7.2. Métodos para encontrar estimadores

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1 Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la diferecia etre estimador y estimació. U estimador es ua fució de ua muestra, mietras que ua estimació es el valor obteido al aplicar u estimador a los datos de ua muestra. Es decir, u estimador es ua fució de las variables aleatorias X 1,, X mietras que ua estimació es ua fució de los valores muestrales x 1,, x Métodos para ecotrar estimadores E muchos casos habrá u cadidato evidete o atural para ser el estimador putual de u parámetro particular y a meudo la ituició puede iduciros a obteer bueos estimadores. Por ejemplo, la media muestral es u cadidato atural para estimar la media poblacioal Métodos de mometos Se trata quizás de uo de los métodos más atiguos para hallar estimadores. Tiee la vetaja de ser fácil de usar y casi siempre permite obteer algú tipo de estimador que e alguos casos puede ser mejorado. 85

2 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 86 Sea X 1,, X ua muestra de ua població co fució de probabilidad o desidad f(x θ 1,, θ k ). Los estadísticos por el método de mometos se ecuetra igualado los k primeros mometos muestrales a sus correspodietes k mometos poblacioales y resolviedo simultáeamete las ecuacioes resultates. Es decir, se defie: m 1 = 1 Xi 1, µ 1 = E[X 1 ] m 2 = 1 Xi 2, µ 2 = E[X 2 ]. m k = 1 Xi k, µ k = E[X k ] El mometo poblacioal µ j es, por lo geeral, ua fució de θ 1,, θ k digamos µ j (θ 1,, θ k ). El estimador por el método de mometos ( θ 1, θ k ) de (θ 1,, θ k ) se obtiee resolviedo el siguiete sistema de ecuacioes e térmios de (m 1,, m k ): m 1 = µ 1 (θ 1,, θ k ) m 2 = µ 2 (θ 1,, θ k ). m k = µ k (θ 1,, θ k ) Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució N (µ, σ 2 ). Hallar los estimadores de µ y σ 2 usado el método de mometos. Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució BI(k, p) co ambos parámetros descoocidos. Hallar sus estimadores por el método de mometos Estimadores de máxima verosimilitud Es uo de los métodos más populares ya que permite ecotrar estimadores co propiedades importates para el proceso de iferecia. Cosiste e usar la iformació dispoible e la muestra para elegir el valor del parámetro para el cual es más probable haber observado los resultados muestrales.

3 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 87 Defiició Sea f(x θ) que deota la fució de probabilidad o desidad cojuta de la muestra X = (X 1,, X ). Etoces, dado que X = x es observado, la fució de θ defiida por: L(θ x) = f(x θ) es llamada fució de verosimilitud. Si X 1,, X es ua muestra idepediete e ideticamete distribuida de ua població co fució de probabilidad o desidad f(x θ 1,, θ k ), la fució de verosimilitud se defie por: L(θ x) = L(θ 1,, θ k x 1,, x ) = f(x i θ 1,, θ k ) (7.2.1) Defiició Sea ˆθ(x) el valor del parámetro e el que la fució de verosimilutud L(θ x) toma su máximo valor como fució de θ, etoces el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ basado e la muestra X es ˆθ(X). Si la fució de verosimilitud es difereciable e θ i, los posibles cadidatos para estimadores de máxima verosimilitud so los valores de (θ 1,, θ k ) que resuelve: θ i L(θ x) = 0, i = 1,, k (7.2.2) Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució N (θ, σ 2 ) co σ 2 = 1. Hallar el estimador de máxima verosimilitud para θ. E muchos casos es fácil trabajar co el logaritmo atural de la fució de verosimilitud deotado por l(θ x). Lo aterior es posible debido a que la fució logverosimilitud es estrictamete decreciete sobre (0, ). Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució B(p). Hallar el estimador de máxima verosimilitud para p. Teorema (Propiedad de ivariacia) Si ˆθ es el estimador de máxima verosimilitud de θ, etoces para toda fució τ(θ), su estimador de máxima verosimilitud es τ(ˆθ).

4 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 88 Usado el teorema aterior, se puede establecer que e el problema el estimador de máxima verosimilitud de θ 2 es X 2. Además, el estimador de máxima verosimilitud de p(1 p) es X(1 X) e el problema La propiedad de ivariacia tambié puede aplicarse al caso multivariado. Supoga que el estimador de máxima verosimilitud de (θ 1,, θ k ) es (ˆθ 1,, ˆθ k ). Si τ(θ 1,, θ k ) es ua fució de los parámetros etoces su estimador de máxima verosimilitud es τ(ˆθ 1,, ˆθ k ). Si θ = (θ 1,, θ k ) es multidimesioal se requiere de más codicioes relacioadas co la seguda derivada para hallar el estimador de máxima verosimilitud. Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució N (θ, σ 2 ) co ambos parámetros descoocidos. Etoces: L(θ, σ 2 x) = (2πσ 2 ) /2 e 1 2σ 2 (x i θ) 2 l(θ, σ 2 x) = 2 log(2π) 2 log σ2 1 2σ 2 las derivadas parciales co respecto a θ y σ 2 so: (x i θ) 2 θ l = 1 σ 2 (x i θ) = 0 y σ l = 2 2σ σ 4 (x i θ) 2 = 0 etoces ˆθ = x y ˆσ 2 = 1 (x i x) 2 so los cadidatos a estimadores de máxima verosimilitud, pero se trata de u máximo global? Para eso al meos ua derivada parcial de segudo orde deber ser egativa: 2 θ l = θ=x 1 ( 1) = 2 σ 2 σ < 0 2 y además el Jacobiao debe ser positivo: = 2 l 2 l θ 2 θσ 2 2 l 2 l θσ 2 (σ 2 ) 2 θ = ˆθ, σ 2 = ˆσ 2 Luego, se tiee que:

5 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 89 = = 2 2σ 6 1 (x σ 2 σ 4 i θ) 2 1 (x σ 4 i θ) 2 1 (x σ 4 σ 4 i θ) 2 = 2 2 σ 6 > 0 θ = ˆθ, σ 2 = σ 2 θ = ˆθ, σ 2 = ˆσ 2 Fialmete, ˆθ = X y ˆσ 2 = 1 (X i X) 2 so los estimadores de máxima verosimilitud Métodos de evaluació de estimadores Para cada parámetro de iterés puede existir varios estimadores diferetes. E geeral, se escoge al que posea mejores propiedades que los restates. E esta secció se preseta alguos criterios básicos para evaluar estimadores Error cuadrático medio Defiició El error cuadrático medio del estimador W de u parámetro θ se defie por E θ [(W θ) 2 ]. Se puede probar que: E θ [(W θ) 2 ] = Var θ (W ) + Sesgo 2 θ[w ] (7.3.1) Defiició El sesgo del estimador putual W del parámetro θ, es la diferecia etre su valor esperado y θ. Es decir, Sesgo θ [W ] = E θ [W ] θ. U estimador cuyo sesgo es cero es llamado isesgado. Para estimadores isesgados se tiee E θ [(W θ) 2 ] = Var θ (W ). El error cuadrático medio icorpora u compoete que mide la variabilidad del estimador (precisió) y otro compoete que mide el sesgo. U estimador co bueas propiedades es aquel que matiee tato la variaza como el sesgo e u valor pequeño o realiza u itercambio efectivo etre ellos.

6 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 90 Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució N (µ, σ 2 ). Las estadísticas X y S 2 so ambos estimadores isesgados ya que: E[X] = µ y E[S 2 ] = σ 2 Lo aterior es cierto aú si el supuesto de ormalidad. El error cuadrático medio de estos estadísticos es: E[(X µ) 2 ] = Var(X) = σ2 E[(S 2 σ 2 ) 2 ] = Var(S 2 ) = 2σ4 1 u estimador alterativo para σ 2 es el estimador de máxima verosimilitud ˆσ 2 = 1 (x i x) 2 = ( 1) s2, etoces: [ ] 1 E[ˆσ 2 ] = E S2 = 1 σ2 es decir, ˆσ 2 es u estadístico sesgado de σ 2. La variacia de ˆσ 2 puede calcularse como: ( ) ( ) Var(ˆσ 2 ) = Var S2 = Var(S 2 ) = Luego: 2( 1) 2 σ 4 Fialmete: ECM[ˆσ 2 ] = E[(ˆσ 2 σ 2 ) 2 ] = Var(ˆσ 2 ) + Sesgo 2 [ˆσ 2 ] ( 2( 1) 1 = σ σ2 σ 2 ( ) 2 1 = σ 4 2 ( ) ( ) ECM[ˆσ 2 ] = σ 4 < σ 4 = ECM[S 2 ] 2 1 ) 2

7 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL Mejores estimadores isesgados Ua comparació de estimadores basada e el error cuadrático medio o permite establecer claramete cual es mejor. El objetivo de esta secció es obteer u método para ecotrar el mejor estimador isesgado. Defiició U estimador W es el mejor estimador isesgado de τ(θ) si satisface que E θ [W ] = τ(θ), para todo θ y para cualquier otro estimador W co E θ [W ] = τ(θ) se tiee Var θ (W ) Var θ (W ) para todo θ. W tambié es llamado estimador isesgado uiforme de míima variacia de τ(θ). Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució P(λ). Recordar que para la fució de probabilidad de Poisso, la media y la variaza so iguales a λ. Luego aplicado el teorema se tiee: E λ [X] = λ E λ [S 2 ] = λ es decir que ambos so estimadores isesgados de λ. Para determiar cuál es mejor se compara las variazas, aplicado uevamete el teorema 5.2.2, obteiedose que Var λ (X) Var λ (S 2 ). Aú cuado que X es mejor que S 2, cosidere la siguiete clase de estimadores: W a (X, S 2 ) = ax + (1 a)s 2 para toda costate a, E λ [W a (X, S 2 )] = λ, es decir se tiee ifiitos estimadores isesgados de λ. La preguta es, aú siedo X mejor estimador que S 2, X es mejor que W a (X, S 2 ) para todo a? Teorema (Cramér-Rao) Sea X 1, X ua muestra co fució de probabilidad o desidad f(x θ) y sea W (X) = W (X 1,, X ) algú estimador dode E θ [W (X)] es ua fució difereciable de θ. Supoga que la fució de desidad cojuta f(x θ) = f(x 1,, x θ) satisface: ˆ d dθ ˆ ˆ h(x)f(x θ)dx 1 dx = ˆ para cualquier fució h(x) co E θ [ h(x) ] <. Etoces: h(x) θ f(x θ)dx 1 dx (7.3.2)

8 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 92 ( d dθ E θ[w (X)] ) 2 Var θ (W (X)) E θ [ ( θ log f(x θ)) 2 ] (7.3.3) Corolario (Cramér-Rao caso idepediete e ideticamete distribuido) Sea X 1,, X idepedietes e ideticamete distribuidos co fució de probabilidad o desidad f(x θ) y sea W (X) = W (X 1,, X ) cualquier estadística tal que E θ [W (X)] es ua fució difereciable de θ. Si la fució de desidad cojuta f(x θ) = f(x i θ) satisface : ( d dθ E θ[w (X)] ) 2 Var θ (W (X)) E θ [ ( θ log f(x θ)) 2 ] La catidad E θ [ θ log f(x i θ)) 2 ] es llamada úmero de iformació o iformació de Fisher de la muestra. El ombre proviee del hecho que el úmero de iformació es la iversa de la variacia del mejor estimador de θ. Cuado el úmero de iformació es grade etoces se tiee ua variacia pequeña para el mejor estimador, de ahí más iformació acerca de θ. Lema Si f(x θ) satisface: [ ] ˆ d dθ E θ log f(x θ) = θ [( )] log f(x θ)f(x θ) dx θ θ lo cual es verdadero para ua familia expoecial, etoces: ( E θ log f(x θ) θ ) 2 = E θ [ 2 log f(x θ) θ2 Ejemplo Volviedo al ejercicio de la distribució de Poisso: ] Var λ (W (X)) ( d E dλ λ[w (X)] ) 2 [ E λ ( log ] λ f(x λ))2

9 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 93 Si cosideramos cualquier estimador isesgado: Var λ (W (X)) ( d dλ (λ)) 2 [ E λ ( log ] λ f(x λ))2 1 [ E λ ( log ] λ f(x λ))2 y como la distribució de Poisso perteece a ua familia expoecial: Var λ (W (X)) 1 [ E 2 λ log f(x λ) ] λ 2 1 ( 1 ) λ λ Como Var λ (X) = λ/, etoces X es el mejor estimador isesgado de λ. Es importate recordar que u supuesto clave e el teorema de Cramér- Rao es la posibilidad de derivar bajo el sigo de la itegral, algo que es e cierto modo restrictivo pero que se satisface si la desidad perteece a ua familia expoecial. A pesar de que sea aplicable el teorema de Cramér-Rao esto o garatiza que la variaza del mejor estimador sea igual al limite iferior de la desigualdad. Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució N (µ, σ 2 ). Cosidere el problema de estimar σ 2 cuado µ es coocido. La fució de desidad cumple co las codicioes del teorema de Cramér-Rao y el lema 7.3.2, luego: E [ 2 (σ 2 ) log f = 1 (x µ)2 2 2σ4 σ 6 ] 2 (σ 2 ) 2 log f = E [ 1 (X µ)2 2σ4 σ 6 Para todo estimador isesgado W de σ 2 se tiee: ] = 1 2σ 4

10 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 94 Var(W µ, σ 2 ) 2σ4 E el ejemplo se vió que: Var(S 2 µ, σ 2 ) = 2σ4 1 es decir que S 2 o alcaza la cota iferior de Crámer-Rao. La preguta ahora es si existe algú estimador isesgado de σ 2 cuya variaza alcace la cota mecioada. Corolario Sea X 1,, X idepedietes e ideticamete distribuidos como f(x θ) tal que satisface las codicioes del teorema Cramér-Rao. Sea L(θ x) = f(x i θ) deota la fució de verosimilitud. Si W (X) = W (X 1,, X ) es cualquier estimador isesgado de τ(θ), etoces W (X) alcaza la cota iferior real de Cramér-Rao sí y solo si: log L(θ x) = a(θ)[w (x) τ(θ)] (7.3.4) θ para algua fució a(θ). Ejemplo Retomado el ejemplo se tiee: y además: Luego: L(µ, σ 2 x) = σ 2 log L(µ, σ2 x) = 1 (2πσ 2 ) ( a(σ 2 (x i µ) 2 ) ) σ 2 etoces: a(σ 2 ) = 1 e 2σ /2 2 Σ (x i µ) 2 ( (x i µ) 2 ) σ 2 2σ 4 = ( (x i µ) 2 ) σ 2 2σ 4 2σ 4 Es decir, el mejor estimador isesgado de σ 2 es (x i µ) 2 / y puede ser calculado solo si µ es coocido, e caso cotrario o puede alcazarse la cota.

11 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 95 Lo discutido hasta el mometo os deja alguas pregutas si respuesta. Primero, qué hacer cuado f(x θ) o satisface las codicioes del teorema de Cramér-Rao? y segudo, qué hacer cuado o sea posible alcazar la cota iferior co los estimadores dispoibles? Se requiere buscar u método que permita estudiar a los mejores estimadores isesgados desde otro puto de vista, usado el cocepto de suficiecia. Recordar que si X y Y so dos variables aleatorias cualesquiera etoces, siempre que los esperados exista, se tiee: E[X] = E[E[X Y ]] Var(X) = Var (E[X Y ]) + E[Var(X Y )] Los resultados ateriores permite establecer el siguiete teorema. Teorema (Rao-Blackwell) Sea W u estimador isesgado de τ(θ) y T ua estadística suficiete para θ. Se defie φ(t ) = E[W T ]. Etoces E θ [φ(t )] = τ(θ) y Var θ (φ(t )) Var θ (W ) para todo θ, es decir, φ(t ) es el mejor estimador isesgado uiforme de τ(θ). Para hallar el mejor estimador de τ(θ) se requiere cosiderar solamete estimadores basados e estadísticos suficietes. Teorema Si W es el mejor estimador isesgado de τ(θ), etoces W es úico. Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució BI(k, θ) dode k es coocido. Hallar el mejor estimador isesgado para la probabilidad de obteer u éxito, es decir: τ(θ) = Pr θ (X = 1) = kθ(1 θ) k 1 El siguiete teorema permite establecer u vículo etre los coceptos de suficiecia, completez y uicidad. Teorema (Lehma-Scheffé) Sea T ua estadística suficiete y completa para el parámetro θ y φ(t ) u estimador basado solo e T. Etoces φ(t ) es el úico mejor estimador isesgado de su valor esperado. Se preseta la aplicació práctica del teorema aterior. Si T es ua estadística suficiete y completa para el parámetro θ y h(x 1,, X ) u estimador

12 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 96 isesgado de τ(θ), etoces φ(t ) = E(h(X 1,, X ) T ) es el úico mejor estimador isesgado de τ(θ). Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució: f(x θ) = θ(1 + x) (1+θ) x > 0 para θ > 0. Hallar el mejor estimador isesgado para θ Cosistecia Defiició Ua secuecia de estimadores W = W (X 1,, X ) es ua secuecia cosistete de estimadores del parámetro θ si para todo ɛ > 0 y todo θ Θ: lím Pr( W θ < ɛ) = 1 (7.3.5) θ Ejemplo Sea X 1,, X idepedietes e ideticamete distribuidas segú N (θ, 1). Cosidere la secuecia: X = 1 X i recodado que X N (θ, 1 ) se tiee: Pr θ ( X θ < ɛ ) = = = ˆ x =θ+ɛ x =θ ɛ y=ɛ ˆ y= ɛ t=ɛ ˆ t= ɛ ( ) 1 2 e 2 ( x θ)2 d x 2π ( ) 1 2 e 2 y2 dy (y = x θ) 2π ( ) e 1 2 t2 dt (t = y ) 2π = Pr θ ( ɛ < Z < ɛ ) 1 cuado. Luego X es ua secuecia cosistete de estimadores de θ.

13 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL 97 Teorema Si W es ua secuecia de estimadores del parámetro θ que satisface a. lím Var θ [W ] = 0. b. lím Sesgo θ [W ] = 0. etoces W es ua secuecia cosistete de estimadores de θ. Ejemplo Como: E θ [X ] = θ y Var θ (X ) = 1 satisface las codicioes del teorema 7.3.5, luego la secuecia X es cosistete. Además, del teorema 5.2.2, X proveiee de u muestreo idepediete e ideticamete distribuido de cualquier població co media θ por lo que es cosistete para dicho parámetro siempre que la variaza sea fiita. Ejemplo Sea X 1,, X ua muestra aleatoria obteida desde la distribució co fució de desidad: f(x θ) = x { θ exp x > 0 } x2 2θ Es T = 1 X 2 2 i u estimador cosistete de θ? Teorema Si W ua secuecia cosistete de estimadores del parámetro θ. Sea a 1, a 2, y b 1, b 2, secuecias de costates que satisface: a. lím a = 1. b. lím b = 0. etoces, U = a W + b es ua secuecia cosistete de estimadores de θ. Teorema (Cosistecia de los estimadores de máxima verosimilitud) Sea X 1,, X variables aleatorias idepedietes e ideticamete distribuidas obteidas de f(x θ), y sea L(θ x) = f(x i θ) la fució de verosimilitud. Sea ˆθ el estimador de máxima verosimilitud de θ y τ(θ) ua fució cotiua de θ. Bajo ciertas codicioes de reguralidad sobre f(x θ), y por cosiguiete L(θ x), para todo ɛ > 0 y θ Θ: lím Pr ( ) τ(ˆθ) τ(θ) ɛ = 0 θ es decir τ(ˆθ) es u estimador cosistete de τ(θ).

14 CAPÍTULO 7. ESTIMACIÓN PUNTUAL Otras cosideracioes Variacia asitótica de los estimadores de máxima verosimilitud Defiició Ua secuecia de estimadores W es asitóticamete eficiete para u parámetro τ(θ) si: lím [ Var θ (W ) [τ (θ)] 2 E θ[( θ log f(x θ))2 ] ] = 1 es decir W alcaza la cota iferior de Crámer-Rao coforme Aproximació por series de Taylor Defiició Si ua fució g(x) tiee derivadas de orde r, es decir que existe g (r) (x) = dr g(x), etoces para cualquier costate a, la poliomial dx r de Taylor de orde r alrededor de a es: T r (x) = r i=0 g (i) (a) (x a) i i! Teorema (Taylor) Si g (r) (a) = dr dx r g(x) x=a existe, etoces: g(x) T r (x) lím = 0 x a (x a) r

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