Tema 2.- Los números complejos. Polinomios.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 2.- Los números complejos. Polinomios."

Transcripción

1 Ingeniería Civil. Matemáticas I Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema.- Los números complejos. Polinomios..1.- Los números complejos. Operaciones...- Polinomios. Forma binómica. Operaciones propiedades. Forma exponencial. Potencias raíces. Factorización de polinomios. El Teorema del resto. El Teorema fundamental del Álgebra. Las raíces de un polinomio real..3.- Movimientos en el plano. Traslaciones. Homotecias. Giros. Proecciones. Simetrías..4.- Ejercicios. Eunciados. Soluciones. Históricamente, los números complejos surgieron para tratar ecuaciones polinómicas, tales como x +1 0, que no tienen solución real. En esta dirección, el resultado principal que consideraremos en esta lección será el Teorema Fundamental del Álgebra que asegura que toda ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene, al menos, una solución. Previamente, habremos definido los números complejos, sus operaciones más importantes la interpretación geométrica de las mismas, cuo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo. En la sección 1 estudiamos los números complejos sus operaciones. Por una parte, los utilizaremos para el estudio de la factorización de un polinomio por otra, para expresar ciertas transformaciones del plano mediante operaciones sobre ellos. En la sección, dedicada a la factorización de polinomios, se puede apreciar la necesidad conveniencia del estudio de los números complejos. La sección 3 está dedicada al estudio de algunas transformaciones del plano a su expresión mediante números complejos mediante matrices vectores. 30

2 .1.- Los números complejos Los números complejos. Operaciones. Un número complejo viene dado por dos números reales o, si se quiere por un punto o un vector del plano. Más importante que la definición en sí de los números complejos, son las operaciones que ha definidas sobre ellos las propiedades de dichas operaciones. Sobre los números complejos definiremos las operaciones suma producto. Desde el punto de vista de la operación suma, los números complejos pueden ser tratados como vectores reales de dos coordenadas. La operación producto tendrá, en los aspectos aritméticos, propiedades similares a las del producto de números reales. Dentro de los números complejos tendremos a los números reales. Cuando estemos considerando números complejos, no tendrá sentido trabajar con desigualdades a menos que previamente haamos impuesto que los términos de dichas desigualdades sean números reales Forma binómica. Operaciones propiedades. Definición. Un número complejo es un número de la forma z a+bi o z a+ib donde i verifica que i 1 a b son números reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los números reales a b se conocen, respectivamente, como parte real parte imaginaria del número complejo z se suele escribir Rez a, Imz b. Esta expresión que acabamos de describir de los números complejos más adelante veremos otra se denomina forma binómica del número. Dos números complejos z w son iguales si, sólo si, Rez Rew Imz Imw. Al conjunto de los números complejos lo denotaremos por C, es decir, C {z a+bi : a,b R}. Sea z a+bi. Si b 0 escribiremos simplemente z a. Si a 0 escribiremos z bi. En este último caso diremos que z es un número imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el número real a con el número complejo a+0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números complejos. Un número complejo z a + bi lo podemos representar por el punto P del plano que tiene por coordenadas cartesianas a, b. A veces también lo respresentaremos por el vector de posición OP del punto P. Interpretado de esta manera, al plano cartesiano se le denomina también plano complejo. El eje de abscisas también se suele denominar eje real el eje de ordenadas eje imaginario. Definición. Suma Producto. Dados dos números complejos z a + bi w c + di definimos la suma z +w el producto zw mediante: z +w a+c+b+di, zw ac bd+ad+bci. La suma la diferencia de dos números complejos se puede interpretar en el plano complejo de la misma forma que la suma diferencia de vectores: Matemáticas I

3 3 Tema.- Los números complejos. Polinomios. w z +w z w z z w El producto de números complejos no tiene una interpretación directa en términos de los vectores asociados no es el producto escalar de dos vectores, que es un número real. Más adelante daremos una interpretación geométrica del producto de dos números complejos. En lo que se refiere a las propiedades de la suma el producto, de forma genérica puede decirse que se verifican las mismas propiedades algebraicas que se conocen para la suma el producto de números reales. Al considerar propiedades algebraicas se están excluendo las propiedades de la suma producto de números reales en las que aparecen desigualdades. Propiedades. Sean z,w,v C. 1 Conmutativas: z +w w+z zw wz. Asociativas: z +w+v z +w+v zwv zwv. 3a Existe un elemento nulo para la suma, el 0 0+0i tal que z z z para todo z C. 3b Existe un elemento unidad para el producto, el 1 1+0i, tal que z1 1z z, para todo z C. 4a Cada número complejo z a+bi tiene un elemento opuesto, z a+ bi, tal que z + z 0. 4b Cada número complejo z a+bi 0 tiene un elemento inverso z 1 tal que zz 1 z 1 z 1. De hecho, si z a+bi 0 se tiene que z 1 a a +b + b a +b i. 5 Distributiva del producto respecto a la suma zw+v zw +zv. Como es habitual, para los números reales, el inverso z 1 de z 0 un producto wz 1 los representaremos por 1 z w z, respectivamente. La parte real la parte imaginaria en una división de números complejos puede obtenerse de la siguiente forma. Si z a+bi 0 w c+di w z c+di a a+bi c+dia+bi 1 c+di a +b + b a +b i c+dia bi. a +b No obstante, tras estudiar la conjugación el módulo veremos otra forma más eficiente para calcular el inverso de un número complejo o dividir números complejos. Matemáticas I. Ingeniería Civil

