DESIGUALDADES E INECUACIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "DESIGUALDADES E INECUACIONES"

Transcripción

1 DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real. Ejemplos: 4 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4) El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se " mayor que" ( > ) " menor que" ( < ) forma con cualquiera de esos cuatro símbolos. " mayor o igual que" ( ) " menor o igual que" ( ) Ejemplos de desigualdades: a) 5 < 11 b) > 7 c) Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores. Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera a y b, siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b. (a < b) (a = b) (a > b) si unimos si unimos a b a b Para evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F. Ej. Completa con V (verdadero) o F (falso) las siguientes desigualdades: 5 < 5 < 5 b b 0,5 < 0,05 a+ a a < a a+b > a 10 > 9 45 a 1 > a+5 4 > 7 19 π, 14 Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades: 5, 8 8, 4 0, 5 6 π 7 Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad; ejemplo: >5 es falsa si cambiamos de sentido <5, es verdadera; cambiar de sentido una desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario. Pág 1

2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES De la suma: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. Del producto Dada la desigualdad < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene +7 < 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido. Dada la desigualdad < 8, si restamos 4 a los dos miembros se obtiene 1 < 4, otra del mismo sentido. Dada la desigualdad < 8, si sumamos x y restamos 1 se obtiene +x < 7+x, otra del mismo sentido. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número *Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido *Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario. Dada la desigualdad < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene 15 < 40, otra del mismo sentido Dada la desigualdad < 8, si multiplicamos ambos miembros por 6 se obtiene 18 > 48, otra pero de sentido contrario. Dada la desigualdad < 8, si dividimos ambos miembros por se obtiene < 4, otra del mismo sentido. Dada la desigualdad < 8, si dividimos ambos miembros por 1, se obtiene > 8, otra de sentido contrario. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de una desigualdad. Son inecuaciones: + x < 5 x 5x + 0 x y > 5y + 4x 14 Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene. Veamos un problema: Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así. x 1 > x + 4 Vemos que hay muchos números que cumplen esta condición. Nº Doble menos 1 Nº + 4 cierto SI SI SI SI 5 7 NO NO Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen cierta así como otros muchos números. Sin embargo, los números, 4 no la hacen cierta, estos números no cumplen la condición, también hay otros. Luego nos damos cuenta que la respuesta a una inecuación no es única, existen varias soluciones. Pág

3 En general una inecuación tiene infinitas soluciones. Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades) Sumamos 1 a los dos miembros x > x Restamos x a los dos miembros x x > Reducimos miembros x > 5 Por tanto, la solución de esta inecuación es: x > 5 Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta, Inecuación: x 1 > x + 4 si sustituimos la x por > > 1 que es una desigualdad cierta, y, por tanto, el valor 9 será una solución 1 > > 7 no es cierta la desigualdad, por tanto, el valor no es solución. * Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes. * Dos inecuaciones son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que las propiedades de las desigualdades, simplemente cambiando la palabra desigualdad por inecuación. PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES De la suma: Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido. Del producto Si los dos miembros de una INECUACIÓN se multiplican o dividen por un número *mayor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido *menor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente a la dada pero de sentido contrario. En la práctica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido. Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando: * Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por 1) * Cuando sea negativo y utilicemos: "el que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo" * A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común es negativo Pág

4 EJEMPLOS: trasponemos reducimos 5x 15 resolvemos x > = 5 en esta inecuación no hemos tenido que cambiar de sentido. 5x > x + 1 x > 1 + x > 15 4(x ) 5 < 7x 1 quitamos paréntesis 4x 8 5 < 7x 1 trasponemos 4x 7x < reducimos x < 1 resolvemos x > 1 = 4 en esta inecuación SI hemos cambiado el sentido x 5 x + x quitamos denominadores multiplicando los dos miembros por 6, no hay que cambiar de sentido (x 9x 15 9x 5) ( x + x + x + 1x 19x 19 x ) 19 = x 4 1x x + 8 x x x + 4 quitamos denominadores multiplicando los dos miembros por 1, no hay que cambiar x 1x 1x 1x 6 9 4(5x + 0x 8) 0x 18x 18x + 18x + x 9x 6 hemos tenido que cambiar porque 9 es negativo ( x x 6 + ) 6 FORMAS DE DAR LA SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN a) Según se obtiene en la resolución. ejemplos anteriores: x > 5; x > 4; x 1 b) En forma de intervalos: los mismos anteriores son: (5, + ); ( 4, + ); (,1 ] c) De forma gráfica, utilizando la recta real Siempre que resolvamos una inecuación en un sentido, también estamos resolviendo otra inecuación de sentido contrario. Ejem. Si tenemos la inecuación "algo < otro algo" cuya solución es x < 7; la solución de la inecuación "algo> otro algo" es x > 7 Resolver las siguientes inecuaciones: 1) x 5 x + 11 ) 4 x (5 + 7x) < ( x + 11) x 4 4x 1 ) 1 < x + 4) 4 ( + 5x) x + x 5 (4x + ) 4x 7 5) ( x + 6) + < 5x + 6) 6 (8x + 11) 5 Pág 4

