Jenny Viviana Santana Forero y Diana Patricia Figueroa Aguilar. Categoría Pregrado

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1 1 ESTIMACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE VOLATILIDAD SOBRE EL ÍNDICE COLCAP, PARA LA CREACIÓN Y VALORACIÓN DE UN MERCADO DE OPCIONES COLOMBIANO, COMO BASE DEL CVIX Jenny Viviana Santana Forero y Diana Patricia Figueroa Aguilar Categoría Pregrado

2 2 ESTIMACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE VOLATILIDAD SOBRE EL ÍNDICE COLCAP, PARA LA CREACIÓN Y VALORACIÓN DE UN MERCADO DE OPCIONES COLOMBIANO, COMO BASE DEL CVIX El crecimiento presentado en el mercado bursátil colombiano de renta variable, junto a la introducción del índice COLCAP como referencia para aquellos inversionistas que estructuren sus portafolios con un beta que replique el mercado, han permitido el desarrollo de este trabajo que contempla la creación de una opción sobre el índice COLCAP y el planteamiento de un mercado de opciones inexistente en el país, base para el índice CVIX como instrumentos de cobertura. La volatilidad implícita, variable fundamental en la valoración de las primas, es extraída de una superficie de volatilidad modelada a partir de una aproximación econofísica y la teoría de Black and Scholes, en función del plazo al vencimiento y deltas. Una vez contempladas todas las variables se procede a calcular para el primer día de negociación, un mercado de opciones que contempla datos e igual número de volatilidades de donde se estima finalmente el índice CVIX. Palabras clave: Cobertura, Jump Diffusion, Opciones, Superficie de Volatilidad, Volatilidad Histórica, Volatilidad Implícita, VIX, Mercado de Opciones, Mercado de Volatilidades. Clasificación JEL: G10, G17

3 3 1. INTRODUCCIÓN Los inversionistas y administradores de portafolios de renta variable están expuestos a un riesgo de mercado constante por la incertidumbre que genera el mercado accionario, para lo cual el mercado bursátil colombiano carece de alternativas estandarizadas como instrumentos de cobertura. Por ello se quiere ofrecer al mercado de valores colombiano un marco de referencia para el primer día de negociación de opciones sobre el índice bursátil COLCAP 1, mientras se da inicio al desarrollo de este tipo de contratos en el mercado bursátil y a su vez proponer la introducción de un índice de volatilidad al que denominamos CVIX 2. Los mercados desarrollados contemplan la negociación y precio de las primas en base a la percepción del mercado y la ley de oferta y demanda, con lo cual la volatilidad que se negocia es consolidada a través de una superficie de volatilidad, considerándose implícito el precio de la opción. El presente trabajo centra su importancia en el desarrollo de la superficie, para lo cual se emplea una metodología mixta dando igual relevancia al estudio cualitativo del caso-proyecto y los resultados obtenidos cuantitativamente. Para ello se analizan y desarrollan procedimientos teóricos y relaciones matemáticas, que permiten obtener valores aceptables y lógicos en el cálculo de las variables a intervenir en la estimación de las primas a negociar sobre el índice COLCAP, de manera que se pueda estructurar un mercado de opciones 3 y de volatilidades 4, y una vez con esta información plantear y valorar el índice CVIX. La superficie de volatilidad 5 es desarrollada mediante una aproximación al modelo econofísico Jump Diffusion desarrollado por Robert Merton; la estimación de los 1 Índice de capitalización de la Bolsa de Valores de Colombia (BVC), que refleja las variaciones de los precios de las 20 acciones más líquidas. 2 Nombre dado por los autores al índice de volatilidad para el mercado colombiano, el nombre original es VIX en Estados Unidos. 3 Medio que permite la iteración de agentes y clientes, donde son negociadas las primas de un activo subyacente, para nuestro caso, el índice COLCAP. 4 Mercado donde se negocian las volatilidades implícitas de las primas tranzadas en el mercado de opciones. 5 Corresponde a una representación visual tridimensional de las volatilidades implícitas asociadas a las opciones de un mismo activo subyacente, a diferentes precios de ejercicio y fechas de vencimiento.

4 4 strikes y su posterior simulación empleando el método Monte Carlo apoyado en el software Risk Simulator; de manera que se puedan obtener diferentes escenarios de negociación, se calculan los deltas y diferentes medidas de moneyness mediante BSM 6 como base de la superficie de volatilidad, en función del delta y el periodo de maduración de la opción, con ello se puede estimar las primas tanto de opciones call como put, y por último el valor del CVIX es calculado en base a la metodología aplicada en Mexder, 7 estructurada a partir de la implementada por el CBOE 8 para el día correspondiente a la fecha del spot. 2. MARCO REFERENCIAL Los instrumentos financieros derivados, han sido empleados como objeto para mitigar y distribuir los riesgos entre los inversionistas, lo que ha contribuido a dar mayor eficiencia al mercado, ya que permiten operaciones de especulación y cobertura en un mismo portafolio. Dentro de este mercado se presentan diferentes tipos de instrumentos entre otros las opciones. Los Contratos de Opciones son contratos donde se adquiere el derecho, más no la obligación de comprar o vender un activo subyacente, a un precio determinado y en una fecha futura establecida. A diferencia de los otros instrumentos financieros, los contratos de opciones proveen un seguro contra los movimientos de los precios, con la ventaja que el valor de la perdida es limitada al no exceder el valor de la prima de negociación, mientras que la ganancia es ilimitada; por tanto se va hacer énfasis en el estudio de este derivado en particular. 6 Abreviación para el modelo Black and Scholes - Merton 7 Bolsa de Valores de México 8 Mercado de Opciones de Chicago

5 5 2.1TIPOS DE OPCIONES Existen dos tipos de opciones, la primera es la opción de compra (call), y la segunda es la opción de venta (put). Dependiendo de la posición que exista respecto al precio de mercado, las opciones pueden encontrarse en dinero, a dinero, y fuera de dinero, o también nombrado in the money (ITM), at the money (ATM), out of the money (OTM) respectivamente. Una opción en dinero es aquella que genera un flujo de caja positivo para el inversionista en caso de ejercerla en el momento; por otro lado una opción a dinero es aquella donde el flujo de caja es cero, mientras que una opción fuera de dinero generaría flujo de caja negativo si se ejerce inmediatamente OPCIONES SOBRE ÍNDICES BURSÁTILES Los contratos de opciones sobre índices bursátiles, se presentan para realizar cobertura de riesgos inherentes a la inversión en portafolios de renta variable; El costo que el comprador abonará al vendedor por la opción, se denomina prima, cuyo valor depende de diversos factores: - Precio spot (S) corresponde al precio de negociación del mercado. - Precio de ejercicio (Strike) (K): Precio al que el usuario decide tomar el contrato. - Dividendos (q): Se define como la reducción del precio de la acción, en la fecha ex dividendo como consecuencia de cualquier dividendo declarado, siendo q igual al rendimiento de dividendos promedio anualizado durante la vida de la opción 9. - Tasa libre de riesgo(r): Es el rendimiento total que proporciona la acción en un escenario neutral al riesgo JhonC.Hull, Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones; Capitulo 13 opciones sobre índices y divisas, página

6 6 - Volatilidad ( : Se define como la medida de incertidumbre, sobre los movimientos futuros del precio. Al ser un parámetro que no se puede observar directamente en el modelo Black and Scholes Merton, en el mercado real, es tranzado por medio de una superficie de volatilidad, la cual suministra las volatilidades implícitas siendo estas las esperadas por el mercado; Esta superficie fue propuesta por Dupire 10 y desarrollada en 1994 por Derman 11, Kani y Rubinstein donde muestra que su función está dada por el delta y el plazo, denominada igualmente varianza local Plazo: se considera la fecha de vencimiento de la opción, para el caso de las opciones europeas, al menor vencimiento las primas valen más UTILIDADES DE LAS OPCIONES SOBRE ÍNDICES Las opciones sobre índices permiten la cobertura de portafolios de renta variable con un beta=1, es decir que repliquen el índice, de ser así, es apropiado para el inversionista comprar una opción de venta que permita la cobertura contra disminución en el precio de cotización del subyacente; pero si por el contario el beta es <1, al no replicar por completo las acciones que componen el índice y se predice que estas acciones van a disminuir, es conveniente para el inversionista comprar una opción de compra que le permita un beneficio si el índice incrementa su valor. 2.2 MERCADO DE OPCIONES El mercado de opciones es el medio que permite la iteración de agentes y clientes, donde pueden negociar un activo subyacente de manera que puedan especular un riesgo a cambio de una ganancia o realizar una operación de cobertura cuyo fin es 10 Bruno Dupire: Director de Investigación Cuantitativa en Bloomberg LP. 11 Emanuel Derman: Académico en la universidad de Columbia del programa ingeniería financiera, empresario y escritor. 12 Rodriguez Arrieta Daniel, Título: L a superficie de volatilidad, Universidad Complutense de Madrid, 2012.

7 7 el reducir o mitigar los riesgos que se derivan de la fluctuación de los precios del activo subyacente. Para hacer más eficiente el tema de cobertura, fue considerada la volatilidad implícita de los subyacentes negociados, como base para un nuevo índice que midiera la expectativa al corto plazo, dando lugar al índice de volatilidad VIX 13, el cual fue implementado en 1993 por el CBOE, en base a las opciones negociadas sobre el índice S&P , para medir el nivel de volatilidad implícita del mercado. El VIX es un indicador que determina la volatilidad que los inversores esperan para los siguientes 30 días, midiendo las posibles pérdidas 15, Cada vez es implementado por más inversionistas en el corto y mediano plazo, ya que se puede monitorear en forma intradía. Estados Unidos fue el primer mercado en implementar este indicador seguido por el mercado alemán en 1994 con el VDAX, en países latinoamericanos, el más grande es el mercado mexicano con el desarrollo del VIMEX, indicador que se realiza sobre las opciones del futuro del IPC, su medición está dada para un periodo de 3 meses. 2.3 MERCADO DE DERIVADOS EN COLOMBIA Este mercado inicia partir de septiembre de 2008 con la introducción de futuros sobre títulos de deuda pública del Gobierno nacional, A mediados de Junio de 2009, se realizan operaciones de futuros sobre la tasa de cambio, negociación con divisas, también se ha ido desarrollando un mercado de derivados de energía eléctrica, aunque su volumen ha sido bajo por su poca liquidez Volatility Index 14 Standard and Poors 500, está conformado por 400 compañías industriales, 20 de transporte, 40 de servicio público, y 40 financieras, las más representativas de la bolsa. 15 Guiner Javier, Morini Sandra, Título: Midiendo la volatilidad del mercado de opciones VIX, Universidad de la Laguna, 2002 González Alejandro, Título: Desarrollo del mercado de derivados en Colombia.

8 8 De acuerdo al reporte entregado por el foro económico mundial para el año 2013, el mercado colombiano tranzó US$ 1.5 billones, es decir tan solo el 0,13% y el 0.60% del mercado de Brasil y México respectivamente, por lo que se concluye que en Colombia este mercado es débil, con un mínimo volumen de negociación, de baja diversificación ya que no desarrollan la mayoría de los productos derivados, y se concentran principalmente en operaciones OTC 17. En la Ley 964 de 2005, queda establecido que los derivados financieros, dentro de los cuales se incluyen las opciones, serán regulados como valores siempre que los mismos sean estandarizados y susceptibles de ser transados en bolsas de valores o en otros sistemas de negociación; de esta manera se crea la Cámara de Riesgo Central de Contraparte, para mitigar los riesgos de contraparte y facilitar liquidez de las operaciones MERCADO DE OPCIONES EN COLOMBIA Los contratos de opciones no han sido ajenos al mercado financiero en Colombia, pues de hecho se realizan por entidades financieras y otros agentes del sector real de la economía. Sin embargo, su desarrollo en el mercado de valores colombiano se ha visto frenado por dos grandes limitaciones: La falta de una normatividad adecuada y La falta de agentes especializados. 18 Como consecuencia en la actualidad son negociados los siguientes contratos: Opciones sobre títulos valores de deuda pública o privada: Desde el punto de vista de capacidad legal, las sociedades comisionistas de bolsa se encuentran facultadas para celebrar operaciones de opciones, bien por cuenta propia o por 17 Operaciones OTC, Over the Counter, son operaciones de derivados no estandarizados que se transan a través de dos agentes o contrapartes. 18 Concepto del 12 de enero de 2005 de la Superintendencia de Valores.

9 9 cuenta de terceros, siempre que se encuentren inscritas en el Registro Nacional de Valores y Emisores 19. Opciones sobre divisas: Desde el punto de vista de capacidad legal las sociedades comisionistas de bolsa tienen un marco expreso de actuación como intermediarios del mercado cambiario, recogido en la Resolución 8 de UNA APROXIMACION AL MERCADO DE OPCIONES COLOMBIANO, SOBRE UN ÍNDICE BURSATIL A continuación se plantean los procedimientos teóricos y relaciones matemáticas a considerar para el desarrollo del proyecto, que permiten obtener valores aceptables y lógicos en el cálculo de las variables, que intervienen en la estimación de las primas a negociar sobre el índice COLCAP LA VOLATILIDAD IMPLICITA Vs VOLATILIDAD HISTÓRICA Una variable fundamental en el desarrollo del mercado financiero, es la volatilidad la cual nos permite medir, estimar y cuantificar los cambios que se presentan con las rentabilidades de diferentes activos, y que no se pueden predecir. Existen dos tipos de volatilidades, la primera es determinista, que es aquella que si presenta cambio lo hace de manera cierta y conocida, asociada a la volatilidad histórica y la segunda es la estocástica es aquella que presenta cambios de manera incierta y desconocida, asociada a la volatilidad implícita. En vista que los precios de los derivados financieros son derivados a su vez del activo subyacente sobre el cuál se realiza la negociación, se demostró que la 19 Registro que posee por objeto matricular las clases y tipos de valores, a los emisores de los mismos y las emisiones, adicionalmente legaliza lo relacionado con la filiación de dichos emisores, clases y tipos de valores. Las ofertas públicas de valores se obligarán a estar precedidas por la inscripción en el RNVE.

10 10 volatilidad sobre el precio del subyacente está relacionada con la volatilidad sobre el precio del derivado como tal (Tagliafichi 2008) 20. Cuando las volatilidades históricas del subyacente en el corto plazo son bajas con respecto al mercado, la volatilidad implícita tiende a ser una función creciente del vencimiento, debido a la expectativa de los inversionistas de que estas aumenten y viceversa. Acorde a lo mencionado en el supuesto de normalidad que atribuye a los retornos un movimiento independiente a los sucesos pasados, y comprobado que ello no se cumple, Tagliafichi en un estudio ajeno a lo aquí mencionado, realiza un comparativo entre el resultado obtenido al valorar una prima teórica mediante BS estilo europeo mediante la estimación de la volatilidad a partir de una serie temporal de los rendimientos del subyacente, empleando modelos heterocedásticos no lineales de volatilidad condicionada a un pasado reciente, como lo es el modelo GARCH(1,1) Los resultados obtenidos con el modelo tradicional 21 llegando a las siguientes conclusiones: (Gráfica 1). Cuando la volatilidad no lineal se acerca a la volatilidad tradicional, los precios teóricos están por encima de las primas que cobra el mercado. Cuando la volatilidad estimada mediante GARCH (1,1) se encuentra por encima de la volatilidad tradicional, las primas tienden a estar a la par del mercado. Por tanto una fuente que asegura la confiabilidad del modelo a realizar mediante la implementación de la superficie de volatilidad, se constituye en la comparación de las primas halladas implícitas extraídas de la superficie y la volatilidad histórica estimada para el índice COLCAP mediante la modelación de varianza condicionada. 20Ricardo A. Tagliafichi, Actuario de la Universidad Nacional de Buenos Aires, Profesor de valuación de activos en la Universidad de Palermo, autordel paper La volatilidad, su cálculo e incidencia en los precios de los derivados publicado por Palermo Bussines Review en 2008, de donde referimos para este tema, las principales conclusiones obtenidas por el autor. 21 Modelo de simulación histórica.

11 11 Gráfica 1. Diferencia entre el modelo de volatilidad tradicional y el modelo GARCH (1,1), y diferencia entre las primas teóricas y reales Fuente: Palermo Bussines Review /N 2/2008, pág VALORACIÓN DE OPCIONES: MODELO BSM El método de valoración de opciones generalizado en los mercados corresponde al estilo europeo propuesto por Black and Scholes (BSM) en 1973, por la simplicidad de sus cálculos y su algoritmo sencillo, con la modificación realizada por Merton en 1978 para la valoración de opciones sobre acciones que pagan dividendos, cuya formulación se presenta en la siguiente ecuación ( ( [1] ( ( [2] Donde: ( ( ) [3] [4] Donde k es el strike o precio del ejercicio, r la tasa libre de riesgo, q tasa de dividendos, precio actual del subyacente, T número de días que faltan para el vencimiento de la opción, volatilidad del subyacente y ( y ( corresponden al valor de la distribución normal estándar.

12 12 Entre los supuestos se consideran que la varianza del activo subyacente permanece constante hasta el vencimiento del instrumento, contrario a ello y dado que los agentes del mercado asignan de manera implícita una volatilidad para diferentes precios de ejercicio o niveles de moneyness 22 que captura las expectativas de los participantes, las cuales, al ser graficadas se visualizan como una sonrisa o mueca, lo que se conoce generalmente como volatility smile, skew o smirk, estas últimas típicas de índices accionarios. (Gráfica 2); es decir, que la volatilidad usada para evaluar una opción o hallar su precio o prima, depende de su precio de ejercicio y el tiempo al vencimiento. 23. De esta manera si se acomoda la volatilidad como función del precio de ejercicio [σ(k)] y los diferentes plazos de negociación [σ(t)] en un día, se obtiene la superficie de volatilidad [σ(k,t)]. Gráfica 2. Sonrisa de Volatilidad para un índice accionario Fuente: Visual Risk La volatilidad menciona es la implícita estimada mediante el delta neutral, el cual refleja el cambio del strike ante cambios en el spot de acuerdo al modelo de B&S. Su formulación se presenta en la siguiente ecuación: 22 En los mercados de derivados para simplificar el uso de diferentes precios de ejercicio, a la vez que la volatilidad asociada, se estandariza una medida denominada moneyness, mediante el cociente [(K,S)], el retorno del cociente suavizado al vencimiento [ln(k/s)/σ t], o el delta de la opción. 23 JhonC.Hull, Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones; Capitulo 17: Sonrisa de Volatilidad.

13 13 [ ( ( ) ] [5] SUPERFICIE DE VOLATILIDAD Para el desarrollo de la superficie de volatilidad se plantea un modelo propio empleando los supuestos generales del modelo Jump Diffusion, estudiado en Colombia por el autor Carlos León 24 cuya investigación fue publicada por el Banco de la República 25 y quien realiza un aproximación teórica con este método para modelar una superficie de volatilidad en el mercado cambiario. El autor concluye que los resultados encontrados se ajustan a lo señalado por la evidencia de mercados de opciones desarrollados. Al conocerse la volatilidad (dada por la superficie), el strike, el spot y el plazo, lo que el mercado considera realmente implícito es la prima de la opción, tanto así, que se negocian las volatilidades implícitas directamente mediante el VIX. La estimación de los precios de la opción con volatilidades implícitas extraídas de la superficie de volatilidad surge en vista que los supuestos contemplados por la metodología BSM no reconocen la realidad de los mercados, el más evidente corresponde a que los precios siguen un movimiento browniano o de caminata aleatoria (random walk), por lo que se asume, entre otros que: i. Las características de tendencia y volatilidad son constantes en el tiempo. ii. Los retornos son independientes, no existe correlación con cambios anteriores. iii. Los retornos del subyacente son continuos, no presentan saltos o picos. iv. Los retornos tienen una distribución normal. 24 Investigador del Departamento de Operaciones y Desarrollo de Mercados de la Subgerencia Monetaria y de Reservas del Banco de la República de Colombia. 25 Título de la Investigación: Una aproximación teórica a la superficie de volatilidad en el mercado colombiano a través del modelo de difusión con saltos ; Borrador de Economía N 570 del año 2009.

14 14 El primer supuesto se abordó con anterioridad; el segundo, según Mandelbrot y Hudson (2004) comprueban que cambios grandes o pequeños en el activo financiero tienden a ser seguidos por otros de similar tamaño, lo que se conoce como agrupamiento de volatilidad o volatility clustering. El autor, en el tercer y cuarto supuesto, de nuestro interés, demuestra mediante inspección gráfica, que la distribución empírica difiere de la normal; a su vez la curtosis excede entre 3 y 6 veces el supuesto de normalidad (3), y esta diferencia es más notoria para las observaciones que exceden 2 desviaciones estándar, es decir los saltos, que representan los eventos extremos conocidos también como colas anchas. Así mismo, el sesgo difiere significativamente de cero, por lo cual las observaciones se concentran hacia un lado de la distribución, si es positivo hacia la cola derecha y si es negativo hacia la cola izquierda. En conclusión la evidencia reveló que los precios de los activos financieros saltan, por tanto no puede ser ignorado este evento y debe ser considerado como elemento esencial en los mercados VIX Una vez se cuentan con los precios estimados y negociados en un día, se conforma el mercado de opciones con el cuál, extraídas las volatilidades implícitas, es conformado un mercado de volatilidad donde estas son negociadas. Para su cálculo se presentan las fórmulas a continuación: y [6] y [7] + [8] + [9]

15 15 VIX + [10] Cuando se presenta un índice de volatilidad alto, los inversionistas cubren sus portafolios por medio de compra en opciones put, por el contrario si el índice es bajo no habrá necesidad de adquirir esta cobertura. 3. METODOLOGÍA Y DESARROLLO DE UN MERCADO DE OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE COLCAP 3.1 ESTIMACIÓN DE STRIKES A continuación se relaciona el desarrollo para la obtención de los precios, que permitirán establecer los niveles de moneyness de acuerdo al delta de la opción APROXIMACIÓN JUMP Esta aproximación consiste en la división de los retornos del índice mediante la desviación estándar de la serie 26, se define el número de desviaciones que generan exceso de curtosis 27 como parámetro de división y así se obtienen dos series nuevas: una sin saltos (browniana) que presenta una curtosis aproximada a cero y corresponde a los movimientos cuya magnitud estandarizada es igual o inferior a dicho límite y otra con saltos, esta última con exceso de curtosis (Gráfico 3). Definimos saltos como aquellas variaciones súbitas en los precios ya sean aumentos o disminuciones para un tiempo dado, y que no asumen normalidad, es decir, no hay manera de predecirlas. La desviación estándar de la serie de los retornos original, arroja un resultado de ; la serie normal presenta una curtosis de 3, mientras que la serie con saltos presenta exceso de curtosis del 12,6765, confirmando lo antes mencionado. 26 periodicidad de la serie de precios del 04 de enero de 2010 al 15 de febrero de 2012.Los retornos en esta periodicidad mostraron picos o saltos que permitirán la aplicación de un modelo más ajustado. 27 Se refiere al grado de empinación de una distribución con respecto a la normal. Si este valor es próximo a 0, la distribución sigue una distribución normal.

16 Gráfica 3. Gráfica retornos con saltos 0,03 RETORNOS MODELADOS APROXIMACION JUMP 0,02 0,01 0-0,01-0,02-0,03 RETORNOS NORMALES Fuente: Autores, con datos de la BVC SIMULACIÓN DE MONTECARLO Mediante el software Risk Simulator 2013 en el módulo de análisis de datos se hace la simulación de acuerdo a la distribución de probabilidad que presente mejor ajuste de bondad mediante el p-valor, la primera debe presentar normalidad, pues es la finalidad de la aproximación Jump. La bondad de ajuste será evaluada entre estos tres métodos: Método chi cuadrado: comprobación de distribuciones discretas y continuas, con un valor de bondad de ajuste > de 0.5. Método Kolmogorovsmirnov: distribuciones continuas, con un valor de bondad de ajuste < al Método Anderson Darling: análisis del área de las colas, presentando un valor de bondad de ajuste < a Para la simulación de la serie browniana, se valida la distribución por medio de la prueba Kolmogorov Smirnov, mostrando como resultado, una distribución normal 28 Centeno Roberto, Simulación de Montecarlo y su aplicación a la ingeniería geotecnia, capítulo. Pruebas de bondad de ajuste para la data con la que se pretende simular

17 17 con el 97,41% de confianza. Por otro lado se muestra una distribución multiplicativa de Beta para la serie con saltos y forma exponencial, con un 0,2% de bondad de ajuste ESTIMACIÓN PRECIOS O STRIKE: Una vez con los retornos simulados (r i ), se emplea la fórmula expresada a continuación para devolverlos a precio nuevamente: Las dos series de precios se agrupan nuevamente en una sola y se realizan distintos filtros para escoger de acuerdo al moneyness, aquellos que permitan observar las diferentes situaciones: ITM, ATM ó OTM, con respecto al Spot SUPERFICIE DE VOLATILIDAD La superficie está conformada por tres variables: la volatilidad, el plazo y el moneyness. Los plazos corresponden a los publicados en Bloomberg 30 : 1 día, 7 días, 14 días, hasta 1828 días al vencimiento. Adicionalmente, el moneyness está dado por el delta de la opción de acuerdo a la misma página de referencia: 0.1, 0.25, 0.5, 0.75 y 0.9 La volatilidad es estimada con la fórmula delta neutral [8]. Para ello se cuenta con el spot, los distintos strikes, el plazo, por lo tanto, se debe buscar la volatilidad que de acuerdo al delta establecido permite la igualación de la ecuación. Este procedimiento se lleva a cabo 85 veces hasta completar los diferentes plazos al vencimiento para cada moneyness; por tanto se hace necesario una optimización mediante una primer herramienta en Visual Basic que agrupa los resultados obtenidos. El resultado final de la superficie se presenta en la gráfica Valor del índice al cierre del 15 de Febrero 2012 (1.690) 30 Red interactiva de información ffinanciera, usado en la mayoría de la empresas bursátiles.

18 VOLATILIDAD IMPLÍCITA Para hallar la volatilidad de cada prima, se determinan los strikes que se encuentren ATM, ITM Y OTM, para ello se asume que el spot corresponde al valor ATM (delta 0.5), en cuanto a los valores que se encuentran ITM (delta 0.75 y 0.9) y OTM (delta 0.25 y 0.1), se calculan con el strike de referencia a evaluar en la prima de la opción, en función del spot, tasa libre de riesgo, tasa de dividendos y el valor delta invertido. El strike asociado a cada delta, debe encontrarse entre dos puntos, el primero es que sean por encima o debajo, o los más próximos por debajo del strike de referencia, así mismo las volatilidades correspondientes a estos, de manera que como resultado se obtiene una matriz 2x2 para una nueva interpolación. Para cada prima se estima la volatilidad de acuerdo a cada día al vencimiento y cada strike, con lo cual se construye un registro que conforma el mercado de volatilidades, base para el índice de volatilidad CVIX. Este proceso es realizado mediante una herramienta en Visual Basic VOLATILIDAD HISTÓRICA: GARCH Para su estimación se realizó un modelo Garch (1,1) resultante de la regresión entre el índice COLCAP (a), COL 20 (b) e IGBC (c), donde se muestra que los parámetros son significativos de acuerdo a los resultados. De acuerdo a la fórmula de varianza condicional y una vez realizados los cálculos en el software Stata 31, el modelo resultante se presenta a continuación: Se comprueban los supuestos donde la constante debe ser mayor que alpha y beta, y afirmando que la sumatoria de estas dos es menor a Programa integrado de estadística.

19 INTERPOLACIÓN Para la valoración de las primas de la opción es necesario hallar la volatilidad para cada plazo al vencimiento, con base en la calculadora de opciones de la empresa Infovalmer 32, proveedor de precios del mercado colombiano, cuya base es el método de interpolación polinómica de primer orden de Newton 33, se estima el valor de la volatilidad para cada plazo contemplado en la superficie de volatilidad. Se separan por rangos los días al vencimiento de la superficie de volatilidad y con cada uno de ellos se abstrae la volatilidad asociada, de manera que se establece la matriz base para realizar la interpolación; Con ella y empleando la fórmula de interpolación lineal se hallan las volatilidades asociadas para cada delta y cada día al vencimiento desde el día 1 hasta 1828 días. En síntesis lo que se logra es ampliar la superficie de volatilidad. Gráfica 4. Superficie de volatilidad obtenida para el índice COLCAP Fuente: Autores, mediante software MATLAB O interpolación lineal para hallar un punto medido entre dos puntos dados crecientes o decrecientes.

20 PRIMA DE LA OPCIÓN Se valora mediante el modelo BMS para acciones que pagan dividendos empleando la ecuación [1 y 2] para el cálculo de la prima tanto call como put. Tasa de Dividendos: Mediante los dividendos efectivamente pagados por las empresas que componen el COLCAP registrados por el ETF 34 Ishare del COLCAP (ICOLCAP) 35 para el periodo del 29 de Dic de 2011 al 30 de Nov de Tasa libre de Riesgo: Corresponde a la tasa cero cupón TES 2024 del 16 de feb de 2012, por ser la referencia más liquida y con mayor volumen de negociación. Se escoge los días de vencimiento de la opción que se desea estimar, de manera que pueda observar el valor de la prima con el paso de los días; al contemplar los diferentes escenarios, el inversionista selecciona cuál le proporciona una mejor cobertura. Para la consolidación de las primas en una base de datos se diseñaron dos programas en Visual Basic, una para las primas Call y otra para primas Put. La herramienta permite la obtención de todos los posibles valores de primas mediante la fórmula de BSM estilo europeo, para cada strike (en total 304) y cada día (desde 1 hasta 1828). 3.4 CVIX Está conformado por 4 opciones call y 4 put, que se encuentren ATM y con los plazos al vencimiento más cercano, se escogen dos strike aleatoriamente, uno ITM y otro OTM, y de acuerdo a las volatilidades obtenidas, se calcula una nueva media con estos datos para obtener el precio de ejercicio más ATM; por último se realiza el cálculo del índice, implementando la ecuación Ó Fondo Bursátil, es un instrumento financiero que combina las acciones y las carteras colectivas tradicionales; permite acceder en una sola transacción a los títulos del COLCAP. 35 Busca proporcionar a los inversionistas una rentabilidad similar a la del índice COLCAP, descontando las comisiones de gestión y administración.

21 21 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS En el siguiente apartado se enseñan los resultados obtenidos, a partir de los modelos desarrollados. 4.1SUPERFICIE DE VOLATILIDAD En vista que el mercado acepta y emplea la fórmula de Black and Scholes para la valoración de las primas, se evidencian dos supuestos que se encontraron válidos al estimar la superficie de volatilidad. 1. La volatilidad del activo subyacente permanece constante durante el vencimiento de la opción. El valor de esta volatilidad con un spot de 1690 correspondiente al delta 0,5 (At the money) es constante en 13,8% 2. La superficie está conformada por la unión de las sonrisas de volatilidad, para el caso de estudio debe corresponder con una skew o sonrisa de volatilidad decreciente como se evidencia en la gráfica 5. Gráfica 5. Sonrisa de Volatilidad obtenida para una opción Call Fuente: Autores

22 VOLATILIDAD VOLATILIDAD IMPLÍCITA La volatilidad presentada en las opciones que tienen un plazo de expiración menor a 10 días de operación, bajo la experiencia del mercado, es distorsionada, es decir, sobrevalua o subvalúa el valor real de volatilidad 36, por tanto el valor de la prima se ve afectada por esta apreciación del mercado, describiendo para el índice COLCAP que la volatilidad aumenta excesivamente faltando un día para su vencimiento y hacia 7 días, se normaliza, presentando un 38 a 40% anual de volatilidad corroborando su relación con la volatilidad histórica.(gráfica 6). Gráfica 6. Volatilidades implícitas obtenidas sobre las primas negociadas vs el precio de ejercicio ITM (delta 0,5) 130% 125% 120% 115% 110% 105% 100% 95% 90% 85% 80% 75% 70% 65% 60% 55% 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% VOLATILIDADES IMPLICITAS DE LAS OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE COLCAP VOLATILIDAD 1 DÍA VOLATILIDAD 4 DÍAS STRIKE Fuente: Autores 4.3 CVIX Una vez se realizaron los cálculos, se obtiene un CVIX del 19.54%, lo que quiere decir que esta es la volatilidad que esperan ver los inversionistas, durante los 30 días siguientes. 36 Metodología para el cálculo del índice VIMEX, página 5

23 23 Como es un valor inferior a 20 se interpreta que es un periodo de tranquilidad para el mercado, lo que puede mostrar tendencia alcista sostenida. 5. UTILIDAD Y APLICACIÓN FINANCIERA DE LOS RESULTADOS Este modelo brinda una aproximación al mercado de opciones en Colombia sobre el índice COLCAP que permite dar inicio, en su primer día de negociación al desarrollo de este tipo de contratos; a su vez provee un marco de referencia para aquellos días en que no haya cotizaciones de primas. Hasta el momento que un ente regulador decida negociar la superficie de volatilidad mediante este modelo; habría una combinación entre primas observadas por el mercado y las estimaciones proporcionadas por los modelos financieros propuestos. Para los strike que no presentaron negociación y que por ende no presentan información de volatilidad o en el caso que los strike y plazos sean demasiados altos, se complementan con la metodología planteada. En caso contrario va a prevalecer lo que muestre el mercado con las primas observadas. Una vez exista el mercado de opciones, puede ser implementado el índice de volatilidad CVIX, mediante la metodología aquí planteada. 6. CONCLUSIONES Con la implementación de la superficie de volatilidad para la estimación de las primas, se demuestra cualitativamente que la volatilidad es mayor a medida que se acercan los días al vencimiento de la opción, y por ende el valor de la prima es proporcional a este incremento. La valoración de las primas para los strikes in the money presentan el valor más alto, decreciente en los strikes out the money.

24 24 Se logra demostrar que la superficie encontrada es el conjunto de sonrisas de volatilidad acordes con la forma skew observadas en mercados desarrollados para opciones call. Se hace necesario por las limitaciones en productos de cobertura disponibles para los inversionistas de renta variable, realizar una primera aproximación a lo que sería el mercado de opciones en Colombia sobre el índice COLCAP para posterior a éste, crear el índice de volatilidad CVIX, tal como se encuentra implementado en los mercados que ya manejan opciones financieras, como instrumento de cobertura. 7. RECOMENDACIONES Estudiar las condiciones en que sería llevada a cabo la negociación de la opción sobre el índice COLCAP, y como permite la cobertura al inversionista. Crear la opción sobre el índice CVIX, a partir del mercado de volatilidades planteado.

25 25 REFERENCIAS Centeno R., Simulación de Montecarlo y su aplicación a la ingeniería geotecnia, (s.f.) García M., Ibar R., Estimación de modelos de Volatilidad Estocástica, (s.f.) Universidad San Pablo, facultad de ciencias económicas y empresariales. García P., La Volatilidad implícita en las opciones sobre índices bursátiles. (s.f.) Propuesta de metodología de estimación. Universidad Complutense de Madrid. Giner J, Morini S., El índice VIX para la predicción de volatilidad: un estudio internacional- año 2004.Universidad de la Laguna. Departamento de economía financiera y contabilidad. Hull C. John., Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones, año Madrid: Prentice Hall. León C., Una aproximación teórica a la superficie de volatilidad en el mercado colombiano a través del modelo de difusión con saltos, año Borrador de Economía 570, Banco de la República. Levy J., Modelización con estructuras de covarianzas en ciencias sociales, (s.f.). Ludlow J, Mota B., Volatilidad del IPC, Nasdaq y S&P500: un modelo Garch multivariado, año 2006 UAM, Departamento de Economía. Merton R., Theory of Rational Option Pricing. Año 1973, Bell Journal of Economics and Management Science. Novales A., Volatilidad, Universidad Complutense, Departamento de Economía Cuantitativa, año Saavedra P., Ibarra V., El método de Monte-carlo y su aplicación a finanzas, (s.f.) Universidad Autónomo Metropolitana Itapalada, Departamento de Matemáticas. Tagliafichi R., (2008) La volatilidad, su cálculo y su incidencia en los precios de los derivados. Palermo Business Review N 2. Boletín de Información Financiera FIRA (2011).Mercado de Futuros y Opciones. Recuperado de

26 26 Boletín del mercado de derivados financieros, forwards, swaps, contratos digitales. Recuperado de Boletín de tipos de instrumentos derivados. Superintendencia de banca, seguros, y AFP. Recuperado de Metodología VIMEX. Bolsa mexicano de derivados. Recuperado de www. Mexder.com.mx Reporte del foro económico de Suiza (2011). Recuperado de Fondo Bursátil. Recuperado de Cordero E. (04 de noviembre de 2013).VIX: Conociendo todos sus secretosrecuperado de Calculadora de opciones INFOVALMER, Recuperado de Mathews, J. Interpolación y aproximación polinomial. (2000). Recuperado de Alankar, K. (2012) Valuation: Volatility Surfaces. Recuperado de ry2012.pdf Información índice COLCAP, Bolsa de Valores de Colombia. Recuperado de