Tema 2.- Los números complejos. Polinomios.

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1 Ingeniería Civil. Matemáticas I Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema.- Los números complejos. Polinomios..1.- Los números complejos. Operaciones...- Polinomios. Forma binómica. Operaciones propiedades. Forma exponencial. Potencias raíces. Factorización de polinomios. El Teorema del resto. El Teorema fundamental del Álgebra. Las raíces de un polinomio real..3.- Movimientos en el plano. Traslaciones. Homotecias. Giros. Proecciones. Simetrías..4.- Ejercicios. Eunciados. Soluciones. Históricamente, los números complejos surgieron para tratar ecuaciones polinómicas, tales como x +1 0, que no tienen solución real. En esta dirección, el resultado principal que consideraremos en esta lección será el Teorema Fundamental del Álgebra que asegura que toda ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene, al menos, una solución. Previamente, habremos definido los números complejos, sus operaciones más importantes la interpretación geométrica de las mismas, cuo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo. En la sección 1 estudiamos los números complejos sus operaciones. Por una parte, los utilizaremos para el estudio de la factorización de un polinomio por otra, para expresar ciertas transformaciones del plano mediante operaciones sobre ellos. En la sección, dedicada a la factorización de polinomios, se puede apreciar la necesidad conveniencia del estudio de los números complejos. La sección 3 está dedicada al estudio de algunas transformaciones del plano a su expresión mediante números complejos mediante matrices vectores. 30

2 .1.- Los números complejos Los números complejos. Operaciones. Un número complejo viene dado por dos números reales o, si se quiere por un punto o un vector del plano. Más importante que la definición en sí de los números complejos, son las operaciones que ha definidas sobre ellos las propiedades de dichas operaciones. Sobre los números complejos definiremos las operaciones suma producto. Desde el punto de vista de la operación suma, los números complejos pueden ser tratados como vectores reales de dos coordenadas. La operación producto tendrá, en los aspectos aritméticos, propiedades similares a las del producto de números reales. Dentro de los números complejos tendremos a los números reales. Cuando estemos considerando números complejos, no tendrá sentido trabajar con desigualdades a menos que previamente haamos impuesto que los términos de dichas desigualdades sean números reales Forma binómica. Operaciones propiedades. Definición. Un número complejo es un número de la forma z a+bi o z a+ib donde i verifica que i 1 a b son números reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los números reales a b se conocen, respectivamente, como parte real parte imaginaria del número complejo z se suele escribir Rez a, Imz b. Esta expresión que acabamos de describir de los números complejos más adelante veremos otra se denomina forma binómica del número. Dos números complejos z w son iguales si, sólo si, Rez Rew Imz Imw. Al conjunto de los números complejos lo denotaremos por C, es decir, C {z a+bi : a,b R}. Sea z a+bi. Si b 0 escribiremos simplemente z a. Si a 0 escribiremos z bi. En este último caso diremos que z es un número imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el número real a con el número complejo a+0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números complejos. Un número complejo z a + bi lo podemos representar por el punto P del plano que tiene por coordenadas cartesianas a, b. A veces también lo respresentaremos por el vector de posición OP del punto P. Interpretado de esta manera, al plano cartesiano se le denomina también plano complejo. El eje de abscisas también se suele denominar eje real el eje de ordenadas eje imaginario. Definición. Suma Producto. Dados dos números complejos z a + bi w c + di definimos la suma z +w el producto zw mediante: z +w a+c+b+di, zw ac bd+ad+bci. La suma la diferencia de dos números complejos se puede interpretar en el plano complejo de la misma forma que la suma diferencia de vectores: Matemáticas I

3 3 Tema.- Los números complejos. Polinomios. w z +w z w z z w El producto de números complejos no tiene una interpretación directa en términos de los vectores asociados no es el producto escalar de dos vectores, que es un número real. Más adelante daremos una interpretación geométrica del producto de dos números complejos. En lo que se refiere a las propiedades de la suma el producto, de forma genérica puede decirse que se verifican las mismas propiedades algebraicas que se conocen para la suma el producto de números reales. Al considerar propiedades algebraicas se están excluendo las propiedades de la suma producto de números reales en las que aparecen desigualdades. Propiedades. Sean z,w,v C. 1 Conmutativas: z +w w+z zw wz. Asociativas: z +w+v z +w+v zwv zwv. 3a Existe un elemento nulo para la suma, el 0 0+0i tal que z z z para todo z C. 3b Existe un elemento unidad para el producto, el 1 1+0i, tal que z1 1z z, para todo z C. 4a Cada número complejo z a+bi tiene un elemento opuesto, z a+ bi, tal que z + z 0. 4b Cada número complejo z a+bi 0 tiene un elemento inverso z 1 tal que zz 1 z 1 z 1. De hecho, si z a+bi 0 se tiene que z 1 a a +b + b a +b i. 5 Distributiva del producto respecto a la suma zw+v zw +zv. Como es habitual, para los números reales, el inverso z 1 de z 0 un producto wz 1 los representaremos por 1 z w z, respectivamente. La parte real la parte imaginaria en una división de números complejos puede obtenerse de la siguiente forma. Si z a+bi 0 w c+di w z c+di a a+bi c+dia+bi 1 c+di a +b + b a +b i c+dia bi. a +b No obstante, tras estudiar la conjugación el módulo veremos otra forma más eficiente para calcular el inverso de un número complejo o dividir números complejos. Matemáticas I. Ingeniería Civil

4 .1.- Los números complejos. 33 Observación. No es posible establecer en el conjunto de los números complejos una relación de orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relación de orden que conocemos entre los números reales. Definición. Conjugado. Sea z a+bi un número complejo. Se define el conjugado de z, se representa por z, como el número complejo z a bi. Propiedades del conjugado. z z Geométricamente, si el número complejo z a+bi se representa por el punto P a,b, su conjugado z a bi se representa por el punto P x, que es el simétrico de P respecto del eje X. Notemos que las partes real e imaginaria de un número complejo se pueden expresar en términos del número complejo de su conjugado, z +z a Rez 1 z +z, z z ib Imz 1 z z i 1 z z z 1 +z z 1 +z. 3 z 1 z z 1 z. 4 Si z 0, z1 z z 1 z. 5 z z Re z +Im z. Por tanto, z z > 0 para todo z 0. Definición. Módulo. Se define el módulo del número complejo z a + bi, se representa por z, como el número real z a +b. Considerando el punto P a, b, asociado al número complejo z a + bi, el módulo de z no es otra cosa que la longitud del segmento OP la distancia entre el origen de coordenadas el punto P. Observaciones. a Nótese que z z z. Por tanto, z z z z 1 z z. z z b Podemos observar también que para dividir dos números complejos w/z, basta con multiplicar numerador denominador por el conjugado del denominador w z wz zz wz z. Matemáticas I

5 34 Tema.- Los números complejos. Polinomios. El módulo permite trabajar con distancias en el plano. Así, si los números complejos z 1 a 1 + b 1 i z a + b i se representan en el plano por los puntos P 1 a 1,b 1 P a,b, respectivamente, entonces z 1 z a 1 +b 1 i a +b i a 1 a +b 1 b i su módulo z 1 z + a 1 a +b 1 b es la distancia entre P 1 P. Teniendo en cuenta lo anterior, el conjunto de puntos P x, del plano que equidistan del origen O una cantidad constante r, es decir, los puntos P x, de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas radio r, pueden expresarse en términos de las coordenadas cartesianas mediante la ecuación x + r mediante los números complejos por la ecuación z r ver figura. De la misma forma, si el número complejo z 0 x i se representa en el plano por el punto C x 0, 0, entonces el conjunto de puntos P x, del plano que equidistan de C una cantidad constante r, es decir, los puntos P x, de la circunferencia de centro C radio r ecuación cartesiana x x r se puede expresar en forma compleja mediante z z 0 r ver figura. z z 0 z z 0 z z r z z 0 r En lo que se refiere a la suma las propiedades del módulo coinciden con las propiedades del cálculo de distancias de la norma/módulo de vectores. Propiedades del módulo. Sean z,z 1 z números complejos. 1 z 0 si, sólo si, z 0. z z. 3a z 1 z z 1 z. 3b Si z 0, z 1 z z 1 z. 4 Re z z, Im z z. 5 Desigualdad triangular: z 1 +z z 1 + z. Matemáticas I. Ingeniería Civil

6 .1.- Los números complejos. 35 Demostremos la desigualdad triangular: z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 +z z 1 z 1 +z 1 z +z z 1 +z z z 1 +Rez 1 z + z z 1 + Rez 1 z + z z 1 + z 1 z + z z 1 + z 1 z + z z 1 + z z 1 +z z 1 + z en la cuarta igualdad usamos que z 1 z z 1 z z 1 z, por tanto, z 1 z +z z 1 Rez 1 z. Ejercicio. Demuestra que z 1 z z 1 z Formas polar exponencial. Potencias raíces. Forma polar de un número complejo. Como acabamos de ver, al número complejo z a + bi le corresponde el punto P del plano de coordenadas a,b. Si representamos por r la longitud del segmento OP, que une el origen O de coordenadas P, por θ el ángulo los ángulos que forma OP con el semieje positivo de abscisas, se dice que r,θ son las coordenadas polares del punto P. Si r 0, es decir, si P O, entonces el ángulo θ no está definido. Consideraremos, por tanto, que z 0. En este caso, r es único pero θ no lo es. Dado r > 0, cualesquiera dos ángulos que se diferencien en un múltiplo entero de π número completo de vueltas dan lugar al mismo punto. Se establece como convenio que θ es positivo si es medido en sentido antihorario, negativo en caso contrario. A cualquiera de tales números θ se le llama argumento de z se representa mediante argz. Se sigue fácilmente que, para números complejos cua parte real sea no nula, se tiene que r + a +b z que tgθ x. Si para x 0 se calcula el argumento de z x + i utilizando la función arco tangente de una calculadora o de cualquier paquete de cálculo matemático, lo que se obtiene es un ángulo que está en el intervalo π, π. Dicho ángulo puede ser uno de los argumentos de z o uno de los argumentos de z puesto que. Para determinar si se trata de uno x x o de otro ha que tener en cuenta los signos de la parte real de la parte imaginaria. Por otra parte, para obtener alguno de los argumentos de z que no esté en el intervalo π, π habrá que sumar algún múltiplo apropiado de π. El argumento de un número complejo con parte real nula puede ser π +kπ si la parte imaginaria es negativa o π +kπ si la parte imaginaria es positiva. Puesto que a rcosθ b rsenθ, tenemos que z se puede expresar de la forma z a+bi rcosθ+isenθ. La expresión de un número complejo no-nulo en términos de su módulo r su argumento θ uno de ellos se suele denominar forma polar o trigonométrica de z. Notemos que para que dos números complejos, dados en forma trigonométrica por uno cualquiera de sus argumentos, z 1 r 1 cosθ 1 +isenθ 1 z r cosθ +isenθ Matemáticas I

