERENCIA ESTADÍSTICA Pensemos en los tres siguientes ejemplos: Hacemos una encuesta entre los clientes de una tienda para preguntarles su opinión sobre cambios generales que pretendemos hacer en diversas

Más detalles

Unidad 9. Estimación

Unidad 9. Estimación Unidad 9 Estimación Estimación En los capítulos anteriores se han estudiado las nociones fundamentales de distribución de probabilidad y distribución muestral. Estamos ya en condiciones de tratar los métodos

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA Capítulo 4 INFERENCIA ESTADÍSTICA 4.1. Introducción Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra. La estadística, ciencia o rama de las Matemáticas que se

Más detalles

Clase 2: Estadística

Clase 2: Estadística Clase 2: Estadística Los datos Todo conjunto de datos tiene al menos dos características principales: CENTRO Y DISPERSIÓN Los gráficos de barra, histogramas, de puntos, entre otros, nos dan cierta idea

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL

BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL Ramón Mahía Febrero 013 Prof. Ramón Mahía ramon.mahia@uam.es Qué se entiende por Multicolinealidad en el marco

Más detalles

Problemas de Probabilidad resueltos.

Problemas de Probabilidad resueltos. Problemas de Probabilidad resueltos. Problema 1 El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 dias. Además, ha comprobado que uno de cada 10 dias en los que pone el despertador acaba no levandandose

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EJERCICIOS 5 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 2009 1. Una compañía de seguros utiliza la

Más detalles

Curso de Estadística no-paramétrica

Curso de Estadística no-paramétrica Curso de Estadística no-paramétrica Sesión 1: Introducción Inferencia no Paramétrica David Conesa Grup d Estadística espacial i Temporal Departament d Estadística en Epidemiologia i Medi Ambient i Investigació

Más detalles

Capítulo 10. Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos

Capítulo 10. Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos Capítulo 10 Análisis descriptivo: Los procedimientos Frecuencias y Descriptivos Al analizar datos, lo primero que conviene hacer con una variable es, generalmente, formarse una idea lo más exacta posible

Más detalles

Unidad 6. Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras

Unidad 6. Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras Unidad 6 Distribuciones de probabilidad continua, muestreo y distribución de muestras Introducción La unidad 5 se enfocó en el estudio de las distribuciones de probabilidad discreta, entre las cuales

Más detalles

Clase 2: Estadística

Clase 2: Estadística Clase 2: Estadística Los datos Todo conjunto de datos tiene al menos dos características principales: CENTRO Y DISPERSIÓN Los gráficos de barra, histogramas, de puntos, entre otros, nos dan cierta idea

Más detalles

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE JUNIO 2014 MÍNIMOS: No son contenidos mínimos los señalados como de ampliación. I. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD

Más detalles

Estimación. Intervalos de Confianza para la Media y para las Proporciones

Estimación. Intervalos de Confianza para la Media y para las Proporciones Estimación. Intervalos de Confianza para la Media y para las Proporciones Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estadística Inferencial Instituto Tecnológico de Chiuhuahua Estimación El objetivo

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN Suponga que le pedimos a un grupo de estudiantes de la asignatura de estadística que registren su peso en kilogramos. Con los datos del peso de los estudiantes

Más detalles

Tema 2 - Introducción

Tema 2 - Introducción Tema 2 - Introducción 1 Tema 1. Introducción a la inferencia estadística Planteamientos y objetivos. Revisión de distribuciones multivariantes. Esperanza y varianza de sumas de v.a. independientes. Tema

Más detalles

Tema 2: Estimación puntual

Tema 2: Estimación puntual Tema 2: Estimación puntual 1 (basado en el material de A. Jach (http://www.est.uc3m.es/ajach/) y A. Alonso (http://www.est.uc3m.es/amalonso/)) Planteamiento del problema: estimador y estimación Insesgadez

Más detalles

Tema 12: Contrastes Paramétricos

Tema 12: Contrastes Paramétricos Tema 1 Tema 1: Contrastes Paramétricos Presentación y Objetivos. Se comienza este tema introduciendo la terminología y conceptos característicos de los contrastes de hipótesis, típicamente a través de

Más detalles

Tema 1. Inferencia estadística para una población

Tema 1. Inferencia estadística para una población Tema 1. Inferencia estadística para una población Contenidos Inferencia estadística Estimadores puntuales Estimación de la media y la varianza de una población Estimación de la media de la población mediante