5 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Ejemplos de este tipo son: x + y 0 x + y > 5 4x 7y < 11 Para este tipo de inecuación no se puede dar una solución de forma algebraica, sólo se puede dar una solución de forma gráfica, para ello se requiere la representación gráfica de funciones. Es obvio decir que para su resolución la inecuación debe estar simplificada. La solución es, siempre, un semiplano de los que la gráfica (siempre una línea recta) divide al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es. Ejemplo: Resolver la inecuación x + y > 5 Para ello representamos sobre unos ejes cartesianos la función x + y = 5 ó mejor la función equivalente y = 5 x, obtenida de la inecuación. Los puntos dibujados en la recta corresponde a la igualdad (x + y = 5 ); la desigualdad > o < esta en uno de los dos semiplanos en que la recta divide al plano.para determinar cuál de los dos semiplanos es la repuesta cogemos un punto cualquiera; el mejor es el origen ( 0, 0 ) y probamos con él: > 5; como no es cierto, el semiplano que contiene al origen no es la solución, por lo tanto es el otro que aparece sombreado. Todos los puntos (x,y) situados en el plano sombreado forman parte de la solución de la inecuación, cojamos uno cualquiera: el (,1) y lo sustituimos en la inecuación: + 1 > 5 y vemos que es cierto; podemos probar con el punto ( 6, 0 4 ) Si la inecuación esta construida con el símbolo o la solución sería un semiplano y además los puntos de la recta dibujada. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) x y 6 ) x + y 1 ) x + 5y > 0 4) x 4y < 5 x + y 5) 5x x + 5y 6) 4 < x 1 Pág 5

6 SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ya que la solución de una inecuación es un conjunto numérico ( x > ). Se pueden resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita simplemente buscando las soluciones comunes a todas las inecuaciones. x < 9 Ejemplo:, vemos que las dos inecuaciones tienen en común el conjunto o x > 4 intervalo abierto (4, 9); o sea "todos los números comprendidos entre 4 y 9". Puedes utilizar las representaciones gráficas de cada inecuación para buscar las soluciones comunes. La forma de resolver estos sistemas es la siguiente: Se resuelve cada inecuación individualmente y luego se busca la solución común Ejemplo. Resolver. x + 1 > 5 (a) Resolvemos cada x 9 < 1 (b) inecuación individualmente (a) Sol : x > (b) Sol : x < 10 Que si pensamos un poco vemos que lo que tienen en común son los números mayores que y menores que 10, o sea, el intervalo (,10). Podemos buscar la solución común mediante la representación gráfica sobre la Recta Real, pudiendo hacerse de dos formas I) Marcando los que son (utilizando colores) II) Borrando los que no son. Con el ejemplo anterior: De la forma I) La Sol de (a) en azul, y la Sol de (b) en rojo Los comunes son los números marcados con ambos colores; el intervalo (, 10) De la forma II) tachando vemos el intervalo (, 10) La forma más elegante es representar las soluciones en forma de intervalos y buscar la solución común hallando la intersección de ambos. (a) (b) Sol : x > Sol : x < 10 (, + ) (-,10) la solución común sería: (, + ) (-,10) = (,10) Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita: 1) ) x 7 > 5 x + 1 > x > 5 x < 7 > x ) 4) 7 x 1 x > 1 x ( 6,10) x > x < Pág 6