7 36 Tema.- Los números complejos. Polinomios. sean iguales tienen que ser iguales sus módulos pero no necesariamente tienen que serlo los argumentos considerados { r1 r z 1 z, θ 1 θ kπ con k Z. El uso de la forma trigonométrica permite dar una interpretación geométrica del producto de dos números complejos. Para los números z 1 z considerados tenemos z 1 z r 1 cosθ 1 +isenθ 1 r cosθ +isenθ r 1 r [cosθ 1 cosθ senθ 1 senθ +isenθ 1 cosθ +cosθ 1 senθ ] r 1 r [cosθ 1 +θ +isen θ 1 +θ ]. Es decir, el producto de dos números complejos es un número complejo cuo módulo es el producto de los módulos uno de sus argumentos es la suma de los argumentos. El inverso del número complejo z rcosθ+isenθ 0 se puede obtener en forma trigonométrica del siguiente modo: z 1 1 z 1 rcosθ +isenθ 1 r cosθ isenθ cosθ+isenθcosθ isenθ 1 r r 1 cosθ isenθ r 1 cos θ+isen θ. Del mismo modo podemos dividir dos números complejos, z 1 z r 1 r [cosθ 1 θ +isenθ 1 θ ]. Forma exponencial de un número complejo. cosθ isenθ cosθ +senθ Observemos que, en los cálculos anteriores, el término f θ cosθ+isenθ tiene algunas de las propiedades de una función exponencial de exponente real, pues f θ 1 +θ f θ 1 f θ. Es posible mostrar, aunque está fuera del alcance de este curso, que la función exponencial real e t puede extenderse de manera razonable al caso de exponentes complejos que dicha extensión, para el caso de un exponente complejo imaginario puro, está dada necesariamente por la siguiente fórmula llamada fórmula de Euler. Fórmula de Euler: e iθ cosθ +isenθ, θ R Utilizaremos esta expresión como definición de e iθ, θ R. De esta forma, se puede representar todo número complejo forma exponencial mediante z re iθ rcosθ+isenθ siendo r el módulo de z θ uno cualquiera de sus argumentos. Matemáticas I. Leonhard Euler Ingeniería Civil

8 .1.- Los números complejos. 37 Las propiedades aritméticas de la exponencial real e t,t R, se cumplen para la exponencial compleja e iθ,θ R. Las propiedades de la exponencial real relativas a desigualdades, crecimiento, etc. no son trasladables a la exponencial compleja de hecho no tienen sentido para ésta. Para cualquier θ R, los puntos e iθ son puntos de la circunferencia unidad cuando θ + ó θ dichos puntos recorren la circunferencia unidad en sentido positivo o negativo, respectivamente. Propiedades. Sean z re iθ,r > 0, w ρe iϕ,ρ > 0, dos números complejos dados en forma exponencial. 1 z re iθ r argz θ. { r ρ z w re iθ ρe iϕ θ ϕ es un múltiplo entero de π. 3 z re iθ re iθ r 1 e iθ. 4 zw re iθ ρe iϕ rρe iθ+ϕ, z w reiθ ρe iϕ r ρ eiθ ϕ. Potencias de un número complejo. Fórmula de De Moivre. Utilizando las propiedades que hemos visto del cálculo de productos cocientes de números complejos dados en forma polar-trigonométrica-exponencial, las potencias enteras de un número complejo z 0 son fáciles de expresar en términos del módulo el argumento de z. Si z re iθ, para n 1,,3,... tenemos: z 0 1 por convenio,z 1 z re iθ,z r e iθ, en general,z n r n e inθ La interpretación geométrica del cálculo de las potencias de un número complejo es sencilla. Simplemente ha que elevar el módulo a n multiplicar el argumento por n. En la figura se consideran dos situaciones, módulo maor que 1 o módulo menor que 1. z 3 1 z z z z z 3 1 Para exponentes negativos n 1,, 3,... las expresiones anteriores siguen siendo válidas. Siendo m n tenemos z n m 1 z 1m r e iθ r 1m e imθ r n e inθ. Matemáticas I

9 38 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Fórmula de De Moivre. Siendo θ R n 0,±1,±,... se verifica: e iθ n e inθ cosθ +isenθ n cosnθ+isennθ. Ejemplo. Las potencias de la unidad imaginaria z i son i 0 1, i 1 i, i 1, i 3 i, i 4 1, i 5 i, i 6 1, i 7 i, i 8 1, i 9 i, i 10 1, Esdecir, laspotencias delaunidad imaginariase repitende cuatroencuatro. Por tanto, para calcular, por ejemplo, i 1397 lo que haríamos sería dividir el exponente entre cuatro, hallar el resto en este caso se tendría expresar: i 1397 i i i 1 i. Raíces de un número complejo. Representación gráfica. Se dice que el número complejo z re iθ es raíz n-ésima de w ρe iϕ 0 si, sólo si, z n w: n w z w z n. Veamos cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo. Según la definición dada deberá ser w z n ρe iϕ re iθ n r n e inθ. De acuerdo con la caracterización de la igualdad de números complejos dados en forma polar tenemos, ρ r n r n ρ nθ ϕ+kπ θ ϕ+kπ k 0,±1,±,... n Ahora bien, al dar valores a k obtenemos Para k 0 z 1 n ρe iϕ n, Para k 1 z n ρe iϕ+π n, Para k n 1 z n n ρe iϕ+n 1π n Para k n z n+1 n ρe iϕ+nπ n n ρe +π iϕ n. esta última raíz z n+1 n ρe iϕ n z 1. Por tanto, todo número complejo no nulo tiene n raíces n-ésimas distintas. Representación gráfica de las raíces. Observamos que todas las raíces n-ésimas del número complejo w ρe iϕ tienen el mismo módulo n w, los argumentos de dos raíces obtenidas para k p k p+1 se diferencian en ϕ+p+1π n ϕ+pπ n π n. Matemáticas I. Ingeniería Civil

10 ..- Polinomios. 39 Por tanto, los puntos que representan a esas n raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas radio n ρ. En la siguiente figura hemos representado las raíces cuartas, quintas sextas de un número complejo z de módulo maor que 1 argumento π/3. w w w z z z 1 z 3 z 1 z3 z z 1 z 3 z 4 z 4 z 5 z 5 z 6 z 4 Ejemplo. Raíces n-ésimas de la unidad. El número w 1 es un número complejo que tiene módulo la unidad su argumento es cero, es decir, escrito en forma exponencial w 1 e i0. Entonces n 1 e i 0+kπ n cos kπ n w 1 e i0 cos0+isen0 1, w e iπ/n cos π n +isen π n, w 3 e i4π/n cos 4π n +isen 4π n, w n e in 1π/n cos +i senkπ, para k 0,1,,...,n 1 n n 1π n +isen n 1π Estos n números se denominan las raíces n-ésimas de la unidad. En las figuras siguientes se esquematizan las raíces cuadradas, cúbicas cuartas de w 1 de w i. n Polinomios Factorización de polinomios. El teorema del resto. De forma indistinta usaremos los términos cero ó raíz de un polinomio pz a n z n + +a 1 z +a 0 con coeficientes reales o complejos para designar a los números complejos z 0 C que verifican que pz 0 0 las soluciones complejas de la ecuación pz 0. Matemáticas I

11 40 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Al igual que para polinomios reales es fácil comprobar que para polinomios complejos se verifica el teorema del resto. Teorema del Resto. Sea z 0 C sea pz un polinomio. a El resto de la división de pz entre z z 0 es pz 0. Es decir, ha un polinomio qz de un grado menos que pz tal que pz z z 0 qz+pz 0. b pz 0 0 si sólo si pz es divisible por z z El teorema fundamental del Álgebra. Cualquier polinomio real se puede factorizar en un producto de polinomios reales de grados uno dos. Obviamente ha polinomios reales que no pueden descomponerse en un producto de polinomios de grado uno; por ejemplo px x + 1. El siguiente resultado permite establecer que cualquier polinomio real o complejo se puede descomponer en un producto de polinomios complejos de grado uno iguales o distintos. El Teorema fundamental del Álgebra. Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene algún cero complejo. Aunque era un resultado intuido con anterioridad, la primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra se debe a C.F. Gauss. A lo largo de su vida dio muchas demostraciones de este resultado, aunque ninguna de ellas es puramente algebraica la descripción de cualesquiera de ellas se sale de los objetivos de la asignatura. Carl Friedrich Gauss Combinando el Teorema fundamental del Álgebra con el Teorema del resto, tenemos: Teorema. Sea pz un polinomio complejo de grado n 1, pz a 0 +a 1 z +a z + +a n z n a 0,a 1,a,...,a n C,a n 0. 1 pz tiene n raíces complejas contando cada una según su multiplicidad. Es decir, existen n números complejos iguales o distintos z 1,z,...,z n C tales que pz a n z z 1 z z z z n. Se verifican las siguientes relaciones entre las raíces los coeficientes de pz, z 1 +z +...+z n a n 1 a n, z 1 z z n 1 n a 0 a n. De acuerdo con el teorema anterior las ecuaciones polinómicas del tipo x +1 0, que justificaron la ampliación del conjunto de los números reales porque esas ecuaciones no tienen solución real, tienen solución en el conjunto de los números complejos. Concretamente esa ecuación tiene como soluciones z 1 i z i, de manera que x +1 x ix+i. Matemáticas I. Ingeniería Civil

12 .3.- Movimientos en el plano Las raíces de un polinomio real. No es cierto que todo polinomio no constante con coeficientes reales tenga alguna raíz real; sin embargo se verifica el siguiente resultado. Teorema. 1 Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene alguna raíz real. En los polinomios con coeficientes reales las raíces complejas no reales aparecen por pares conjugados. Es decir, si z 0 x 0 + i 0 C es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugada z 0 x 0 i 0 C también lo es. Resumiendo, en relación con la factorización de polinomios, la diferencia entre considerar o no los números complejos radica en que: Todo polinomio, de grado n 1, con coeficientes reales se puede factorizar: a como un producto de polinomios reales de grados uno dos. b como un producto de polinomios complejos de grado uno..3.- Movimientos en el plano. Vamos a considerar aquí dos expresiones para transformaciones sencillas en el plano: traslaciones, homotecias, proecciones ortogonales, giros simetrías Traslaciones. Como conocemos del estudio de los vectores en el plano del estudio de los números complejos, la suma u + v de dos vectores, o la suma z + w de dos números complejos, se obtiene geométricamente sin más que hacer la traslación, según el vector v, del punto cuas coordenadas son las de u o viceversa. Así, la transformación del plano consistente en desplazar cada punto según un vector a,b a unidades hacia la derecha izquierda b hacia arriba abajo puede expresarse mediante R R x, x, x,+a,b; C C z w z +a+bi..3.- Homotecias. Para una homotecia de centro el origen de coordenadas razón ρ > 0, es decir, la transformación que a cada vector v con origen en el origen de coordenadas le transforma en el vector w ρv, tenemos las expresiones R R x, x, ρx, ρx,ρ; C C z x+i w ρz ρx+ρi. Matemáticas I

13 4 Tema.- Los números complejos. Polinomios Proecciones ortogonales. En lo que se refiere a proecciones ortogonales, sabemos que calcular la parte real de un número complejo consiste simplemente en proectar su afijo el punto que lo representa sobre el eje OX. Calcular la parte imaginaria consiste en proectar sobre el eje OY. Así, tenemos Sobre OX : R R x, x, x,0 C C z w Rez 1 z +z Sobre OY : Giros. x, x, 0, z w iimz 1 z z. Si un punto P del plano tiene como coordenadas polares r > 0 su distancia al origen θ el ángulo que forma su vector de posición con el semieje positivo de abscisas, entonces sus coordenadas cartesianas son { x rcosθ r senθ es fácil obtener las coordenadas cartesianas del punto que se obtiene al hacer un giro de centro el origen de coordenadas ángulo φ, pues es el punto cua distancia al origen es r coincide con la de P cuo vector de posición forma con el semieje positivo de abscisas el ángulo θ+φ, es decir, el punto cuas coordenadas cartesianas son x rcosθ+φ r[cosθcosφ senθsenφ] r senθ +φ r[senθcosφ+cosθsenφ] teniendo en cuenta las relaciones * se obtiene x x cosφ senφ cosφ+x senφ Las relaciones anteriores las podemos expresar en forma matricial/vectorial x cosφ senφ x senφ cosφ donde la matriz G involucrada se denomina matriz del giro de centro 0 ángulo φ. Hacer la anterior transformación sobre el vector de coordenadas x, es lo mismo que multiplicar al número complejo z x+i por el número complejo de módulo 1 argumento φ, es decir por e iφ. Así, tenemos la expresión del giro en forma compleja C C z x+i w e iφ z Desde este punto geométrico, la multiplicación de un número complejo genérico por el número complejo de módulo ρ argumento φ, es decir ρe iφ, consiste en hacer un giro de centro el origen ángulo φ una homotecia de centro el origen razón ρ. Matemáticas I. Ingeniería Civil

14 .3.- Movimientos en el plano. 43 En el tema anterior hemos estudiado las ecuaciones reducidas de las hipérbolas. Estas ecuaciones reducidas se obtienen al considerar un sistema de coordenadas cuos ejes sean los ejes de simetría de la hipérbola. Ahora estamos en condiciones de comprobar que las gráficas k,k 0, son un caso particular de hipérbola tal como la hemos considerado en el x tema anterior. Si hacemos un giro de centro el origen de coordenadas ángulo φ π radianes obtenemos los puntos de coordenadas x, dados 4 por x cosφ senφ senφ cosφ x. Puesto que la anterior relación es equivalente a x cosφ senφ senφ cosφ x x x + sustituendo x, en la ecuación x k tenemos x x + k x k k 1 que es la ecuación de una hipérbola equilátera con centro x 0, 0 x 0, 0, con ejes Y Y X 0 x 0 x k x 0 x+ 0 X con asíntotas ±x o lo que es lo mismo 0 x 0. Cuando una hipérbola equilátera viene dada por una ecuación del tipo x k se dice que la hipérbola está referida a sus asíntotas cuando viene dada por una ecuación del tipo x a ±1 se dice que está referida a sus ejes. b Ejercicio.-Compruebaquelosfocosdelahipérbolax 1sonlospuntosF 1, F, Simetrías. Por último, podemos considerar dos tipos de simetría: simetría respecto a un punto o simetría respecto a una recta. Yendo a la situación más simple, tenemos la simetría respecto al origen de coordenadas, x, R x, R, Matemáticas I

15 44 Tema.- Los números complejos. Polinomios. que podemos expresar en forma matricial compleja, respectivamente, como x x ; C C z x+i w z. La simetría respecto al eje OX tiene expresiones simples tanto en forma matricial como compleja: x Ejemplos. x x ; C C z x+i w z. 1 Qué representa geométricamente la transformación: z C 1+iz C? Puesto que 1+i tiene módulo argumento π 4 rad., tenemos que 1+iz e iπ/4 z esel númerocomplejo/punto/vector quese obtiene alhacer ungirodeángulo π rad. 4 centro el origen una homotecia de razón. Una vez hechas estas transformaciones, nos queda restar, es decir, hacer sobre lo obtenido la traslación de vector,0. Im e iπ/4 z 1+iz Im 1+iz 1+iz e iπ/4 z π 4 z 0 Re 0 Re Primero giramos... z luego trasladamos. Notemosque si bienhacer primero el girodespués lahomotecia dael mismo resultado que hacer primero la homotecia después el giro, esto no sucede con la traslación; no es lo mismo hacer primero el giro o la homotecia después la traslación que hacerlo al revés. Si hicieramos primero la traslación después el giro la homotecia el resultado sería 1+i[z ]. Im z z 0 Re 0 Re Primero trasladamos Im π 4 1+iz e iπ/4 z z z luego giramos... Matemáticas I. Ingeniería Civil

16 .3.- Movimientos en el plano. 45 Las expresiones matriciales de las anteriores operaciones las podemos obtener sin más quedeterminarlapartereallaparteimaginariadelosresultados.paraw 1+iz obtenemos: x cos π 4 sen π 4 sen π cos π x 4 0 x. 0 Cómo podemos expresar en términos complejos la transformación del plano consistente en hacer una simetría respecto al eje OY? En términos de parte real parte imaginaria tenemos: z x+i C w x+i teniendo en cuenta que x Rez 1 z +z, Imz 1 z z, obtenemos i w 1 z +z+ 1 z zi z. i O sea, que hacer una simetría respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetría respecto al eje OX seguida de la simetría respecto al origen. Matemáticas I

17 46 Tema.- Los números complejos. Polinomios..4.- Ejercicios Enunciados. Ejercicio 1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos. 1 1+i 1 i. i 3i i+ 1. i+ 1 i+1 Ejercicio. Dados los números complejos z 1 1+i, z 1 i, z 3 3+4i, calcula 5z 1 +z z 3, z1, z z 1 z 3 1z z 3,, z 1 3z 3, z 1 z 3 z z, z1 n z n n N. Ejercicio 3. Dados los números complejos z i z 1 i, calcula z exprésalo en forma binómica. z 104 Ejercicio 4. Dados losnúmeros complejos z 1, z i, z 3 3 3i, z 4 + 3i: 1 Represéntalos geométricamente escríbelos en forma polar exponencial. z 3 Calcula representa geométricamente: z 1 +z 3, z z 3, z 3 z 4,, z3 7, z4 00. z Calcula representa geométricamente: 5 z 1, 4 z 3, 4 z 4, z1, 4 z 1. Ejercicio 5. 1 Utilizando la fórmula de De Moivre, expresa senθ, cosθ, sen3θ cos3θ en función de senθ cosθ. Siendo z re ix, calcula z +zz +z z n +z n. cosxcosx cosnx 3 Siendo z e iπ 5 comprueba que z 4 z, calcula w 1+z +z 4 +z 9 +z 16. Ejercicio 6. Calcula: 1 La parte imaginaria de 1 i 5 la parte real de 1 i 00. Las raíces sextas de z La parte real de las sumas i k, k0 100 k0 1+i k. Ejercicio 7. Representa en el plano complejo las curvas recintos determinados por las siguientes igualdades desigualdades: Matemáticas I. Ingeniería Civil

18 .4.- Ejercicios Ima 1 z > Re1 z. Rez 0. 3 Imaz 3. 4 z 3 z +i. 5 z 3 > z +i. Ejercicio 8. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas factoriza los polinomios correspondientes: z z + 0, z +i 1z i 0, z 6 z Ejercicio 9. 1 Resuelve, para n 1,,..., la ecuación polinómica: z n +z n 0. Resuelve las siguientes ecuaciones no polinómicas a z 1 z 3i; b z z. Ejercicio 10. Indica la respuesta correcta. El teorema fundamental del que un polinomio real de grado 9, tiene 9 raíces reales porque sus coeficientes son reales. no puede tener raíces reales. tiene 9 raíces complejas. Álgebra garantiza Ejercicio 11. Sin tratar de calcular las raíces de los siguientes polinomios, P 1 z z 3 +8z +z 1, P z z 4 +z 3 z 15, P 3 z iz +3 iz 1+i, P 4 z iz 5 +z 3 1+iz, qué se puede decir de ellas?, puede garantizarse la existencia de alguna raíz real?: Ejercicio 1. Expresa mediante operaciones con números complejos en términos matriciales las siguientes transformaciones del plano: 1 Proección ortogonal sobre el eje OY. Giro con centro en el punto 1,1 ángulo π rad. en sentido positivo. 3 3 Homotecia con centro en 1, razón 3. Ejercicio 13. Qué representan geométricamente las siguientes operaciones sobre números complejos vectores respectivamente? 1 a 3+i z, b 3+i z, c 3+i z x 1 a 5, b x Matemáticas I

19 48 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Ejercicio 14. Expresa mediante operaciones con números complejos en términos matriciales las siguientes transformaciones del plano: 1 Giro con centro el origen ángulo el ángulo 0 < φ < π el semieje positivo de abscisas. que forma la recta x con Giro con centro el origen que lleva el punto P 1, sobre el punto P,1. 3 Giro con centro C 1,0 que lleva el punto P 1, sobre el punto P,1. Matemáticas I. Ingeniería Civil

20 .4.- Ejercicios Soluciones. Ejercicio i 1 i i. i 3i i. 3 1 i+ 1 i+ 1 i+1 1. Ejercicio. 5z 1 +z z 3 4 i. z 1 i. z 1 z z 3 6 8i. z 1 z 3 z 4+3i. z 1 z 3 z 5. z n 1 z n e in 1π si n 4k +1 i si n 4k + si n 4k +3 i si n 4k para k Z. Ejercicio 3. z z e i4π i Ejercicio 4. Se dejan las distintas representaciones gráficas como ejercicio. 1 La forma exponencial de los números dados es z 1 e iπ, z i e π i, z 3 3 3i 3 e 7π 4 i 3 e π 4 i, z 4 + 3i 4e π 3 i. Matemáticas I

21 50 Tema.- Los números complejos. Polinomios. z3 7 [ 3 ] e 7 iπ e i7π e i3π 4 z i i, [ ] 00 4e iπ e i400π e i4π i i 3. 3 En cualquiera de los casos se trata de calcular varios números complejos. 3 z1 : Se trata de calcular las 3 raíces cúbicas de z 1 e iπ que son: 3 e i π i, 3 e i π 3 +π 3 3 e iπ 3, 3 e i π 3 +4π 3 3 e i5π 3 3 e iπ i. 5 z3 : Se trata de calcular las 5 raíces quintas de z 3 3 e 7π 4 i que son: 5 3 e i7π e i7π 0, 10 18e i7π 0 +π e i3π i, 10 18e i7π 0 +4π e i3π 0, 10 18e i7π 0 +6π e i31π 0, 10 18e i7π 0 +8π e i π 0. 4 z4 : Se trata de calcular las 4 raíces cuartas de z 4 4e π 3 i que son: 4 4e iπ 1 e iπ 6 3+i, e i π 6 +π 4 1+i 3, e iπ 6 +4π 4 3+i, e i π 6 +6π 4 1 i 3. 4 z 1 : Se trata de calcular las 4 raíces cuartas de z1 4 que son: 4 4, 4 4e iπ 4 e iπ i, 4 4e iπ 4 e iπ, 4 4e i3π 4 e i3π i. 4 z1 : Se trata de calcular los cuadrados de las 4 raices cuartas de z 1. Puesto que z 1 e iπ, las 4 raices cuartas de z 1 sus cuadrados son: 4 4 z1 e iπ 4 4 e iπ 4 +π 4 4 e iπ 4 +4π 4 4 e iπ 4 +6π 4 4 z1 e i π e i π +π e i π +π e i π +3π 4. i i i i Matemáticas I. Ingeniería Civil

22 .4.- Ejercicios. 51 Por tanto, sólo se obtienen dos valores distintos i i. Ejercicio 5. 1 cosθ cos θ sen θ senθ senθ cosθ. cos3θ cos 3 θ 3cosθsen θ, sen3θ 3senθcos θ sen 3 θ. 3 z +zz +z z n +z n cosxcosx cosnx puesto que 1++ +n nn+1. r r r 3 r n n r nn+1 z 4 e i8π 5 e i8π π 5 e i π 5 z; w 1+z +z 4 +z 9 +z cos π 5. Ejercicio 6. 1 Im [ 1 i 5] 4, Re [ 1 i 00] 0. Puesto que 1 e πi, sus 6 raíces sextas son z k e π 3 6 +kπ 6, k 0,...,5 zk ±i, ± ± 1 i. 3 En ambos casos se trata de la suma de un cierto número de términos consecutivos de una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una constante, independiente del término considerado. La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica de razón r C a 1, a a 1 r, a 3 a r a 1 r,..., a n a n 1 r a 1 r n 1 viene dada, para r 1, por la fórmula a 1 +a + +a n a 1 a n r 1 r. 100 Puesto que S 1 i k es la suma de los 101 términos consecutivos de la progresión k0 k0 geométrica de razón r i cuo primer término es i 0 1, tenemos 100 [ ] S 1 i k 1 i101 Puesto que 1 i i i i 1 i 1 ReS 1 1. Matemáticas I

23 5 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Puesto que S 100 k0 1+i k es la suma de los 101 términos consecutivos de la progresión geométrica de razón r 1+i cuo primer término es 1+i 0 1, tenemos 100 S k0 k 1+i i 1+i Puesto que 1+i e iπ 4 1+i 101 e i 101π 4 e i5π 4 1 ei 5π 4 1 e iπ 4 i ReS 0. Ejercicio 7. Las distintas representaciones gráficas se dejan como ejercicio. 1 3 Im 1 1 > Re x+ < 0. z z Es decir, se trata de uno de los dos semiplanos en los que la recta x+ 0 divide al plano. En concreto se trata del que contiene al punto 1,0. Representa la recta el semiplano citados. Rez 0 ±x. Es decir, se trata de rectas, las bisectrices de los ejes coordenados. Representa dichas rectas. Imz 3 3 x. Por tanto, se trata de la gráfica de la función fx 3/x que es una hipérbola cuas asíntotas son los ejes coordenados. Dibuja dicha gráfica. 4 Siendo z x+i, decir que z verifica la ecuación z 3 z+i es equivalente a decir que x, equidista de A 3,0 de B 0, 1. Es decir, la ecuación z 3 z+i caracteriza a los puntos de la mediatriz del segmento de extremos A B. Calcula la ecuación cartesiana de dicha recta represéntala. 5 Teniendo en cuenta el apartado anterior, los puntos x, tales que z x+i verifica z 3 > z+i seránlospuntosdeunodelosdossemiplanosquedetermina lamediatriz z 3 z +i. En concreto, el que contiene a B pues z i verifica la inecuación z 3 no la verifica. Ejercicio 8. z z + z 1+iz 1 i, z +i 1z i z 1z +i Matemáticas I. Ingeniería Civil

24 .4.- Ejercicios. 53 z 6 z 3 + z z 0 z z 1 z z z z 0 z z 1 z z siendo z k 6 e i π 1 +kπ 3, z k 6 e i π 1 +kπ 3, k 0,1,. Ejercicio 9. 1 Las n soluciones de la ecuacin vienen dadas por z k 1 t k,k 0,1,...,n 1, donde t k para k 0,1,...,n 1, son las n raices n-ésimas de 1. a Se obtienen dos soluciones dadas por z i z 3 13 i b Obviamente z 0 es solución de la ecuación. Para z 0 consideramos su forma exponencial z re iθ. Obtenemos las soluciones además de la solución nula z r, z re iπ ri, z re iπ r z re i3π ri, r > 0. Por tanto las soluciones de la ecuación planteada son todos los números reales todos los números complejos imaginarios puros. La ecución anterior la hemos resuelto utilizando la forma exponencial de la incógnita. También se puede resolver utilizando la forma binómica. Sin embargo, la resolución de una ecuación similar, como por ejemplo z 3 z 3 ó z 4 z 4, usando la forma exponencial sería completamente análoga a la anterior. Usando la forma binómica se convierte en la resolución de un sistema de dos ecuaciones de tercer o cuarto grado con dos incógnitas. Ejercicio 10. El teorema fundamental del Álgebra garantiza que un polinomio real de grado 9, X tiene 9 raíces complejas. Ejercicio Puesto que P 1 es de grado impar tiene coeficientes reales, al menos tendrá 1 raíz real. Puesto que P es de grado 4, a priori podría no tener ninguna raíz real, pero puesto que P 0 < 0 tiene coeficientes reales, P tendrá al menos dos raíces reales. 3 Lo único que se puede garantizar sin hacer operaciones es que P 3 tiene raíces complejas iguales o distintas [Teorema Fundamental del Álgebra]. 4 Puesto que P 4 z z iz 3 +z 1+i, tenemos que z 0 es una raíz doble de P 4, pero no se puede garantizar que iz 3 +z 1+i tenga alguna raíz real aunque sea de grado impar. Matemáticas I

25 54 Tema.- Los números complejos. Polinomios. Ejercicio 1. 1 z w 1 z z, x x x 0. z w 1+i+e iπ 3 [z 1+i], x x x 1 1 x z w 1+i+3[z 1+i], x x x x 3 1. Ejercicio a 3+i z : 1 o Al multiplicar 3 + iz i centro el origen de ángulo θ arg3 + i arctg 1 3 z se está haciendo un giro de 0, π una homotecia de centro O razón r 3+i 10. o Por tanto, al calcular, 3 + i z se hace sobre z un giro de ángulo θ razón r o Finalmente, al restar se está haciendo una traslación de vector,0. b 3+i z : 1 o Traslación de vector,0, o Giro de centro O ángulo ϕ arg 3+i arg8+6i arctg 3 o Homotecia de centro O razón 3+i 10. c 3+i z : 1 o Simetría respecto a OX, o Giro de centro O ángulo ϕ arg 3+i arg8+6i arctg 3 o Homotecia de centro O razón 3+i 10, 6 0, π 8, 6 0, π 8, Matemáticas I. Ingeniería Civil

26 .4.- Ejercicios. 55 a 5 b 4 o Traslación de vector,0. 3 x : o Giro de centro el origen ángulo ϕ π rad, 6 o Homotecia de centro O razón r 5, 3 o Simetría respecto a O x : Puesto que se trata de la matriz del giro de centro O ángulo ϕ π 6 resultado es la matriz del giro de centro O ángulo 3ϕ π. elevada a 3, el Ejercicio El giro de centro el origen ángulo φ vendrá dado, en forma compleja, por z C w 1+i 5 z C. La expresión matricial-vectorial viene dada por x x R El giro considerado viene dado mediante x R. z C w iz C, x R x x R. 3 Para que mediante un giro con centro en C se pueda transformar un punto P en un punto P estos puntos P P tienen que equidistar de C. Pero para los puntos dados tenemos distp,c distp,c 10. Por tanto, no ha ningún giro que haga lo que dice el enunciado. Matemáticas I