4 .1.- Los números complejos. 33 Observación. No es posible establecer en el conjunto de los números complejos una relación de orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relación de orden que conocemos entre los números reales. Definición. Conjugado. Sea z a+bi un número complejo. Se define el conjugado de z, se representa por z, como el número complejo z a bi. Propiedades del conjugado. z z Geométricamente, si el número complejo z a+bi se representa por el punto P a,b, su conjugado z a bi se representa por el punto P x, que es el simétrico de P respecto del eje X. Notemos que las partes real e imaginaria de un número complejo se pueden expresar en términos del número complejo de su conjugado, z +z a Rez 1 z +z, z z ib Imz 1 z z i 1 z z z 1 +z z 1 +z. 3 z 1 z z 1 z. 4 Si z 0, z1 z z 1 z. 5 z z Re z +Im z. Por tanto, z z > 0 para todo z 0. Definición. Módulo. Se define el módulo del número complejo z a + bi, se representa por z, como el número real z a +b. Considerando el punto P a, b, asociado al número complejo z a + bi, el módulo de z no es otra cosa que la longitud del segmento OP la distancia entre el origen de coordenadas el punto P. Observaciones. a Nótese que z z z. Por tanto, z z z z 1 z z. z z b Podemos observar también que para dividir dos números complejos w/z, basta con multiplicar numerador denominador por el conjugado del denominador w z wz zz wz z. Matemáticas I

5 34 Tema.- Los números complejos. Polinomios. El módulo permite trabajar con distancias en el plano. Así, si los números complejos z 1 a 1 + b 1 i z a + b i se representan en el plano por los puntos P 1 a 1,b 1 P a,b, respectivamente, entonces z 1 z a 1 +b 1 i a +b i a 1 a +b 1 b i su módulo z 1 z + a 1 a +b 1 b es la distancia entre P 1 P. Teniendo en cuenta lo anterior, el conjunto de puntos P x, del plano que equidistan del origen O una cantidad constante r, es decir, los puntos P x, de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas radio r, pueden expresarse en términos de las coordenadas cartesianas mediante la ecuación x + r mediante los números complejos por la ecuación z r ver figura. De la misma forma, si el número complejo z 0 x i se representa en el plano por el punto C x 0, 0, entonces el conjunto de puntos P x, del plano que equidistan de C una cantidad constante r, es decir, los puntos P x, de la circunferencia de centro C radio r ecuación cartesiana x x r se puede expresar en forma compleja mediante z z 0 r ver figura. z z 0 z z 0 z z r z z 0 r En lo que se refiere a la suma las propiedades del módulo coinciden con las propiedades del cálculo de distancias de la norma/módulo de vectores. Propiedades del módulo. Sean z,z 1 z números complejos. 1 z 0 si, sólo si, z 0. z z. 3a z 1 z z 1 z. 3b Si z 0, z 1 z z 1 z. 4 Re z z, Im z z. 5 Desigualdad triangular: z 1 +z z 1 + z. Matemáticas I. Ingeniería Civil

6 .1.- Los números complejos. 35 Demostremos la desigualdad triangular: z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 z 1 +z 1 z +z z 1 +z z z 1 +Rez 1 z + z z 1 + Rez 1 z + z z 1 + z 1 z + z z 1 + z 1 z + z z 1 + z z 1 +z z 1 + z en la cuarta igualdad usamos que z 1 z z 1 z z 1 z, por tanto, z 1 z +z z 1 Rez 1 z. Ejercicio. Demuestra que z 1 z z 1 z Formas polar exponencial. Potencias raíces. Forma polar de un número complejo. Como acabamos de ver, al número complejo z a + bi le corresponde el punto P del plano de coordenadas a,b. Si representamos por r la longitud del segmento OP, que une el origen O de coordenadas P, por θ el ángulo los ángulos que forma OP con el semieje positivo de abscisas, se dice que r,θ son las coordenadas polares del punto P. Si r 0, es decir, si P O, entonces el ángulo θ no está definido. Consideraremos, por tanto, que z 0. En este caso, r es único pero θ no lo es. Dado r > 0, cualesquiera dos ángulos que se diferencien en un múltiplo entero de π número completo de vueltas dan lugar al mismo punto. Se establece como convenio que θ es positivo si es medido en sentido antihorario, negativo en caso contrario. A cualquiera de tales números θ se le llama argumento de z se representa mediante argz. Se sigue fácilmente que, para números complejos cua parte real sea no nula, se tiene que r + a +b z que tgθ x. Si para x 0 se calcula el argumento de z x + i utilizando la función arco tangente de una calculadora o de cualquier paquete de cálculo matemático, lo que se obtiene es un ángulo que está en el intervalo π, π. Dicho ángulo puede ser uno de los argumentos de z o uno de los argumentos de z puesto que. Para determinar si se trata de uno x x o de otro ha que tener en cuenta los signos de la parte real de la parte imaginaria. Por otra parte, para obtener alguno de los argumentos de z que no esté en el intervalo π, π habrá que sumar algún múltiplo apropiado de π. El argumento de un número complejo con parte real nula puede ser π +kπ si la parte imaginaria es negativa o π +kπ si la parte imaginaria es positiva. Puesto que a rcosθ b rsenθ, tenemos que z se puede expresar de la forma z a+bi rcosθ+isenθ. La expresión de un número complejo no-nulo en términos de su módulo r su argumento θ uno de ellos se suele denominar forma polar o trigonométrica de z. Notemos que para que dos números complejos, dados en forma trigonométrica por uno cualquiera de sus argumentos, z 1 r 1 cosθ 1 +isenθ 1 z r cosθ +isenθ Matemáticas I

7 36 Tema.- Los números complejos. Polinomios. sean iguales tienen que ser iguales sus módulos pero no necesariamente tienen que serlo los argumentos considerados { r1 r z 1 z, θ 1 θ kπ con k Z. El uso de la forma trigonométrica permite dar una interpretación geométrica del producto de dos números complejos. Para los números z 1 z considerados tenemos z 1 z r 1 cosθ 1 +isenθ 1 r cosθ +isenθ r 1 r [cosθ 1 cosθ senθ 1 senθ +isenθ 1 cosθ +cosθ 1 senθ ] r 1 r [cosθ 1 +θ +isen θ 1 +θ ]. Es decir, el producto de dos números complejos es un número complejo cuo módulo es el producto de los módulos uno de sus argumentos es la suma de los argumentos. El inverso del número complejo z rcosθ+isenθ 0 se puede obtener en forma trigonométrica del siguiente modo: z 1 1 z 1 rcosθ +isenθ 1 r cosθ isenθ cosθ+isenθcosθ isenθ 1 r r 1 cosθ isenθ r 1 cos θ+isen θ. Del mismo modo podemos dividir dos números complejos, z 1 z r 1 r [cosθ 1 θ +isenθ 1 θ ]. Forma exponencial de un número complejo. cosθ isenθ cosθ +senθ Observemos que, en los cálculos anteriores, el término f θ cosθ+isenθ tiene algunas de las propiedades de una función exponencial de exponente real, pues f θ 1 +θ f θ 1 f θ. Es posible mostrar, aunque está fuera del alcance de este curso, que la función exponencial real e t puede extenderse de manera razonable al caso de exponentes complejos que dicha extensión, para el caso de un exponente complejo imaginario puro, está dada necesariamente por la siguiente fórmula llamada fórmula de Euler. Fórmula de Euler: e iθ cosθ +isenθ, θ R Utilizaremos esta expresión como definición de e iθ, θ R. De esta forma, se puede representar todo número complejo forma exponencial mediante z re iθ rcosθ+isenθ siendo r el módulo de z θ uno cualquiera de sus argumentos. Matemáticas I. Leonhard Euler Ingeniería Civil

8 .1.- Los números complejos. 37 Las propiedades aritméticas de la exponencial real e t,t R, se cumplen para la exponencial compleja e iθ,θ R. Las propiedades de la exponencial real relativas a desigualdades, crecimiento, etc. no son trasladables a la exponencial compleja de hecho no tienen sentido para ésta. Para cualquier θ R, los puntos e iθ son puntos de la circunferencia unidad cuando θ + ó θ dichos puntos recorren la circunferencia unidad en sentido positivo o negativo, respectivamente. Propiedades. Sean z re iθ,r > 0, w ρe iϕ,ρ > 0, dos números complejos dados en forma exponencial. 1 z re iθ r argz θ. { r ρ z w re iθ ρe iϕ θ ϕ es un múltiplo entero de π. 3 z re iθ re iθ r 1 e iθ. 4 zw re iθ ρe iϕ rρe iθ+ϕ, z w reiθ ρe iϕ r ρ eiθ ϕ. Potencias de un número complejo. Fórmula de De Moivre. Utilizando las propiedades que hemos visto del cálculo de productos cocientes de números complejos dados en forma polar-trigonométrica-exponencial, las potencias enteras de un número complejo z 0 son fáciles de expresar en términos del módulo el argumento de z. Si z re iθ, para n 1,,3,... tenemos: z 0 1 por convenio,z 1 z re iθ,z r e iθ, en general,z n r n e inθ La interpretación geométrica del cálculo de las potencias de un número complejo es sencilla. Simplemente ha que elevar el módulo a n multiplicar el argumento por n. En la figura se consideran dos situaciones, módulo maor que 1 o módulo menor que 1. z 3 1 z z z z z 3 1 Para exponentes negativos n 1,, 3,... las expresiones anteriores siguen siendo válidas. Siendo m n tenemos z n m 1 z 1m r e iθ r 1m e imθ r n e inθ. Matemáticas I

9 38 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Fórmula de De Moivre. Siendo θ R n 0,±1,±,... se verifica: e iθ n e inθ cosθ +isenθ n cosnθ+isennθ. Ejemplo. Las potencias de la unidad imaginaria z i son i 0 1, i 1 i, i 1, i 3 i, i 4 1, i 5 i, i 6 1, i 7 i, i 8 1, i 9 i, i 10 1, Esdecir, laspotencias delaunidad imaginariase repitende cuatroencuatro. Por tanto, para calcular, por ejemplo, i 1397 lo que haríamos sería dividir el exponente entre cuatro, hallar el resto en este caso se tendría expresar: i 1397 i i i 1 i. Raíces de un número complejo. Representación gráfica. Se dice que el número complejo z re iθ es raíz n-ésima de w ρe iϕ 0 si, sólo si, z n w: n w z w z n. Veamos cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo. Según la definición dada deberá ser w z n ρe iϕ re iθ n r n e inθ. De acuerdo con la caracterización de la igualdad de números complejos dados en forma polar tenemos, ρ r n r n ρ nθ ϕ+kπ θ ϕ+kπ k 0,±1,±,... n Ahora bien, al dar valores a k obtenemos Para k 0 z 1 n ρe iϕ n, Para k 1 z n ρe iϕ+π n, Para k n 1 z n n ρe iϕ+n 1π n Para k n z n+1 n ρe iϕ+nπ n n ρe +π iϕ n. esta última raíz z n+1 n ρe iϕ n z 1. Por tanto, todo número complejo no nulo tiene n raíces n-ésimas distintas. Representación gráfica de las raíces. Observamos que todas las raíces n-ésimas del número complejo w ρe iϕ tienen el mismo módulo n w, los argumentos de dos raíces obtenidas para k p k p+1 se diferencian en ϕ+p+1π n ϕ+pπ n π n. Matemáticas I. Ingeniería Civil

10 ..- Polinomios. 39 Por tanto, los puntos que representan a esas n raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas radio n ρ. En la siguiente figura hemos representado las raíces cuartas, quintas sextas de un número complejo z de módulo maor que 1 argumento π/3. w w w z z z 1 z 3 z 1 z3 z z 1 z 3 z 4 z 4 z 5 z 5 z 6 z 4 Ejemplo. Raíces n-ésimas de la unidad. El número w 1 es un número complejo que tiene módulo la unidad su argumento es cero, es decir, escrito en forma exponencial w 1 e i0. Entonces n 1 e i 0+kπ n cos kπ n w 1 e i0 cos0+isen0 1, w e iπ/n cos π n +isen π n, w 3 e i4π/n cos 4π n +isen 4π n, w n e in 1π/n cos +i senkπ, para k 0,1,,...,n 1 n n 1π n +isen n 1π Estos n números se denominan las raíces n-ésimas de la unidad. En las figuras siguientes se esquematizan las raíces cuadradas, cúbicas cuartas de w 1 de w i. n Polinomios Factorización de polinomios. El teorema del resto. De forma indistinta usaremos los términos cero ó raíz de un polinomio pz a n z n + +a 1 z +a 0 con coeficientes reales o complejos para designar a los números complejos z 0 C que verifican que pz 0 0 las soluciones complejas de la ecuación pz 0. Matemáticas I

11 40 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Al igual que para polinomios reales es fácil comprobar que para polinomios complejos se verifica el teorema del resto. Teorema del Resto. Sea z 0 C sea pz un polinomio. a El resto de la división de pz entre z z 0 es pz 0. Es decir, ha un polinomio qz de un grado menos que pz tal que pz z z 0 qz+pz 0. b pz 0 0 si sólo si pz es divisible por z z El teorema fundamental del Álgebra. Cualquier polinomio real se puede factorizar en un producto de polinomios reales de grados uno dos. Obviamente ha polinomios reales que no pueden descomponerse en un producto de polinomios de grado uno; por ejemplo px x + 1. El siguiente resultado permite establecer que cualquier polinomio real o complejo se puede descomponer en un producto de polinomios complejos de grado uno iguales o distintos. El Teorema fundamental del Álgebra. Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene algún cero complejo. Aunque era un resultado intuido con anterioridad, la primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra se debe a C.F. Gauss. A lo largo de su vida dio muchas demostraciones de este resultado, aunque ninguna de ellas es puramente algebraica la descripción de cualesquiera de ellas se sale de los objetivos de la asignatura. Carl Friedrich Gauss Combinando el Teorema fundamental del Álgebra con el Teorema del resto, tenemos: Teorema. Sea pz un polinomio complejo de grado n 1, pz a 0 +a 1 z +a z + +a n z n a 0,a 1,a,...,a n C,a n 0. 1 pz tiene n raíces complejas contando cada una según su multiplicidad. Es decir, existen n números complejos iguales o distintos z 1,z,...,z n C tales que pz a n z z 1 z z z z n. Se verifican las siguientes relaciones entre las raíces los coeficientes de pz, z 1 +z +...+z n a n 1 a n, z 1 z z n 1 n a 0 a n. De acuerdo con el teorema anterior las ecuaciones polinómicas del tipo x +1 0, que justificaron la ampliación del conjunto de los números reales porque esas ecuaciones no tienen solución real, tienen solución en el conjunto de los números complejos. Concretamente esa ecuación tiene como soluciones z 1 i z i, de manera que x +1 x ix+i. Matemáticas I. Ingeniería Civil

12 .3.- Movimientos en el plano Las raíces de un polinomio real. No es cierto que todo polinomio no constante con coeficientes reales tenga alguna raíz real; sin embargo se verifica el siguiente resultado. Teorema. 1 Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene alguna raíz real. En los polinomios con coeficientes reales las raíces complejas no reales aparecen por pares conjugados. Es decir, si z 0 x 0 + i 0 C es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugada z 0 x 0 i 0 C también lo es. Resumiendo, en relación con la factorización de polinomios, la diferencia entre considerar o no los números complejos radica en que: Todo polinomio, de grado n 1, con coeficientes reales se puede factorizar: a como un producto de polinomios reales de grados uno dos. b como un producto de polinomios complejos de grado uno..3.- Movimientos en el plano. Vamos a considerar aquí dos expresiones para transformaciones sencillas en el plano: traslaciones, homotecias, proecciones ortogonales, giros simetrías Traslaciones. Como conocemos del estudio de los vectores en el plano del estudio de los números complejos, la suma u + v de dos vectores, o la suma z + w de dos números complejos, se obtiene geométricamente sin más que hacer la traslación, según el vector v, del punto cuas coordenadas son las de u o viceversa. Así, la transformación del plano consistente en desplazar cada punto según un vector a,b a unidades hacia la derecha izquierda b hacia arriba abajo puede expresarse mediante R R x, x, x,+a,b; C C z w z +a+bi..3.- Homotecias. Para una homotecia de centro el origen de coordenadas razón ρ > 0, es decir, la transformación que a cada vector v con origen en el origen de coordenadas le transforma en el vector w ρv, tenemos las expresiones R R x, x, ρx, ρx,ρ; C C z x+i w ρz ρx+ρi. Matemáticas I

13 4 Tema.- Los números complejos. Polinomios Proecciones ortogonales. En lo que se refiere a proecciones ortogonales, sabemos que calcular la parte real de un número complejo consiste simplemente en proectar su afijo el punto que lo representa sobre el eje OX. Calcular la parte imaginaria consiste en proectar sobre el eje OY. Así, tenemos Sobre OX : R R x, x, x,0 C C z w Rez 1 z +z Sobre OY : Giros. x, x, 0, z w iimz 1 z z. Si un punto P del plano tiene como coordenadas polares r > 0 su distancia al origen θ el ángulo que forma su vector de posición con el semieje positivo de abscisas, entonces sus coordenadas cartesianas son { x rcosθ r senθ es fácil obtener las coordenadas cartesianas del punto que se obtiene al hacer un giro de centro el origen de coordenadas ángulo φ, pues es el punto cua distancia al origen es r coincide con la de P cuo vector de posición forma con el semieje positivo de abscisas el ángulo θ+φ, es decir, el punto cuas coordenadas cartesianas son x rcosθ+φ r[cosθcosφ senθsenφ] r senθ +φ r[senθcosφ+cosθsenφ] teniendo en cuenta las relaciones * se obtiene x x cosφ senφ cosφ+x senφ Las relaciones anteriores las podemos expresar en forma matricial/vectorial x cosφ senφ x senφ cosφ donde la matriz G involucrada se denomina matriz del giro de centro 0 ángulo φ. Hacer la anterior transformación sobre el vector de coordenadas x, es lo mismo que multiplicar al número complejo z x+i por el número complejo de módulo 1 argumento φ, es decir por e iφ. Así, tenemos la expresión del giro en forma compleja C C z x+i w e iφ z Desde este punto geométrico, la multiplicación de un número complejo genérico por el número complejo de módulo ρ argumento φ, es decir ρe iφ, consiste en hacer un giro de centro el origen ángulo φ una homotecia de centro el origen razón ρ. Matemáticas I. Ingeniería Civil

14 .3.- Movimientos en el plano. 43 En el tema anterior hemos estudiado las ecuaciones reducidas de las hipérbolas. Estas ecuaciones reducidas se obtienen al considerar un sistema de coordenadas cuos ejes sean los ejes de simetría de la hipérbola. Ahora estamos en condiciones de comprobar que las gráficas k,k 0, son un caso particular de hipérbola tal como la hemos considerado en el x tema anterior. Si hacemos un giro de centro el origen de coordenadas ángulo φ π radianes obtenemos los puntos de coordenadas x, dados 4 por x cosφ senφ senφ cosφ x. Puesto que la anterior relación es equivalente a x cosφ senφ senφ cosφ x x x + sustituendo x, en la ecuación x k tenemos x x + k x k k 1 que es la ecuación de una hipérbola equilátera con centro x 0, 0 x 0, 0, con ejes Y Y X 0 x 0 x k x 0 x+ 0 X con asíntotas ±x o lo que es lo mismo 0 x 0. Cuando una hipérbola equilátera viene dada por una ecuación del tipo x k se dice que la hipérbola está referida a sus asíntotas cuando viene dada por una ecuación del tipo x a ±1 se dice que está referida a sus ejes. b Ejercicio.-Compruebaquelosfocosdelahipérbolax 1sonlospuntosF 1, F, Simetrías. Por último, podemos considerar dos tipos de simetría: simetría respecto a un punto o simetría respecto a una recta. Yendo a la situación más simple, tenemos la simetría respecto al origen de coordenadas, x, R x, R, Matemáticas I

15 44 Tema.- Los números complejos. Polinomios. que podemos expresar en forma matricial compleja, respectivamente, como x x ; C C z x+i w z. La simetría respecto al eje OX tiene expresiones simples tanto en forma matricial como compleja: x Ejemplos. x x ; C C z x+i w z. 1 Qué representa geométricamente la transformación: z C 1+iz C? Puesto que 1+i tiene módulo argumento π 4 rad., tenemos que 1+iz e iπ/4 z esel númerocomplejo/punto/vector quese obtiene alhacer ungirodeángulo π rad. 4 centro el origen una homotecia de razón. Una vez hechas estas transformaciones, nos queda restar, es decir, hacer sobre lo obtenido la traslación de vector,0. Im e iπ/4 z 1+iz Im 1+iz 1+iz e iπ/4 z π 4 z 0 Re 0 Re Primero giramos... z luego trasladamos. Notemosque si bienhacer primero el girodespués lahomotecia dael mismo resultado que hacer primero la homotecia después el giro, esto no sucede con la traslación; no es lo mismo hacer primero el giro o la homotecia después la traslación que hacerlo al revés. Si hicieramos primero la traslación después el giro la homotecia el resultado sería 1+i[z ]. Im z z 0 Re 0 Re Primero trasladamos Im π 4 1+iz e iπ/4 z z z luego giramos... Matemáticas I. Ingeniería Civil

16 .3.- Movimientos en el plano. 45 Las expresiones matriciales de las anteriores operaciones las podemos obtener sin más quedeterminarlapartereallaparteimaginariadelosresultados.paraw 1+iz obtenemos: x cos π 4 sen π 4 sen π cos π x 4 0 x. 0 Cómo podemos expresar en términos complejos la transformación del plano consistente en hacer una simetría respecto al eje OY? En términos de parte real parte imaginaria tenemos: z x+i C w x+i teniendo en cuenta que x Rez 1 z +z, Imz 1 z z, obtenemos i w 1 z +z+ 1 z zi z. i O sea, que hacer una simetría respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetría respecto al eje OX seguida de la simetría respecto al origen. Matemáticas I

17 46 Tema.- Los números complejos. Polinomios..4.- Ejercicios Enunciados. Ejercicio 1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos. 1 1+i 1 i. i 3i i+ 1. i+ 1 i+1 Ejercicio. Dados los números complejos z 1 1+i, z 1 i, z 3 3+4i, calcula 5z 1 +z z 3, z1, z z 1 z 3 1z z 3,, z 1 3z 3, z 1 z 3 z z, z1 n z n n N. Ejercicio 3. Dados los números complejos z i z 1 i, calcula z exprésalo en forma binómica. z 104 Ejercicio 4. Dados losnúmeros complejos z 1, z i, z 3 3 3i, z 4 + 3i: 1 Represéntalos geométricamente escríbelos en forma polar exponencial. z 3 Calcula representa geométricamente: z 1 +z 3, z z 3, z 3 z 4,, z3 7, z4 00. z Calcula representa geométricamente: 5 z 1, 4 z 3, 4 z 4, z1, 4 z 1. Ejercicio 5. 1 Utilizando la fórmula de De Moivre, expresa senθ, cosθ, sen3θ cos3θ en función de senθ cosθ. Siendo z re ix, calcula z +zz +z z n +z n. cosxcosx cosnx 3 Siendo z e iπ 5 comprueba que z 4 z, calcula w 1+z +z 4 +z 9 +z 16. Ejercicio 6. Calcula: 1 La parte imaginaria de 1 i 5 la parte real de 1 i 00. Las raíces sextas de z La parte real de las sumas i k, k0 100 k0 1+i k. Ejercicio 7. Representa en el plano complejo las curvas recintos determinados por las siguientes igualdades desigualdades: Matemáticas I. Ingeniería Civil

18 .4.- Ejercicios Ima 1 z > Re1 z. Rez 0. 3 Imaz 3. 4 z 3 z +i. 5 z 3 > z +i. Ejercicio 8. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas factoriza los polinomios correspondientes: z z + 0, z +i 1z i 0, z 6 z Ejercicio 9. 1 Resuelve, para n 1,,..., la ecuación polinómica: z n +z n 0. Resuelve las siguientes ecuaciones no polinómicas a z 1 z 3i; b z z. Ejercicio 10. Indica la respuesta correcta. El teorema fundamental del que un polinomio real de grado 9, tiene 9 raíces reales porque sus coeficientes son reales. no puede tener raíces reales. tiene 9 raíces complejas. Álgebra garantiza Ejercicio 11. Sin tratar de calcular las raíces de los siguientes polinomios, P 1 z z 3 +8z +z 1, P z z 4 +z 3 z 15, P 3 z iz +3 iz 1+i, P 4 z iz 5 +z 3 1+iz, qué se puede decir de ellas?, puede garantizarse la existencia de alguna raíz real?: Ejercicio 1. Expresa mediante operaciones con números complejos en términos matriciales las siguientes transformaciones del plano: 1 Proección ortogonal sobre el eje OY. Giro con centro en el punto 1,1 ángulo π rad. en sentido positivo. 3 3 Homotecia con centro en 1, razón 3. Ejercicio 13. Qué representan geométricamente las siguientes operaciones sobre números complejos vectores respectivamente? 1 a 3+i z, b 3+i z, c 3+i z x 1 a 5, b x Matemáticas I

19 48 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Ejercicio 14. Expresa mediante operaciones con números complejos en términos matriciales las siguientes transformaciones del plano: 1 Giro con centro el origen ángulo el ángulo 0 < φ < π el semieje positivo de abscisas. que forma la recta x con Giro con centro el origen que lleva el punto P 1, sobre el punto P,1. 3 Giro con centro C 1,0 que lleva el punto P 1, sobre el punto P,1. Matemáticas I. Ingeniería Civil

20 .4.- Ejercicios Soluciones. Ejercicio i 1 i i. i 3i i. 3 1 i+ 1 i+ 1 i+1 1. Ejercicio. 5z 1 +z z 3 4 i. z 1 i. z 1 z z 3 6 8i. z 1 z 3 z 4+3i. z 1 z 3 z 5. z n 1 z n e in 1π si n 4k +1 i si n 4k + si n 4k +3 i si n 4k para k Z. Ejercicio 3. z z e i4π i Ejercicio 4. Se dejan las distintas representaciones gráficas como ejercicio. 1 La forma exponencial de los números dados es z 1 e iπ, z i e π i, z 3 3 3i 3 e 7π 4 i 3 e π 4 i, z 4 + 3i 4e π 3 i. Matemáticas I

21 50 Tema.- Los números complejos. Polinomios. z3 7 [ 3 ] e 7 iπ e i7π e i3π 4 z i i, [ ] 00 4e iπ e i400π e i4π i i 3. 3 En cualquiera de los casos se trata de calcular varios números complejos. 3 z1 : Se trata de calcular las 3 raíces cúbicas de z 1 e iπ que son: 3 e i π i, 3 e i π 3 +π 3 3 e iπ 3, 3 e i π 3 +4π 3 3 e i5π 3 3 e iπ i. 5 z3 : Se trata de calcular las 5 raíces quintas de z 3 3 e 7π 4 i que son: 5 3 e i7π e i7π 0, 10 18e i7π 0 +π e i3π i, 10 18e i7π 0 +4π e i3π 0, 10 18e i7π 0 +6π e i31π 0, 10 18e i7π 0 +8π e i π 0. 4 z4 : Se trata de calcular las 4 raíces cuartas de z 4 4e π 3 i que son: 4 4e iπ 1 e iπ 6 3+i, e i π 6 +π 4 1+i 3, e iπ 6 +4π 4 3+i, e i π 6 +6π 4 1 i 3. 4 z 1 : Se trata de calcular las 4 raíces cuartas de z1 4 que son: 4 4, 4 4e iπ 4 e iπ i, 4 4e iπ 4 e iπ, 4 4e i3π 4 e i3π i. 4 z1 : Se trata de calcular los cuadrados de las 4 raices cuartas de z 1. Puesto que z 1 e iπ, las 4 raices cuartas de z 1 sus cuadrados son: 4 4 z1 e iπ 4 4 e iπ 4 +π 4 4 e iπ 4 +4π 4 4 e iπ 4 +6π 4 4 z1 e i π e i π +π e i π +π e i π +3π 4. i i i i Matemáticas I. Ingeniería Civil

22 .4.- Ejercicios. 51 Por tanto, sólo se obtienen dos valores distintos i i. Ejercicio 5. 1 cosθ cos θ sen θ senθ senθ cosθ. cos3θ cos 3 θ 3cosθsen θ, sen3θ 3senθcos θ sen 3 θ. 3 z +zz +z z n +z n cosxcosx cosnx puesto que 1++ +n nn+1. r r r 3 r n n r nn+1 z 4 e i8π 5 e i8π π 5 e i π 5 z; w 1+z +z 4 +z 9 +z cos π 5. Ejercicio 6. 1 Im [ 1 i 5] 4, Re [ 1 i 00] 0. Puesto que 1 e πi, sus 6 raíces sextas son z k e π 3 6 +kπ 6, k 0,...,5 zk ±i, ± ± 1 i. 3 En ambos casos se trata de la suma de un cierto número de términos consecutivos de una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una constante, independiente del término considerado. La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica de razón r C a 1, a a 1 r, a 3 a r a 1 r,..., a n a n 1 r a 1 r n 1 viene dada, para r 1, por la fórmula a 1 +a + +a n a 1 a n r 1 r. 100 Puesto que S 1 i k es la suma de los 101 términos consecutivos de la progresión k0 k0 geométrica de razón r i cuo primer término es i 0 1, tenemos 100 [ ] S 1 i k 1 i101 Puesto que 1 i i i i 1 i 1 ReS 1 1. Matemáticas I

23 5 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Puesto que S 100 k0 1+i k es la suma de los 101 términos consecutivos de la progresión geométrica de razón r 1+i cuo primer término es 1+i 0 1, tenemos 100 S k0 k 1+i i 1+i Puesto que 1+i e iπ 4 1+i 101 e i 101π 4 e i5π 4 1 ei 5π 4 1 e iπ 4 i ReS 0. Ejercicio 7. Las distintas representaciones gráficas se dejan como ejercicio. 1 3 Im 1 1 > Re x+ < 0. z z Es decir, se trata de uno de los dos semiplanos en los que la recta x+ 0 divide al plano. En concreto se trata del que contiene al punto 1,0. Representa la recta el semiplano citados. Rez 0 ±x. Es decir, se trata de rectas, las bisectrices de los ejes coordenados. Representa dichas rectas. Imz 3 3 x. Por tanto, se trata de la gráfica de la función fx 3/x que es una hipérbola cuas asíntotas son los ejes coordenados. Dibuja dicha gráfica. 4 Siendo z x+i, decir que z verifica la ecuación z 3 z+i es equivalente a decir que x, equidista de A 3,0 de B 0, 1. Es decir, la ecuación z 3 z+i caracteriza a los puntos de la mediatriz del segmento de extremos A B. Calcula la ecuación cartesiana de dicha recta represéntala. 5 Teniendo en cuenta el apartado anterior, los puntos x, tales que z x+i verifica z 3 > z+i seránlospuntosdeunodelosdossemiplanosquedetermina lamediatriz z 3 z +i. En concreto, el que contiene a B pues z i verifica la inecuación z 3 no la verifica. Ejercicio 8. z z + z 1+iz 1 i, z +i 1z i z 1z +i Matemáticas I. Ingeniería Civil

24 .4.- Ejercicios. 53 z 6 z 3 + z z 0 z z 1 z z z z 0 z z 1 z z siendo z k 6 e i π 1 +kπ 3, z k 6 e i π 1 +kπ 3, k 0,1,. Ejercicio 9. 1 Las n soluciones de la ecuacin vienen dadas por z k 1 t k,k 0,1,...,n 1, donde t k para k 0,1,...,n 1, son las n raices n-ésimas de 1. a Se obtienen dos soluciones dadas por z i z 3 13 i b Obviamente z 0 es solución de la ecuación. Para z 0 consideramos su forma exponencial z re iθ. Obtenemos las soluciones además de la solución nula z r, z re iπ ri, z re iπ r z re i3π ri, r > 0. Por tanto las soluciones de la ecuación planteada son todos los números reales todos los números complejos imaginarios puros. La ecución anterior la hemos resuelto utilizando la forma exponencial de la incógnita. También se puede resolver utilizando la forma binómica. Sin embargo, la resolución de una ecuación similar, como por ejemplo z 3 z 3 ó z 4 z 4, usando la forma exponencial sería completamente análoga a la anterior. Usando la forma binómica se convierte en la resolución de un sistema de dos ecuaciones de tercer o cuarto grado con dos incógnitas. Ejercicio 10. El teorema fundamental del Álgebra garantiza que un polinomio real de grado 9, X tiene 9 raíces complejas. Ejercicio Puesto que P 1 es de grado impar tiene coeficientes reales, al menos tendrá 1 raíz real. Puesto que P es de grado 4, a priori podría no tener ninguna raíz real, pero puesto que P 0 < 0 tiene coeficientes reales, P tendrá al menos dos raíces reales. 3 Lo único que se puede garantizar sin hacer operaciones es que P 3 tiene raíces complejas iguales o distintas [Teorema Fundamental del Álgebra]. 4 Puesto que P 4 z z iz 3 +z 1+i, tenemos que z 0 es una raíz doble de P 4, pero no se puede garantizar que iz 3 +z 1+i tenga alguna raíz real aunque sea de grado impar. Matemáticas I

25 54 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Ejercicio 1. 1 z w 1 z z, x x x 0. z w 1+i+e iπ 3 [z 1+i], x x x 1 1 x z w 1+i+3[z 1+i], x x x x 3 1. Ejercicio a 3+i z : 1 o Al multiplicar 3 + iz i centro el origen de ángulo θ arg3 + i arctg 1 3 z se está haciendo un giro de 0, π una homotecia de centro O razón r 3+i 10. o Por tanto, al calcular, 3 + i z se hace sobre z un giro de ángulo θ razón r o Finalmente, al restar se está haciendo una traslación de vector,0. b 3+i z : 1 o Traslación de vector,0, o Giro de centro O ángulo ϕ arg 3+i arg8+6i arctg 3 o Homotecia de centro O razón 3+i 10. c 3+i z : 1 o Simetría respecto a OX, o Giro de centro O ángulo ϕ arg 3+i arg8+6i arctg 3 o Homotecia de centro O razón 3+i 10, 6 0, π 8, 6 0, π 8, Matemáticas I. Ingeniería Civil

26 .4.- Ejercicios. 55 a 5 b 4 o Traslación de vector,0. 3 x : o Giro de centro el origen ángulo ϕ π rad, 6 o Homotecia de centro O razón r 5, 3 o Simetría respecto a O x : Puesto que se trata de la matriz del giro de centro O ángulo ϕ π 6 resultado es la matriz del giro de centro O ángulo 3ϕ π. elevada a 3, el Ejercicio El giro de centro el origen ángulo φ vendrá dado, en forma compleja, por z C w 1+i 5 z C. La expresión matricial-vectorial viene dada por x x R El giro considerado viene dado mediante x R. z C w iz C, x R x x R. 3 Para que mediante un giro con centro en C se pueda transformar un punto P en un punto P estos puntos P P tienen que equidistar de C. Pero para los puntos dados tenemos distp,c distp,c 10. Por tanto, no ha ningún giro que haga lo que dice el enunciado. Matemáticas I

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

MATEMATICAS PARA ECONOMIA

MATEMATICAS PARA ECONOMIA MATEMATICAS PARA ECONOMIA por FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de los Andes Mérida - Venezuela Octubre de 2000. 2 Índice general 3 4 ÍNDICE GENERAL

Más detalles

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Dados = -+4i, z = 5-i, z = y z 4 =7i, calcular: a) ( - z ) z b) z 4 + z z 4 c) + z 4-5z d) + z -1 f) z g) ( + 1 ) 1 z z h) z 1 z i) z j) e) z -1 z + z 4 a)

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

1. Conjuntos de números

1. Conjuntos de números 1.2. Números complejos 1.2.1. FORMA BINÓMICA Números complejos en forma binómica Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma z = x + yi donde x e y son números reales cualesquiera e i =

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. 73 A. DEFINICIÓN. PRIMERAS PROPIEDADES. Un número complejo

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. 1.1.-

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS página 181 11.1 RECORRIDO HISTÓRICO Para comprender el por qué y para qué existen los números complejos y todo lo que se hace con ellos es necesario, aunque sea de manera muy sintética, hacer un breve

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Números complejos o imaginarios

Números complejos o imaginarios Números complejos o imaginarios Unidad imaginaria Se llam a así al número y se designa por la letra i. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un núm ero real i es la unidad

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

Tema 6.- Autovalores y autovectores.

Tema 6.- Autovalores y autovectores. Ingeniería Civil. Matemáticas I. -3. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 6.- Autovalores autovectores. 6..- Autovalores autovectores. Definición

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 I. FUNDAMENTACIÓN En esta disciplina se estudian las operaciones

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como

Más detalles

MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I MATEMÁTICAS. e πi +1=0 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS. Germán Ibáñez http://www.otrapagina.

MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I MATEMÁTICAS. e πi +1=0 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS. Germán Ibáñez http://www.otrapagina. MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I e πi +=0 icosaedro octaedro cubo tetraedro de julio de 0 Germán Ibáñez http://www.otrapagina.com/matematicas dodecaedro . Índice general.

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

3º Tema.- Síntesis de mecanismos.

3º Tema.- Síntesis de mecanismos. Universidad de Huelva ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR Departamento de Ingeniería Minera, Mecánica y Energética Asignatura: Ingeniería de Máquinas [570004027] 5º curso de Ingenieros Industriales 3º Tema.-

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

CORRIENTE ALTERNA. Fig.1 : Corriente continua

CORRIENTE ALTERNA. Fig.1 : Corriente continua CORRIENTE ALTERNA Hasta ahora se ha considerado que la corriente eléctrica se desplaza desde el polo positivo del generador al negativo (la corriente electrónica o real lo hace al revés: los electrones

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Elementos de álgebra vectorial

Elementos de álgebra vectorial Hier auf glatten Felsenwegen laufe ich tanzend dir entgegen, tanzend wie Du pfeifst und singst : der Du ohne Schiff und Ruder, als der Freiheit frei ster Bruder ueber wilde Meere springst. Friedrich Nietzsche

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por

Más detalles

Tema 2.- Los números complejos. Polinomios.

Tema 2.- Los números complejos. Polinomios. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I. 010-011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema.- Los números complejos. Polinomios..1.-

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial UNIDAD 1 2. Funciones y modelos 2.1.

Más detalles

Raúl Quiroga-Barranco. Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT Apartado Postal 402 36000 Guanajuato, Gto. quiroga@cimat.mx

Raúl Quiroga-Barranco. Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT Apartado Postal 402 36000 Guanajuato, Gto. quiroga@cimat.mx Miscelánea Matemática 45 (2007) 105 130 SMM La geometría de dos fórmulas de Euler * Raúl Quiroga-Barranco Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT Apartado Postal 402 36000 Guanajuato, Gto. México

Más detalles

Apuntes de Álgebra. Ingeniería Industrial

Apuntes de Álgebra. Ingeniería Industrial Apuntes de Álgebra Ingeniería Industrial Encarnación Algaba Durán Fernando Mayoral Masa Alejandro J Rodríguez Luis Dpto Matemática Aplicada II ETS Ingenieros Universidad de Sevilla Introducción Con las

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE. Extraer fuera de la raíz. Potencias de. Cómo se maneja k 1? Saca fuera de la raíz:

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE. Extraer fuera de la raíz. Potencias de. Cómo se maneja k 1? Saca fuera de la raíz: NÚMEROS COMPLEJOS Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Extraer fuera de la raíz Saca fuera de la raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula las sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a)

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Transformaciones geométricas

Transformaciones geométricas Transformaciones geométricas Autores FERNANDEZ PEREZ-RENDON, ANTONIO LUIS NECULA, IOANA GABRIELA MARIN SANCHEZ, JUAN MANUEL GARRIDO VIZUETE, MARIA DE LOS ANGELES NAVARRO DOMINGUEZ, MARIA DE LOS ANGELES

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber: Apéndice A Coordenadas A.1 Coordenadas en el Plano R A.1.1 Cartesianas (x, y) Dotar al plano bidimensional R de coordenadas cartesianas D es establecer una biyección entre el conjunto de puntos del plano

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

3. Aplicar adición y sustracción en números del 0 al Adición, sustracción y resolución de problemas. 4. Reconocer, escribir y aplicar números

3. Aplicar adición y sustracción en números del 0 al Adición, sustracción y resolución de problemas. 4. Reconocer, escribir y aplicar números TABLA DE ESPECIFICACIÓN PRUEBA DE SÍNTESIS MATEMÁTICA PRIMER SEMESTRE 2015 Nivel: 1 BÁSICO Profesor (a) (es) (as) Ana María Casals y Margarita Sánchez Fecha de Aplicación: 22 de junio del 2015 Números

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles