CAPÍTULO 5 Ecuaciones, sistemas. de ecuaciones y desigualdades

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1 CAPÍTULO 5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

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3 5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES Objetivos k Al terminar este capítulo, el lector podrá: 3 Identificar, construir y resolver ecuaciones de primer y segundo grados. 3 Conocer diferentes métodos para la solución de ecuaciones de primer y segundo grados. 3 Identificar y construir las gráficas de sistemas de ecuaciones de primer grado, sistemas combinados de primer y segundo grados y sistemas de segundo grado. 3 Resolver ecuaciones simultáneas de primer grado, de segundo grado y combinadas. 3 Usar diferentes métodos para la solución de sistemas de ecuaciones. 3 Identificar, plantear y resolver desigualdades. Estructura del capítulo k Introducción 5.1. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Sistemas de ecuaciones de primer grado Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados Sistemas de ecuaciones de segundo grado Desigualdades Aplicaciones Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete Mathematica. INTRODUCCIÓN EN LA CIENCIA ECONÓMICA y en la administración hay una gran cantidad de problemas que se resuelven utilizando ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticos. También hay problemas que requieren, para su solución, sistemas que combinan ecuaciones de primer y segundo grados. En este capítulo se explica la forma de plantear, resolver y graficar: ecuaciones de primer y segundo grados, sistemas simultáneos de primer y segundo grados, sistemas simultáneos combinados (de primer y segundo grados ), así como inecuaciones. En la sección 5.6 se desarrolla el concepto de desigualdad y se explica cómo resolver sistemas de desigualdades. Éstos tienen especial relevancia y utilidad en modelos de programación lineal. En la penúltima sección se muestran algunas aplicaciones en las ciencias sociales. En la última se resuelven ejercicios utilizando el paquete Mathematica. 219

4 220 4lgebra básica 5.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Definición.- Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias incógnitas y sólo se puede comprobar que es verdadera para determinados valores de las incógnitas, por ejemplo: Sea la ecuación 3x = 2x ± 3 Es verdadera si x se sustituye por el valor de 3, porque entonces tanto el lado derecho como el izquierdo son iguales a 9. 3(3) = 2(3) + 3 9=9 Es falsa si x se sustituye por el valor de 4, ya que el lado izquierdo es igual a 12 y el derecho igual a 11. Esto da lugar al concepto de conjunto solución, formado por todos los números que satisfacen la igualdad. A los elementos del conjunto solución se les denomina raíces de la ecuación. Definición.- Una ecuación se dice lineal cuando está formada con variables que tienen exponente 1, y ningún término de la ecuación es un producto cruzado de dos o más variables, por ejemplo: x+2x+6x=5 Sea la ecuación : 5x2 +X=,9 No es una ecuación lineal, porque el exponente de la variable es igual a 2. Sea la ecuación : 2x+ 5xy= 8 No es una ecuación lineal, porque tiene el producto cruzado xy como uno de sus términos. Ecuaciones deprimergrado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita se escribe de la siguiente forma: ax = b

5 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 221 En donde: a y b.: son constantes x.- es una variable En la solución de esta ecuación se presentan solamente tres casos: Si a: 0, la ecuación tiene una única solución: x = b/a Si a= 0 y b= O, la solución tiene número infinito de opciones (Ox= 0), porque cualquier número real x satisface a la ecuación ax = b, y por lo tanto, es solución de ésta. Si a = 0 y b:# 0, la ecuación no tiene solución (Ox = b), ya que cualquier número real x, al sustituirlo del lado izquierdo de la ecuación y multiplicarlo por cero, da como resultado que el primer miembro sea cero y el segundo sea distinto de cero (0: b). Ejemplos de Sea la ecuación: 3x= 6, la solución única es x= Sea la ecuación: -6 = 2x, la solución es x = La ecuación: 0 = Ox tiene un número infinito de soluciones ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado relacionado con la solución de ecuaciones. Hay una amplia variedad de problemas en las ciencias económico administrativas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. En esta sección se explica en qué consiste una ecuación de segundo grado, cuáles son sus elementos, qué procedimientos hay para encontrar sus raíces, cómo se representan gráficamente, etcétera. Las ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a#- 0, son ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadrática pura. Las ecuaciones : axz+ c= 0, 5x2-25 = 0, 4x2-36 = O y 7x2+ 24 = 0 son cuadráticas puras. La ecuación cuadrática pura carece del término de primer grado.

6 222 Álgebra básica La ecuación de segundo grado en la que c= 0 es una ecuación cuadrática mixta incompleta. Las ecuaciones : ax2 + bx = 0, 6x2-36x = 0 y 14x2 + 16x = 0 son cuadráticas mixtas incompletas. La ecuación cuadrática mixta incompleta carece del término independiente. Las ecuaciones de segundo grado en que a#-- 0, b:#- 0 y c - 0 son ecuaciones cuadráticas mixtas completas. Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: ax2+ bx+ c=0, 2x2+6x-9=0, 4x2-15x+2=0, 35x2-30x+22=0. Las ecuaciones cuadráticas mixtas completas tienen término de segundo grado, término de primer grado y término independiente Solución de la ecuación cuadrática pura Para resolver una ecuación cuadrática pura se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término de segundo grado. 2. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita. 3. Se extrae la raíz cuadrada, de ambos miembros de la ecuación. Ejemplos de x2-4=0 Q Se despeja el término de segundo grado: x2 = 4 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación : x = ±2. Las raíces de la ecuación son: 2 y -2 Las raíces se identifican de la siguiente forma: x, = -2, x2 = 2. Comprobación: Sustituyendo x, = -2: = 0 4-4=0 Para x2 = 2: (2)1-4 = 0 4-4=0 Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse la tabla y gráfica 5.1).

7 S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 223 TABLA 5.1 VALORES DE y = x2-4 = 0 x y=x GRÁFICA 5.1 VALORES DE Y = x2-4 = 0 Y y-x x2-48 = 0 9 Se despeja el término de segundo grado: 3x2 = 48 Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 16 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: x = ±4 Las raíces son: xl = -4, x2 = 4. Comprobación: Sustituyendo en la ecuación x por -4 resulta: 3(-4)2-48 = 0 3(16)-48=0 Sustituyendo x por 4 se obtiene: 3(4)1-48 = 0 3(16)-48=0

8 224 f4lgebra básica Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse tabla y gráfica 5.2). TABLA 5.2 VALORES DE y = 3x2-48 = 0 x y=3x GRÁFICA 5.2 VALORES DE y= 3x2-48 = 0 Y 3. 7x2-56=0 Q Se despeja el término de segundo grado: 7x2 = 56 Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 8 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: x=+2.12 x, =-2/2 x2=2-,12

9 S. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades x2-27=x' Q Se despeja el término de segundo grado: 4x2 - x2 = 27; 3x2 = 27 Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2 = 9 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x = ±3 Las raíces son: x1= -3, x2 = 3 5. x+2= 4 Q 3 x-2 Se quitan los denominadores y se tiene : x2-4 = 12 Se despeja el término de segundo grado: x2 = 16 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x= ±4 Las raíces son: x, = -4, x2 = 4 6. (x+6)(x-6)=28 P Se efectúa el producto en el primer miembro: x2-36 = 28 Se despeja el término de segundo grado: x2 = 64 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x= ±8 Las raíces de la ecuación son: x, = -8 y x2 = Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición en factores Para resolver una ecuación cuadrática pura por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos: 1. Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen. 2. Se divide entre el coeficiente de la incógnita. 3. Se descompone el primer miembro en factores. 4. Se iguala a cero cada uno de los factores y se resuelven las dos ecuaciones así obtenidas.

10 226 Álgebra básica Ejemplos de x2 =36-x2 q (Por descomposición de factores) Se pasan todos los términos al primer miembro: 3x2 +x2-36 = 0 4x2-36=0 Se divide entre el coeficiente de la incógnita : x2-9 = 0 Se descompone el primer miembro en factores : (x+ 3)(x- 3) = 0 Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 3 = 0, x- 3 = 0 Al resolver: x+ 3 = 0, x, = -3 Al resolver: x - 3 = 0, x2 = 3 Comprobación: Para xi = -3: 3(-3)2 = 36 - (-3)2 3(9)= = 27 Para x2 = 3: 3(32) = 36 - (3)2 3(9)= = 27 Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.3).

11 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 227 TABLA 5.3 VALORES DE y= 4x2-3 6 = 0 x y=4x GRÁFICA 5.3 VALORES DE y= 4x2-36 = 0 Y 2. 2x2 = 76-2x2 Al pasar todos los términos al primer miembro y reducir se obtiene: 4x2-76=0 Se divide entre el coeficiente de la incógnita : x2-19 = 0 Se descompone el primer miembro en factores : (x+ 319)(x-,I) = 0 Se iguala a cero cada uno de los factores : x+-119 = 0, x- = 0 Al resolver x+-119 = 0, xl = -J9 Alresolverx-1f =0,x2= 19

12 228 Álgebra básica Comprobación: Parar --/19: 2(---J19)2=2(19)= (--x/19 )2 = = 38 Para x2 =. 19: 2( 119 )2 = 2(19) = (,9)2=76-38=38 Ambas respuestas son raíces de la ecuación Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta Para resolver la ecuación cuadrática mixta incompleta se realizan los siguientes pasos: 1. Se le da la forma ax2 + bx = Se descompone ax2+ bx en factores. 3. Se iguala a cero cada uno de los factores. 4. Se resuelven las dos ecuaciones que resultan. 5. La ecuación cuadrática mixta incompleta siempre tiene una raíz igual a cero. Ejemplos de x2-5x= 0 9 Se descomponex2-5x en factores : x2-5x=x(x- 5) Se iguala a cero cada uno de los factores : x = 0, x - 5 = 0 Se resuelven las dos ecuaciones x= 0 y x- 5 = 0. Las raíces son: x,=0,x2=5 Comprobación: Para x, = 0: 02-5(0) = 0 Parax2=5: 52-5(5)=25-25=0 2. 6x2+5x=0 9 Se descompone 6x2+ 5x en factores : x(6x+ 5) Se iguala a cero cada uno de los factores : x= 0, 6x+ 5 = 0

13 S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 229 Se resuelven las ecuaciones x= 0 y 6x+ 5 = 0. Las raíces son: x,=-6,x2=0 Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.4). TABLA 5.4 VALORES DE y= 6x2 + 5x x y=6x2+ 5x GRÁFICA 5.4 VALORES DE y = 6x2 + 5x Y 3. 5x2-2x = 3x2-5x Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen : 2x2+ 3x= 0 Se descompone 2x2+ 3x en factores : 2x2+ 3x= x(2x+ 3) Se iguala a cero cada uno de los factores : x= 0, 2x+ 3 = 0 Se resuelven las ecuaciones x= 0 y 2x+ 3 = 0. Las raíces son: 3 x,=-,x2=0 2

14 230 4lgebra básica Solución de ecuación cuadrática mixta completa,por descomposición en factores Este método se emplea principalmente para resolver trinomios de la forma x2+ (a + b)x + ab. Para resolver una ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos: 1. Se le da a la ecuación la forma general de una ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0 2. Se descompone en factores el trinomio ax2+ bx+ c= 0 3. Se iguala a cero cada uno de los factores (para que un producto sea cero es necesario que por lo menos uno de los factores sea cero). 4. Se resuelve cada una de las ecuaciones obtenidas. Ejemplos de x2+3x+2=0 13 (Por descomposición en factores) Como ya tiene la forma general se descompone x2+ 3x+ 2 en factores: x2+ 3x+2 = (x+2)(.x+ 1) Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 2 = 0 y _x+ 1 = 0 Se resuelven las ecuaciones x+ 2 = 0 y x + 1 = 0. Las raíces son: x,=-2yx2=-1 Comprobación: Parax, =-2: (-2)2+3(-2)+2=4-6+2=0 Parax2=-l: (_l)2+3(-1)+2=1-3+2=0 Los dos resultados son raíces de la ecuación (véase tabla 5.5).

15 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 231 TABLA 5.5. VALORES DE y = x2 + 3x + 2 = 0 x y=x2+3x+2= x2-3x- 10=0 9 Se descompone x2-3x- 10 en factores : (x- 5)(x+ 2) Se iguala a cero cada uno de los factores : x- 5 = 0 y x+ 2 = 0 Se resuelven las ecuaciones : x- 5 = 0 y x+ 2 = 0. Las raíces son : x, = -2 y x2 = x2+ 7x+6=0 9 Se descompone 2x2 + 7x + 6 en factores. Para ello se multiplica el término independiente 6 por el coeficiente del término de segundo grado 2, 2(6) = 12 y se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den el coeficiente del término de primer grado 7; así, los números son 3 y 4. El término de primer grado se descompone en la suma de los dos números anteriores y se va agrupando. 2x2+7x+6=0 2x2+4x+3x+6=0 2x(x+ 2) + 3(x+ 2) = 0 (x+ 2)(2x+ 3) = 0

16 232 Álgebra básica Se iguala a cero cada uno de los factores : x+ 2 = 0 y 2x+ 3 = 0 Se resuelven las ecuaciones : x+ 2 = 0 y 2x+ 3 = 0 Las raíces son x, = -2 y x2 = -3 Comprobación: Para x, _ -2: 2(-2)2+ 7(-2) + 6 = =0 Para x2 = -3: +6= = Las dos respuestas son raíces de la ecuación. 4. 2x2-7x-4=0 D (Por descomposición en factores) Primero se descompone 2x2-7x- 4 en factores ; para ello se buscan dos números que multiplicados den 2(-4) = -8 y sumados -7; estos números son -8 y 1 Se descompone el término de primer grado en -8x + x y se agrupa : 2x2-8x+ x-4=2x(x-4)+1(x-4)=(x-4)(2x+1) Se iguala a cero cada uno de los factores : x- 4 = 0 y 2x+ 1 = 0 Se resuelven las ecuaciones x- 4 = 0 y 2x+ 1 = 0. Las raíces son: xa= - yx2= Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por elprocedimiento de completar el cuadrado perfecto Para resolver una ecuación cuadrática mixta por este procedimiento se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término independiente : ax2+ bx= -c

17 5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades Se divide entre el coeficiente del término de segundo grado: xz+ b x=- c a a 3. Se suma, en ambos miembros de la igualdad, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado: z - b 2 -c x2+bx+ b a 4a2 4a2 a 4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el segundo: Cx + b 2 _ b2-4ac 2a 4a2 5. Se extrae raíz cuadrada de ambos miembros: 6. Se despeja la incógnita: b ±-ib2-4ac x+-= 2a 2a -b, bac x= 2a 2a Ejemplos de S.Z x2 +6x- l6=0 Q (Completando el cuadrado) Se despeja el término independiente : x2+ 6x= 16 Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación. Se suma, en ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. x2+6x+9= 16+9=25 Se descompone en factores el primer miembro : (x+ 3)2 = 25 Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros : x+ 3 = ±5 Se despeja la incógnita : x= -3 ± 5. Las raíces que resultan son: x,=-3+5 x,=2 x2 = -3-5 x2 = -8 Reordenando se obtiene : x, = -8 y x2 = 2

18 234 Álgebra básica 2. x2-7x+12=0 Q (Completando el cuadrado) Se despeja el término independiente: x2-7x= -12 Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación. Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Se descompone en segundo: 7 z _ Cx x -7x factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: Se despeja la incógnita: x = xi = 2+ - XI= X2 = 2 2 x2 = 3 Reordenando se obtiene : x, = 3 y x2= x2-7x-6=0 q (Completando el cuadrado) Se despeja el término independiente: 3x2-7x= 6 Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2-3x=2 Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.- x z- 7 x + 49 = Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo: _121 X

19 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 235 Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: Se despeja la incógnita: x = 7 ± 11 x,=6+6 XI = x --- _ x,=--6 =-6 x2=-3 Reordenando se obtiene : x, = -3 y x2 = 3 2x2-7x - 4 = 0 (Completando el cuadrado) Se despeja el término independiente : 2x2-7x= 4 7 Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 --x = 2 2 Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x x - x+--= Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo: X - 7f _ Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros : x - 4 = Se despeja la incógnita: x = 4 ± 4 XI = +4 x, = x2 4 x2 = Reordenando se obtiene : x, _ -1 y x2 = 4 2

20 236 Álgebra básica Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por medio de la fórmula general Para obtener la fórmula general se resuelve la ecuación ax2 + bx + e= 0 complementando el cuadrado. Para ello se desarrollan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término independiente: ax2+ bx= -c 2. Se divide entre el coeficiente de x2: x2 +b x = -C a a 3. Se suma, a ambos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.- b b2 b2 c x2+ x a 4a2 4a2 a 4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el segundo: 1 b J -b2-4ac x+ 2a 4a2 5. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: b "b2-4ac b2-4ac x+=±-- --_+ 2a -!4a2 2a 6. Se despeja la incógnita: X =- b /b2-4ac 2a 2a -b± 772-4ac 7. Se suma el segundo miembro: x = 2a -b± 1b2-4ac 8. La fórmula general es: x = a

21 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 237 Ejemplos de x2+4x+3=0 Q Se identifica que en esta ecuación : a = 1, b = 4 y c = 3 -b ± ^i b` - 4ac Se sustituyen estos valores en la formula : x = 2a -4±-,42-4(1)(3) -4±,J ±J4-4±2 2(1) x,=^2 =-1 x2= -- =-3 2 Reordenando se obtiene : x, _ -3 y x2= x2-14x+13=0 Q En esta ecuación : a= 1, b = -14, y e= 13 -b ± b2-4ac Se sustituyen estos valores en la fórmula: x = 2a 14±_[( 14)2_4(1)(13 ) I4± ' ±-/144 14±12 2(1) x =13 x14-12=1 ' Reordenando se obtiene : x, = 1 y x2= x2-4x- 1 = 0 Q En la ecuación propuesta : a= 2, b = -4 y c = -1 Sustituyendo los valores en la fórmula x = -b b ac se obtiene: 2a 4±Í(-4)`-4 (2)(-1) 4± ± -%24 4±2-,16 2(2) 4 4 4

22 238 Álgebra básica x2-4 _ Reordenando se obtiene : x, = y x2 = x2-36x+31 =0 En la ecuación propuesta : a= 9, b = -36 y e= 31 Sustituyendo los valores en la fórmula x = -h± - b 2-4ac se obtiene: 2a 36± (-36)2-4(9)(31)-36± _36± ±6 5 2(9) = _ 36-6-/5 6- / 18 3 x : x, = 6- /5 y x2 = 6+ Reordenando se obtiene 3 3 Ejercicios de 5.2 Resuelva los siguientes ejercicios: x1-7x- 4=0 Solución: r=± x2 + 5x= 10 Solución: x=? 3. 2x2 + 7x+ 6 = 0 Solución: x, = -2 3 x 2 = x2-5 =7 Solución: x=? x2 + 3x= 0 Solución: x,=0 3

23 S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe, en forma general, como: a11x1+a12x2=b1 a,l xl + a22x2 = b2 Los elementos a11, a12, a21 y a22 son coeficientes de las variables x1 y x2, mientras que b1 y b2 representan los términos independientes (constantes numéricas reales). La solución de este sistema de ecuaciones con dos incógnitas es una pareja de números: x1 = a y x2 = b, que al sustituirlos en ambas ecuaciones las convierte en identidades. En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden presentarse tres casos: 1. El sistema tiene solución única. 2. El sistema tiene un número infinito de soluciones. 3. El sistema no tiene solución. Al sistema de ecuaciones lineales que tenga al menos una solución se le denomina compatible o consistente determinado; al que tiene un número infinito de soluciones se le conoce como incompatible o consistente indeterminado; y si no tiene solución, se dice que es inconsistente. Ejemplos de x-2y+-8 Q -2x + 4y = 14 El sistema tiene una solución única, la pareja (-1, 3); por lo tanto, el sistema es consistente determinado, como se muestra en la tabla 5.6 y gráfica 5.5:

