Tema 1: Preliminares

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1 Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Febrero 2008, versión Desigualdades 2. Funciones monótonas 3. Valor absoluto 4. Etremos absolutos sobre intervalos cerrados 5. Etremos absolutos para funciones del tipo h() = g() 1 Desigualdades Definición 0 b a. Interpretación geométrica eje horizontal: a está a la izquierda de b. Interpretación geométrica eje vertical: a está por debajo de b. 1.1 Propiedades de las desigualdades En lo que sigue a, b, c, d son números reales. 1. Propiedad transitiva b c a c. 2. Compatibilidad con la adición a + c b + c. c R 1

2 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Suma de desigualdades c d a + c b + d. 4. Compatibilidad con el producto por números no negativos ac bc. c>0 5. Inversión en el producto por números negativos ac bc. c<0 El punto más delicado es la propiedad 5, cuando multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, si tenemos 2 < 3 y multiplicamos por 4, resulta 8 > 12. Los errores suelen producirse cuando resolvemos desigualdades como la que aparece en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.1 Determina el menor entero n quecumplelasiguientede- sigualdad: (0.85) n Tomamos logaritmos y obtenemos n ln(0.85) ln( ) Observemos que como ln() es una función creciente, el signo de la desigualdad se conserva. Como ln(0.85) = , al pasarlo dividiendo, debemos invertir el signo de la desigualdad. n ln( ) ln(0.85) = Finalmente, como n es entero, el resultado es n = Inecuaciones a + b 0 Las inecuaciones del tipo a + b 0 pueden resolverse usando las reglas habituales de manipulación de ecuaciones, con una ecepción: si pasamos dividiendo o multiplicando un número negativo debemos invertir el signo de la desigualdad. Ejemplo 1.2 Resuelve la inecuación

3 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares. 3 Aplicando las propiedades de las desigualdades, resulta la solución es (, 2]. 1.3 Inecuaciones f() Para resolver inecuaciones más generales, usamos la siguiente propiedad: una función sólo puede cambiar de signo cuando se anula o en los puntos de discontinuidad. Por lo tanto, si 1 < 2 < < n son todos los ceros y discontinuidades de f(), la función debe tener signo constante en los intervalos (, 1 ), ( 1, 2 ),...,( n 1, n ), ( n, + ). Ejemplo 1.3 Resuelve la desigualdad 2 1 < 2. En primer lugar escribimos la desigualdad en la forma f() < < 0 ydefinimos f() = El problema se reduce a determinar los intervalos dónde f es negativa. Escribimos f() en la forma f() =. La función tiene una discontinuidad en 1 =0, además tiene dos ceros que son las soluciones de la ecuación =0. Escribimos la ecuación en forma estándar =0

4 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares. 4 yresolvemos = 4 ± resultan las raíces = 4 ± 12 2 = 4 ± 2 3, 2 2 =2 3= , 3 =2+ 3= Si disponemos de forma creciente los ceros y discontinuidades de f 1 =0< 2 =2 3 < 3 =2+ 3, obtenemos que f() tiene signo constante en los intervalos determinados por el conjunto de ceros y discontinuidades de f ³ I 1 =(, 0),I 2 = 0, 2 ³ 3,I 3 = 2 3, 2+ ³ 3,I 4 = 2+ 3, +. Para determinar qué signo toma f() en cada intervalo, tomamos un punto de prueba j ³ ycalculamosf j ³ I j j f j (, 0) 1 6 0, ª 2 3, , + 4 1/4 ª por lo tanto, la solución es ³ I 2 I 4 = 0, Funciones monótonas 2.1 Definiciones ³ 2+ 3, +. 2 f() creciente en un intervalo I si para todo, 0 I con < 0, se cumple f() <f( 0 ). f() decreciente en un intervalo I si para todo, 0 I con < 0, se cumple f() >f( 0 ). ½ creciente Función monótona decreciente Vemos que las funciones crecientes conservan el sentido de las desigualdades, en tanto que las funciones decrecientes invierten el sentido de las desigualdades.

5 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Criterio de monotonía Si una función f() es continua en un intervalo [a, b] y tiene derivada positiva en cada punto interior, esto es, si f 0 () > 0 para (a, b), entonces la función es creciente en [a, b]. Análogamente, si una función es continua en un intervalo [a, b] ytiene derivada negativa en cada punto interior, esto es, si la derivada es negativa, f 0 () < 0 para (a, b), entonces la función es decreciente en [a, b]. Observa que para usar los criterios de monotonía necesitamos resolver desigualdades del tipo f 0 () < 0, f 0 () > Etremos de funciones monótonas Si f() es creciente en [a, b] Si f() es decreciente en [a, b] Ejemplo 2.1 Dada f() = 2 ln(), calcular M = ma [2,3] f 00 (). M = ma f() =f(b) m = min f() =f(a) M = ma f() =f(a) m = min f() =f(b) Tenemos f() = 2 ln(), f 0 () =2 ln +, f 00 () =2ln +3. La función objetivo es h() =2ln +3. Estudiamos la monotonía de h(), para ello calculamos su derivada h 0 () = 2, como h 0 () > 0 en [2, 3], tenemos h % en el intervalo. Por lo tanto M = ma h() =h(3) = 2 ln = [2,3]

6 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares. 6 3 Valor absoluto Dado un número real a, se define el valor absoluto como sigue: ½ a si a<0, a = a si a 0. Otra forma de definir el valor absoluto es a = a Propiedades del valor absoluto En lo que sigue a, b son números reales. 1. a 0 2. a =0si y solo si a =0 3. ab = a b 4. a = a (b 6= 0) b b 5. a n = a n 6. a + b a + b (desigualdad triangular) 7. a b a b 8. d(a, b) = a b (distancia) 9. a δ equivale a [a δ,a+ δ] En este curso, emplearemos frecuentemente las propiedades del valor absoluto para obtener cotas superiores de error. Ejemplo 3.1 Determina una cota superior de h() = 232 +sin() cos , [0, 1]. Aplicando la desigualdad triangular, resulta 232 +sin() cos sin () cos Como [0, 1], 23 2 =

7 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares. 7 Por otra parte, tanto sin, como cos 2 toman valores entre 1 y 1, por lo tanto sin () cos 2 = sin () cos 2 1 Para el tercer término, como [0, 1] obtenemos = y teniendo en cuenta que es decreciente en [0, 1], tenemos En resumen 232 +sin() cos = Etremos absolutos sobre intervalos cerrados Sabemos que si la función f es continua en [a, b], entonces f() toma un valor máimo y un valor mínimo en [a, b] (Teorema de Weierstrass). Un c (a, b) es un punto crítico de la función f cuando obienf 0 (c) =0, obiennoeistef 0 (c). Supongamos que c 1,c 2,...,c n son todoslospuntoscríticosdef en (a, b), entonces M = ma 1),f(c 2 ),...,f(c n ),f(b)}, m = min 1),f(c 2 ),...,f(c n ),f(b)}. Es decir, los etremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se producen en los puntos frontera del intervalo o en los puntos críticos. Ejemplo 4.1 Calcula los etremos absolutos de f() = en el intervalo [0, 3]. La función f es continua en [0, 3]. Determinamoslospuntoscríticosdef en (0, 3) (puntos críticos interiores). f 0 () =2 4

8 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares =0 =2 (0, 3) tenemos un punto estacionario interior, no hay puntos de no derivabilidad. Calculamos f(0) = 3, f(2) = 1, f(3) = 0 yresulta M = ma f() =ma{f(0),f(2),f(3)} = f(0) = 3 [0,3] m = min f() =min{f(0),f(2),f(3)} = f(2) = 1. [0,3] 5 Etremos absolutos sobre intervalos cerrados para funciones del tipo h() = g() En los temas siguientes necesitaremos calcular etremos de funciones del tipo h() = g() en este caso, podemos calcular los puntos críticos de h determinando los ceros y los puntos críticos de g. En efecto, si escribimos h() en la forma q h() = (g()) 2 y derivamos h 0 () = g() g0 () q (g()) 2 vemos que los puntos críticos de h están incluidos en el conjunto formado por: Puntos de no derivabilidad de g(). Ceros de g 0 () (puntos estacionarios de g()). Ceros de g(). Ejemplo 5.1 Calcula los etremos de h() = ln en el intervalo [ 1 2, 3] La función h es continua en el intervalo cerrado [ 1 2, 3]. Por lo tanto, tiene etremos absolutos en el intervalo. Observamos que la función es del tipo h() = g(), con g() = ln, resulta g 0 () =ln +1 por lo tanto, los puntos críticos de h deben aparecer en uno de los siguientes casos:

9 Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares. 9 Puntos de no derivabilidad de g(). La función g() no es derivable en los puntos 0, por lo tanto no hay puntos de no derivabilidad en el intervalo (1/2, 3). Puntos estacionarios de g(): ln +1=0 = e 1 = observamos que el punto estacionario obtenido no pertenece al intervalo [ 1 2, 3]. Ceros de g() : ln =0 ln =0 =1. El conjunto de ceros y puntos críticos de g() en (1/2, 3) sólo tienen el elemento =1. Finalmente calculamos los valores En definitiva, h(1/2) = ,h(1) = 0, h(3) = ma h() =h(3) = , min [1/2,3] h() =h(1) = 0. [1/2,3] Nota. Observemos que si únicamente estamos interesados en determinar el máimo de la función h() = g() en [a, b], podemos prescindir de los ceros de g() ( por qué?)

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