Más detalles

DESCRIPCIÓN ESPECÍFICA

DESCRIPCIÓN ESPECÍFICA DESCRIPCIÓN ESPECÍFICA NÚCLEO: COMERCIO Y SERVICIO SUBSECTOR: PRODUCCION Y SALUD OCUPACIONAL Nombre del Módulo: Análisis estadístico de datos. total: 45 HORAS. Objetivo General: Analizar la conformidad

Más detalles

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Variables Aleatorias Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del EM. Ejemplo 1: El EM que da una

Más detalles

Statgraphics Centurión

Statgraphics Centurión Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Valladolid 1 Statgraphics Centurión I.- Nociones básicas El paquete Statgraphics Centurión es un programa para el análisis estadístico que

Más detalles

TEMA 6: Gráficos de Control por Variables

TEMA 6: Gráficos de Control por Variables TEMA 6: Gráficos de Control por Variables 1 Introducción 2 Gráficos de control de la media y el rango Función característica de operación 3 Gráficos de control de la media y la desviación típica 4 Gráficos

Más detalles

Tema 2 Estadística Descriptiva

Tema 2 Estadística Descriptiva Estadística Descriptiva 1 Tipo de Variables 2 Tipo de variables La base de datos anterior contiene la información de 2700 individuos con 8 variables. Los datos provienen de una encuesta nacional realizada

Más detalles

"CONTRASTES DE HIPÓTESIS" 4.4 Parte básica

CONTRASTES DE HIPÓTESIS 4.4 Parte básica 76 "CONTRASTES DE HIPÓTESIS" 4.4 Parte básica 77 4.4.1 Introducción a los contrastes de hipótesis La Inferencia Estadística consta de dos partes: Estimación y Contrastes de Hipótesis. La primera se ha

Más detalles

ANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS

ANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS ANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS ESCALAS DE MEDIDA CATEGORICAS Jorge Galbiati Riesco Los datos categóricos son datos que provienen de resultados de experimentos en que sus resultados se miden en escalas

Más detalles

Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil. Marzo 14 de 2012

Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil. Marzo 14 de 2012 Contenido Motivación Métodos computacionales Integración de Montecarlo Muestreo de Gibbs Rejection Muestreo Importante Metropolis - Hasting Markov Chain Montecarlo Method Complemento ejemplos libro: Bayesian

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Medidas de tendencia Central

Medidas de tendencia Central Medidas de tendencia Central 7.1 Media 7.1.1 Media para un conjunto de datos no agrupados Este parámetro lo usamos con tanta cotidianidad que nos será muy familiar, aunque también aprenderemos algunas

Más detalles

I1.1 Estudios observacionales IISESIÓN DISEÑO O DE ESTUDIOS EN INVESTIGACIÓN N MÉDICA DESCRIPTIVA CURSO DE. 1.2 Estudios experimentales

I1.1 Estudios observacionales IISESIÓN DISEÑO O DE ESTUDIOS EN INVESTIGACIÓN N MÉDICA DESCRIPTIVA CURSO DE. 1.2 Estudios experimentales 1 2 3 4 5 6 ESQUEMA DEL CURSO ESTADÍSTICA BÁSICA DISEÑO DE EXPERIMENTOS CURSO DE ESTADÍSTICA STICA BÁSICAB ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TIPOS DE VARIABLES MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL Y DE DISPERSIÓN TABLAS

Más detalles

Tema 5: Introducción a la inferencia estadística

Tema 5: Introducción a la inferencia estadística Tema 5: Introducción a la inferencia estadística 1. Planteamiento y objetivos 2. Estadísticos y distribución muestral 3. Estimadores puntuales 4. Estimadores por intervalos 5. Contrastes de hipótesis Lecturas

Más detalles

8.2.2. Intervalo para la media (caso general)

8.2.2. Intervalo para la media (caso general) 182 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones 100 de ellos se obtiene una media muestral de 3 kg, y una desviación típica de 0,5 kg, calcular un intervalo de confianza para la media poblacional que presente

Más detalles

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Dr. http://academic.uprm.edu/eacunaf UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Se introducirá el concepto de variable

Más detalles

SESIÓN PRÁCTICA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. PROF. Esther González Sánchez. Departamento de Informática y Sistemas

SESIÓN PRÁCTICA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. PROF. Esther González Sánchez. Departamento de Informática y Sistemas SESIÓN PRÁCTICA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROF. Esther González Sánchez Departamento de Informática y Sistemas Facultad de Informática Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Más detalles

7.- PRUEBA DE HIPOTESIS

7.- PRUEBA DE HIPOTESIS 7.- PRUEBA DE HIPOTEI 7.1. INTRODUCCIÓN La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. in embargo es frecuente que usemos la información