24 240 Álgebra básica TABLA 5.6 VALORES DEL SISTEMA 1 x y= 4+ x y= (14/4) + (112)x GRÁFICA 5.5 VALORES DEL SISTEMA 1 - y-4+x - y=(14/4)+(1/2)x Y a 7 (-1, 3) e -g Observe que las ecuaciones 2x- 2y= -8 y -2x+ 4y= 14 pueden ser representadas como: y = 4 + x, y = (14/4) + (1/2)x, respectivamente. 2. x+y=2 -^ y=2-x 2x+2y=4 -a y=2-x El sistema tiene una infinidad de soluciones. El sistema es consistente indeterminado y su representación gráfica es una sola línea recta. Cualquier punto en la línea es solución del sistema.

25 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades x+y= 1 q, x+y=3 No hay ningún punto común (intersección) en el sistema de ecuaciones; por lo tanto, no tiene solución : el sistema es inconsistente. Su gráfica son dos rectas paralelas Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sólo se pueden resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas si éstas son equivalentes ; es decir, si y sólo si tienen el mismo conjunto solución. Ejemplos de x + 3y = 9 (1)l 4x+5y=1 (2) Multiplicando la primera ecuación por 4, tenemos el sistema II, equivalente al sistema I. 4x+12y=36 4x+5y =+1 (1)l (2)j II Multiplicando la segunda ecuación del sistema II por -1 y sumándosela a la primera ecuación, tenemos el sistema III, equivalente al 1 y al II. 4x+ l2y= 36-4x- 5y =-l 7y =35 Entonces: 7y = 35 (1) III 4x+5y=1 (2)

26 242 Álgebra básica El valor de y para la primera ecuación del sistema III es: y=35/7=5 Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación del sistema III: 4x+ 5y= 1 4x+ 5(5) = 1 4x=1-25 x= -6 El sistema tiene una solución única, la pareja (-6, 5); por lo tanto, el sistema es consistente determinado. 2. x+y=2 (1) 2x+2y=4 (2) Multiplicando la primera ecuación por 2, obtenemos el sistema II, equivalente al sistema I. 2x+2y=41 2x+2y =41 II Multiplicando la primera ecuación por -1 y sumándosela a la segunda ecuación, tenemos el sistema III. -2x-2y=-4 2x+2y=4 0=0 III El sistema puede ser representado por una sola ecuación y hay infinidad de soluciones que satisfacen la ecuación; el sistema es consistente e indeterminado x+6y=2 (1)1 6x-9y=4 (2)J I ^ Multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 4, se obtiene el sistema II, equivalente al sistema I.

27 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades x + 36y =12 (1)l II 24x - 36y =16 (2) Sumando la primera ecuación a la segunda del sistema II se tiene: -24x + 36y = 12 24x - 36y = = 4 0=4 (1)1 24x - 36y =16 (2) III La primera ecuación del sistema III es falsa, entonces el sistema no tiene solución y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema 1 y II porque son rectas paralelas que no llegan a intersectarse. Ejercicios de Resuelva los siguientes ejercicios: 1. a) 2x+ 2y= 344 b) 2x- 2y= 40 Solución x= 96 y= a) 2x+5v= 10 b) 6x-7.5y=9 Solución x=? y=? 3. a) x+y= 81 Solución x= a) 2ly- 2x= 14 b) 13x+ 8y= 32 Solución y=36 x=? Y=? 5. a) x+3-2 y+3 3 b) x-2-1 y-2=2 Solución x=7 y= 12

28 244 Álgebra básica 5.4. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADOS Para resolver un sistema simultáneo, formado por ecuaciones de primer y segundo grados, se procede de la siguiente forma: 1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema. 2. Se igualan las ecuaciones. 3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática. 4. Se resuelve la ecuación cuadrática por cualquier método: descomposición por factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera. 5. Aunque los sistemas simultáneos de ecuaciones de primer y segundo grados pueden tener ninguna, una o dos soluciones, en ciencias sociales, por lo general, sólo se utiliza la que se ubica en el primer cuadrante (xpositiva,y positiva). Por esta razón, para los siguientes ejercicios sólo se calcula la solución ubicada en ese cuadrante. Ejemplos de Resolver el sistema: z y= x y 4 Se igualan las ecuaciones : 20y= x+ x2 = 150-5x Se reducen : x2 + 9x- 110 = 0-9 ± ^l Se desarrolla la fórmula general: x = 2 Q x= -9 ± x=-- 2 Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones dadas para obtener el valor de y. Las raíces son: x= 6.9 1, y= 5.77

29 S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 245 GRÁFICA 5.6. GRÁFICA DEL SISTEMA 1 X En este sistema simultáneo combinado de primer y segundo grados, se tienen dos puntos en los que se intersectan ambas funciones, aquí sólo se anotan los valores de x y y que se encuentran en el cuadrante positivo (x = 6.9 1, y = 5.77). 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: y= 16-x2 y=4+x q y= 16-x2=4+x x2+x- 12=0 (x+ 4)(x- 3) = 0 x=3 y=7

30 246 Álgebra básica GRÁFICA 5.7. GRÁFICA DEL SISTEMA 2 X 3. Resolver el sistema: y= 9x+ 12 y=39-3x2 D 9x+12=39-3x2 3x2 +9x-27=0 x2+3x-9=0-3± 9+36 x= 2-3± - x= _ ±6.708 x= _ - 2 x= 1.85 y= 28.65

31 5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 247 GRÁFICA 5.8. GRÁFICA DEL SISTEMA 3 4. Resolver el sistema: (x+6)(y+ l2)= 144 y=2+2 2+x= x+6 4x+ 24 +x26x= x-144 xz + 34x- 120 = 0-34 ± -,, x=- 2 x= 3.22 y= ± 1636 x = 2-34 ± x= 2

32 248 Álgebra básica TABLA 5.7 VALORES DEL SISTEMA 4 x y=(144/(x+6))- 12 y=2+x/ GRÁFICA 5.9 GRÁFICA DEL SISTEMA 4 Y (3.22, 3.61) 5-5L S 9 x 5. Resolver el sistema: (x+4)(y+2)= 24 y= =1+x x+4 2

33 5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades x- 16 = 2x+8+x2+4x x2+lox-24=0 (x+ l2)(x- 2) = 0 x= 2 y=2 Ejercicios de 5.4 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: x 1. y= 4 y(x+ 1) = 5 2. y(x+ 3) = 18 y-3x+6=0 3. (x+ 12)(y+ 6) = 169 x-y+6=0 Solución: x=4 _y= 1 Solución: x=3 y=3 Solución: x = 1 y=7 4. (x+ 5)(y+ 6) = xy= 15 y=x+2 6. x(y+6)=24 y-2x+4=0 7. (x+ l0)(y+ 5) = 225 x-y+5=0 y=5 Solución: x=3 y=2 Solución: x=5 y= SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un sistema simultáneo formado por ecuaciones de segundo grado se resuelve mediante el siguiente procedimiento:

34 250 Álgebra básica 1. Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema. 2. Se igualan las ecuaciones. 3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática. 4. La ecuación cuadrática se resuelve por cualquier método: descomposición de factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera. Ejemplos de 55 Resolver el sistema: 2 6+x =36-x2 4 x=-,,3 6-Y P 24+x2= 144-4x2 5x2 = 120 x2 = 24 x= 2-J6 El punto de intersección es: x= 4.90, y = 12 GRÁFICA GRÁFICA DEL SISTEMA 1 Y 40

35 5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades y=10-3x2 y=4+x2+2x n 10-3x2=4+x2+2x 4x2+2x-6=0 2x2+x-3 =0 (2x+ 3)(x- 1) = 0 x= 1 y=7 GRÁFICA GRÁFICA DEL SISTEMA 2 20 Y x y=x2+5x+1 y+2x2-9=0 x2 + 5x+ 1 = -2x x2+5x-8=0 (3x+ 8)(x- 1) = 0 x= 1 y=7

36 252 Álgebra básica GRÁFICA GRÁFICA DEL SISTEMA 3 2y2-2y-6= y2-y+18 3y2-y-24=0 (3y+ 8 )(y- 3) = 0 y=3 x=6 5. x=3y2-3y-2 x=1o-y2-y 3y2-3y-2=10 -y2-y 4y2-2y-12 =0 2y2-y-6=0 (2y+3)(y-2)=0 y=2 x=4

37 5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 253 Ejercicios de 5.5 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 1. y= 48-3x2 Solución : x y=x2+4x+16 y x= loy+ 5y2 Solución: x= 40 x=64-8y-2y2 y=2 3. y = (x + 2) 2 Solución: x= 5/2 y=39-3x2 y=81/4 4. x= loy+4y2 Solución : y-2.77 x=96-8y-2y2 x x= 84 - y2 Solución: y=4 x=y+4y2 x= DESIGUALDADES Concepto Desigualdad.- relación matemática donde se tiene en cuenta el orden de los números Si a y b son números reales, se dice que a es mayor que b, y se denota a > b si y sólo si a- b es positivo. Esto es equivalente a decir que a> b si y sólo si existe un número positivo x tal que a = b + x. Si a no es mayor que b, entonces: a debe ser menor que b(a < b) o a es igual a b. Si se desea indicar que a es mayor o igual a b se denota a>- b; o que a es menor o iguala b, a< b. Símbolos de desigualdad < menor que a < b > mayor que a > b

38 254 íigebaa básica <_ menor o igual >_ mayor o igual a <_ b a > b Propiedades de las desigualdades Las demostraciones de estas propiedades se encuentran en el apéndice 5.6. Si a> by b> c, entonces a> c Ejemplos de Si el costo marginal (cm) de producir 100 unidades de un producto (100 cm) es mayor que el costo marginal de 90 unidades (90 cm) y éste es mayor que el costo marginal de 80 unidades (80 cm), entonces por el teorema anterior 100 cm >80cm. Si a> b entonces a+ c> b+ c, ce <X 2. Si 100 cm> 90 cm y se les impone un impuesto de $5.00 en cada unidad producida, entonces se tiene: 100 cm + 5 > 90 cm+5 Si a> b y e es positivo, entonces ac> be El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de la desigualdad por un número positivo. Si a > b y c es un número negativo, entonces ac < be El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica en ambos lados por el mismo número negativo.

39 5.. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades Desigualdades con una incógnita La solución de una desigualdad con una incógnita es el intervalo donde la incógnita toma valores que satisfacen la desigualdad. Para resolver una desigualdad con una incógnita se siguen los siguientes pasos: Con base en la propiedades de las desigualdades, se despeja la incógnita. Se determina el intervalo de solución, es decir, los valores que puede tomar la incógnita para los cuales se satisface la desigualdad. Se grafica el intervalo en la recta de los números reales (opcional). Ejemplos de x+6>0 Se despeja el término que contiene a la incógnita: -2x> -6 Se multiplica por (-1) ambos lados, cambiando el sentido de la desigualdad: x<3 La solución es: La desigualdad se satisface para x < 3; el intervalo solución es: (-oo, 3), o bien, -oo<x<3 Gráficamente: GRÁFICA Intervalo solución -oo, 3 El límite inferior de la desigualdad es -oo y el límite superior de la desigualdad es 3 (sólo se acostumbra identificar el límite superior).

40 256 Álgebra básica 2. 3x-1 3x+2 2x+1 2x+5 Procedimiento algebraico 1. Determinar los valores de x que hacen no definidas a las fracciones: Para 3x si -1 la x fracción = -1 es no definida. 2x+1 2 3x+2 Para la fracción si x = -5 es no definida. 2x+5 2 Por lo tanto, para x = - y x = - 5 no es posible determinar si la desigualdad se cumple o no Determinar los valores para los cuales las fracciones se hacen cero, es decir, cuando el numerador se anula, pues sirven de referentes para encontrar el conjunto solución de la desigualdad. Para 3x--1 si x = 1 la fracción es cero. 2x+1 3 Para 3x + 2 si x=- = -22 la fracción es cero. 2x+5 3 Gráficamente: GRÁFICA 5.14 Intervalo donde se cumple la desigualdad Intervalo donde se cumple la desigualdad -5/ /3-1/2 0 1/3 1 7/6 mi No definida No definida Para determinar los intervalos donde se cumple o no la desigualdad, es necesario hacerlo segmento a segmento.

41 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 257 TABLA 5.8 3x-1 3x+2 Intervalo -- > -- 2x+1 2x+5 3x+2 =7 x<-- Seax=3 3x-1=2 2 2x+1 2x+5 x = -5 3x+2 2 2x+5 no está definida 2^- 7 No se cumple x-1 3x+2 --<x<--- Seax= =9 --- =0 9>3 Sí se cumple x+1 2x+5 2 3x -1 3x <x<- 1 Six= =126.5 = >0.118 Sí se cumple 3 2 2x+1 2x+5 x x+2 2 2x+5 no está definida 1 1 3x-1 3x+2 --<x<- Six=0 ---=- 1 - _ No se cumple 2 3 2x+1 2x x-1 x = - = 0 3x No se cumple 3 2x+1 2x Como ya no hay valores de x donde se llegue a una indefinición o las x > 3 fracciones tengan valor de cero, el procedimiento es el siguiente: 3x-l > 3x+2 7 ==> (3x - 1)(2x + 5) > (3x + 2)(2x + 1) = 6x > 7 => x> 2x+1 2x <x< 6 No se cumple 7 < x<- Sí se cumple En conclusión: Si x<-5 2 No se cumple la desigualdad 3x-1 3x+2 2x+1 2x+5 Si -5<x< Sí se cumple la desigualdad Si -1 < x < 6 No se cumple la desigualdad.7 i -<x<c 6 Sí se cumple la desigualdad

42 258 Álgebra básica Ejercicios de Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades, representando gráficamente la solución: 1. x-2<2x-4 x>3 xe (3,co) 3<x<oo 2. 3x-12>2x-2 x>10 xe ( 10,oo) l0<x<c 2x+1 3x > -<x< 3x-1 2x (x-l)2-5>(x-3)2 x>14 XE 13 13<x< 14' ) Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita Los sistemas de desigualdades con una variable contienen dos o más desigualdades; el problema consiste en hallar el intervalo de valores para la incógnita, que satisfaga el conjunto de desigualdades simultáneamente. Para resolver un sistema de desigualdades se procede a: Resolver cada una de las desigualdades por separado. Obtener la intersección de los intervalos resultantes. Graficar en la recta de los números reales (opcional). Ejemplos de Hallar los valores de x que satisfacen el sistema de desigualdades con una incógnita 5-x>-6 2x+9>3x Solución de la primera desigualdad: 5-x>-6 -x > - 11 x< 11 x E

43 5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 259 Solución de la segunda desigualdad: 2x+9>3x -x>-9 x<9 x e (-oo, 9) Los valores de x que satisfacen simultáneamente son los que están en el intervalo (-0, 9), es decir, x < Hallar el intervalo de valores de x que satisface el siguiente sistema de desigualdades: Se resuelve la primer desigualdad: x>0, -2x>-83=x<3 4 ^- 3l XE ^, - 4) Se resuelve la segunda desigualdad: 1+3x>0=> 3x>-1 ^x> XE ' Se resuelve la tercera desigualdad: 5x+2- >0=5x>-2- =* x> xe(-15,.^

44 260 Álgebra básica La solución es la intersección de los tres intervalos: x E ) Ejercicios de Encontrar el conjunto solución que satisface las siguientes dos desigualdades: r4x-5>7x-16 1.!_7-8x<16-15x Solución : x E ^--l 97 J Desigualdades lineales con dos incógnitas Las soluciones de las desigualdades con dos incógnitas generan un plano. El procedimiento para encontrar el plano donde se encuentran los puntos que satisfacen la solución es el siguiente: Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra. Aquí es importante graficar para visualizar mejor la solución; para ello, primere se grafica la ecuación de la recta que limita al plano. Ejemplos de Encontrar la solución de la siguiente desigualdad: 2x + 4y < 12 esta desigualdad se satisface si y< 3-1/2 x

45 S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 261 Gráficamente: GRÁFICA 5.15 Y (0 2x+4y= 12 (Límite) Plano solución ( 0) 2. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad lineal: x-y>1 Esta desigualdad se satisface para y < x- 1 Se graficax-y= 1 Como el (0, 0) no satisface la desigualdad, no está contenida en el plano solución, entonces el plano es el que se muestra: Y GRÁFICA 5.16

46 262 Álgebra básica Ejercicios de 56 4 Encuentra el plano solución para las siguientes desigualdades lineales: 1. 4x + 2y < x + 4y < x-6y<9 4. x+y> 1 Las desigualdades lineales con dos incógnitas tienen una aplicación importante en problemas de programación lineal de dos variables. Por ejemplo, una fábrica de ropa tiene 100 metros de lana, con lo que quiere fabricar faldas y sacos, y sabe que cada saco requiere 2.5 metros y cada falda 1.2 metros de lana. Expresar esta situación como una desigualdad. Sean x= número de sacos y= número de faldas Entonces 2.5x+ 1.2,Y5 100 Observa que: Aquí marcamos <_ porque es posible acabarse los 100 metros de tela. Este problema es puramente matemático, pues resultados negativos para la variable x (número de sacos) y la variable y (número de faldas) no tienen sentido práctico. Considera que 2.5 metros/sacos (número de sacos) metros/faldas (número de faldas) = metros. Y la solución será:

47 5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 263 GRÁFICA 5.17 aquí la región de puntos factibles contiene a la recta 2.5x+ 1.2y= 100 La solución es el plano y < x Ejercicios 1. Una máquina verificadora de emisión de gases para autos trabaja 10 horas al día. Por cada automóvil se tarda 20 minutos y por cada camión 45 minutos. Expresa esta situación con una desigualdad. 2. Una empacadora hace dos tipos de paquetes (grandes y chicos) y los guarda en un almacén con capacidad de l Op. Los paquetes grandes ocupan 2p y los chicos 1.2p. Expresa esta situación con una desigualdad. S. 6. S. Sistemas de desigualdades lineales con dos variables En los sistemas de desigualdades se busca el conjunto de puntos (x, y) en el plano que satisfagan dos o más desigualdades lineales.

48 264 Álgebra básica El procedimiento algebraico de sblución es el siguiente: Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra para dada desigualdad. El procedimiento gráfico consiste en granear la ecuación límite de cada desigualdad y visualizar el plano intersección. Ejemplos de 5. ó x+2y<6 4x+y<6 De 2x +2y<6=> y<3-x^xe (-oo,co),ye De4x+ y<6 y<6-4x=xe (-co,oo),ye (-co,co) No todos los sistemas de desigualdades tienen solución. 2. x+y> 1 x+y<-1 Dex+y> 1 = y> 1 -x Dex+y<-1 = y<-l -x Lo cual es imposible, pues si suponemos que x = 0, los valores para y son mayor que 1 y menor que -1.

49 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 265 Gráficamente: GRÁFICA 5.18 Y Ejercicios de S Encuentra gráficamente el plano de soluciones ^2x + 7y < 21 [7x+2y < 49 x -2y>2-2x+3y>2 x+y<10 x>5

50 266 Álgebra básica x+2y<4 [2x + 4y > 4 x+y<3 x-2y>4 x>0 y > APLICACIONES En esta sección se presentan algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones, en el campo de las ciencias económicas El ingreso nacional El ingreso nacional es un modelo que permite cuantificar la producción global de un país durante un periodo de tiempo, el cual generalmente es un año. En éste se íntegra y registra la producción del sector privado, la del sector público y la mixta, así como el intercambio comercial con el exterior. También se asienta el ingreso que perciben quienes proporcionan los factores de la producción (capital, trabajo) y el destino de ese ingreso (consumo, ahorro o inversión). Del ingreso nacional se deduce una serie de categorías macroeconómicas básicas, para entender la dinámica de la economía de un país. Estas categorías son: Producto Nacional Bruto (PNB) Producto Interno Bruto (PIB) Producto Nacional Neto (PNN) Ingreso Nacional (IN) Ingreso Privado (I Priv.) Ingreso Personal (I Pe) Ingreso Personal Disponible (I Pe D) John Maynard Keynes hace un análisis macroeconómico del sistema capitalista, en el que plantea un posible equilibrio económico general, que ocurre cuando el ingreso nacional es igual al consumo nacional más el ahorro nacional.

51 5 Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 267 Es decir que: Ingreso nacional = Consumo nacional + Ahorro nacional Y= C+,4 El ahorro nacional (.4) es igual a la inversión nacional (1), por lo que: Y= C+1 Se observa que el equilibrio económico existe cuando: El ingreso es igual a la producción, es decir, a la oferta, representada por Y, que a su vez es igual a la demanda, o sea, consumo más ahorro. Los ingresos (Y) son iguales a los "gastos " (C+ I). Si el ingreso nacional se incrementa, aumenta el consumo y la inversión, de manera que: 4Y= AC+ DI Para Keynes, uno de los factores básicos de la dinámica económica es la inversión, por lo que es necesario incrementarla e impulsarla, ya que lleva consigo un efecto multiplicador en la economía. El multiplicador de la inversión expuesto por Keynes es igual al recíproco de la propensión a invertir. El multiplicador provoca que los efectos de una inversión inicial sean mayores en un múltiplo de ella; esto se debe a que una inversión inicial incrementa la producción, ésta a su vez el empleo y, por lo tanto, la demanda, lo que provoca el incremento de la producción y nuevamente se incrementa el empleo y con él, la demanda. Este ciclo (inversión, producción, empleo y demanda) se activa a través del multiplicador, teniendo como límite el que éste señala. La fórmula del multiplicador es: AY 1 K Al I-OC La inversión depende de lo que se gaste en consumo (propensión al consumo); esto también determina al multiplicador, por ejemplo:

52 268 Álgebra básica Supongamos que el ingreso (Y) es igual a 100, que el consumo (C) es igual a 80 y que la inversión (1) es igual a 20 Si Y= C+ I, entonces 100 = En este caso, la propensión al consumo es de 80%, lo que quiere decir que de cada $ de ingreso se destinan $80.00 (80%) al consumo y $20.00 (20%) a la inversión. Si el multiplicador es el inverso de la propensión a la inversión, que es de 20%, entonces K= 5. Manteniendo la misma propensión al consumo y a la inversión, y con el multiplicador de 5, el ingreso se incrementa a 500, el consumo a 400 y la inversión a 100, por lo que el nuevo equilibrio general queda como: Y(500) = C(400) + 1(100) Un modelo keynesiano simple del ingreso nacional puede ser resuelto mediante sistemas de ecuaciones simultáneas. Con ello se obtienen los valores de equilibrio para el ingreso (Y) y el consumo (C). Supongamos el modelo de dos ecuaciones simultáneas. Donde: Y=C+ ó+go C= a+ by Go = Gasto del gobierno (variable exógena). Io = Inversión determinada exógenamente. a = Consumo autónomo (donde a > o). b = Propensión marginal al consumo (suponemos o < b < 1). Definidos los parámetros y las variables exógenas (lo, Go, a y b), así como las restricciones para a y b, el sistema de ecuaciones puede ser planteado de la siguiente forma: Y-C=4 +Go -by+ C= a De esta manera, las variables endógenas Yy Caparecen únicamente en el primer miembro de las igualdades, en tanto que las variables exógenas y los parámetros independientes aparecen sólo en el segundo miembro.

53 S. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 269 Enseguida mediante despejes sucesivos se calculan los valores de equilibrio para el ingreso y el consumo. Ejemplo de Considerando la siguiente información, se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (Y) y el consumo (C). Gasto del gobierno (G0 = 100) Inversión determinada exógenamente (10 = 400) Consumo autónomo (a = 5) Propensión marginal al consumo (b = 0.60) Solución: Como primer paso se establece un modelo de dos ecuaciones simultáneas. Y=C+Io+Go C=a+bY Enseguida se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (Y) y el consumo (C). Despejando se tiene que: Y- C= lo + Go -by+ C= a Sustituyendo los valores en el sistema se escribe: Ecuación 1 Y- C= Ecuación Y+ C= 5 Despejando se obtiene: Ecuación 1 modificada Y- C= C= Y C,=-500+Y Ecuación 2 modificada C2= Y

54 270 Álgebra básica Igualando C y C El ingreso de equilibrio es Y= Y-0.67= (1-0.6)=505 Y(0.4) = 505 Y= 505/0.4 = Sustituyendo en la ecuación original 2, se obtiene el consumo de equilibrio: C= (1262.5) + C= C= 5 C= C= Comprobación: Sustituyendo en la ecuación original 1 se obtiene la igualdad de la ecuación: Y- C= = = 500 Sustituyendo en la ecuación original 2, también se obtiene la igualdad de la ecuación: (1262.5) = = 5 5=5

55 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 271 GRÁFICA Y En la gráfica se muestra el punto de equilibrio para el ingreso y el consumo Modelo de mercado con dos bienes Una de las aplicaciones más comunes de los sistemas de ecuaciones en economía se desarrolla en el análisis de mercados. En esta aplicación se expone un modelo de mercado con dos bienes. Es necesario mencionar que se ejemplifica con un modelo en equilibrio, donde los bienes tienen sustitutos cercanos, de manera que la cantidad (Q.) y el precio (P) de un bien afectan la cantidad y el precio del otro bien; no hay excedente, por lo cual la oferta es igual a la demanda. Bajo estas condiciones el equilibrio se da cuando Qd.= Qs.. El equilibrio en el modelo de mercado con n mercancías comprenderá n ecuaciones, una para cada mercancía, de modo que E.=Qd.=Qs.= O(i=1,2,...,n)

56 272 Álgebra básica Donde: E.= Equilibrio del mercado. Qd.= Cantidad demandada de d.. Qs.= Cantidad ofertada de d.. Si hay una solución, tendremos un conjunto de precios P,. y sus. correspondientes cantidades Q,, de manera que se satisfarán en forma simultánea todas las n ecuaciones de las condiciones de equilibrio.') Al plantear el modelo simplificamos las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías haciéndolas lineales. Con parámetros, el modelo puede escribirse como: 1. Qd.-Qs.=O 2. Qd. = ao + a,p, + a2p2 3. Qs. = bo + b, P, + b2p2 4. Qd -Qs_=0 5. Qd= 00+0,P, +02P2 6. Qs_ = 80+ B,P, + 82P2 Donde: Q es variable endógena. a, b, 0 y 8 son coeficientes de demanda y oferta. I, z corresponden a bienes. Un primer paso en la solución de este modelo consiste en la eliminación de variables. Sustituyendo las ecuaciones segunda y tercera en la primera (del primer bien) y la quinta y sexta en la cuarta (del segundo bien), el modelo se simplifica a dos ecuaciones de dos variables. (a0 - bo)+(a, -b,)p, +(a2 -b2)p2 =0 (00-80) +(01-81)P +(02-62)P2 =0 Aquí se presenta la versión de dos mercancías, luego que se han sustituido las funciones de oferta y demanda en las dos ecuaciones de la condición de equilibrio. Este sistema de sólo dos ecuaciones contiene no menos de 12 parámetros, lo cual (') Pi, Q. se refieren a precio y cantidad de equilibrio para el bien ri.

57 5.. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 273 complica la manipulación algebraica; por ello definimos dos símbolos simplificadores. e. = a.- b. á.= 0, - S. Donde: í= 1, 2 De esta manera, después de despejar eo y ao al lado derecho de la igualdad, se tiene: e,p, + e2p2 = -e0 a,pl + a2p1= -a0 Planteado así, el sistema de ecuaciones para obtener los precios de equilibrio puede resolverse mediante sistemas de ecuaciones simultáneas. Ejemplos de Suponga que en el mercado de la fresa la demanda está determinada por la siguiente ecuación: Qd= p y la oferta tiene la siguiente: Q0= p Obtener el precio y las cantidades de equilibrio en ese mercado. Solución: En equilibrio, las cantidades ofertadas y demandadas se igualan, por lo que: Qd = Q p = p -100p- 125p= p = p = -1125/-225 p=5

58 274 Álgebra básica El precio de equilibrio se sustituye en cualesquiera de las dos ecuaciones para encontrar la cantidad de equilibrio; utilizando la ecuación de demanda se tiene: Qd = p Qd= (5) Qd= Qd= 500 Por lo tanto, en el mercado de la fresa, el precio de equilibrio es de $5.00, con una cantidad de 500 unidades (pueden ser toneladas, kilogramos, etcétera). Un precio por arriba del precio de equilibrio provocará un exceso de oferta. El precio por debajo llevará a una escasez del producto. Qd, Qo GRÁFICA J 2. Supongamos que la ecuación de demanda de cierto artículo para un individuo es: qd=10-3pz Para un productor individual, su función de oferta es: qo=4+2p+pz

59 5 Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 275 Supongamos que hay 1000 individuos idénticos con la misma función de demanda y 100 productores con la misma función de oferta. Determinar la cantidad y precio de equilibrio de mercado. Solución: En equilibrio, la oferta es igual a la demanda de mercado. Se requiere tener la función de demanda y de oferta de mercado. Puesto que se tienen 1000 individuos con la misma función de demanda, la demanda de mercado está determinada por: Qd= 1000gd Qd= 1000(10-3p2) Qd= p2 La oferta de mercado se obtiene multiplicando la función por los 100 productores: 19 = 100 q, QQ = 100(4 + 2p + p2) Q, = p + 100p2 Para encontrar precio y cantidad de equilibrio se requiere igualar las ecuaciones: p2 = p+ 100p2-3000p2-100p2 = p -3100p2 = p -3 l OOp2-200p = 0-31p2-2p+96=0 Aplicando la fórmula general: _ -b ± -Ib2-4ac Qd ' Qa 2a L9,1 Qo = -(-2) ± ^(-2)2-4(-31)(96) 2(-31) +2 ± -,l4-4(-2976) Qd,Q0= -62

60 276 llgebra básica Qd' +2± J _ +2 ± J11908 Q`'' Q" -62 Qd1 Qo +2± _ Q`t Qd= Q, = Sustituyendo en la ecuación de oferta se encuentra la cantidad que se oferta: QQ = p + l00p2 Qo = ( ) + 100( )2 QQ= 1044 GRÁFICA 5.21

61 5. Ecuaciones, sistemas de ecuacionesy desigualdades 277 Como puede observarse, el equilibrio del mercado en la parte negativa no tiene sentido; la siguiente gráfica muestra sólo el equilibrio positivo. Qd, Qo GRÁFICA De esta forma, el precio al que se equilibra el mercado es $1.727; la cantidad demandada y ofrecida es de 1044 unidades Análisis de optimización En microeconomía frecuentemente nos encontramos con problemas de optimización, que se refieren a determinar la producción óptima de artículos, con recursos escasos, en el sentido de maximizar las ganancias o bien minimizar los costos de producción. Si el problema tiene sólo dos variables se representa mediante el siguiente modelo, denominado modelo de programación lineal. (2) max/min z = c,x, + c2x2 (<1 a x, + al2x2 b, (2) La programación lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa de problemas de optimización, con relevante utilidad en las carreras de economía y administración.

62 278 Álgebra básica ax+a x2 b2 >J a,,,,xl + am2x2 <1 bm xl_0 x2>_0 Un método de solución para este modelo de sólo dos variables consiste en encontrar el plano de soluciones. Si no existe, se dirá que el problema no tiene soluciones. Si no está acotado, se dirá que el problema no es acotado y tampoco tiene solución. Si tiene un plano de soluciones acotado, entonces: - Se procede a determinar los vértices (intersección de las rectas de los planos generados por cada restricción). - Se evalúa la función objetivo z en cada vértice. - Se elige la mejor (es decir, la máxima o la mínima según sea el sentido de la función objetivo). Ejemplo de Consideremos la fábrica de ropa de punto Crece, que produce camisetas y trusas para niños. Cada día cuenta con 1000 metros de tela de algodón, 500 metros de resorte y 40 horas costura. Un ciento de camisetas requiere 50 metros de algodón, no necesita resorte, se ocupa una hora para su producción y genera una ganancia de $ Un ciento de trusas requiere 25 metros de algodón, 25 metros de resorte, 1.6 horas para su producción y genera $ de ganancia. Se desea saber cuántos cientos de cada producto se deben fabricar con los recursos, de tal manera que se maximice la ganancia. Una forma conveniente de resolver este tipo de problemas consiste en organizar los datos: