Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES

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1 Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y que incluye al menos un símbolo de los siguientes: > : Mayor < : Menor : Mayor o igual : Menor o igual Ejemplo 1: Los siguientes expresiones son desigualdades y se leen como se detalla en el texto adjunto: 6 > 4 : 6 es mayor que 4 a > b : a es mayor que b x < - : x menor que - (la variable x toma valores menores que -, sin incluir el valor límite de - ). < x < 7 : menor que x menor que 7 (la variable x toma valores comprendidos entre y 7, sin incluir los valores límites). y 4-1 y < 3 : y mayor o igual a 4 (la variable y toma valores mayores a 4, incluido ese valor límite). : -1 menor o igual a y menor que 3 (la variable y toma valores entre -1 y 3, incluido el límite inferior -1 y excluido el límite superior 3 ). z 9 : z mayor o igual a 9 (la variable z toma valores tales que su cuadrado sea mayor o igual a 9 ). b. Inecuación: Se denomina inecuación a toda desigualdad que incluye al menos una variable en su descripción. Ejemplo : Las siguientes expresiones, tomadas del ejemplo anterior, a más de desigualdades son inecuaciones: x < - : x menor que -. 73

2 < x < 7 : menor que x menor que 7. y 4-1 y < 3 : y mayor o igual que 4. : -1 menor o igual a y menor que 3. z 9 : z mayor o igual a 9. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Ejemplo 3: Las siguientes expresiones son inecuaciones con más de una variable: x + y < 3 : x+y menor que 3. y - x : y-z+5 mayor o igual que 0. x + y - z 4 : x+y-z menor o igual que 4. x + y 5 : x +y menor o igual a 5. NOTA: Las 3 primeras inecuaciones son lineales, mientras que la cuarta inecuación es no lineal. 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DESIGUALDADES E INECUACIONES: Para representar gráficamente las desigualdades o inecuaciones se puede utilizar como referente la Recta Real o los Diagramas de Coordenadas Cartesianas de y 3 dimensiones, dependiendo del número de variables involucradas. Problema Resuelto 1: Representar gráficamente las desigualdades e inecuaciones del ejemplo 1: 6 > 4 a > b x < - < x < y y < z 9 Solución: 3 6 > 4 Se representan los miembros de la desigualdad sobre la Recta Real. 74

3 a > b FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Al colocar el número 6 a la derecha del número 4 se especifica que 6 es mayor que 4. Tomando como referencia el ejemplo anterior, la representación gráfica sería: Al colocar la constante a a la derecha de la constante b se especifica que a es mayor que b. NOTA 1: Las constantes numéricas se representan mediante puntos en la Recta Real, y las relaciones matemáticas son descritas por la posición que ocupan unas con relación a las otras. x < - Dentro del conjunto de los números reales, existen infinitos valores de x que cumplen con la inecuación. El rango de valores que satisface la condición anterior aparece con línea más gruesa, y va desde - hasta -, excluido el valor -. La circunferencia hueca significa que el rango de valores llega hasta el valor -, pero no lo incluye. NOTA : Los rangos consecutivos de números reales se representan mediante líneas continuas sobre la Recta Real. NOTA 3: Para señalar un número dentro de un rango se suele utilizar una pequeña circunferencia; si el número mencionado forma parte del rango de valores descrito, la circunferencia aparece llena, y si el número se excluye del rango de valores, la circunferencia aparece vacía. < x < 7 y 4 La circunferencia llena, en la posición del número 4 indica que ese número está incluido en el rango de valores descrito por la inecuación. - 1 y < 3 75

4 z 9 Dado que los valores positivos de z iguales o superiores a 3 generan un valor de z igual o superior a 9, y por otro lado, debido a que el cuadrado de un número negativo es igual al cuadrado del mismo número pero positivo, se tiene que los valores de x iguales o menores a -3 también cumplen con la condición de la inecuación. z 9 z 3 y z 3 Problema Resuelto : Representar gráficamente las siguientes desigualdades del ejemplo 3, entre las que no se incluye la inecuación con 3 variables por requerir un gráfico en 3 dimensiones: x + y < 3 : x+y menor que 3. y - x : y-z+5 mayor o igual que 0. x + y 5 : x +y menor o igual a 5. Solución: x + y < 3 Debido a la presencia de variables en la desigualdad, se requiere un gráfico sobre un diagrama de coordenadas cartesianas de dimensiones. 76

5 La expresión de referencia, para poder identificar gráficamente los valores de las incógnitas que cumplen con la inecuación, se obtiene al reemplazar el símbolo < por el símbolo =, en la expresión previa: x + y = 3 Ecuación referencial La ecuación obtenida corresponde a una línea recta. La función que se describe con la expresión anterior tiene la siguiente representación gráfica: La recta divide a los puntos pertenecientes al diagrama de coordenadas cartesianas en tres sectores: el sector a la izquierda y hacia debajo de la recta; el sector hacia arriba y hacia la derecha; y los puntos pertenecientes a la recta dibujada. Los puntos del diagrama que cumplen con la inecuación son aquellos ubicados por debajo y hacia la izquierda de la línea dibujada, y no se incluye a los puntos de la recta pues la relación expresada en la inecuación es de <, y no de (no se incluye la igualdad, que generó la línea recta). 77

6 La zona rayada representa a la solución a la inecuación. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES NOTA 1: Para identificar los sectores que forman parte de la solución a la inecuación se toman las coordenadas de puntos claramente identificables en cada sector del diagrama (arriba de la recta y debajo de la recta) y se reemplaza esos valores en la inecuación original. Aquellos puntos que satisfacen la desigualdad representan a los sectores del diagrama que son solución de la inecuación, y los que no cumplen con la desigualdad representan a los sectores que no son solución de la inecuación. NOTA : Para denotar que la curva que sirve de límite no es parte de la solución a la inecuación, se suele dejar una separación entre la curva y la zona rayada que representa la solución, y cuando la curva si está incluida en la solución, el rayado alcanza a la curva (recta en el presente caso) y - x La Ecuación Referencial es: y - x + 5 = 0 Función Referencial El gráfico de la función anterior es: Los puntos del diagrama que cumplen con la inecuación son aquellos ubicados por debajo y hacia la derecha de la recta de referencia y, en el presente caso, se incluye a los puntos de la recta pues la relación expresada en la inecuación es de (incluye la igualdad). 78

7 x + y 5 La Ecuación Referencial es: x + y = 5 Función Referencial La función describe una circunferencia de radio 5. Los puntos interiores a la circunferencia, incluidos los de la propia circunferencia son la solución a la inecuación. 79

8 6.3 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1: Representar gráficamente las siguientes desigualdades: x - y < 4 x + y > 16 Problema Propuesto : Representar gráficamente la siguiente desigualdad y explicar, en función de las propiedades del gráfico por qué se producen los rangos de valores de x y y obtenidos: y x - 6x + 8 Problema Propuesto 3: Resolver, gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones: x + y 5 x - y < 3 Ayuda: Encontrar los sectores del diagrama en que se superponen los gráficos de las inecuaciones. 80

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