Estimación puntual y por intervalos

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1 0/1/011 Aálisis de datos gestió veteriaria Estimació putual por itervalos Departameto de Producció Aimal Facultad de Veteriaria Uiversidad de Córdoba Córdoba, 30 de Noviembre de 011 Estimació putual por itervalos Estimació putual Características de los estimadores Estimació por itervalos I.C. media I.C. variaza I.C. proporcioes I.C. diferecia de medias I.C. diferecia de proporcioes Tamaño muestral 1

2 0/1/011 Estimació putual por itervalos N =???? = milloes de votates Iferecias. Geeralizacioes a partir de la muestra a la població. los estadísticos se utiliza como estimadores de los parámetros de la població, como la edad media de los votates de la població = votates calculamos estadísticos, como la edad media de los votates de la muestra Estimació putual por itervalos Si se calcula u itervalo e el que se tiee elevada seguridad de que cotiee = al verdadero parámetro, se trata votates de estimación por =?? itervalos?? = milloes de votates Si se calcula u úico valor como estimador, se trata de estimació putual

3 0/1/011 Estimació putual La presió arterial de u caballo fue medida 10 veces e ua clíica determiada: 10, 16, 5, 10, 1, 8, 4, 6, 5, 4 Hallar estimacioes putuales para la media, variaza, desviació típica, la proporció para los que la presió fue maor que 8, = i = = 8 10 s = 15,78 1 = = 9 i s = s = 15,78 = 3,97 4 pˆ = = = 0,4 10 Estimació putual Població Estimador Estimació Media µ X X Variaza σ X S X s Desv. típica σ X S X s Proporció p pˆx pˆ 3

4 0/1/011 Estimació putual U estimador es isesgado si la media de la distribució muestral es el parámetro descoocido e la població. f(estimador) 0,4 0,3 0, 0,1 ( ˆ) Parámetro E θ = θ Estimador Estimació putual U estimador es isesgado si la media de la distribució muestral es el parámetro descoocido e la població. f(estimador) 0,4 0,3 0, 0,1 Parámetro E( ˆ θ) = θ Estimador 4

5 0/1/011 Estimació putual U estimador es isesgado si la media de la distribució muestral es el parámetro descoocido e la població. ( ) ( X) E X E S X ( ˆ ) X = µ X = σ E p = p E( ˆ θ) = θ La desviació típica o es u estimador isesgado Estimació putual U estimador es más eficiete que otro si su variaza es meor. Var ( ˆ θ1) < Var( ˆ θ) Eficiecia relativa Var Var ( ˆ θ) ( ˆ θ1) 5

6 0/1/011 Estimació por itervalos Para determiar la proporció de botellas de leche defectuosas, el Dpto. de Cotrol de Calidad de ua empresa toma ua muestra. = botellas defectuosas p ˆ = 0,1 = botellas defectuosas p ˆ = 0,1 Estimació por itervalos Para determiar la proporció de botellas de leche defectuosas, el Dpto. de Cotrol de Calidad de ua empresa toma ua muestra. pero si es 100 veces superior, o habrá más cofiaza?... = 100 = botellas defectuosas 100 botellas defectuosas p ˆ = 0,1 p ˆ = 0,1 6

7 0/1/011 Estimació por itervalos La estimació putual, posiblemete, La estimació putual, más coicide co la posiblemete, coicide proporció co la proporció empresa toma ua muestra. poblacioal poblacioal Para determiar la proporció de botellas de leche defectuosas, el Dpto. de Cotrol de Calidad de ua = 100 = botellas defectuosas 100 botellas defectuosas p ˆ = 0,1 p ˆ = 0,1 Estimació por itervalos Para determiar la proporció de botellas de leche defectuosas, el Dpto. de Cotrol de Calidad de ua empresa toma ua muestra. pero si es 100 veces superior, o habrá más cofiaza?... = 100 = botellas defectuosas 100 botellas defectuosas p ˆ = 0,1 p ˆ = 0,1 Co ua cofiaza del 95%: 0,035 < p < 0,54 Co ua cofiaza del 95%: 0,086 < p < 0,13 7

8 0/1/011 Estimació por itervalos U estimador por itervalos de u parámetro poblacioal es u itervalo e el que ha ua probabilidad determiada de ecotrar dicho parámetro. = 100 = botellas defectuosas 100 botellas defectuosas p ˆ = 0,1 p ˆ = 0,1 Co ua cofiaza del 95%: 0,035 < p < 0,54 Co ua cofiaza del 95%: 0,086 < p < 0,13 Estimació por itervalos U estimador por itervalos de u parámetro poblacioal es u itervalo e el que ha ua probabilidad determiada de ecotrar dicho parámetro. ( θ B) 1 1 ivel de cofiaza del itervalo = 100 = botellas defectuosas 100 botellas defectuosas p ˆ = 0,1 p ˆ = 0,1 Co ua cofiaza del 95%: 0,035 < p < 0,54 P A< < = Co ua cofiaza del 95%: 0,086 < p < 0,13 8

9 0/1/011 Estimació putual por itervalos Estimació putual Características de los estimadores Estimació por itervalos I.C. media I.C. variaza I.C. proporcioes I.C. diferecia de medias I.C. diferecia de proporcioes Tamaño muestral I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida X µ Z = IC= 1 σ / 0,4 0,3 fz(z) 0, 0, Z 9

10 0/1/011 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida X µ Z = IC= 1 σ / 1 = 0,9 = 0,1 0,4 0,3 fz(z) 0, 0,1 5% 90% 5% Z I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida 1 = 0,9 = 0,1 El 90% de los itervalos de cofiaza cotedrá la media poblacioal µ 10

11 0/1/011 X µ Z = σ / I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida 0,4 0,3 1 = 0,9 = 0,1 z z / = 0,05 ( ) P Z < 1, 645 = F (1, 645) = 0,95 P( 1,645< Z < 1, 645) = 1 P( Z > 1, 645) P( Z < 1,645) = 1 0, 05 0, 05 z fz(z) 0, 0,1 P( Z < 1, 645) = 0, z 0,05 z 0,05 Z P( Z > 1, 645) = 0, 05 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida P( 1,645< Z < 1, 645) = 1 P( Z > 1, 645) P( Z < 1,645) = 1 0, 05 0, 05 X µ 0, 90 = P( 1, 645< Z < 1, 645) = P 1, 645< < 1, 645 = σ / 1,645σ 1,645σ = P < X µ < = 1,645σ 1,645σ = P X < µ < X + Itervalo de cofiaza del 100(1 )% z σ z < µ < + / / P( Z > z / ) = σ 11

12 0/1/011 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida Ua fábrica produce latas de sardias. El peso de las latas sigue ua distribució ormal, co desviació típica de 15 gr. El coteido de ua muestra de 5 latas pesa 100 gr de media. Calcular u itervalo de cofiaza del 95% para el verdadero peso medio de las latas de sardias. 100(1-)=95, por lo que =0,05 z / σ z /σ z / = z < µ < + 0,05 F ( z ) = 1,96 z 0,05 1,96 1, 1,96 1, 100 < µ < 100+ = 5 5 = 94,1< µ < 105,88 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida La logitud del itervalo de cofiaza depede de: 1. El úmero de observacioes de la muestra lo dismiue. La variaza lo icremeta 3. La cofiaza del itervalo lo icremeta 1

13 0/1/011 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida Si el tamaño muestral es grade, - Se puede utilizar la variaza muestral como variaza poblacioal - La població puede desviarse de la distribució ormal Itervalo de cofiaza del z s z < µ < + 100(1 )% / / s P( Z > z /) = I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal coocida Se pregutó a 17 gaaderos sobre sus codicioes de trabajo e ua escala de 1 (mu malas) a 5 (mu bueas). La calificació media fue de 3,8, co desviació típica de 0,70. Calcular u itervalo de cofiaza del 99% para la media poblacioal. z z / = 0,005 F ( z ) =,575 z 0, (1-)=99, por lo que =0,01 z σ z < µ < + / / σ,575 0, 70,575 0, 70 4,38 < µ < 4,38+ = = 4, 4< µ < 4,5 13

14 0/1/011 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal descoocida Si el tamaño muestral es pequeño, se puede utilizar la desviació típica muestral como desviació típica poblacioal. t= X µ s / Esta variable aleatoria o sigue la distribució ormal estádar, sio la distribució t de Studet co ( 1) grados de libertad. I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal descoocida Si el tamaño muestral es pequeño, se puede utilizar la desviació típica muestral como desviació típica poblacioal. f(t) 0,4 0,3 0, t= X µ s / Esta variable aleatoria o sigue la 0,1 distribució ormal estádar, sio la distribució 0 t de Studet co ( 1) grados de libertad. t5 14

15 0/1/011 I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal descoocida Si el tamaño muestral es pequeño, se puede utilizar la desviació típica muestral como desviació típica poblacioal. Itervalo de cofiaza del t s t s < µ < + 1, / 1, / 100(1 )% Pt ( 1 > t 1, /) = t I.C. para la media: població ormal variaza poblacioal descoocida Se estudió el porcetaje de icremeto de ceso gaadero (e UGM) e 17 muicipios adaluces, desde el año.000 a la actualidad. La media muestral fue de 0,105 la d.t. de 0,440. Calcule u itervalo para la media del 95%, asumiedo la distribució ormal de la població. 1, / = t16,0,05 =,10 100(1-)=95, por lo que =0,05 1 = 16 t 1, /s t 1, /s < µ < +,10 0, 440,10 0, 440 0,105 < µ < 0,105+ = = 0,11< µ < 0,331 15

16 0/1/011 I.C. para proporcioes de la població (muestras grades) Z = pˆ p p(1 p) / Bastate fiable co 40 Itervalo de cofiaza del 100(1 )% ( 1 ) p ( 1 p ) pˆ pˆ ˆ ˆ pˆ ˆ z < p< p + z / / P( Z > z /) = I.C. para proporcioes de la població (muestras grades) A ua muestra aleatoria de 14 clietes de ua clíica veteriaria se les pregutó por la calidad del servicio. 87 cotestaro que bueo o mu bueo. Calcule u itervalo de cofiaza del 95% para todos los clietes. z / z0,05 1, (1-)=95, por lo que =0,05 = = ( ) ( ) pˆ 1 pˆ pˆ 1 pˆ pˆ ˆ z < p< p + z / / 0, 613 0, 387 0, 613 0, 387 0,613 1,96 < p< 0,613+ 1, ,53< p< 0,693 16

17 0/1/011 I.C. para la variaza de ua població procedimieto ormal es mu poco fiable Si la població o sigue ua distribució ormal, este χ ( 1) s = σ 1 f(chi-cuadrado) 0,1 0,08 0,06 0,04 0, χv,1 / χ v, / chi-cuadrado I.C. para la variaza de ua població ormal χ ( 1) s = σ 1 Itervalo de cofiaza del 100(1 )% ( 1) s ( 1) s χ < σ < 1, / χ 1,1 / P > = < = ( χ 1 χ 1, /) P( χ 1 χ 1,1 /) 17

18 0/1/011 χ χ I.C. para la variaza de ua població ormal Ua muestra aleatoria de 15 pastillas para el dolor tiee ua desviació típica de 0,8% e la cocetració del fármaco. Hallar u I.C. del 90% para la variaza poblacioal. = χ = 3,68 1, / 14,0,05 = χ = 6,57 1,1 / 14,0,95 100(1-)=90, por lo que =0,10 ( 1) s ( 1) s χ < σ < 1, / χ 1,1 / 14 0, , 64 σ 3, 68 6,57 0,378 σ 1,364 < < = < < I.C. media, variaza proporcioes I.C. media (si la població o es ormal, el error asumido es pequeño) Si la població es ormal la variaza coocida, o si es grade Si la població es ormal, la variaza descoocida es pequeño I.C. proporcioes (fiable si >40) I.C. variaza (si la població o es ormal, es poco fiable) z / t 1, / z / χ χ 1, / 1,1 / 18

19 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales U gaadero está cosiderado el uso de dos vacuas alterativas está iteresado e la diferecia de las produccioes auales medias por oveja. De la població co la vacua A se etrae ua muestra aleatoria de i idividuos. De la població co la vacua B se etrae ua muestra aleatoria de j idividuos. Se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepedietes etraídas aleatoriamete de poblacioes ormales. I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales U veteriario está cosiderado la efectividad de u programa de etreamieto equio, iteresado e la velocidad de carrera. De la població se etrae ua muestra aleatoria de idividuos. Se estudia la diferecia de medias ates después del programa de etreamieto e los mismos sujetos. Estos sujetos costitue ua muestra, etraída aleatoriamete de la població ormal. 19

20 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes Se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepedietes etraídas aleatoriamete de poblacioes ormales. Diferecia de medias co datos pareados Se estudia la diferecia de medias ates después del tratamieto e los mismos sujetos que costitue ua muestra, etraída aleatoriamete de la població ormal. I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias co datos pareados Se estudia la diferecia de medias ates después del tratamieto e los mismos sujetos que costitue ua muestra, etraída aleatoriamete de la població ormal. 0

21 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias co datos pareados U veteriario está cosiderado la efectividad de u programa de etreamieto equio para caballos, iteresado e la velocidad de carrera. Se seleccioa 8 caballos para el programa de etreamieto. Se mide la velocidad ates después del programa de etreamieto, que dura 8 semaas. I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales ( ) Diferecia de medias co datos pareados µ µ Si la distribució poblacioal asumida es ormal, se platea el cálculo de u itervalo de cofiaza para la media poblacioal caballo pre caballo post diferecias ii i i i i d i i 1 19,4 19,6-0, 0,04 18,8 17,5 1,3 1,69 3 0,6 18,4, 4, ,6 17,5 0,1 0, , 18 1, 1,44 6 0,9 0 0,9 0, ,3 18,8-0,5 0,5 8 0,4 19, 1, 1,44 sumas 1

22 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias co datos pareados i = 1 caballo pre caballo post diferecias i i i d i i 1 19,4 19,6-0, 0,04 18,8 17,5 1,3 1,69 3 0,6 18,4, 4, ,6 17,5 0,1 0, , 18 1, 1,44 6 0,9 0 0,9 0, ,3 18,8-0,5 0,5 8 0,4 19, 1, 1,44 sumas 6, 10,5 1 d = d = 1 6, = 0,775 8 d di d 1 i= 1 7 s 1 = = 1 10,5 8 (0,775) = 0,816 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias co datos pareados Itervalo de cofiaza del 100(1 )% t s t s d < µ µ < d + 1, / d 1, / d Pt ( 1 > t 1, /) =

23 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes Se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepedietes etraídas aleatoriamete de poblacioes ormales. variaza coocida o tamaño muestral grade variazas poblacioales so iguales I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes muestras aleatorias de poblacioes idepedietes: observacioes de ua població co µ σ observacioes de ua població co µ σ variaza coocidatamaño muestral grade X e Y las medias muestrales ( ) ( ) ( ) E X Y = E X E Y = µ µ σ σ Var( X Y) = Var( X) + Var( Y) = + Como su distribució es ormal, la variable aleatoria Z = ( X Y) ( µ µ ) σ σ + tiee ua distribució ormal estádar 3

24 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes variaza coocida o tamaño muestral grade Itervalo de cofiaza del 100(1 )% σ σ + < < + + σ σ / z / ( ) z µ µ ( ) P( Z > z /) = 30 observacioes e cada muestra so, e geeral, suficietes para cosiderar tamaño muestral grade I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Para ua muestra aleatoria de 96 cabras o vacuadas, el úmero medio de días co mamitis fue de,15 la d.t. muestral fue de,09 días al año. Para ua muestra aleatoria idepediete de 06 cabras vacuadas, el úmero de días co mamitis fue de 1,69, co d.t. 1,91. Hallar u I.C. del 99% para la diferecia de medias. 100(1-)=99, por lo que =0,01 z / = z0,005 =,575 s s + < < + + s s / z / ( ) z µ µ ( ),09 1,91,09 1,91 (,15 1, 69), < µ µ < (,15 1, 69) +, = = 0,19< µ µ < 1,11 4

25 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes Se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepedietes etraídas aleatoriamete de poblacioes ormales. variaza coocida o tamaño muestral grade variazas poblacioales so iguales I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes Se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepedietes etraídas aleatoriamete de poblacioes ormales. variazas poblacioales so iguales 5

26 0/1/011 I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes muestras aleatorias de poblacioes idepedietes: observacioes de ua població co µ observacioes de ua població co µ µ comú descoocida σ σ Var( X Y) = Var( X) + Var( Y) = + = + σ = Z = ( X Y) ( µ µ ) + σ ( ) + ( ) ( + ) 1 s 1 s s = variazas poblacioales ( X so Y) iguales ( µ µ ) t= + s I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Diferecia de medias e muestras idepedietes variazas poblacioales so iguales Itervalo de cofiaza del + + t s < < + t s ( ) µ µ ( ) s = +, / +, / ( 1) + ( 1) ( + ) s s 100(1 )% Pt (, /) + > t+ = 6

27 0/1/011 s I.C. para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales Se estudió el crecimieto aual de los igresos de 6 clíicas veteriarias que cotaba co pajarería, siedo de media 9,97+7,470. La media de dicho crecimieto e otra muestra aleatoria de 9 clíicas si pajarería fue de,098+10,834. Asumiedo ormalidad e las poblacioes, hallar u I.C. del 90% para la diferecia de medias. 100(1-)=90, por lo que =0,1 t, / 13,0,05 1,771 + t = = ( ) ( ) 1 1 s + s 5 (7, 470) + 8 (10,834) = = = 93, t s < < + t s ( ) µ µ ( ) +, / +, / , 97, 098 1, 771 9, 680 < < 9, 97, , 771 9, 680 = = 1,161< µ µ < 16, 909 ( ) µ µ ( ) I.C. para la diferecia etre dos proporcioes poblacioales (muestras grades) Muestras grades sigifica al meos 40 observacioes ( ˆ ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) E p p = E p E p = p p ( ˆ ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) = + = + Var p p Var p Var p ( 1 ) p( 1 p) p p Z = ( pˆ ˆ p) ( p p) pˆ ( 1 pˆ ) pˆ ( 1 ˆ p) + 7

28 0/1/011 I.C. para la diferecia etre dos proporcioes poblacioales (muestras grades) Muestras grades sigifica al meos 40 observacioes Itervalo de cofiaza del 100(1 )% ( ) ( ) p ( p ) ( ) ( ) p ( p ) pˆ 1 pˆ ˆ 1 ˆ pˆ 1 pˆ ˆ 1 ˆ pˆ pˆ z ˆ ˆ / + < p p < p p z / + P( Z > z /) = I.C. para la diferecia etre dos proporcioes poblacioes (muestras grades) Se etrajero dos muestras aleatorias idepedietes de estudiates de veteriaria. De 10 hombres, 107 esperaba trabajar como veteriarios e u máimo de 10 años. De 141 mujeres, 73 teía la misma esperaza. Hallar u I.C. del 95% para la diferecia de proporcioes. 100(1-)=95, por lo que =0,05 z = / z = 0,05 1,96 ( ) ( ) pˆ pˆ ( ) 0,89 0,518 1,96 0,89 0, ,518 0, 48 < 0,89 0,518 1,96 0,89 0,108 0,518 0, 48 < + + = = 0,75< pˆ pˆ < 0, 473 ( ) p ( p ) ( ) ( ) p ( p ) pˆ 1 pˆ ˆ 1 ˆ pˆ 1 pˆ ˆ 1 ˆ pˆ pˆ z ˆ ˆ / + < p p < p p z / + 8

29 0/1/011 I.C. diferecia de medias o proporcioes I.C. diferecia de medias Població ormal, muestra aleatoria, datos pareados Població ormal, muestras aleatorias e idepedietes, variaza coocida o >30 Població ormal, muestras aleatorias e idepedietes, igualdad de variazas t t 1, / z / +, / I.C. diferecia de proporcioes (muestras aleatorias e idepedietes, >40) z / Tamaño de la muestra Proporció poblacioal Variaza coocida Variaza descoocida 9

30 0/1/011 Tamaño de la muestra Proporció poblacioal Itervalo de cofiaza del 100(1 )% ( 1 ) p ( 1 p ) pˆ pˆ ˆ ˆ pˆ ˆ z < p< p + z / / L= z / ( 1 ˆ ) pˆ p ( ˆ ) pˆ 1 p 0, 5 0, 5 0,5z L* = z / = / Tamaño de la muestra Proporció poblacioal Itervalo de cofiaza del 100(1 )% 0, 5z = L / * 30

31 0/1/011 Tamaño de la muestra Proporció poblacioal Variaza coocida Variaza descoocida Tamaño de la muestra Variaza coocida Itervalo de cofiaza del 100(1 )% z z < µ < + / / L= z /σ 31

32 0/1/011 Tamaño de la muestra Variaza coocida Itervalo de cofiaza del 100(1 )% = z /σ L P( Z > z /) = Tamaño de la muestra Proporció poblacioal Variaza coocida Variaza descoocida 3

33 0/1/011 Tamaño de la muestra Variaza descoocida Itervalo de cofiaza del 100(1 )% = z /σ L estimacioes de la variaza P( Z > z /) = 33

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