Sobre discrepancias en la función de densidad entre modelos de volatilidad

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1 Sobre discrepancias en la función de densidad enre modelos de volailidad Carlos Virgilio Zuria Universidad del CEMA

2 On densiy funcions discrepancies among volailiies Resumen El presene rabajo analiza res modelos de volailidad para el Mercado de Capiales de Buenos Aires. Se concluye que el proceso GARCH refleja con un menor error la evolución del acivo en comparación al concepo radicional de volailidad. Además, la volailidad implícia del derivado prueba ser un predicor consisene de la evolución del proceso GARCH. Se diagraman esraegias de arbirajes en función de las discrepancias en las funciones de densidad de las diferenes medidas de volailidad. El mercado de capiales es eficiene en senido débil. Absrac The presen work analyzes hree models of volailiy for he Capial Marke of Buenos Aires. I concludes ha GARCH proccess reflecs wih a smaller error erm he evoluion of he asse in comparison o he radiional volailiy concep. Also, he derivaive implied volailiy probes o be a consisen predicor of he GARCH proccess. Arbirage sraegies are diagrammed due o densiy funcions discrepancies among differen volailiy measures. The Capial Marke is efficien in a weak-form.

3 Indice Sección. Inroducción pp. Sección.Volailidad Implícia de Black Schole s pp. 5 Sección 3. Series de Tiempo pp. 8 Sección 4. Disribución de Probabilidad Acumulaiva pp. 7 Sección 5. Función de Densidad pp. 4 Sección 6. Conclusión pp. 33 Sección 7. Anexo pp. 35

4 "Alles was wirklich is, is vernünfig, und alles was vernünfig is, is wirklich" ("Todo lo real es racional y odo lo racional es real"). Georg Wilhelm Friederich Hegel, Phänomenologie des Geises, 966. Inroducción El análisis sobre volailidades en los mercados de capiales ha cobrado gran imporancia en las úlimas décadas en la eoría y pracica de las finanzas. Ya sea en adminisración de riesgo, coberura de careras o en la valuación de opciones, es necesario conar con una noción precisa de la volailidad esperada por el mercado. Numerosos rabajos se han presenado referenes a la volailidad hisórica desde los ensayos pioneros de Roll (977). Sin embargo, parece arriesgado elaborar conclusiones sobre el comporamieno próximo del mercado en base a daos hisóricos medidos por concepos radicionales de inceridumbre. Luego, la aención se ha cenrado en la volailidad implícia resulane de operar el modelo de valuación Black-Scholes. Méodos de valuación de opciones comprenden la asignación de un precio a los producos derivados financieros. Un derivado es un acivo cuyo precio depende explíciamene del valor dado exógenamene de un acivo subyacene sobre el cual se escribe la opción. El modelo presenado por Fisher Black y Myron Scholes (973) represena un formulación para deerminar el precio de opciones y deudas corporaivas. De acuerdo a Black y Scholes el equilibrio en el valor de las opciones se deermina por la ausencia de oporunidades de arbiraje. Dicho modelo asume diferenes supuesos, los cuales parecen ser violados en el mercado de valores con ciera frecuencia. El parámero específico del modelo a analizar en el presene rabajo es la volailidad. Recordemos que el modelo Black-Scholes(BS) supone volailidad del subyacene consane y que el precio del acivo evoluciona bajo una disribución de probabilidad lognormal. Dichas resricciones son de paricular imporancia en el caso de opciones financieras. De hecho, los valores de las opciones del ipo plain vanilla se reducen a calificaciones de los precios en base al parámero denominado volailidad implícia (BSIV). Para derivar la volailidad implícia el modelo BS es resuelo para parámeros de volailidad consane σ usando precios observados del mercado. Ese enfoque posee mayor consisencia debido a que el valor que el mercado le asigna a la opción es función direca de la volailidad acual y fuura. Luego, la volailidad implícia podría ser omada como un indicador de la expecaiva del mercado durane el plazo remanene de vida de la opción, e inclusive dicha inceridumbre puede ser aplicada a la evolución fuura del valor del subyacene.

5 Las volailidades implícias son el foco de aención ano para el comercio de la volailidad misma como para la adminisración de riesgos. Operadores comercian direcamene el vega de la opción, i.e., la sensibilidad del acivo o carera respeco a cambios en la volailidad, como pracica común. Luego para lograr esraegias de coberura se depende en gran medida de la esimación de la volailidad implícia del derivado. Si el modelo de Black-Scholes es compleo, dos opciones idénicas con diferenes precio de ejercicio deberían poseer la misma volailidad implícia. En la realidad, opciones con diferenes precios de ejercicio o madurez poseen diferenes valores de volailidad implícia. Aunque la eoría de valuación de opciones se ha enfocado radicionalmene en obener méodos para valuar y cubrir acivos derivados como función de un subyacene, enfoques recienes ienden a considerar los precios de mercado de opciones financieras como dados y omarlos como una fuene de información del mercado. Mienras que exise una exensa bibliografía sobre el primer enfoque, el segundo ha sido solo desarrollado en rabajos recienes. Exisen diferenes moivos por los cuales la esimación correca de la volailidad del mercado puede resular un ópico sumamene frucifero. Las expecaivas en la eoría de finanzas juegan un papel crucial en la deerminación del comporamieno de los agenes. Así, es imporane para los paricipanes del mercado uilizar esimaciones insesgadas de volailidades debido a que dicho concepo se oma como una variable argumeno en la eoría de valuación de acivos, en la coberura de riesgos y en la adminisración de porafolios. La capacidad para predecir volailidades fuuras es ambién de gran imporancia para bancos cenrales en el proceso y diagramación de políicas monearias. Como mencionáramos, la mayoría de los modelos desarrollados para la predicción de volailidad se susenan en su mayoría en el comporamieno pasado de los reornos y por lo ano son procesos hacia arás (backward looking) por consrucción formal. En conrase, la valuación de una opción es un proceso hacia adelane (forward looking) debido a que el valor de las opciones depende de la volailidad fuura esperada. Luego, se argumena que la volailidad implícia obenida de las opciones debería poseer una mayor capacidad de predicción en oposición a modelos basados en muesras hisóricas. La volailidad implícia incluye expecaivas de los agenes del mercado sobre evenos fuuros e incorpora información que no es esricamene pasada como proyecciones de indicadores macroeconómicos. También debe enerse presene que el coninuo desarrollo del mercado de opciones financieras lo ransforma cada vez mas en un mercado auónomo por lo cual los precios de las opciones evolucionan no solo por movimienos del acivo subyacene mas ambién por una demanda y ofera inerna en el mercado de opciones en si. Eso se hace noorio en los días previos al vencimieno de la opción.

6 3 Deerminar que poder de predicción posee la medida de volailidad como volailidad implícia (forward looking) frene a definiciones radicionales de dicho concepo (backward looking) es una de las meas del presene rabajo de invesigación. Para dicho análisis serán considerados res concepos de volailidad: Volailidad como el momeno cenrado de segundo orden, Volailidad como un proceso de Heeroscedasicidad Condicional, Volailidad implícia. Luego se evaluara si la ocurrencia de discrepancias enre las diferenes medidas de volailidad permie la aplicación de esraegias de arbiraje. La conroversia sobre cual es la falla o no-conexión enre eoría y prácica en la valuación de opciones financieras no es rivial. Si el modelo de Black-Scholes es considerado compleo con sus supuesos clásicos, y surgen evenualidades, se endera a omar dicha evenualidad como una anomalía del mercado, luego, el mercado no es eficiene al menos en senido débil. Sin embargo, si se admie la posibilidad de considerar al modelo incompleo, nuevas modificaciones en sus supuesos originales pueden resular necesarias. En sínesis, el presene rabajo consigna dos objeivos Demosrar que el concepo radicional de volailidad no refleja la evolución del acivo correcamene, por lo ano, decisiones basadas en el concepo radicional de volailidad serán sesgadas. Se presena una hipóesis alernaiva de volailidad medida como un proceso auo regresivo generalizado de heerocedasicidad condicional de primer orden inegrado, se analiza si dicho proceso modela de manera eficiene la evolución de los precios del acivo en cuesión. Finalmene, si el concepo de volailidad implícia es correco, el proceso GARCH(,) es el indicado para medir la volailidad del acivo subyacene. Si las volailidades medidas bajo el concepo radicional y bajo la forma implícia no son similares, el modelo para valuar opciones no es correco o el mercado no se encuenra arbirado. En base a los valores observados y calculados, se consruyen disribuciones de probabilidad. Poseriormene se diagraman esraegias de arbiraje y se analiza su evolución en el periodo de acividad de la opción. El esudio uiliza daos inradiarios de opciones de compra europeas sobre acciones de los papeles principales del Mercado de Valores de Buenos Aires (MERVAL). En paricular, los casos de Grupo Financiero Galicia (GFG), Perobras (PBE) y Acindar (ACIN) son analizados. Se agradece al Insiuo Argenino de Mercado de Capiales (IAMC) por la colaboración en la obención de información para el análisis del rabajo.

7 4 El presene rabajo se divide en siee secciones: en la siguiene sección se presenan brevemene los supuesos del análisis y valuación de opciones del modelo de Black-Scholes. Luego se obiene la volailidad implícia del derivado mediane el algorimo de Newon-Rapshon. En la Sección 3. se analizan y comparan series emporales de los res concepos de volailidad raados en el presene rabajo, a) Volailidad medida como el desvío esándar respeco al valor medio (Hisórica 60d), b) Volailidad medida como un proceso auo regresivo generalizado de heerocedasicidad condicional de primer orden (GARCH(,)), y c) Volailidad Implícia resulane de inverir la ecuación de Black- Scholes. En la Sección 4. se analizan las funciones de densidad de las diferenes medidas de volailidad obenidas en la sección precedene. En la Sección 5. mediane el algorimo de Kolmogorov-Smirnov las disribuciones de probabilidad son ajusadas a información obenida del Mercado de Valores de Buenos Aires. En base a los resulados obenidos se proponen esraegias de arbiraje y se analiza su evolución. La Sección 6. elabora las principales conclusiones enconradas en el análisis de volailidades. Finalmene, en la Seccion 7., se incluye un anexo con ruinas de programación en C++(adapables a VBA), pruebas formales, pruebas economericas, gráficos y cuadros esadísicos.

8 5. Volailidad Implícia de Black-Scholes Previo a realizar el análisis de volailidades implícias (BSIV), recordemos los supuesos principales sobre los que subyace la hipóesis Black-Scholes (BS) El mercado opera bajo una economía perfecamene elásica de rading coninuo, eso es, el proceso que conduce el precio del acivo no se encuenra afecado por movimienos en la demanda, lo cual implica que los inversores ineracúan en un mercado aomizado. Los acivos se agrupan en acciones ( riesgosas), papel moneda (riesgo nulo) y un derivado (definido en érminos del precio de la acción). El mercado es eficiene en senido débil, oda información pasada sobre el comporamieno del sock S se encuenra incluida en el mismo, la cual es publica para odo los agenes. Luego, el precio de la acción sigue un proceso de Markov. No exisen cosos de ransacción. El acivo posee subdivisión infinia, y puede ser vendido en coro. La asa de inerés de composición coninua es consane. El precio de la acción evoluciona de acuerdo a la ecuación diferencial parcial esocásica ds S = µ d + σdw donde µ y σ son consanes y W sigue un movimieno browniano esándar. El precio de la opción en iempo, el cual denominamos V(,S) es una función deerminisica de y S. La solución explicia para una opción de compra europea es ( r( T )) C(, S, T, K ) = SΦ( d) Ke Φ( d ) Refiérase al Anexo. para la derivación de la formula de Black-Scholes para una opción de compra europea mediane el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales esocásicas de segundo orden lineales parabólicas.

9 6 donde Φ(.) es la función de disribución acumulaiva para una variable aleaoria normal esandarizada dada por Φ( x) = Donde π x y e dy d log( S / K) + ( r + σ )( T ) = σ T d log( S / K) + ( r σ )( T ) = σ T Volailidad Implícia Como mencionáramos, en el calculo de las formulas de valuación de opciones, en paricular la ecuación de Black-Scholes (BS), la única variable desconocida es el desvío esándar del acivo subyacene. Un problema común es enconrar la volailidad implícia, dado el precio publicado en el mercado. Luego, dado c 0, la siguiene ecuación debe ser resuela para el valor de sigma σ c0 = c( S, X, r, σ, T ) Sin embargo, dicha ecuación no iene solución explicia. De esa forma, debe ser resuela de manera numérica para enconrar el valor de σ. El procedimieno de resolución mas simple es el algorimo de búsqueda binomial, el cual busca inervalos para un σ alo que redunda en un precio más alo que el precio observado, y luego, dado el inervalo, se busca la volailidad de manera sisemáica. Sin embargo, un procedimieno que domina al anerior es el algorimo de Newon-Raphson (NR) para la búsqueda de raíces de una ecuación. Así, para uilizar el algorimo NR la derivada del valor de la opción es requerida. Para la formula de BS eso es conocido y se puede uilizar 3. 3 El Anexo. incluye la definición del algorimo y las ruinas de programación en C++ (aplicables a Visual Basic for Applicaions) para el calculo de la volailidad implícia como así ambién los filros impuesos "boundary condiions" para valores del precio de la opción.

10 7 Una caracerísica paricular de la volailidad implícia es su no consancia para diferenes precios de ejercicios. Eso es, si el valor del subyacene, la asa de inerés y el iempo a la madurez esán fijos, el precio de las opciones para diferenes precios de ejercicio debe reflejar un valor de volailidad uniforme de acuerdo a BS. En la prácica ese no es el caso y ese hecho resala una anomalía del mercado. Dicho efeco es ilusrado en la siguiene figura, la cual muesra volailidades implícias para diferenes precios de ejercicio en un mismo momeno del iempo. El acivo elegido es la especie del Grupo Financiero Galicia (GFG) para el día 6 de Marzo del periodo 004. Dicha opción de compra enía su vencimieno el 5 de Abril del mismo periodo. El sock coizo en. dicho día. Implied Volailiy Smirk para GFG Galicia (GFG) Implied Volailiy 3/6/004.5 Imp. Vol Srike Se puede observar que las volailidades implícias para opciones de compra en las cuales el valor del sock es mayor al valor del srike (S>K) (opciones "In he Money") son mayores a las volailidades implícias observadas para opciones en las cuales el valor del sock es similar al valor del srike(opciones "A The Money"). La diferencia en la magniud de la BSIV se acenúa si se comparan opciones in he money y opciones ou of he money. Esa curva es denominada radicionalmene "sonrisa" de volailidad ("volailiy smile"), aunque en la mayoría de los casos en el que el subyacene es una acción su grafico decae monoonicamene a medida que el valor del srike aumena ("volailiy smirk").

11 8 3. Series de Tiempo Como mencionáramos, el análisis de la volailidad observada, y esperada, en los acivos resula de crucial imporancia. En la presene sección se analizan res medidas de volailidad usualmene uilizadas en los mercados de capiales. El concepo radicional de volailidad medido como el cuadrado de los desvíos de los reornos respeco a un valor medio, volailidad medida como un proceso auoregresivo de Heeroscedasicidad condicional generalizado de primer orden (GARCH(,), y volailidad medida como el resulado de inverir la ecuación de Black-Scholes 4. Desvío Esándar Se considera una secuencia de precios spo {S, S,...} obenida del mercado en periodos de iempo regulares i=,,3...n. Siguiendo a Markowiz se define el érmino volailidad como el desvío esándar de los reornos s n medido como el logarimo del precio de la acción en el periodo i menos el logarimo del precio de la acción en el periodo i-, respeco a su valor medio. Así, se esiman la media y la varianza por unidad de iempo µ = m n s n i m i= usando las m recienes observaciones 5. σ n = ( m m ) i= ( s n µ ) El presene concepo de volailidad posee al menos dos fallas para el análisis de series de acivos financieros derivados en paricular: El análisis de los impacos sobre los reornos indica que los evenos recienes son más significaivos, sin embargo, los mismos se encuenran ponderados por el mismo facor uniforme /( m ) al igual que los resanes en la venana móvil, eso sucede hasa que la información es eliminada drásicamene luego del periodo m. 4 La argumenación eórica del ulimo concepo fue raado en la sección precedene por lo que puede resular necesario remiirse a la misma para su mayor comprensión y relación con los gráficos. 5 El número de observaciones usualmene uilizado por raders del mercado es de 60, correspondienes a los úlimos 60 días de operación de la opción sobre la acción.

12 9 El proceso es independiene de un valor medio de largo plazo al cual las desviaciones ienden a reverir (mean reversion facor). Respeco al primer problema, el concepo de venana móvil uniformemene ponderada debe ser reemplazo por un proceso auo regresivo o recursivo, logrando una venana móvil exponencialmene ponderada, donde el ulimo valor es consanemene acualizado por el valor de mercado mas reciene. σ n = λσ n + ( λ) sn Operando las ecuación en función de σ n, se observa que donde anes las ponderaciones eran ( λ) uniformes, ahora decaen exponencialmene a una asaα la cual se acelera a medida que [ 0, ] λ disminuye. i = i λ El segundo problema es resuelo definiendo un ermino medio de largo plazo e inroduciendo un ermino de reversión en un modelo heeroscedásico condicional auo regresivo generalizado, usando los p incremenos mas recienes y las q volailidades mas recienes en un proceso GARCH (p,q), dicho proceso es una generalización del proceso propueso originariamene por Engle (98) 6. Bollerslev (986) coninúa el rabajo original de Engle y desarrolla una écnica que permie a la varianza condicional seguir un proceso auo regresivo de media móvil (ARMA). Luego e = σ v σ = w+ q i= α e i i + p i= β σ i i Ese modelo ARCH(p,q) generalizado, denominado GARCH(p,q), permie incorporar componenes auorregresivos y de media móvil en la varianza heeroscedasica. La venaja de los modelos GARCH respeco a los ARCH son en lo referene a la parsimonia, el primero resula de menor complejidad y esimación. Finalmene, para asegurar una varianza 6 El anexo 3 presena un análisis formal e inuiivo sobre los procesos ARCH, GARCH, GARCH(,).

13 0 condicional finia y posiiva, odas las raíces caracerísicas deben enconrarse denro del radio uniario. GARCH(,) La especificación es e = σ v σ = + + w αe βσ La ecuación que deermina la varianza condicional es función de res érminos: La media: w. Noicias sobre la volailidad del periodo anerior, medida como el log del cuadrado del residuo de la ecuación de la media: e (el ermino ARCH). Esimaciones de la varianza de los úlimos periodos: σ ( el ermino GARCH). Un caso especial es el GARCH Inegrado de orden (,), denominado IGARCH(,), donde los parámeros ( + β ) Luego α 7 y usualmene = 0 w. σ = αe + ( α ) σ 7 La resricción ( α + β ) p implica que shocks al proceso de modelado de volailidad persisen en el iempo, eso es, una mayor volailidad en el periodo acual lleva a predecir una mayor volailidad fuura indefinidamene. Es por ello que suele denominarse como proceso GARCH Inegrado o IGARCH.

14 Dicha ecuación es la base del modelo Medias Móviles de Ponderación Exponencial (EWMA). Enonces, si ( α + β ) p expecaiva incondicional de, el proceso de modelado de la varianza arroja una reversion a la media a la σ, eso es σ si ( β ) p = α β w α +, y es esricamene esacionarios si E [ log( α + β )] p 0 v, con lo cual esimaciones de volailidad en el fuuro disane serán idénicas a la expecaiva incondicional de σ. Diferenes argumenos abogan por modelos donde ponderaciones exponenciales (la asa de olvido ), mecanismos de reversión a la media (el ermino medio de largo plazo) y la endencia a reproducir la auocorrelación del mercado. Debido a que la volailidad es un fenómeno no medible de manera direca en el mercado, no resula rivial deerminar cual modelo es correco o no. Sin embargo, ess independienes se pueden uilizar para comparar diferenes concepos de volailidad. Una vez obenidos los valores de las res medidas de volailidad en cuesión, las mismas son analizadas mediane series emporales. El objeivo es deerminar cuan bien es reflejada la volailidad presene y fuura medida como volailidad implícia de las opciones financieras (forward looking) en base a los concepos de volailidad medida sobre daos hisóricos (backward looking). Seguidamene se analizan los concepos de volailidad hisórica (Hisórica 60d), volailidad de varianza condicional (GARCH (,)), y volailidad implícia (Implied Vol.) mediane series emporales para los papeles con mayor operaoria y volumen del Mercado de Valores de Buenos Aires. El análisis es complemenado con la evolución emporal esandarizada (un ercio del valor del sock) de los acivos subyacenes en cuesión. Las especies analizadas son: Grupo Financiero Galicia (GFG), Perobras (PBE), y Acindar (ACIN).

15 El periodo de iempo analizado es: de enero de 004; 5 de abril de 004, fecha en la cual vencen las opciones de compra para dichos acivos. 8 En odos los casos el valor obenido de la volailidad implícia es en referencia a opciones A The Money ( S K ). Grupo Financiero Galicia (GFG) La Figura. resume los cálculos de los res concepos de volailidad uilizados en el presene rabajo: Hisórica, GARCH (,) e Implícia. Como se menciono, se incluye la evolución del acivo subyacene graficada como un ercio del valor observado. Como se puede apreciar, el concepo de volailidad radicional medida como el desvío esándar respeco al reorno medio para los úlimos 60 días comerciales no refleja la siuación imperane del acivo en el mercado. Su ponderación uniforme no permie observar cambios ocurridos en los periodos más próximos al acual. Dicho concepo hisórico es mejorado si se lo reemplaza por un proceso de heeroscedasicidad condicional. Si el proceso GARCH (,) es el uilizado como medida de volailidad, la correspondencia con el valor operado en el mercado mejora drásicamene. Eso se comprueba si se analiza la evolución de dicho concepo, y su correlación con la serie emporal de volailidad implícia. La volailidad implícia del derivado resula ser un buen predicor (forward looking) de lo que podría ocurrir en el mercado de capiales. Como se planea en la hipóesis nula, la volailidad implícia iende a aniciparse a la evolución de la volailidad medida como un GARCH (,). Para la presene especie, en promedio, la volailidad implícia produce cambios en su valor con días de anelación al valor resulane del proceso GARCH (,). Es de noar como la disminución del valor del sock es anecedido por aumenos en la volailidad implícia. En el presene caso de GFG se puede apreciar como la caída en el valor de S desde el 7 de enero al 0 de febrero es precedido por aumeno de la volailidad implícia que comienza el de enero. Aunque el proceso GARCH(,) refleja en gran medida la evolución de la volailidad implícia, falla en capar dichos cambios con similar rapidez. La medida de volailidad hisórica no refleja dichos cambios en ningún caso. 8 Para un análisis del periodo Ocubre 003; Abril 004 para el papel GFG, el cual incluye cuaro vencimienos, refiérase al Anexo 4.

16 3 GFG. Volailidades. Series Temporales 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0/0/004 09/0/004 6/0/004 3/0/004 30/0/004 06/0/004 3/0/004 0/0/004 7/0/004 05/03/004 /03/004 9/03/004 6/03/004 0/04/004 09/04/004 GARCH(,) Hisorica 60d. Implied Vol. Sock*

17 4 Luego, si consideramos al valor IV como el valor que el mercado esima correco, y si el mercado es eficiene en senido débil, podemos concluir que para el análisis de inceridumbre del acivo subyacene, un proceso GARCH (,) domina en senido débil a la volailidad hisórica radicional. Como se aprecia para GFG (las conclusiones se manienen para ACIN y PBE) el concepo radicional de volailidad solo responde a cambios de gran magniud en el valor del subyacene. Ese parece ser el caso para los 0 días comprendidos enre el 8 de enero de 004 y 8 de enero de 004. Perobras (PBE) PBE. Volailidades. Series Temporales 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0/0/004 09/0/004 6/0/004 3/0/004 30/0/004 06/0/004 3/0/004 0/0/004 7/0/004 05/03/004 /03/004 9/03/004 6/03/004 0/04/004 09/04/004 GARCH(,) Hisorica 60d Implied Vol. Sock*

18 5 Al igual que para la especie GFG, es de noar la evolución inversa enre el valor esándar del acivo y el valor de volailidad esimado por el proceso GARCH (,) para el acivo PBE. En odos los casos parece indicar que el proceso ARCH generalizado es simérico en su mayoría. Dicha caracerísica es común a los procesos de heeroscedasicidad condicional siméricos como el raado en el presene rabajo. Con odo, para acivos financieros, se observa que disminuciones en el valor del acivo son seguidas por aumenos de las volailidades observadas, mienras que aumenos en el valor del acivo no ienden a corresponderse con menores volailidades. Si ese es el caso, un proceso Threshold ARCH (TARCH) podría ser un modelo consisene a uilizar. El Anexo 5 incluye los cálculos para dicho modelo para el análisis de opciones de GFG con vencimieno en abril 004, donde se concluye que el efeco presena asimería. Las conclusiones respeco a la volailidad hisórica del subyacene se manienen, la misma no es un buen predicor de la siuación acual del mercado, su uilización parece más dispensable en siuaciones de acivos financieros de plazo coro a mediano. La capacidad de predicción de la volailidad implícia para deerminar cambios de endencias ambién se manienen. Como se puede apreciar, en general, cambios en la endencia del GARCH (,), son anicipados por la IV con una anelación de a 3 días. En cieras ocasiones, los cambios ocurren en el mismo periodo. Similar a GFG, disminuciones en el valor del acivo subyacene son precedidas por aumenos en la volailidad implícia de la opción. Las disminuciones experimenadas por el acivo a parir del 7 de enero son precedidas por aumenos de volailidad implícia a parir del 3 de enero. Acindar (ACIN) Al igual que en los dos papeles aneriores, el valor observado de la volailidad implícia aumena de manera explosiva en los días próximos al vencimieno de la opción, eso debido en pare al aumeno de las canidades de ransacciones de la opción, los cuales aporan mayor inceridumbre al desenlace final en el valor de la misma, la cual puede erminar con un precio de ejercicio menor, mayor o igual al valor del sock en dicho momeno 9. Así, los valores máximos para la volailidad implícia de ACIN (0.53), al igual que para GFG (0.64) y PBE (0.49), se encuenran al vencimieno del derivado. 9 Como se señalo, la volailidad implícia graficada para las diferenes especies, corresponde al ramo a he money, se observa que dicha explosión de volailidad en los úlimos días previos al vencimieno de la opción disminuye para el caso de opciones in he money y ou of he money.

19 6 ACIN. Volailidades. Series Temporales,,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0/0/004 09/0/004 6/0/004 3/0/004 30/0/004 06/0/004 3/0/004 0/0/004 7/0/004 05/03/004 /03/004 9/03/004 6/03/004 0/04/004 09/04/004 GARCH(,) Hisorica 60d Implied Vol. Sock* El análisis de los res papeles permie concluir que la volailidad medida como desvío esándar respeco al reorno medio no refleja los cambios en el valor del acivo subyacene. El proceso GARCH(,) domina al concepo radicional de volailidad hisórica. La volailidad implícia resulaane de inverir la ecuación diferencial de Black-Scholes es un buen predicor de las expecaivas del mercado. La relación Volailidad implícia-valor del Sock se maniene, aumenos en la volailidad implícia a parir del 9 de enero son seguidos por disminuciones en el valor del acivo a parir del de enero.

20 7 4. Disribución de Probabilidad Acumulaiva En la sección precedene se analizaron las series emporales de diferenes modelos para medir la inceridumbre en los acivos financieros. Se observo que la medida de volailidad en senido radicional no es al menos un indicador dinámico eficiene Como se mencionara oporunamene, denro de los facores que influyen en el valor de las opciones financieras, el único no observable en senido esrico en el mercado es la volailidad del insrumeno. También sabemos que el valor de una opción financiera es reflejado por su volailidad. Es por ello que la deerminación del modelo de volailidad a uilizar para el análisis de insrumenos derivados no es rivial. La presene sección iene por objeo analizar las diferenes alernaivas de cálculo para medir el concepo denominado volailidad del acivo. El presene rabajo se concenra en res modelos, a saber: Volailidad Hisórica medida como el momeno cenrado de segundo orden. Volailidad medida como un proceso auo regresivo de heerocedasicidad condicional de primer orden (GARCH (,)) Volailidad Implícia medida como valor resulane de inverir la ecuación diferencial parcial esocásica de Black-Scholes. En base a la información obenida de los principales papeles del índice Merval, se conformaran disribuciones de frecuencias de volailidad. Luego se procede a suavizar dichas disribuciones mediane esimadores de máxima verosimiliud (MLE) 0. Una vez obenida la disribución de probabilidad que mejor se aproxima a los daos discreos, se procede a comparar dichas funciones. 0 Los concepos de esimadores de máxima verosimiliud son raados en el Anexo 6.

21 8 Eso es, deerminar con que grado de error las disribuciones de probabilidad acumulaivas uilizadas finalmene reflejan los daos discreos obenidos para luego uilizar las mismas como funciones de densidad de volailidades y compararlas según el modelo analizado es el objeivo de la presene sección. Si la función de verosimiliud coniene k parámeros, es decir, si L( θ, θ,..., θk ) = f ( σi ; θ, θ, θk ) n i= los esimadores máximo verosímiles de los parámeros θ,...,, θ θ k son las variables aleaorias θ ˆ = d( σ, σ,..., σ ) n ; θ ˆ = d ( σ, σ,..., σ ) n ;...; θ ˆ k = dk ( σ, σ,..., σ ) n, donde θˆ, θˆ,..., θˆ k los valores en Ω que hacen máxima a L θ, θ,..., θ ) ( k son. Si se saisfacen condiciones de regularidad, el puno en que la verosimiliud es máxima es una solución del sisema de k ecuaciones. Esadísicos de Ajuse Una vez esimado los MLE, en base a las n observaciones de volailidades, las mismas son ajusadas a disribuciones de probabilidad coninua mediane esadísicos de ajuse. Dichos esadísicos ienen por objeo medir cuan bien la función de densidad resulane refleja los valores observados. Los res esadísicos mas usados frecuenemene para el análisis de series de mercados financieros son: el esimador Chi-Cuadrado; el esimador Anderson-Darling y el esimador Kolmogorov- Smirnov. Se probaron los res esadísicos mencionados y es el ulimo esimador el elegido para el análisis ya que sus venajas respeco a los resanes esimadores son las mas adecuadas para el análisis de las series de volailidades de acivos de coro plazo. A diferencia del esadísico Chi-Cuadrado, la prueba de Kolmogorov-Smirnov(K-S) no necesia que los daos se encuenren agrupados y es aplicable a muesras de amaño pequeño El Anexo 7 desarrolla el algorimo de Kolmorov-Smirnov para muesras pequeñas.

22 9 El esadísico K-S se define como KS n = max S σ n ( σ) F0( σ) donde n = numero oal de punos muésrales. F 0( σ ) = función de probabilidad acumulaiva ajusada. S n σ ) = N / n ( σ Disribuciones de Probabilidad de Volailidades Seguidamene se analizan las disribuciones de probabilidad acumulaivas de los res concepos de volailidad, Hisórica 60d, GARCH(,) e Implied Vol.. Para el ulimo caso, se han separado en res grupos de volailidades implícias de acuerdo a la relación exisene enre precio del sock y precio de ejercicio de la opción de compra, i.e., In The Money(ITM); A The Money(ATM); Ou Of The Money(OTM). Se define una opción de compra ITM como aquella en la cual el valor del sock es superior al precio de ejercicio en al menos un 0 por cieno. Una opción de compra ATM se define como aquella en el que el precio del sock en relación al precio del srike se encuenra en el inervalo 90 por cieno y 0 por cieno. Una opción de compra esa OTM si el precio del sock es inferior al precio de ejercicio en un nivel mayor al 0 por cieno. Disribución de Probabilidad. Volailidad Hisórica 60 días. El siguiene grafico muesra la disribución de frecuencias para los valores observados respeco a la volailidad observada en los úlimos 60 días comerciales. Dicha muesra se encuenra ajusada a la disribución de probabilidad en base al esadísico KS. La disribución de probabilidad uilizada es la función Bea Generalizada. Análisis realizado para la especie GFG, para un análisis de los papales líderes resane refiérase al Anexo 8.

23 BeaGeneral(0.9678, , , ) Mean = Mean = Fi Inpu Lef X Lef P 0.00% 0.00% Righ X Righ P 90.00% 97.% Diff. X Diff. P 90.00% 97.% Minimum Maximum Mean Mode N/A [es] Median % 0.0% Sd. Deviaion Variance Skewness Kurosis Disribución de Probabilidad. Proceso GARCH(,) La disribución de probabilidad a uilizar de acuerdo a K-S es la función Bea Generalizada BeaGeneral( , , , ) 0.40 Mean = Mean = % 90.0% Infiniy Fi Inpu Lef P 0.00% 0.00% Righ P 90.00% 93.06% Diff. P 90.00% 93.06% Minimum Maximum Mean Mode N/A [es] Median Sd. Deviaion Variance Skewness Kurosis

24 Disribución de Probabilidad. Volailidad Implícia inverida de Black-Scholes Opción de Compra In The Money La disribución de probabilidad uilizada es la función Weibull Weibull(.9864, ) Shif= Fi Inpu Lef X Lef P 6.% 5.56% Righ X Righ P 95.00% 9.78% Diff. X Diff. P 88.88% 87.% Minimum Maximum Mean Mode [es] Median Sd. Deviaion Variance % -Infiniy % > Skewness [es] 0.64 Kurosis [es].9439

25 Disribución de Probabilidad. Volailidad Implícia inverida de Black-Scholes Opción de Compra A The Money BeaGeneral(3.79, 9.559, , ) Mean = Mean = Fi Inpu Lef X Lef P 5.00% 8.37% Righ X Righ P 95.00% 96.96% Diff. X Diff. P 90.00% 88.59% Minimum Maximum Mean Mode [es] Median < 89.8% 0.% > -Infiniy Sd. Deviaion Variance Skewness Kurosis La disribución de probabilidad a uilizar de acuerdo a K-S es la función Bea Generalizada.

26 3 Disribución de Probabilidad. Volailidad Implícia inverida de Black-Scholes Opción de Compra Ou Of The Money La disribución de probabilidad a uilizar de acuerdo a K-S es la función Logísica Logisic(0.4903, ) Mean = Mean = Fi Inpu Lef X Lef P 5.00% 9.09% Righ X Righ P 95.00% 98.99% Diff. X Diff. P 90.00% 89.90% Minimum Maximum Mean Mode [es] Median Sd. Deviaion <.% 97.8% > Infiniy Variance Skewness Kurosis Luego, en base al análisis Kolmogorov-Smirnov se concluye que la comparación revela una diferencia suficienemene pequeña enre las funciones de disribución muesral y propuesa, luego la hipóesis nula en la que la disribución es F ( ) se acepa para odos los casos. Cabe acoar que 0 σ el ajuse con menor precisión se produce para el caso de Volailidad Hisórica 60dias, eso debido a la gran concenración de valores en punos exremos.

27 4 5. Función de Densidad de Volailidad A coninuación se ilusran las funciones de densidad de los res concepos de volailidad analizados y su disribución de probabilidad ajusada por Kolmogorv-Smirnov. Para el caso de volailidades implícias se coninúa la exposición presenada subdividiendo dicho concepo en opciones ITM, ATM y OTM. El análisis se realiza para el acivo financiero Grupo Financiero Galicia (GFG) 3 comparando las funciones de densidad de Volailidad inradiarias Hisórica 60d. Versus Volailidad Implícia. Un análisis similar se realiza para el proceso GARCH(,) Versus Volailidad Implícia. La presene sección iene por objeo demosrar que las función de densidad de volailidad medida como Volailidad Hisórica 60d posee grandes diferencias respeco a la funciones de densidad de volailidades implícias, lo cual permie indicar una falla del modelo de Black-Scholes y un error en la esimación del mercado en lo referene a la volailidad del acivo. Dicha conclusión no se maniene en el caso en el que se comparan el proceso GARCH y la volailidad implícia, ya que las diferencias son mínimas. Volailidad Hisórica 60d. Versus Volailidad Implícia Si el modelo de Black-Scholes es compleo, una comparación enre volailidades hisóricas del acivo subyacene y volailidades implícias obenidas de la ecuación de Black-Scholes debería resular al menos redundane. Sin embargo, no lo es. A coninuación se ilusran las funciones de densidad ajusadas mediane las disribuciones de probabilidad de acuerdo al algorimo KS para el periodo Enero-Abril 004. Volailidad Hisórica 60d. La función de densidad uilizada es la función Bea Generalizada de la forma f α ( σ min ) ( max σ ) α ( α, α )( max min ) α ( σ) = + α B 3 Para una análisis de los papeles lideres resanes refiérase al Anexo.9.

28 5 donde B refiere a la función de densidad Bea, α y α son parámeros de forma y min. y máx. son parámeros limies. Para el presene caso α = 0. 96, α = 0. 66, min = y max = La siguiene figura ilusra la funcion de densidad para la medida de volailidad hisorica radicional 30 BeaGeneral(0.9678, , , ) Mean = Mean = % % Como se puede apreciar, el 90% de las observaciones referenes a la volailidad hisórica de los úlimos 60 días comerciales se encuenra enre el límie inferior y Eso es, exise una probabilidad del 0% de enconrar valores de volailidad superiores a

29 6 Volailidad Implícia In The Money La función de densidad uilizada es la función Weibull de la forma α ασ ( σ / β ) f ( σ) = e α donde α es el parámero de forma y β el parámero de escala. Para el α β presene caso α =. 99 y β = 0. 8 A coninuación, se ilusra el caso de volailidades implícias de opciones de compra In The Money para el mismo periodo 4.0 Weibull(.9864, ) Shif= Mean = Mean = % -Infiniy % > Como se puede observar, el área comprendida enre los valores de volailidad implícia ITM igual a 0 y es 7.6%. Luego, la probabilidad de enconrar valores de volailidad superiores es de 8.4%. Recordemos que dicha probabilidad es de 0% para el caso de volailidad hisórica. Luego, esa diferencia del 8.4% enre volailidades hisóricas y volailidades implícias podría indicar la exisencia de anomalías en el mercado de capiales de Buenos Aires. Dichas incongruencias pueden conducir a posibilidades de arbiraje. Una de ellas podría ser vender consisenemene en el iempo opciones de compra in he money.

30 7 Seguidamene son analizadas disribuciones ou of he money y esraegias combinadas de arbiraje se desarrollan. Volailidad implícia A The Money La función de densidad uilizada es la función Bea Generalizada con parámeros α = 3. 73, α = 9.56, min = 0. y max = BeaGeneral(3.79, 9.559, , ) 6 Mean = Mean = < 89.8% 0.% > -Infiniy El grafico referene a la disribución de probabilidad de volailidades implícias para opciones de compra A The Money indica que exise un 89.8% de probabilidad de enconrar valores enre 0 y Luego la diferencia respeco a la disribución de volailidades hisóricas es mínima, exise un 0.% de que los valores obenidos en la función de disribución implícia no sean idénicos a los de la disribución hisórica.

31 8 Volailidad Implicia Ou Of The Money La función de densidad uilizada es la función Logísica de la forma σ α sech β ( σ ) f = donde α es el parámero coninuo de localización y β 4β es el parámero coninuo de escala. En el presene caso α = y = β. En el análisis de opciones in he money se enconró que la probabilidad de obener valores de volailidad implícia mayores a valores de volailidad hisórica es considerable. De manera simérica, se analiza la probabilidad de enconrar valores de opción ou of he money con volailidades implícias inferiores a lo valores de volailidad hisórica. Para ello debemos comparar las colas izquierdas de ambas disribuciones. El grafico para la disribución hisórica se manienen, pero se cambian los inervalos de acumulación. Así, exise un 90% de probabilidad de que las volailidades hisóricas del subyacene se encuenren en el inervalo e Infinio, lo cual implica que se pueden enconrar valores de volailidad hisórica inferiores con una probabilidad del 0%. La siguiene figura represena la disribución de probabilidad de opciones de compra ou of he money. Como se puede apreciar el área comprendida enre e Infinio es del 7.7%. Eso implica que la probabilidad de enconrar volailidades implícias con valores inferiores a es del 7.3%. Luego, esa diferencia del 7.3% enre volailidades hisóricas e implícias ou of he money podría inerprearse como una anomalía análoga para el caso de opciones de compra in he money.

32 9 Logisic(0.4903, ) 9 8 Mean = Mean = <.% 97.8% > Infiniy Proceso GARCH(,) Versus Volailidad implícia Enconramos una discrepancia no menor en la disribución de probabilidad de volailidades hisóricas e implícias. Ahora se procede a comparar la disribución de probabilidad de volailidades medidas como un proceso GARCH(,) en relación a la volailidad implícia. Recordemos que en la sección 3 se concluyo que las series emporales referidas a volailidades medidas como un proceso de heeroscedasicidad condicional reflejan mejor la evolución del valor del acivo que si la misma es medida mediane el concepo de volailidad radicional. Proceso GARCH(,) La función de densidad uilizada es la función Bea Generalizada con parámeros α = 0. 79, α = 0.89, min = y max = La siguiene figura presena la disribución de frecuencias y su función de densidad ajusada mediane el algorimo K-S. Exise un 90% de probabilidad de obener valores de volailidad medidas por el GARCH(,) inferiores a Así, exise una probabilidad del 0% de enconrar valores superiores a Si analizamos la figura de volailidades implícias para opciones in he money previamene presenada, el área comprendida enre e Infinio es del 7.5%. Luego la diferencia enre ambas volailidades es del 7.5%. Luego, es de noar la menor discrepancias enre Volailidades implícias ITM y GARCH(,) en relación a la comparación previa. De esa forma, si en el caso Volailidad

33 30 Hisórica 60d. Vs. Volailidad Implícia ITM exisen posibilidades de arbirajes (8.4% de discrepancia), en el caso GARCH(,) Vs. Volailidad Implícia ITM las posibilidades de arbiraje disminuyen al 7.5%. 8 BeaGeneral( , , , ) 7 Mean = Mean = % 90.0% Infiniy El análisis para opciones de compra ou of he money es análogo. La probabilidad de enconrar valores inferiores a es de 0% para el proceso GARCH(,), mienras que la probabilidad de enconrar valores inferiores a es del.3% para volailidades implícias ou of he money. En ese caso la diferencia en relación al caso Volailidad Hisórica 60d. Vs. Volailidad Implícia OTM no solo son menores, sino que son de signo opueso. Sin embargo, la discrepancia es inferior al 8%, por lo cual se descara cualquier posibilidad de arbiraje 4. Lo expresado se condice con las conclusiones obenidas en la Sección 3. referene a series emporales. El proceso GARCH(,) refleja de mejor manera la evolución de los reornos del subyacene, por lo 4 La resricción impuesa para la aplicación de esraegias de arbirajes son discrepancias enre disribuciones superiores al 5%.

34 3 ano, las discrepancias con las expecaivas de volailidad en el fuuro cercano medidas por la volailidad implícia son menores. Como se observo en los gráficos, dichas disribuciones y respecivas caracerísicas esadísicas disan de ser similares. En las primer secciones del presene rabajo expresamos los supuesos del modelo de valuación de opciones de Black-Scholes. Del mismo se desprende que, si los reornos de un acivo financiero deerminado siguen una disribución de probabilidad deerminada, de la cual se obienen las volailidades, la disribución de volailidad del derivado financiero debe ser similar a la del subyacene. Si no lo es, surgen complicaciones en la valuación del derivado, las cuales pueden conducir a oporunidades de arbirajes, replaneos sobre el concepo de volailidad inroducido en el modelo o replaneos del modelo de valuación como un odo debido a las diferencias enre volailidad del acivo subyacene y volailidad del derivado. Como se concluye en la Seccion3, la medida de volailidad y su capacidad de predicción medida como la Volailidad Implícia es mejor reflejada por un proceso GARCH(,) que por el concepo radicional de volailidad medido como el desvío esándar respeco al reorno medio. Específicamene, se encuenra que en odos los casos analizados la diferencia enre volailidad hisórica (HV) y volailidad Implícia (IV) ITM o OTM no es rivial. Dicha diferencia podría indicar oporunidad de arbiraje. Si el modelo de Black-Scholes es un modelo eficiene en senido esrico, eso prueba que la volailidad implícia esperada por el mercado para valuar opciones In The Money es considerablemene más ala que la volailidad realizada del acivo subyacene. Ergo, si el modelo de Black-Scholes es el correco para valuar opciones sobre acciones, exise una posibilidad de arbiraje en el mercado de valores de Argenina. La esraegia de arbiraje consise en vender opciones de compra que se encuenren in he money y con lo obenido comprar opciones de compra que se encuenren ou of he money. La esraegia se basa en el hecho de que si el modelo Black-Scholes para valuar opciones sobre acciones es compleo el valor de volailidad enconrado a parir de inverir la ecuación fundamenal de BS es el verdadero valor de volailidad, luego si el mercado valúa con una valor diferene al resulane de BS, se puede arbirar al mercado. El valor de volailidad esperado por el mercado para valuar opciones in he money, resulane de inverir BS, es superior al valor de volailidad hisórico obenido en base a la evolución de los reornos del subyacene. Luego, las opciones in he money se encuenran sobrevaluadas por el mercado.

35 3 De manera similar, el valor esperado por el mercado para opciones ou of he money es menor al valor observado de volailidades de los reornos. Luego, el mercado esa infravalorando las opciones de compra que se encuenran ou of he money. Por lo ano, la esraegia global consise en vender opciones de compra in he money, y con lo recaudado, comprar opciones de compra ou of he money. La esraegia, excluyendo cosos de ransacción, no presena cosos de inversión inicial. La esraegia fue uilizada para los res acivos principales del Mercado de Valores de Buenos Aires, los resulados concluyen que no es posible arbirar el mercado de valores de manera consisene. Debemos recordar que dicha esraegia uilizo el concepo de volailidad radicional medida como el desvío de los reornos respeco a su valor medio, ponderado de manera uniforme. Si se reemplaza dicha medida por un proceso GARCH(,), las posibilidades de armado de esraegias de arbiraje resulan riviales, el mercado de valores resula eficiene en senido débil.

36 33 6. Conclusiones El desarrollo en las cinco secciones precedenes uvo por objeo analizar el comporamieno de las volailidades de los principales papeles del Mercado de Valores de Buenos Aires. Se esimo la expecaiva de los agenes del mercado en base al cálculo de la volailidad implícia de opciones sobre acciones mediane el algorimo de Newon-Raphson. Se observo que la evolución de su serie emporal es un indicador correco de la inceridumbre del subyacene. Dicho concepo fue omado como una medida del ipo "forward looking", en la cual su resulado incluye no solo información pasada, sino ambién presene y comporamienos esperados en el fuuro próximo. Se enconró que cambios en la evolución del acivo subyacene son anicipados por cambios en la volailidad implícia de la opción con un promedio de días de anelación. En lo referenes a medidas del ipo "backward looking" se observo que el concepo de volailidad en senido radicional no es un buen indicador de las oscilaciones de los precios de los acivos de coro plazo. Dicha definición solo reacciona a grandes cambios en la endencia del subyacene. Se propuso una medida que reflejara de manera más eficiene la evolución de acivos con una vida no mayor a un rimesre. Luego, el concepo radicional fue reemplazado por un proceso GARCH de primer orden. Los resulados obenidos fueron saisfacorios, la volailidad de los reornos medida con un modelo GARCH(,) es un mejor indicador de la evolución del valor del subyacene. Se esimaron disribuciones de probabilidad para cada medida de volailidad. Primeramene se compararon las funciones de densidad Volailidad Hisorica y Volailidad Implicia ajusadas mediane el esadísico Kolmogorov-Smirnov. Se enconró que, si el modelo de Black-Scholes es correco, las opciones para las cuales su precio de ejercicio es menor al valor del sock en un nivel mayor al 0% (ITM) poseen una mayor volailidad implícia a la volailidad hisórica esimada para el subyacene. Luego, se encuenran sobrevaluadas, y la esraegia recomendada fue vender opciones in he money. Del mismo modo, las opciones para las cuales el precio de ejercicio es mayor al precio de la acción subyacene en un nivel mayor al 0% se encuenran infravaloradas. Comprar dichas opciones de compra fue la recomendación dada. Luego, la esraegia conjuna de inversión inicial nula fue vender opciones de compra ITM, con lo recaudado comprar opciones de compra OTM y esperar a la madurez del derivado. Dicha esraegia se baso en el hecho de que si las opciones ITM se encuenran asignadas con una volailidad(implícia) mayor a la cual debería ajusarse(hisórica), luego, se espera que la BSIV decaiga y por lo ano decaiga su valor. Así, se espera que dichas opciones no sean ejercidas al

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