Más detalles

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Ingeniería Técnica Industrial Métodos estadísticos de la ingeniería Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica

Más detalles

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos Curso I-1 Análisis Estadístico de Datos Climáticos Distribuciones de Probabilidad Mario Bidegain (FC) Alvaro Diaz (FI) Universidad de la República Montevideo, Uruguay 2011 I-2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Más detalles

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas. Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos

Más detalles

Introducción a la Teoría de Probabilidad

Introducción a la Teoría de Probabilidad Capítulo 1 Introducción a la Teoría de Probabilidad Para la mayoría de la gente, probabilidad es un término vago utilizado en el lenguaje cotidiano para indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento

Más detalles

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida

Más detalles

Test de hipótesis. Si H0 es cierta el estadístico. sigue una distribución t de Student con n grados de libertad: s n

Test de hipótesis. Si H0 es cierta el estadístico. sigue una distribución t de Student con n grados de libertad: s n Un diseño experimental que se utiliza muy a menudo es el de un grupo control y uno de tratamiento. En el caso de que los datos sean cuantitativos y sigan una distribución normal, la hipótesis de interés

Más detalles

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial.

Academia de Matemáticas. Apuntes para la Materia de Estadística II. Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial. UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Academia de Matemáticas Apuntes para la Materia de Estadística II Guía Básica para el Estudio de la Estadística

Más detalles

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad 1.- Una compañía de seguros tiene 1000 asegurados en el ramo de accidentes. Si la el modelo mejor para el número de siniestros en un año es: a) Normal (5;,3).

Más detalles

Covarianza y coeficiente de correlación

Covarianza y coeficiente de correlación Covarianza y coeficiente de correlación Cuando analizábamos las variables unidimensionales considerábamos, entre otras medidas importantes, la media y la varianza. Ahora hemos visto que estas medidas también

Más detalles

UNIDAD 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

UNIDAD 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL UNIDAD 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Objetivo terminal: Calcular e interpretar medidas de tendencia central para un conjunto de datos estadísticos. Objetivos específicos: 1. Mencionar las características

Más detalles

- se puede formular de la siguiente forma:

- se puede formular de la siguiente forma: Multicolinealidad 1 Planteamiento Una de las hipótesis del modelo de regresión lineal múltiple establece que no existe relación lineal exacta entre los regresores, o, en otras palabras, establece que no

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

Estimación puntual. Estadística II. Curso 2011/2012. Universidad de Salamanca

Estimación puntual. Estadística II. Curso 2011/2012. Universidad de Salamanca Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012 Outline 1 Introducción 2 3 4 Introducción Una estimación puntual de algún parámetro poblacional θ es un valor único del estadístico θ. Por ejemplo,

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA

INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Páginas 74-75 Lanzamiento de varios dados Comprobación de que: Desviación típica de n dados = (Desv. típica para un dado) / 1,71 n = 1,1 1,71 n = 3 0,98

Más detalles

Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008

Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008 Muestreo estadístico. Relación 2 Curso 2007-2008 1. Para tomar la decisión de mantener un determinado libro como texto oficial de una asignatura, se pretende tomar una muestra aleatoria simple entre los

Más detalles

ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus José Carlos Vega Vilca, Ph.D.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus José Carlos Vega Vilca, Ph.D. UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS INSTITUTO DE ESTADISTICA ANÁLISIS ESTADÍSTICO Calculadora Gráfica TI 83 Plus, Ph.D. Presentación Este curso ofrece al estudiante, la posibilidad

Más detalles

Tema 3: El modelo de regresión lineal múltiple

Tema 3: El modelo de regresión lineal múltiple Econometría 1 curso 2009-2010 Tema 3: El modelo de regresión lineal múltiple Genaro Sucarrat (Departamento de Economía, UC3M) http://www.eco.uc3m.es/sucarrat/ Recordamos: El modelo de regresión lineal

Más detalles

REPASO CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

REPASO CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO COCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓ ORMAL. Éste es un breve repaso de conceptos básicos de estadística que se han visto en cursos anteriores y que son imprescindibles antes de acometer

Más detalles

ANÁLISIS DE VARIANZA EMPLEANDO EXCEL y WINSTATS

ANÁLISIS DE VARIANZA EMPLEANDO EXCEL y WINSTATS ANÁLISIS DE VARIANZA EMPLEANDO EXCEL y WINSTATS 1) INTRODUCCIÓN El análisis de varianza es una técnica que se puede utilizar para decidir si las medias de dos o más poblaciones son iguales. La prueba se

Más detalles

3. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LAS PRECIPITACIONES EN EL MAR CASPIO

3. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LAS PRECIPITACIONES EN EL MAR CASPIO Análisis estadístico 31 3. ANÁLII ETADÍTICO DE LA PRECIPITACIONE EN EL MAR CAPIO 3.1. ANÁLII Y MÉTODO ETADÍTICO UTILIZADO 3.1.1. Introducción Una vez analizado el balance de masas que afecta al mar Caspio

Más detalles

TRATAMIENTO DE BASES DE DATOS CON INFORMACIÓN FALTANTE SEGÚN ANÁLISIS DE LAS PÉRDIDAS CON SPSS

TRATAMIENTO DE BASES DE DATOS CON INFORMACIÓN FALTANTE SEGÚN ANÁLISIS DE LAS PÉRDIDAS CON SPSS Badler, Clara E. Alsina, Sara M. 1 Puigsubirá, Cristina B. 1 Vitelleschi, María S. 1 Instituto de Investigaciones Teóricas y Aplicadas de la Escuela de Estadística (IITAE) TRATAMIENTO DE BASES DE DATOS

Más detalles

ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) José Vicéns Otero Ainhoa Herrarte Sánchez Eva Medina Moral

ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) José Vicéns Otero Ainhoa Herrarte Sánchez Eva Medina Moral ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) José Vicéns Otero Ainhoa Herrarte Sánchez Eva Medina Moral Enero 2005 1.- INTRODUCCIÓN En múltiples ocasiones el analista o investigador se enfrenta al problema de determinar

Más detalles

Estimación puntual. Estadística aplicada a la empresa II Prof. D. Juan José Pérez Castejón

Estimación puntual. Estadística aplicada a la empresa II Prof. D. Juan José Pérez Castejón Estimación puntual Estadística aplicada a la empresa II Prof. D. Juan José Pérez Castejón 1 ESTIMACIÓN PUNTUAL Tras hacernos a la idea en el tema anterior de lo que la inferencia estadística es y persigue,

Más detalles

Multiple Linear Regression

Multiple Linear Regression Multiple Linear Regression Aniel Nieves-González Abril 2013 Aniel Nieves-González () Time Series Abril 2013 1 / 15 Considere el ejemplo en cual queremos modelar las ventas en una cadena de tiendas por

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA

INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Página 75 REFLEXIONA Y RESUELVE Lanzamiento de varios dados Comprueba en la tabla anterior ue: DESV. TÍPICA PARA n DADOS n = 8 1,71 1,1 n = 3 8 1,71 3 0,98

Más detalles

Tema 5. Análisis de regresión (segunda parte) Estadística II, 2010/11

Tema 5. Análisis de regresión (segunda parte) Estadística II, 2010/11 Tema 5 Análisis de regresión (segunda parte) Estadística II, 2010/11 Contenidos 5.1: Diagnóstico: Análisis de los residuos 5.2: La descomposición ANOVA (ANalysis Of VAriance) 5.3: Relaciones no lineales

Más detalles

CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE BLACK & SCHOLES

CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE BLACK & SCHOLES CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO BINOMIAL AL MODELO DE BLACK & SCHOLES Para la valuación de opciones hay dos modelos ampliamente reconocidos como son el modelo binomial y el modelo de Black

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Inferencia Estadística Paula Lagares Barreiro * Justo Puerto Albandoz * MaMaEuSch ** Management Mathematics

Más detalles

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería Universidad de la República, Montevideo, Uruguay

Más detalles

Precio del alquiler de pisos durante una serie de meses. Evolución del índice del precio del trigo con mediciones anuales.

Precio del alquiler de pisos durante una serie de meses. Evolución del índice del precio del trigo con mediciones anuales. Series Temporales Introducción Una serie temporal se define como una colección de observaciones de una variable recogidas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones se suelen recoger en instantes

Más detalles

7.6 Comparación entre dos medias Poblacionales usando muestras independientes

7.6 Comparación entre dos medias Poblacionales usando muestras independientes 7.6 Comparación entre dos medias Poblacionales usando muestras independientes Supongamos que se tiene dos poblaciones distribuidas normalmente con medias desconocidas µ y µ, respectivamente. Se puede aplicar

Más detalles

MUESTREO TIPOS DE MUESTREO

MUESTREO TIPOS DE MUESTREO MUESTREO En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población), se selecciona una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de

Más detalles

Control de calidad del Hormigón

Control de calidad del Hormigón Control de calidad del Hormigón Calidad Hay muchos factores involucrados en la producción del hormigón, desde los materiales, la dosificación de la mezcla, el transporte, la colocación, el curado y los

Más detalles

Estadística Administrativa I

Estadística Administrativa I 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: Horas teoría-horas práctica-créditos Estadística Administrativa I Licenciatura en Administración ADT-0426 2-3-7 2.-

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005

Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005 Estadística aplicada y modelización. 15 de junio de 2005 SOLUCIÓN MODELO A 1. En una población de fumadores se quiere examinar la relación entre el número de cigarrillos que consumen diariamente y el número

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Métodos de promedios. Diplomado en Gestión Estratégica de las Finanzas Públicas MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE INGRESOS

Métodos de promedios. Diplomado en Gestión Estratégica de las Finanzas Públicas MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE INGRESOS MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE INGRESOS La estimación o proyección de ingresos futuros puede llevarse a cabo mediante diferentes métodos estadísticos de extrapolación, entre ellos: sistema

Más detalles

DIPLOMADO EN RELACIONES LABORALES Estadística Asistida por Ordenador Curso 2008-2009

DIPLOMADO EN RELACIONES LABORALES Estadística Asistida por Ordenador Curso 2008-2009 Índice general 6. Regresión Múltiple 3 6.1. Descomposición de la variabilidad y contrastes de hipótesis................. 4 6.2. Coeficiente de determinación.................................. 5 6.3. Hipótesis

Más detalles

Tema 7: Estadística y probabilidad

Tema 7: Estadística y probabilidad Tema 7: Estadística y probabilidad En este tema revisaremos: 1. Representación de datos e interpretación de gráficas. 2. Estadística descriptiva. 3. Probabilidad elemental. Representaciones de datos Cuatro

Más detalles

Números aleatorios. Contenidos

Números aleatorios. Contenidos Números aleatorios. Contenidos 1. Descripción estadística de datos. 2. Generación de números aleatorios Números aleatorios con distribución uniforme. Números aleatorios con otras distribuciones. Método

Más detalles

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL Capítulo 3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL 3.1. Introducción Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

Capítulo 14. Análisis de varianza de un factor: El procedimiento ANOVA de un factor

Capítulo 14. Análisis de varianza de un factor: El procedimiento ANOVA de un factor Capítulo 14 Análisis de varianza de un factor: El procedimiento ANOVA de un factor El análisis de varianza (ANOVA) de un factor sirve para comparar varios grupos en una variable cuantitativa. Se trata,

Más detalles

Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones

Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones Introducción Las Compañías aseguradoras determinan sus precios basadas en modelos y en información histórica

Más detalles

Parámetros y estadísticos

Parámetros y estadísticos Parámetros y estadísticos «Parámetro»: Es una cantidad numérica calculada sobre una población y resume los valores que esta toma en algún atributo Intenta resumir toda la información que hay en la población

Más detalles

Botella-Rocamora, P.; Alacreu-García, M.; Martínez-Beneito, M.A.;

Botella-Rocamora, P.; Alacreu-García, M.; Martínez-Beneito, M.A.; Inferencia estadística (intervalos de confianza y p-valor). Comparación de dos poblaciones (test t de comparación de medias, comparación de dos proporciones, comparación de dos varianzas). Botella-Rocamora,

Más detalles

UNED. DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS [TEMA 8] Análisis de Regresión Lineal Simple y Múltiple

UNED. DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS [TEMA 8] Análisis de Regresión Lineal Simple y Múltiple 011 UNED DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS [TEMA 8] Análisis de Regresión Lineal Simple y Múltiple 1 Índice 8.1 Introducción... 3 8. Objetivos... 4 8.3 Análisis de Regresión Simple... 4 8.3.1

Más detalles

Capítulo 15. Análisis de varianza factorial El procedimiento Modelo lineal general: Univariante

Capítulo 15. Análisis de varianza factorial El procedimiento Modelo lineal general: Univariante Capítulo 15 Análisis de varianza factorial El procedimiento Modelo lineal general: Univariante Los modelos factoriales de análisis de varianza (factorial = más de un factor) sirven para evaluar el efecto

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Administración de Empresas. 11 Métodos dinámicos de evaluación de inversiones 11.1

Administración de Empresas. 11 Métodos dinámicos de evaluación de inversiones 11.1 Administración de Empresas. 11 Métodos dinámicos de evaluación de inversiones 11.1 TEMA 11: MÉTODOS DINÁMICOS DE SELECCIÓN DE INVERSIONES ESQUEMA DEL TEMA: 11.1. Valor actualizado neto. 11.2. Tasa interna

Más detalles