7 SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Igual que en las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas sólo se puede dar una solución gráfica, en los sistemas ocurre lo mismo. Será la intersección de los semiplanos de cada inecuación. x y > 0 Ejemplo: Resolver el sistema: x + y < 7 Para ello representamos las funciones y = x en (verde) y la función y = 7 x (en rojo). Buscamos los semiplanos de cada inecuación. La solución del sistema es la intersección de los dos semiplanos, en este caso la región del plano sombreado. Si el sistema está construido con el símbolo o en alguna o en las dos inecuaciones, la solución sería la región sombreada y además los puntos de la recta dibujada bien una o las dos rectas. Ejemplo: Sistema de inecuaciones: x x + y 5y > En azul la solución del sistema. Pág 7

8 SISTEMAS DE MÁS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Sólo existe solución gráfica como en las anteriores. Ejemplo: y Sistema de inecuaciones: y x < 1 y Ejemplo: Resolver el sistema: x 9 ; y 0 x + y 6 x + y 60 ; x, y (1) () N Representamos todas las inecuaciones en unos mismos ejes cartesianos y buscamos lo común. En general es un recinto que puede ser abierto o cerrado. Pág 8

9 INECUACIÓN DE º GRADO * Debes tener en cuenta que decir mayor que cero y decir positivo es lo mismo, y decir menor que cero y decir negativo es lo mismo. * Las inecuaciones de º grado se resuelven igual ya sea con el símbolo > 0, < 0, 0 ó 0 * Hay cuatro formas de resolver la inecuación. Las veremos con un ejemplo. > < Resolver la siguiente inecuación: x 5x Punto de partida para todas. 1ª forma y la más recomendada. Hallamos los valores para la x que dan el valor cero, esto es, resolvemos la ecuación: x 5x + 4 = 0 ; obtenemos dos valores x 1 = 1 y x = 4. Para estos valores la expresión x 5x + 4 toma el valor cero, eso quiere decir que en los demás valores no da cero, esto es, dan positivo ( > 0) o negativo ( < 0); es lo mismo que: analizar los signos que toma la expresión x 5x + 4. Los buscamos de una manera gráfica sobre la recta Real representado los valores que dan cero. La recta Real queda divida en tres intervalos: I 1 = (, 1); I = ( 1, 4 ) I = ( 4, + ) Pues bien, la expresión x 5x + 4 siempre toma el mismo signo ( +, ) en cada uno de los intervalos; basta probar con un valor cualquiera del intervalo para saber el sigo que toma en todo el intervalo, En el intervalo I 1 probamos con x = 0 la expresión toma el valor 4 que es > 0 En el intervalo I probamos con x = la expresión toma el valor que es < 0 En el intervalo I probamos con x = 5 la expresión toma el valor 19 que es > 0 Que se representa así: Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 > 0, la solución sería: (, 1) ( 4, + ) Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 < 0, la solución sería: ( 1, 4 ) Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 0, la solución sería: (, 1 ] [ 4, + ) Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 0, la solución sería: [ 1, 4 ] NOTA. A la hora de probar con un valor del intervalo conviene probar con valores exagerados cuando se pueda. Pág 9

10 ª forma. Es transformarla en un sistema de dos ecuaciones con una incógnita. Se descompone en factores la expresión x 5x + 4, pues utilizar Ruffini o la ecuación de º grado x 5x + 4 = ( x 1) ( x 4) * Si la inecuación es x 5x + 4 > 0, descompuesta en factores queda: ( x 1) ( x 4) > 0 y decimos : el producto de dos factores es positivo si ambos son positivos ó ambos negativos y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes: x 1 > 0 Los dos positivos De solución x > 4 x 4 > 0 Los dos negativos x 1 < 0 x 4 < 0 De solución x < 1 Luego la solución final sería: x < 1 ó x > 4 equivalente a (, 1) ( 4, + ) * Si la inecuación es x 5x + 4 < 0, descompuesta en factores queda: ( x 1) ( x 4) < 0 y decimos : el producto de dos factores es negativo si uno es positivo y el otro negativo, y viceversa y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes: x 1 > 0 positivo-negativo De solución: ( 1, 4 ) x 4 < 0 negativo-positivo x 1 < 0 x 4 > 0 Luego la solución final sería: ( 1, 4 ) Se resuelve de forma análoga si es 0 ó 0 De solución Incompatible ª forma, recomendada para otros tipos de inecuaciones. Se descompone en factores la expresión x 5x + 4, puedes utilizar Ruffini o la ecuación de º grado x 5x + 4 = ( x 1) ( x 4) Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza el producto. Signo de ( x 1 ) Signo de ( x 4) Signo de ( x 1 ) ( x 4) Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 > 0, la solución sería: (, 1) ( 4, + ) Si estamos resolviendo la inecuación: x 5x + 4 < 0, la solución sería: ( 1, 4 ) Se resuelve de forma análoga si es 0 ó 0 Pág 10

11 4ª forma, utilizar la representación gráfica de funciones. Representamos la función x 5x + 4 = y. Podemos utilizar DERIVE Si queremos resolver la inecuación: x 5x + 4 > 0, tenemos que ver qué valores x tienen la y positiva. Si queremos resolver la inecuación: x 5x + 4 < 0, tenemos que ver qué valores x tienen la y negativa. Se resuelve de forma análoga si es 0 ó 0 Como vemos en la gráfica los valores x < 1 tienen la y positiva ( > 0 ) y también los valores x > 4. Y los valores x comprendidos entre 1 y 4 tienen la y negativa. ( < 0 ) Observa que los valores para la x = 1 y x = 4, la función toma el valor CERO, que son donde la gráfica corta el eje X, y estaríamos resolviendo la ecuación x 5x + 4 = 0 Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: x 16x 1 0 Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: x 16x 1 = 0, cuyas soluciones son x 1 = / y x = 6. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo Luego la solución de la inecuación es: [ /, 6 ] Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 6x 7x + > 0 Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 6x 7x + > 0, cuyas soluciones son x 1 = 1/ y x = /. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo Luego la solución de la inecuación es: (, ½ ) ( /, + ) Pág 11

12 Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: x 10x + 5 > 0 Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: x 10x + 5 = 0, cuyas soluciones son x 1 = 5 doble. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo Sólo tenemos dos intervalos, que probando con 1000 y con , los dos dan positivo Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales menos x = 5 R 5 que da el valor CERO. Escrito en matemáticas: { } Si hubiese sido la inecuación: x 10x La solución hubiese sido: Todos los números Reales Si hubiese sido la inecuación: x 10x + 5 < 0 La solución hubiese sido: No tendría solución. Incompatible Si hubiese sido la inecuación: x 10x La solución hubiese sido: x = 5. Solución única Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: x 10x + 6 > 0 Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: x 10x + 6 = 0, que al resolverla no tiene raíces reales; por lo tanto en la recta Real no podemos representar ningún valor, esto es sólo tenemos un intervalo. Probamos con cualquier número de la recta (el cero) y analizamos el signo que toma; en este caso 6 que es >0 (+) Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales Escrito en matemáticas: R. Si hubiese sido la inecuación: x 10x La solución hubiese sido: Todos los números Reales, R Si hubiese sido la inecuación: x 10x + 6 < 0 La solución hubiese sido: No tendría solución. Incompatible Si hubiese sido la inecuación: x 10x La solución hubiese sido: No tendría solución. Incompatible Pág 1

13 INECUACIÓN RACIONAL O DE GRADO SUPERIOR Para este tipo de ejercicios es mejor la ª forma. Las inecuaciones racionales hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta dejarlas como una única fracción algebraica. Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Para el caso 0, 0 ten en cuenta que el denominador no puede ser cero. Las inecuaciones de grado superior hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta dejarlas como una única expresión algebraica. Después se descompone en factores; se analizan los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del producto. x 5 Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: > 0 x + 4 Por la ª forma: Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Signo de (x 5) Signo de (x + 4) x 5 Signo de x + 4 x 5 Al estar resolviendo la inecuación: > 0, la solución es: (, ) (5, + ) x + 4 Si hubiese sido la inecuación: x 5 0 x + 4 La solución hubiese sido: (, ) [5, + ) Si hubiese sido la inecuación: x 5 < 0 x + 4 La solución hubiese sido: (, 5) Si hubiese sido la inecuación: x 5 0 x + 4 La solución hubiese sido: (, 5] x 6 Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: < 1 x + x 6 x 6 x 6 x 8 Sol: < 1 1 < 0 < 0 < 0, x + x + x + x + cuya solución es: x > Pág 1

14 Ejercicio de grado TRES: Resolver la siguiente inecuación: x 1x + 1 > 0 Por la ª forma: Descomponemos la expresión en factores, (utilizamos Ruffini) y queda: x 1x + 1 = ( x 1)( x )( x + 4), cuyas raíces (soluciones de la ecuación) son: x 1 = 4, x = 1 y x =. Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza los signos del producto. Signo de (x + 4) Signo de (x 1) Signo de (x ) Signo de (x + 4) (x 1) (x ) Al estar resolviendo la inecuación x 1x + 1 > 0, la solución es: ( 4, 1) (, + ). Si hubiese sido la inecuación: x 1x La solución hubiese sido: [ 4, 1] [, + ) Si hubiese sido la inecuación: x 1x + 1 < 0 La solución hubiese sido: (, 4) (1, ) Si hubiese sido la inecuación: x 1x La solución hubiese sido: (, 4] [1, ] x Ejercicio mezcla: Resolver la siguiente inecuación: > 0 x 1 Por la ª forma: Descomponemos en factores y analizamos signos del numerador y denominador. Signo de (x ) Signo de (x 1) (x + 1) Signo de x x 1 x Al estar resolviendo la inecuación: > 0, la solución es: ( 1, 1) (, + ) x 1 Pág 14

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Teoría Tema 1 Inecuaciones

Teoría Tema 1 Inecuaciones página 1/7 Teoría Tema 1 Inecuaciones Índice de contenido Qué es una inecuación?...2 Inecuaciones de primer grado...3 Sistemas de inecuaciones con una incógnita...4 Inecuaciones de segundo grado...5 Inecuaciones

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3]

Más detalles

Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg

Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg PreUnAB Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita Clase # 11 Agosto 2014 Intervalos Reales Orden en R Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b, a < b, si b

Más detalles

Propiedades de les desigualdades.

Propiedades de les desigualdades. Desigualdades Inecuaciones Diremos que a < b a es menor que b si b a es un número positivo. Gráficamente, a queda a l esquerra de b. Diremos que a > b a mayor que b si a b es un número positivo. Gráficamente,

Más detalles

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que satisfacen la inecuación. Terminología: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.

Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. 2010 Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León mgdl 01/01/2010 INDICE: 01. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS. 02. VALOR

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0 o ax + b 0, multiplicamos ambos miembros de la inecuación por 6 para quitar denominadores. De esta forma se tiene

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0 o ax + b 0, multiplicamos ambos miembros de la inecuación por 6 para quitar denominadores. De esta forma se tiene 8 UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la que el criterio de comparación es la relación de orden inherente al conjunto de los números reales. Hay que

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Interpolación polinómica

Interpolación polinómica 9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

DESIGUALDADES E INTERVALOS

DESIGUALDADES E INTERVALOS DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Funciones, x, y, gráficos

Funciones, x, y, gráficos Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Función exponencial y Logaritmos

Función exponencial y Logaritmos Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes

Más detalles

Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES

Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES

Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES Números Reales INECUACIONES o DESIGUALDADES DESIGUALDADES Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos cantidades. Las relaciones de orden son: ,, Ejemplos:

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Fundación Uno. ) 2n, el resultado es: D) b a E)1. entonces el valor de "y" es: II) x y = 3 A)16 B)9 C)4 D)1 E)2. Desarrollo

Fundación Uno. ) 2n, el resultado es: D) b a E)1. entonces el valor de y es: II) x y = 3 A)16 B)9 C)4 D)1 E)2. Desarrollo ENCUENTRO # 27 TEMA: Inecuaciones. CONTENIDOS: 1. Desigualdades.Propiedades. 2. Inecuación lineal o de primer grado. 3. Inecuación cuadrática o de segundo grado. Ejercicio Reto 1. Al simplificar ( a 2

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1

La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La formula de la distancia dada a dos pares es: d= (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 De

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

Números y desigualdades

Números y desigualdades 1/59 Números y desigualdades 2/59 Distintas clases de números 3/59 Números naturales Los números naturales 1,2,3,.... El conjunto de todos ellos se representa por N. 4/59 Números enteros Los números enteros...,-2,-1,0,1,2,...

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado 8985 _ 009-08.qd /9/07 5:7 Página 09 Ecuaciones de. er y. o grado INTRODUCCIÓN La unidad comienza diferenciando entre ecuaciones e identidades, para pasar luego a la eposición de los conceptos asociados

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Equivalencia financiera

Equivalencia financiera Equivalencia financiera 04 En esta Unidad aprenderás a: 1. Reconocer la equivalencia de capitales en distintas operaciones financieras a interés simple. 2. Calcular a interés simple los vencimientos común

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

QUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA. La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros.

QUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA. La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros. QUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros. Qué significa esto? Decir que una empresa es eficiente es decir que no

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim ) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción.

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Fracciones o Quebrados En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Las fracciones pueden ser representadas de

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles