Teoría de automejora de desigualdades de tipo Poincaré

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1 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID Facultad de Cencas Departamento de Matemátcas Teoría de automejora de desgualdades de tpo Poncaré Memora presentada para optar al grado de Doctor en Cencas Matemátcas Presentada por: Ana Jménez del Toro Drgda por: D. José María Martell Berrocal Madrd, 22 de Julo de 2013

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3 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID Facultad de Cencas Departamento de Matemátcas Teoría de automejora de desgualdades de tpo Poncaré Memora presentada para optar al grado de Doctor en Cencas Matemátcas Presentada por: Ana Jménez del Toro Drgda por: D. José María Martell Berrocal Madrd, 22 de Julo de 2013

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5 A ms padres

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7 Prefaco En los campos del Análss armónco y las Ecuacones en Dervadas Parcales podemos encontrar varas estmacones con propedades de automejora de la ntegrabldad de las funcones nvolucradas. Algunas stuacones cláscas en las cuales las funcones automejoran su ntegrabldad son las sguentes. En R n con n 2, el teorema de nmersón de Sobolev afrma que W 1,p loc (Rn ) L p loc (Rn ), para todo 1 p < n y donde p = n p/(n p) es el índce de Sobolev conjugado de p (ver por ejemplo [SC4]). Más concretamente, comenzando con la desgualdad clásca de Poncaré-(1, 1) (1) f f dx C l() f dx, o con su versón en (1, p) ( 1/p (2) f f dx C l() f dx) p, se tene la sguente automejora en la ntegrabldad de la osclacón ( ) 1/p ( 1/p f f p dx C l() f dx) p. De esta forma s n 2 y 1 p < n se tene que s f L p loc (Rn ) con f L p loc (Rn ), entonces f L p loc (Rn ). En el caso p = n puede probarse que W 1,n loc (Rn ) está contendo en una clase de funcones exp L n loc (Rn ) con n = n/(n 1) a través de la desgualdad de Trudnger (obtenda en prmer lugar por Yudovch en [Yud]): ( 1/n (3) f f exp L n, f dx) n. Este tpo de automejoras exponencales aparecen tambén asocadas al espaco de funcones de osclacón meda acotada BMO: recordemos que f BMO s sup f f dx < R n 5

8 Teoría de automejora v La desgualdad de John-Nrenberg (ver [JoN]) establece que s f BMO (a pror f L 1 loc (Rn )) entonces, f es exponencalmente ntegrable en cada cubo : f f exp L, C. Esto claramente mplca que f L p loc (Rn ) para cualquer 1 p <. Lo msmo ocurre en el espaco L(α), α 0, que defnmos del sguente modo: f L(α) s verfca que 1 sup R n f f α <. Obsérvese que L(0) es el espaco BMO. Estas funcones tambén mejoran su ntegrabldad obtenéndose f f exp L, C α. En espacos más generales, como varedades de Remann, Saloff-Coste consderó propedades de automejora de desgualdades de Poncaré (ver [BCLS], [SC1], [SC2], [SC4]). Éstos son útles cuando estudamos grandes escalas del comportamento de solucones de ecuacones en dervadas parcales, tales como Laplace y ecuacones del calor, en estos contextos (ver, por ejemplo, [HaK1], [HaK2], [Jer], [SC2], [SC4], [VSCC]). Se puede ver que todas las stuacones anterores tenen en común que nvolucran a la osclacón de la funcón en algún cubo, vía f f. Bajo este punto de vsta y sn utlzar nnguna estructura dferencable, en [FPW], [MaP] y [OP] los autores generalzan la teoría clásca de automejora y extenden algunos resultados de [HaK2], [Fra], [GaN], [Lu], [Bus]. Se toma como punto de partda desgualdades de la forma: (4) f f dx a(, f), R n, donde a es un funconal que depende del cubo y en algunas ocasones de la funcón f. Bajo certas condcones de tpo geométrco sobre el funconal a, se establece que la desgualdad (4) esconde dferentes tpos de automejora. Así, en espacos de tpo homogéneo, en [FPW] consguen automejora de tpo L p, mentras que en [MaP] obtenen resultados de automejora exponencal y en partcular, la desgualdad de John- Nrenberg para funcones en BMO. [OP] contene resultados de automejora de tpo L p en el contexto euclídeo con medda no doblante. Por otro lado, se puede ver que la osclacón f f está íntmamente relaconada con el operador maxmal agudo de Fefferman-Sten M #. En [Ma1] se ntroduce un nuevo operador maxmal agudo asocado a una aproxmacón de la dentdad {S t } t>0 : M # S f(x) = sup f S t f dy, x

9 v Prefaco donde t es un parámetro que depende de la longtud del lado del cubo. Este operador permte defnr nuevos espacos de funcones, como son el espaco de osclacón meda acotada asocado a aproxmacones de la dentdad, BMO S de [DuY], y el espaco de Morrey-Campanato asocado a aproxmacones de la dentdad, L S (α) de [DDY] y [Tan]. Además, en [DuY] se muestra como comenzando con una estmacón de tpo (4) con a(, f) = C y la osclacón f f es reemplazada por f S t f, se consgue una propedad de automejora y el espaco BMO S y L S (α) satsfacen la desgualdad de John-Nrenberg correspondente (ver [DuY], [DDY] y [Tan]). Nosotros damos un paso más en esta teoría de automejora y estudamos la osclacón generalzada f S t f. En la prmera parte de la memora presentamos un método general que nos permte asegurar propedades de automejora de desgualdades de tpo Poncaré generalzadas asocadas a aproxmacones de la dentdad y semgrupos. Así, tomando como punto de partda una estmacón de la forma: (5) f S t f dx a(, f), R n, donde t = l() m y {S t } t>0 es una aproxmacón de la dentdad o un semgrupo cuyo núcleo decae sufcentemente rápdo (ver la Seccón 2.6), obtenemos, según las propedades que satsfaga el funconal a, dferentes estmacones de la osclacón f S t f. Las estmacones (5) serán denomnadas desgualdades de tpo Poncaré generalzadas, por su analogía con (1). Esta memora está dvdda en dos partes ndependentes. En la prmera se consderan resultados de automejora en el contexto euclídeo. El Capítulo 1 es la ntroduccón, donde explcamos en qué consste la prmera parte de la memora. En el Capítulo 2 se encuentran algunas defncones y resultados prevos. En el Capítulo 3 mostramos un método basado en el lema de recubrmento de Whtney y la técnca de las desgualdades de tpo buenas-λ (ntroducda por Burkholder y Gundy [BuG]) el cual nos permte obtener resultados de automejora en la escala de los espacos de Lebesgue de desgualdades de tpo Poncaré asocadas a aproxmacones de la dentdad o semgrupos, en el marco euclídeo R n y con la medda de Lebesgue dx (a veces reemplazamos la medda de Lebesgue por un peso de Muckenhoupt). Más concretamente, dada f verfcando (5), s a satsface certa condcón de tpo geométrco (a D r, ver la Seccón 2.5), entonces se obtenen estmacones de tpo L r, () para la osclacón generalzada f S t f. En partcular, estudamos algunas estmacones de tpo Poncaré expanddas que tenen en cuenta la falta de localzacón de las aproxmacones de la dentdad o de los semgrupos. Como consecuenca de este método, obtenemos desgualdades globales de tpo pseudo-poncaré y desgualdades de tpo fuerte. En el Capítulo 4 asumendo (5) con a un funconal no-decrecente (como en [MaP]

10 Teoría de automejora v escrbmos a T ), consegumos una estmacón de tpo exponencal para osclacones generalzadas. Tambén estudamos algunas estmacones de tpo Poncaré expanddas. En la segunda parte del trabajo extendemos esta teoría a los espacos de tpo homogéneo. Recordemos que (X, d, µ) es un espaco de tpo homogéneo s X es un conjunto dotado de una cuas-métrca d y una medda de Borel no-negatva µ verfcando la sguente condcón: µ(2 B) c µ µ(b) <, donde 2 B es la bola con el msmo centro que B y con rado doble. El prmer estudo sstemátco sobre los espacos de tpo homogéneo fue realzado por R.R. Cofman y G. Wess en el año 1971 (ver [CoW]), momento desde el cual podemos encontrar numerosas referencas sobre este tema. La hstoría de dcha teoría muestra cómo, en muchos casos, el ambente de trabajo es muy cercano al euclídeo y dferentes técncas utlzadas en el espaco euclídeo pueden ser adaptadas a los espacos de tpo homogéneo. Incluso, los espacos de tpo homogéneo pueden ser dotados de una estructura dádca. M. Chrst en [Chr] construye coleccones de conjuntos que mtan el comportamento de los cubos dádcos en el espaco euclídeo. Estos trabajos y algunos otros, como [MaS] de R.A. Macías y C. Segova, ponen de manfesto el alto grado de complejdad y refnamento que ha adqurdo el estudo de los espacos de tpo homogéneo. Además, este contexto se ha do revelando más natural para certas cuestones. Así, en la segunda parte de la memora, contnuamos el estudo realzado en la Parte I. Analzamos propedades de automejora, en la escala de los espacos de Lebesgue, de desgualdades de Poncaré generalzadas en espacos de tpo homogéneo. Del msmo modo que en la Parte I tomamos (5) como punto de partda, en el marco del espaco de tpo homogéneo y para funconales verfcando certas condcones de sumabldad, obtenemos estmacones en el espaco débl de Lebesgue con la osclacón f S t f en el lado zquerdo y una expansón de a sobre bolas dlatadas en el lado derecho. Estas extensones son análogas a las obtendas en la prmera parte de la memora y sus demostracones son más técncas. Es claro que el contexto euclídeo puede enmarcarse dentro de el de los espacos de tpo homogéneo, sn embargo, la geometría de estos últmos es a menudo más compleja. De este modo, a la hora de desarrollar estas técncas es convenente estudar prmero el caso de R n donde hay menos preocupacones de carácter geométrco. Cabe por ejemplo destacar que nuestro método utlza de forma fundamental la estructura dádca del espaco en cuestón y que en R n dchas estructura es más manejable. Así, las deas fundamentales de este trabajo se encuentran en la prmera parte de la memora donde estudamos el contexto euclídeo. La segunda parte extende dchas técncas a los espacos de tpo homogéneo, usando las msmas deas, pero en un contexto donde la geometría y la estructura dádca son más complejas. Por otro lado, las aplcacones de nuestro método resultan más nteresantes en el contexto de los espacos de tpo homogéneo donde, en prncpo, no tenemos estructura

11 x Prefaco dferencable. En algunos casos, como el de las varedades remannanas, pese a tener una estructura dferencable, las correspondentes desgualdades de Poncaré cláscas pueden fallar o no conocerse. Esta es en muchos casos una de las dferencas a la hora de buscar aplcacones de nuestro método. En la Seccón 7.3 mostraremos algunos ejemplos donde establecemos propedades de automejora para desgualdades de tpo Poncaré generalzadas en rangos donde las correspondentes desgualdades de Poncaré cláscas pueden no ser certas. Esta es quzás una de las motvacones prncpales para establecer una teoría de automejora en espacos de tpo homogéneo. La segunda parte de la memora está organzada del sguente modo. El Capítulo 5 es la ntroduccón. En el Capítulo 6 se encuentran algunas defncones y resultados prevos. El Capítulo 7 y el Capítulo 8 son las extensones a espacos de tpo homogéneo del Capítulo 3 y del Capítulo 4, respectvamente. Así, en el Capítulo 7 mostramos, en espacos de tpo homogéneo, resultados de automejora en la escala de los espacos de Lebesgue de desgualdades de tpo Poncaré asocadas a aproxmacones de la dentdad o semgrupos. En el Capítulo 8 consegumos estmacones de tpo exponencal para osclacones generalzadas en espacos de tpo homogéneo. En ambos capítulos obtenemos aplcacones en marcos donde pueden fallar o no conocerse las desgualdades de Poncaré. Este es el caso de algunas varedades remannanas con volúmen doblante y cotas superores gaussanas para el núcleo asocado al semgrupo del calor asocado al operador de Laplace-Beltram. Los resultados que se presentan en esta memora aparecen en los artículos: () Self-mprovement of Poncaré type nequaltes assocated wth approxmatons of the dentty and semgroups (con J.M. Martell), Potental Anal. 38, no. 3, (2013). () L p self-mprovement of generalzed Poncaré nequaltes n spaces of homogeneous type (con N. Badr y J.M. Martell), J. Funct. Anal. 260, no. 11, (2011). () Exponental self-mprovement of generalzed Poncaré nequaltes assocated wth approxmatons of the dentty and semgroups, Trans. Am. Math. Soc. 364, no. 2, (2012). El artículo () consttuye el Capítulo 3. En él obtenemos resultados de automejora en la escala de los espacos de Lebesgue de desgualdades de tpo Poncaré asocadas a aproxmacones de la dentdad o semgrupos en el contexto euclídeo. El artículo () corresponde al Capítulo 7. En él extendemos artículo () a espacos de tpo homogéneo. El artículo () se corresponde con los Capítulos 4 y 8. En éste consegumos estmacones de tpo exponencal para osclacones generalzadas en el espaco euclídeo y

12 Teoría de automejora x en espacos de tpo homogéneo. La bblografía de la memora ha sdo unfcada y puede encontrarse en las últmas págnas.

13 Agradecmentos uero dedcar unas líneas para expresar m agradecmento a todas las personas que de un modo u otro han contrbudo con su apoyo centífco y/o personal a que este trabajo se haya poddo realzar. En prmer lugar agradecer el excelente trato que sempre he recbdo del personal de los departamentos de Matemátcas de la Unversdad de Sevlla y de la Unversdad Autónoma de Madrd, en partcular, al Prof. Carlos Pérez le agradezco el haberme dado la oportundad de ncarme en la nvestgacón y ofrecerme la posbldad de venr a la Unversdad Autónoma de Madrd donde he trabajado bajo la supervsón de Chema Martell, a quen le agradezco el apoyo personal y profesonal que me ha ofrecdo; su pacenca, su energía, su tempo, su ayuda... Sn él este día nunca habría llegado. Gracas a su famla por abrrme las puertas de su casa y permtrme dsfrutar de sus hjos. A su antguo despacho: a Mate por prestarme su estufa cuando llegue ( qué frío pase ms prmeros días!), a Dan por su alegría y la tranquldad que me transmtía y a Javer por sus sugerencas. A J. L. Torrea no tengo palabras para agradecerle todo lo que ha hecho por mí. Ha sdo m abuelo en la UAM (no por la edad, no te lo tomes mal). Sno por su dsponbldad, pacenca, confanza, carño, consejos, amstad... Gracas por todos los detalles que ha tendo conmgo, por los cafés, comdas, excursones... Gracas por tantas rsas y buenos ratos. Gracas por nvtarme al CIMPA y gracas al grupo de nvestgacón al que he pertenecdo por facltarme r y realzar una estanca de nvestgacón en Argentna. Gracas a todos los membros del Insttuto de Matemátcas Aplcada del Ltoral (IMAL) de Santa Fe, de la Unversdad Naconal del Sur en Bahía Blanca y de la Unversdad Naconal de Comahue en Neuquén con los que trabajé, en especal a: Slva, Nora, Pola, Oscar, Roberto, Sheldy, Raquel y Ale, son ncreíbles. Gracas por vuestra hosptaldad, amabldad, entusasmo, enseñanza, nterés por m trabajo, dedcacón, empuje... A Magdalena e Ireneo por ser ms padres en la UAM: gracas por vuestra confanza, proteccón, entrega, carño... Gracas a ellos y a Gustavo por ayudarme en ms prmeros años de docenca, he aprenddo mucho de vosotros. Gracas a Eugeno por oblgarme a mpartr docenca, por su cercanía y por su labor de lector. 11

14 Teoría de automejora x Gracas a Fernando S. y Ana V. por ayudarme sempre con el papeleo y lo ben que sempre me han tratado. A Matteo B., D. Faraco y Jesús G. agradecerles el entusasmo con el que trabajan y las sugerencas dadas. A María Teresa Carrllo le agradezco sus palabras de esperanza, segurdad y ánmo y sus reflexones. Gracas por la lusón y motvacón para nvestgar que me deron los profesores Nadne B. y Javer S. (de la Unversté Pars-Sud en Orsay y de la Unverstat Autònoma de Barcelona, respectvamente), con quenes tuve la suerte de poder trabajar. Gracas a los becaros por las rsas, trastadas, por todos los ratos que hemos compartdo y por todo lo que me habés ayudado. A Lvu, Ángel, F. Holgado y M. Cea por acogerme tan ben y estar sempre dsponbles. A Nat por ser un ejemplo a segur, por su fuerza y espírtu de lucha y superacón. A Dana (la colombana) por ser tan buena amga. A Paco y Pedro por tener m acento cerquta. A Jose y Bentez por las rsas mañaneras y las peleas de chnchetas. A Angélca, Mar Luz, Mar Jose y Prmo por las rsas y por la tarde de las llaves (una de las más dvertdas en la UAM). A Davd y Jav por sus orgnales payasadas. A Carlos por su maga. A Mo, Elías y F. Charro por ser unos nños encantadores. A m despacho: A Pablo y Dan por ser ms dos grandes apoyos, ms nños. A Keth por las luchas con el are acondconado (gracas a él las arrugas tardaron algo más en aparecer). A Jose Manuel (el mallorquín) por su humor. A Sofía por nuestras charlas. A J. M. Castelero por darme el empujón necesaro para termnar esta tess. A ms compañeros de colegos por sus ánmos y a ms gyms por ser ms válvulas de escape. Por últmo, aunque los más mportantes, a m casa. Gracas por vuestra generosdad, por estar sempre dsponbles, ayudarme, apoyarme, confar en mí, valorarme... Al Bcho por entender y reírse de ms brujadas. A Vrgna por ser muy buena hermana y ayudarme sempre que se lo he peddo. A los señores decrles que aunque no lo dga nunca os quero mucho. Gracas por estar sempre, por dárnoslo todo, por los valores, educacón... Gracas por ser los mejores padres del mundo y gracas por ser tan pesaos. Gracas a todos por hacer posble que este día haya llegado. Gracas por darme la oportundad de realzar esta experenca, donde he conocdo a grandes personas y he aprenddo mucho (y no sólo de mates). GRACIAS!

15 Índce general I Espaco euclídeo R n Introduccón Prelmnares Cubos dádcos Operadores maxmales Pesos Espaco Exp Funconales Aproxmacones de la dentdad Automejora L p Resultados prncpales Demostracones Aplcacones Automejora Exp Resultados prncpales Demostracones Aplcacones II Espacos de tpo homogéneo Introduccón Prelmnares Espacos de tpo homogéneo Conjuntos dádcos Pesos Funconales

16 6.5. Aproxmacones de la dentdad Automejora L p Resultados prncpales Demostracones Aplcacones Automejora Exp Resultado prncpal Demostracones Aplcacones

17 Parte I Teoría de automejora en el espaco euclídeo R n 15

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19 Capítulo 1 Introduccón El objetvo de esta parte de la memora es estudar extensones de los resultados de [FPW] y [MaP]. En [FPW], los autores presentan un método general basado en la teoría de Calderón- Zygmund y las desgualdades de tpo buenas-λ que permte establecer (bajo certas condcones de tpo geométrco sobre el funconal a) que la desgualdad (1.1) esconde una automejora de tpo L r, para r > 1. Sea a un funconal defndo sobre la famla de cubos de R n y f verfcando la sguente desgualdad: (1.1) f f dx a(), para todo cubo y donde f = f dx. Supongamos que exste 1 < r < de forma que a D r, esto es, a( ) r Ca r a()r, para cada y cualquer famla { } de subcubos de dsjuntos dos a dos. Entonces, (1.1) se automejora hasta obtener la sguente estmacón: f f L r,, C. Además, bajo certas condcones, las estmacones de tpo débl mplcan resultados de tpo fuerte. Este punto de vsta tambén permte obtener versones L r de la desgualdad de John-Nrenberg para funcones en BMO. Así, nuestro objetvo es reemplazar f f por f S t f, donde {S t } t>0 es una aproxmacón de la dentdad o un semgrupo (ver la Seccón 2.6), y presentar una teoría general que nos permta asegurar propedades de automejora de tpo L r de desgualdades de Poncaré generalzadas asocadas a aproxmacones de la dentdad y 17

20 Teoría de automejora en el espaco euclídeo R n a semgrupos a partr de (1.2) f S t f dx a(, f), para todo cubo R n y donde t = l() m y {S t } t>0 es una aproxmacón de la dentdad o un semgrupo cuyo núcleo decae sufcentemente rápdo (ver la Seccón 2.6). Las estmacones (1.2) serán denomnadas desgualdades de tpo Poncaré generalzadas. Nuestro método, basado en el lema de recubrmento de Whtney y la técnca de las desgualdades de tpo buenas-λ (ntroducda por Burkholder y Gundy [BuG]), nos permte obtener resultados de automejora en la escala de los espacos de Lebesgue de desgualdades de tpo Poncaré asocadas a aproxmacones de la dentdad o a semgrupos. El resultado prncpal del Capítulo 3 es el Teorema 3.1 (ver el Capítulo 2 para la notacón y defncones prevas): Sean {S t } t>0 como en la Seccón 2.6, 1 < r < y a D r. S f M verfca f S t f dx a(), para todo cubo y donde t = l() m, entonces, para cada, se tene que f S t f L r,, C k 0 2 2n k g(c 2 mk ) a(2 k ), donde g es una funcón con certas propedades que acota al núcleo de S t (ver la Seccón 2.6). S además a es doblante (a(2 ) C a()), entonces, para cada f S t f L r,, C a(). En el Capítulo 3 tambén obtenemos las sguentes extensones del resultado anteror: a espacos con pesos en los Teoremas 3.3 y 3.8 y a condcones D r que permtan que aparezca otro funconal en el lado derecho en los Teoremas 3.11, 3.13 y Como consecuenca de los resultados anterores mostramos algunas aplcacones. En prmer lugar, en el Ejemplo 3.26 mostramos que s f BMO S, donde { } BMO S = f M : sup f S t f dx <, entonces, tenemos la sguente automejora en su ntegrabldad local ( 1/r f S t f dx) r C <, 18

21 1. Introduccón para cada 1 < r < y para todo. Motvados por la desgualdad clásca de Poncaré-(1, 1) tenemos el Ejemplo Dado 1 p < n, escrbmos p = n p/(n p) que denota al índce de Sobolev conjugado de p. S la funcón f M verfca la desgualdad de Poncaré reducda : f S t f dx l() h dx, para todo cubo y donde h es una funcón medble no-negatva, entonces se automejora la ntegrabldad del lado zquerdo obtenéndose ( ) 1/r f S t f r dx ( 1/p σ(k) l(2 k ) h dx) p, k 0 para cada 1 < r < p, para todo y para alguna sucesón {σ(k)} k 0. Además, s p n, la estmacón anteror se satsface para cada 1 < r <. Por otro lado, en la Seccón consegumos desgualdades de tpo pseudo-poncaré globales: Para todo t > 0 y para cada 1 p < n y p r < p, 2 k f S t f L r (R n ) t (1 r 1 p ) n m h L r (R n ). Por últmo, en la Seccón se encuentran los ejemplos que consderamos más naturales, pues tomamos como punto de partda funcones verfcando desgualdades de tpo Poncaré expanddas que tenen en cuenta los efectos de cola. Debdo a que, en general, el semgrupo no localza, pensamos que este tpo de desgualdades expanddas son más nteresantes que las reducdas. Una aplcacón de nuestros resultados es el Ejemplo 3.34, en el que al no utlzar la desgualdad de Poncaré clásca, srve de motvacón para extenderlo a otros contextos: S L = dv(a ) es un operador elíptco de segundo orden con cotas gaussanas para el que e t L tdv satsface estmacones L p L p offdagonal con 1 p < fjo (ver [AM2], [HoM, Lemma 2.2]), entonces conclumos que f e t L f dx ( 1/p e c4k l(2 k ) f dx) p. k 0 2 k Esta estmacón y nuestros resultados de automejora nos permten conclur que para cualquer 1 < q < p s 1 p < n ó 1 < q < s p n se tene ( ) 1 f e t L f q q ( 1/p dx e c2k l(2 k ) f dx) p. k 0 2 k 19

22 Teoría de automejora en el espaco euclídeo R n Tras el estudo de las automejoras en la escala de los espacos de Lebesgue presentaremos las automejoras de tpo exponencal que generalzan [MaP]. En este trabajo se consderan funconales a no-decrecentes: a( 1 ) C a a( 2 ), para cada 1 2. Así suponendo que f verfca (1.1) se tene que f f exp L() C a(). En el Capítulo 4 trabajamos en el espaco exp L y estudamos propedades de automejora de tpo exponencal de desgualdades generalzadas de tpo Poncaré con un funconal no-decrecente a (escrbmos a T, como en [MaP]). El resultado prncpal es el Teorema 4.1 (ver el Capítulo 2 para la notacón y defncones prevas): Sea {S t } t>0 como en la Seccón 2.6 y a T. S f M verfca f S t f dx a(), para todo cubo y donde t = l() m, entonces, para cada cubo, se tene que f S t f exp L, C k 0 2 n k g ( 2 m(k 6)) a(2 k ). Tambén se satsface la versón con peso de la desgualdad anteror. Como aplcacón de este resultado, en el Ejemplo 4.5 mejoramos el resultado que consegumos en el Ejemplo 3.26: S f BMO S entonces, para todo, se tene que f S t f exp L, C <. En el Ejemplo 4.7 completamos los ejemplos estudados en la Seccón En partcular, contnuamos el estudo del Ejemplo 3.28 y demostramos que s p n y la funcón verfca una desgualdad de Poncaré reducda, entonces f S t f exp L, C ( 1/p σ(k) l(2 k ) h dx) p, k 0 para alguna sucesón {σ(k)} k 0. Por últmo, en el Ejemplo 4.8 contnuamos estudando desgualdades de tpo Poncaré expanddas y consegumos la sguente automejora: S f M satsface f S t f dx α(k) l(2 k ) h dx, k k 2 k

23 1. Introduccón para todo cubo, alguna sucesón {α(k)} k 0 de números no-negatvos y h una funcón medble no-negatva, entonces f S t f exp L, k 0 para certa sucesón {ˆα(k)} k 0. ( ˆα(k) l(2 k ) 2 k h p dx) 1/p, En la segunda parte del trabajo extendemos esta teoría a los espacos de tpo homogéneo. 21

24 Teoría de automejora en el espaco euclídeo R n 22

25 Capítulo 2 Prelmnares Trabajamos en el espaco euclídeo R n con la medda de Lebesgue dx (a veces cambaremos la medda de Lebesgue por la medda de Lebesgue con un peso de Muckenhoupt) y utlzamos la dstanca nfnta. Obvamente, todos los resultados pueden ser adaptados a la dstanca euclídea (pues en R n todas las dstancas son equvalentes). Recordemos que la dstanca nfnta entre x e y R n vene dada por x y = x y = máx 1 n x y. Por otro lado, asummos (sn pérdda de generaldad) que todos los cubos son de la forma n [ = a, a + l() ), =1 donde a R y l() es la longtud del lado del cubo. Denotamos por a su medda de Lebesgue (así, = l() n ). Dado un cubo R n y un parámetro λ > 0, denotamos por λ al cubo concéntrco con, de forma que l(λ ) = λ l(). Utlzamos la sguente descomposcón de R n en anllos dádcos: R n = k 2C k (), donde C 2 () = 4 y C k () = 2 k \ 2 k 1, para todo k 3. Además, s x 2 e y C k () para k 2 entonces, (2.1) x y m l() λ k, donde λ k = { 0, s k = 2, 2 m(k 3), s k 3. Pues s k = 2, tenemos que x y 0, y por lo tanto, λ 2 = 0. S k 3, tenemos que x y 1 2 (2k 1 1) l() 2 k 3 l(), 23

26 2.1. Cubos dádcos y así, λ k = 2 m(k 3), para k 3. Por otro lado, dado X un espaco de Lebesgue, de Marcnkewcz o de Orlcz (como L p, L p, o expl), escrbmos: f X, = f X(, dx ) y f X(w), = f X(, w w() ). Fnalmente, recordemos que A B sgnfca que el cocente A/B está acotado por una constante que no depende de las varables relevantes, A y B. Las letras C y c denotan constantes ndependentes de las varables esencales y pueden varar de una línea a otra Cubos dádcos Un ntervalo dádco en R es un ntervalo de la forma [j 2 k, (j + 1) 2 k ), con j, k Z. Defnmos estos ntervalos cerrados por la zquerda y abertos por la derecha, de modo que dferentes ntervalos dádcos de la msma longtud son sempre conjuntos dsjuntos. Un cubo dádco en R n es un producto de ntervalos dádcos de la msma longtud. Es decr, un cubo dádco es un conjunto de la forma n [j 2 k, (j + 1) 2 k ), con j 1,...,j n, k Z. =1 Introducmos la sguente notacón: D denota el conjunto de todos los cubos dádcos en R n y para cada k Z, D k denota la k-ésma generacón de D. Esto es, D k es el conjunto de todos los cubos dádcos de R n cuyos lados mden 2 k, así D = k Z D k. Algunas propedades fundamentales de los cubos dádcos son: (a) Dos cubos dádcos son dsjuntos o uno de ellos está contendo en el otro. Además, cada D k proporcona una partcón de R n en conjuntos dsjuntos. (b) Cada x R n pertenece a un únco cubo en D k, para cada k Z. De este modo, x genera una únca { k } k= cadena de cubos dádcos decrecente (esto es, k+1 k ) tal que, para cada k Z, k D k y {x} = k. 24 k=

27 2. Prelmnares Como consecuenca de las propedades anterores observamos que cada cubo dádco pertenece a una únca generacón D k para algún k Z y tene exactamente 2 n descendentes (subcubos de de la sguente generacón D k+1 ). Además, dado (no necesaramente dádco) podemos construr D() el conjunto de cubos dádcos relatvos a del sguente modo D() = D k (). k=0 Donde D 0 () =, D 1 () es la prmera generacón: el conjunto de los 2 n cubos descendentes de (construdos por bseccón de cada uno de sus lados). Dvdendo de este modo cada cubo descendente, formamos las famlas {D k ()} k 0. Este conjunto mantene las msmas propedades que D Operador maxmal y operador maxmal agudo Dada una funcón localmente ntegrable f y un cubo, denotamos la meda de f en del sguente modo: f = f(x) dx = 1 f(x) dx. El operador maxmal es el supremo de todas las medas de una funcón localmente ntegrable sobre aquellos cubos que contenen a un punto fjo: Mf(x) = sup( f ). x De esta forma, M está acotado en L (R n ), es de tpo débl (1, 1) y fuerte (p, p) para todo 1 < p <. El operador maxmal agudo es el supremo de todas las osclacones de una funcón localmente ntegrable sobre aquellos cubos que contenen a un punto fjo: M # f(x) = sup f(y) f dy. x 2.3. Pesos Un peso w es una funcón no-negatva y localmente ntegrable. Para cualquer conjunto medble E, denotamos w(e) = w(x) dx. E 25

28 2.3. Pesos Dada una funcón medble f y un cubo, la meda de f en respecto de w vene dada por f dw = f(x) dw(x) = 1 f(x) w(x) dx. w() Decmos que w es doblante s: w(2 ) C w w() <, para alguna constante 0 < C w < y para cada cubo. Una coleccón de pesos doblantes ben conocda, y con la cual trabajaremos, es la clase de pesos de Muckenhoupt. Ésta se defne del sguente modo: A = p 1A p. Para 1 < p <, decmos que w A p s exste una constante 0 < C < tal que ( ) ( p 1 w dx w dx) 1 p C, para todo cubo y donde p tal que 1/p + 1/p = 1 (entonces, 1 p = 1/(p 1)). Decmos que w A 1 s exste una constante 0 < C < tal que para cada cubo : w dx C w(y), para cas todo y ; o equvalentemente, s Mw(x) C w(x) para cas todo x R n. Ejemplos cláscos de pesos de Muckenhoupt son w(x) = x α con α > n (necestamos que w L 1 loc (Rn )). Se puede comprobar que: w A 1 n < α 0. w A p n < α < n (p 1). w A n < α. Otra clase de pesos con la que trabajaremos es la clase de pesos Reverse Hölder. Decmos que w RH p con 1 < p <, s exste una constante 0 < C < tal que para cada cubo : ( 1/p w dx) p C w dx. 26

29 2. Prelmnares Decmos que w RH s exste una constante 0 < C < tal que para cada cubo : sup ess w C w dx. Algunas propedades de estas clases de pesos son: Teorema 2.1 A p = RH p. 1 p< C w 1<p S w A exsten 1 p < y 1 < s de modo que w A p RH s. Así, para cualquer cubo y cualquer conjunto medble S, se tene: ( ) p 1 S (2.2) w(s) ( ) 1/s S w() C w. La prmera desgualdad es consecuenca del hecho de que w A p y la segunda de que w RH s. Las clases de Muckenhoupt son crecentes y las clases Reverse Hölder son decrecentes. Esto sgnfca que s 1 < p < q < entonces, A 1 A p A q y RH RH q RH p. Además satsfacen propedades de apertura : S w A p para algún 1 < p < entonces, w A p ǫ para algún 0 < ǫ <. S w RH p para algún 1 < p < entonces, w RH p+ǫ para algún 0 < ǫ < (Teorema de Gehrng). Las demostracones de estas afrmacones, así como otras muchas propedades de estas clases de pesos pueden encontrarse en [Duo], [GC-RF] o [Gra] Espaco Exp Este espaco fue ntroducdo por A. Zygmund (y E. C. Ttchmarsh) en 1928 y aparece de modo natural como caso límte de L p cuando p (ver [BeS] y sus referencas). El espaco exp L() se defne como el conjunto de todas las funcones f medbles en tales que para alguna constante C > 0: exp ( C f ) dx <. La norma de Luxemburg localzada y normalzada de expl() vene dada por { ( f exp L, = ínf λ > 0 : exp f ) } λ 1 dx 1. 27

30 2.5. Funconales Generalzando, el espaco exponencal con peso exp L(, w) es el conjunto de todas las funcones f medbles en tales que para alguna constante C > 0: exp ( C f ) wdx <, con norma: { f exp L(w), = ínf λ > 0 : ( exp f ) } λ 1 dw 1. Recomendamos consultar [BeS] y [RR] para conocer mejor el espaco exp L y los espacos de Orlcz Funconales Trabajamos con funconales de la forma: a : F [0, + ) a(, f) [0, + ) donde es la famla de cubos en R n y F certa famla de funcones. Cuando no nos nterese cómo a depende de f, escrbmos smplemente a(). El funconal a es doblante s exste alguna constante fnta y postva C a tal que para cada : a(2 ) C a a(). Recordemos las condcones D r, utlzadas en [FPW] para estudar propedades de automejora de desgualdades del tpo (4): Defncón 2.2 Sea µ una medda de Borel y 1 r <. Decmos que el funconal a verfca la condcón D r (µ) (escrbmos a D r (µ)) s exste una constante fnta C a 1 para la cual a satsface la sguente estmacón: (2.3) a( ) r µ( ) Ca r a()r µ(), para cada y cualquer famla { } de subcubos de dsjuntos dos a dos. Denotamos por a Dr(µ) ( a Dr(µ) 1) al ínfmo de las constantes C a. Cuando µ es la medda de Lebesgue smplemente escrbmos D r y dµ = w dx con w un peso dado, escrbmos D r (w). 28

31 2. Prelmnares La sguente condcón fue ntroducda en [MaP] con el fn de estudar resultados de automejora de tpo exponencal de desgualdades cláscas de tpo Poncaré: Defncón 2.3 Decmos que el funconal a es no-decrecente o verfca la condcón T (escrbmos a T ) s exste una constante fnta y postva C a tal que: (2.4) a( 1 ) C a a( 2 ), para cada 1 2. Denotamos por a T ( a T 1) al ínfmo de las constantes C a. S a T = 1, decmos que a es crecente. Notar que, debdo a la desgualdad de Hölder, las condcones D r (µ) son decrecentes: D r (µ) D s (µ) y a Ds(µ) a Dr(µ), para 1 s < r < y la condcón T es más fuerte que D r (µ), para cualquer 1 r <. Veamos algunos ejemplos que más tarde utlzaremos: a() = l() α ν() D n, donde 0 α < n y ν es una medda de Borel n α postva. Dados un cubo y { } una famla de subcubos de dsjuntos dos a dos, utlzando que n/(n α) 1, tenemos que a( ) n n α = ν( ) n = a() n n α. n α ( ) n n α ν( ) ν() n n α ( ) 1/p ν() a() = l() D p n, donde 1 p < n y ν es una medda de Borel n p postva. Dados un cubo y { } una famla de subcubos de dsjuntos dos a dos, utlzando que n/(n p) 1, tenemos que a( ) p n n p = ( ) ν( ) n n n p n p ν( ) ν() n n p = a() p n n p. En partcular, podemos afrmar que ( 1/p a() = l() f dx) p D p n, 1 p < n, n p pues basta tomar ν() = f p dx. 29

32 2.6. Aproxmacones de la dentdad a() = 1 T p 1 D p (µ), para cualquer µ medda de Borel postva. a() = ν() α T p 1 D p (µ), para cualquer µ medda de Borel postva y α 0. Dados dos cubos 1 2, tenemos que a( 1 ) = ν( 1 ) α ν( 2 ) α = a( 2 ). En [Per] o en [MaP] se pueden ver otros funconales y sus propedades Aproxmacones de la dentdad y semgrupos Trabajamos con famlas de operadores lneales {S t } t>0 que juegan el papel de aproxmacones de la dentdad generalzadas o de semgrupos. Asummos que estos operadores conmutan (es decr, S t S s = S s S t, para cada s, t > 0). Obsérvese que las famlas de operadores que forman un semgrupo (esto es, S s S t = S s+t, para todo s, t > 0) conmutan. Puede ser convenente pensar que {S t } t>0 es un semgrupo, pues esta es nuestra prncpal motvacón. A estos operadores tambén les exgmos que admtan la sguente representacón ntegral: S t f(x) = s t (x, y) f(y) dy. R n Los núcleos s t (x, y) son funcones medbles verfcando la sguente acotacón: (2.5) s t (x, y) 1 t n/m g ( x y m para alguna constante postva m y alguna funcón g postva, acotada, no-crecente y que para todo N 0 satsfaga que lím r r N g(r) = 0. Obsérvese que s en la expresón anteror fjamos N > 0, mponemos un decamento menor sobre g. Nosotros elegremos N sufcentemente grande de modo que las estmacones que obtengamos no sean trvales. Por otro lado, se puede ver que el decamento de g asegura que la representacón ntegral de S t tene sentdo para toda funcón f L p (R n ) y que los operadores S t están unformemente acotados en L p (R n ) para todo 1 p. Por otro lado, observamos que (2.5) nos conduce a un reescalamento entre el parámetro t y el espaco de las varables. Así, de ahora en adelante, dado un cubo, escrbmos t = l() m ; de modo que t y S t están adaptados o escalados a. 30 t ),

33 2. Prelmnares Consderamos una ampla clase de funcones para las cuales S t está ben defndo. Ésta es defnda en [DuY] del sguente modo: M = β>0 M β, donde M β es el conjunto de funcones medbles f tales que: ( ) f Mβ = f(x) β 1 + x dx <. R n En [DuY], los autores establecen que ( M β, Mβ ) es un espaco de Banach y que s f M entonces, S t f y S s (S t f) están ben defndas y son fntas en cas todo, para todo t, s > 0. Por últmo, menconamos algunos ejemplos de aproxmacones de la dentdad. Consderamos un operador elíptco de segundo orden asocado a A, una matrz real n n y con coefcentes en L (R n ). Esto es, defnmos un operador en forma de dvergenca elíptco de segundo orden Lf = dv (A f), entenddo en el sentdo débl como un operador maxmal, acretvo, en L 2 (R n, dx). El operador L genera el semgrupo {e t L } t>0 cuyo núcleo del calor tene cotas gaussanas; esto es, se verfca (2.5) para m = 2 y g(t) = C e c t. En dmensones n = 1, 2 tambén podemos consderar matrces con valores complejos. En partcular, s A es la matrz dentdad, L =, y {e t } t>0 es el semgrupo del calor clásco. Tambén podemos tomar los operadores S t = I (I e t L ) k, para algún k 1 fjo. En este caso perdemos la propedad de semgrupo. Sn embargo, aún tenemos la regla de conmutacón y el decamento gaussano, y podemos aplcar nuestros resultados a la famla {S t } t>0. En algunas aplcacones es nteresante tener k sufcentemente grande para obtener un decamento extra en las estmacones resultantes (ver [HoM], [Aus], [AM2] y sus referencas). 31

34 2.6. Aproxmacones de la dentdad 32

35 Capítulo 3 Automejora de tpo L p en R n de desgualdades de Poncaré generalzadas asocadas a aproxmacones de la dentdad y a semgrupos El propósto de este capítulo es presentar un método general que permta estudar propedades de automejora en la escala de los espacos de Lebesgue de desgualdades de tpo Poncaré asocadas a aproxmacones de la dentdad o semgrupos, en el marco euclídeo R n y con la medda de Lebesgue dx (a veces reemplazamos la medda de Lebesgue por un peso de Muckenhoupt). El capítulo está organzado del sguente modo: El resultado prncpal y sus dferentes extensones están en la Seccón 3.1. La Seccón 3.2 contene las demostracones de estos resultados. Las aplcacones se encuentran en la Seccón 3.3. Dedcamos las Seccones y a estudar varas desgualdades de tpo Poncaré. Prmero comenzamos con una estmacón cuyo lado derecho está localzado a un cubo dado. Después, tenemos en cuenta la falta de localzacón de las aproxmacones de la dentdad o de los semgrupos y en el lado derecho escrbmos una sere de térmnos que dependen de algunas de las dlatacones de los cubos. En este últmo caso obtenemos estmacones en la escala de los espacos de Orlcz. En la Seccón obtenemos desgualdades de tpo pseudo-poncaré globales. 33

36 3.1. Resultados prncpales 3.1. Resultados prncpales A contnuacón establecemos nuestro resultado prncpal que proporcona estmacones de automejoras de tpo débl a partr de (1.2) y la condcón D r. Después, mostramos una extensón con pesos (para pesos en la clase de Muckenhoupt). Fnalmente, generalzamos la condcón D r permtendo un funconal dferente en el lado derecho para obtener resultados con y sn pesos Automejora de tpo L r, Teorema 3.1 Sean {S t } t>0 como en la Seccón 2.6, 1 < r < y a D r. S f M verfca (3.1) f S t f dx a(), para todo cubo y donde t = l() m, entonces, para cada, se tene que (3.2) f S t f C L 2 2n k g(c 2 mk ) a(2 k ). r,, k 0 S además a es doblante, entonces, para cada : f S t f L r,, C a(). Observacón 3.2 La constante 0 < c < 1 depende sólo de m. Por otro lado, C 1 depende de n, m, r, a Dr, g(0), g(1) y del decamento de g. En la últma expresón, C depende tambén de la constante que hace que a sea doblante Extensones a espacos con pesos El Teorema 3.1 se puede extender a los espacos con peso A del sguente modo: Teorema 3.3 Sean {S t } t>0 como en la Seccón 2.6, w A, 1 r < y a D r (w) D 1. S f M verfca (3.1), entonces, para cada cubo, se tene que (3.3) f S t f L r, (w), C k n k g(c 2 mk ) a(2 k ). S además a es doblante, podemos escrbr C a() en el lado derecho de la desgualdad anteror. 34

37 3. Automejora L p Observacón 3.4 La constante 0 < c < 1 depende de m y C 1 depende de n, m, r, w, a Dr(w), a D1, g(0), g(1) y del decamento de g. Observacón 3.5 Obsérvese que (3.1) es una estmacón sn peso y a partr de ella consegumos otra con peso para la osclacón f S t f. Observacón 3.6 En el Teorema 3.1 no tene sentdo consderar el caso r = 1, pues (3.1) es más fuerte que (3.2) cuando r = 1. Sn embargo, en el Teorema 3.3 sí resulta nteresante este caso: (3.1) mde la osclacón generalzada de la funcón respecto a la medda de Lebesgue mentras que (3.3) lo hace respecto a una medda con peso. Observacón 3.7 En el resultado anteror exgmos la condcón D 1 debdo a que para demostrar el Teorema 3.3 utlzamos el Lema 3.15 y la Proposcón 3.18, más abajo. Sn embargo, s w A r y a D r (w) entonces, automátcamente a D 1. Para cualquer famla { } de cubos dsjuntos, la desgualdad de Hölder mplca que a( ) a( ) w( ) 1 r w 1 r ( ) 1 r ( ) 1 ( a( ) r r ) 1 w( ) w 1 r r ( ) a Dr(w) a() w() 1 r w 1 r () 1 r C a Dr(w) a(). Por otro lado, en la demostracón del sguente teorema, observamos que cuando S t es un semgrupo la condcón a D 1 no es necesara. Teorema 3.8 Sean {S t } t>0 un semgrupo, w A, 1 r < y a D r (w). S f M y verfca (3.1), entonces, para cada cubo, se tene que (3.4) f S t f L r, (w), C k 0 2 n k (1+s/r) g(c 2 mk ) a(2 k ), donde s = máx{r, s 0 } con s 0 tal que w A s0. S además a es doblante podemos escrbr C a() en el lado derecho de la desgualdad anteror. La demostracón de este resultado (como se puede ver más adelante) es dferente y más técnca que la del Teorema 3.3. Además, necestamos una prueba alternatva de la Proposcón Observacón 3.9 La constante C 1 en (3.4) depende de n, m, w, a Dr, g(0), g(1) y del decamento de g y 0 < c < 1 depende de m. S a es doblante, C depende tambén de la constante que hace que a sea doblante. 35

38 3.1. Resultados prncpales Observacón 3.10 S w A entonces, w A s0, para algún 1 s 0 < (ver [Gra]). Pero, como cabe esperar, cuanto más pequeño sea s 0 y más grande sea r (es decr, cuanto más fuerte sean las condcones sobre el peso y sobre el funconal), mejor será la estmacón (3.4). Obsérvese que s w = 1, entonces s 0 = 1 y s = r, y recuperamos el Teorema Más extensones Sguendo las deas de [FPW], extendemos los Teoremas 3.1 y 3.3 cambando la hpótess sobre el funconal a, de modo que la nueva condcón de tpo D r nos permta escrbr un funconal dferente en el lado derecho de la desgualdad (2.3). Teorema 3.11 Sean {S t } t>0 como en la Seccón 2.6 y 1 < r <. Supongamos que los funconales a y ā verfcan la sguente condcón de tpo D r : (3.5) a( ) r ā() r, para cada cubo y cualquer famla { } de subcubos de dsjuntos dos a dos. S f M verfca (3.1), entonces, para cada, se tene que (3.6) f S t f L r,, C k 0 2 2n k g(c 2 mk ) ā(2 k ). S además ā es doblante, podemos escrbr C ā() en el lado derecho de la desgualdad anteror. Observacón 3.12 Dados dos funconales a y ā y abusando en la notacón, decmos que (a, ā) D r s verfcan (3.5). Realzando los cambos oportunos, podemos generalzar el Teorema 3.3 permtendo un funconal dferente en el lado derecho de la condcón D r (w): Teorema 3.13 Sean {S t } t>0 como en la Seccón 2.6, w A, 1 r < y (a, ā) D r (w) D 1. S f M verfca (3.1), entonces, para cada cubo, se tene que (3.7) f S t f L r, (w), C k n k g(c 2 mk ) ā(2 k ). S además ā es doblante, podemos escrbr C ā() en el lado derecho de la desgualdad anteror. Enuncamos ahora una generalzacón del Teorema 3.8 en este contexto: 36

39 3. Automejora L p Teorema 3.14 Sean {S t } t>0 un semgrupo, w A, 1 r < y (a, ā) D r (w). S f M verfca (3.1), entonces, para cada cubo, se tene que (3.8) f S t f L r, (w), C k 0 2 n k (1+s/r) g(c 2 mk ) ā(2 k ), donde s = máx{r, s 0 } con s 0 tal que w A s Demostracones de los resultados prncpales Demostracón del Teorema 3.1 Defnmos un nuevo funconal ã : F (0, + ] dado por (3.9) ã() = 2 2 n k g ( 2 m(k 5) 3) a(2 k ). k 0 Fjamos un cubo para el cual ã() <. En caso contraro, no hay nada que probar. Tomamos (3.10) G(x) = f(x) S t f(x) χ 4 (x). Por el teorema de dferencacón de Lebesgue basta estmar MG L r, (R n,dx/ ), y para ello estudamos los conjuntos de nvel: (3.11) Ω t = {x R n : MG(x) > t}, para todo t > 0. Donde M es el operador maxmal sobre cubos no centrados. Dvdmos la demostracón en dos casos según sea el tamaño de t: para t pequeño, la estmacón es trval. Para t grande, utlzamos el recubrmento de Whtney adaptado a y certos resultados auxlares sobre {S t } t>0. Las demostracones de todos los resultados auxlares que vamos a utlzar las posponemos hasta el fnal de la Seccón El sguente lema es una herramenta muy útl que utlzamos repetdamente y cuya prmera consecuenca es que la funcón G es ntegrable. Lema 3.15 Sea {S t } t>0 como en la Seccón 2.6. S a D 1 y f M satsface (3.1), para cada cubo R y k N, se tene la sguente estmacón: f S tr f dx a D1 a(k R). k R 37

40 3.2. Demostracones Aplcando el resultado anteror, que a D r D 1 y ã() <, tenemos que G L 1 (R n ): (3.12) G L 1 (R n ) = f S t f dx 4 n a D1 a(4 ) c 0 ã() <, 4n 4 donde c 0 = a D1 g(1) 1. S además utlzamos que M es de tpo débl (1, 1) con constante 3 n, obtenemos: (3.13) Ω t 3n t G L 1 (R n ) < c 0 ã(). t Ahora nuestro objetvo es mostrar la sguente desgualdad que es la clave de la demostracón del teorema. Sea q > 1 sufcentemente grande, a elegr. Veamos que dado 0 < λ < 1, para todo t > 0, se satsface la sguente desgualdad de tpo buenas-λ ( ) r c0 ã() (3.14) Ω q t c λ Ω t + c, λ t donde c 1 depende de n, a Dr y g. S 0 < t c 0 ã() y 0 < λ < 1, (3.14) es nmedata: ( ) r ( ) r c0 ã() c0 ã() Ω q t < c λ Ω t + c. λ t λ t Para estudar el otro caso (t > c 0 ã()), construmos una malla de R n adaptada al cubo fjado. Esta malla se forma consderando traslacones y dlatacones de la estructura dádca clásca del sguente modo: dado = n [ =1 a, a +l() ), denotamos por D a la coleccón de cubos dádcos nducdos por y por D,k a su k-ésma generacón. Esto es: D = D,k k Z y, para cada k Z, D,k es el conjunto de cubos de la forma: n [ a + 2 k m l(), a + 2 k (m + 1) l() ), =1 con m 1, m 2,...,m n Z. Por construccón, esta descomposcón dádca tene las sguentes característcas: () S R D,k entonces, l(r) = 2 k l(). 38

41 3. Automejora L p () S R 1, R 2 D y R 1 R 2 Ø entonces, o ben R 1 R 2 o ben R 1 R 2. () R n = R, {R} R D,k es una famla de cubos dsjuntos dos a dos y D,0. R D,k Una vez construda la malla dádca, establecemos la sguente versón del lema de recubrmento de Whtney: Teorema 3.16 Dados R n y Ω un subconjunto propo y aberto de R n, exste una famla de cubos de Whtney { } D con las sguentes propedades: (a) Ω =. (b) Los cubos son maxmales respecto a la nclusón y, así, dsjuntos dos a dos. (c) l( ) < d(, Ω c ) 4 l( ) y por lo tanto, 10 Ω c Ø. Obsérvese que Ω t (dado por (3.11)) es un conjunto aberto, pues es un conjunto de nvel de MG (funcón semcontnua nferormente). Además, sabemos que G L 1 (R n ) y Ω t <, y por lo tanto, Ω t R n. Entonces, podemos aplcar el teorema anteror a Ω t y obtenemos el sguente resultado: Lema 3.17 Dados, t > 0 y G L 1 (R n ). Tomamos Ω t defndo por (3.11) y { t } su famla de cubos de Whtney. Entonces, se verfcan las sguentes propedades: (d) M ( ) G χ (2 t ) c (x) 23 n t, para todo x t. (e) G dx 10 n t, para todo k 1. 2 k t Así, dada la estructura dádca D y aplcando el Teorema 3.16 y el Lema 3.17, cubrmos el conjunto Ω t con la famla de cubos de Whtney { t }, para cada t > c 0 ã(). Además, como consecuenca de (3.13) y t > c 0 ã(), tenemos que Ω t <. Esto junto con el hecho de que t Ω t mplca que para todo : (3.15) l( t ) < l(). A contnuacón estudamos Ω q t : utlzando que los conjuntos de nvel están andados, escrbmos la sguente cadena de gualdades Ω q t = Ω q t Ω t = {x t : MG(x) > q t}. 39

42 3.2. Demostracones Debdo a que en el sumatoro anteror sólo contrbuyen aquellos t tales que t Ø, de ahora en adelante, sólo consderamos los cubos t (pues, t Ø, los cubos t son dádcos respecto a y verfcan (3.15)). Por otro lado, utlzando el apartado (d) del Lema 3.17, podemos localzar G(x) cuando x t del sguente modo: MG(x) M(G χ 2 t )(x) + M(G χ (2 t ) c )(x) M(G χ 2 t )(x) + 23 n t. De este modo, s q > 23 n, tenemos que (3.16) Ω q t {x t : M(G χ 2 t )(x) > (q 23 n ) t}. : t Notar que a pesar de que la estmacón de G está localzada al cubo 2 t esta funcón nvolucra a en su térmno S t f. Para reemplazar S t f por S t tf, necestamos el sguente resultado: Proposcón 3.18 Para todo x 2 t, se tene que St tf(x) S t f(x) ( ) C1 t + ã(), donde C 1 depende de n, a D1 y g. Observacón 3.19 En la demostracón de este resultado sólo utlzaremos que a D 1 y no la condcón más fuerte a D r. Así, para t > c 0 ã(), tenemos: M(G χ 2 t )(x) = M ( f S t χ 2 t ) (x) M ( f S t t f χ 2 t ) (x) + C1 ( t + ã() ) M ( f S t t f χ 2 t ) (x) + C1 (1 + c 1 0 ) t. Ahora elegmos q sufcentemente grande de modo que b = q 23 n C 1 (1 + c 1 0 ) > 0 y tomamos 0 < λ < 1. Entonces, la estmacón anteror junto con (3.16) mplcan que (3.17) Ω q t : t {x t : M ( (f S t t f) χ 2 t ) (x) > bt} = Γ 1 + Γ 2 = I + II, 40

43 3. Automejora L p donde { Γ 1 = t : 2 t } f S t tf dx λ t { y Γ 2 = t : 2 t } f S t tf dx > λ t. Estudamos cada uno de los sumandos por separado. Para I utlzamos que la funcón maxmal es de tpo débl (1, 1) y el Teorema 3.16, y obtenemos que I 3n f S t bt Γ 2 t tf dx λ 6n t b λ 6n Ω t. b 1 : t Para estmar II prmero recordamos que a D r D 1 y observamos que el hecho de que t Γ 2 y el Lema 3.15 mplcan que (3.18) λ t < f S t tf dx a D1 a(2 t ) y por lo tanto, 2 t Así, la sguente desgualdad es nmedata II Γ 2 t a r D 1 ( ) a(2 1 < a r t r ) D 1. λ t : t ( a(2 t ) λ t ) r 2 t. El sguente paso es aplcar la condcón D r, aunque no podemos hacerlo drectamente debdo a que los cubos de la famla {2 t } pueden no ser dsjuntos dos a dos. Sn embargo, como veremos más adelante, {2 t } 2 y además estos cubos pueden ser separados en c n (con c n 144 n ) famlas F j de cubos dsjuntos dos a dos. Entonces podemos utlzar la condcón a D r sobre cada famla F j y así, obtenemos que II a r D 1 c n j=1 : t F j a r D r ( c0 ã() λ t ( a(2 t ) λ t ) r. ) r ( ) 2 t a r a Dr a(2 ) r D 1 c n 2 λ t Volvendo a (3.17) con las estmacones obtendas para I y II, conclumos que ( ) r c0 ã() Ω q t < c λ Ω t + c, λ t 41

44 3.2. Demostracones para todo t > c 0 ã() y donde c depende de n, a Dr y g. Para completar la demostracón de (3.14) tenemos que probar la afrmacón anteror: {2 t } 2 y los cubos pueden ser separados en c n (con c n 144 n ) famlas F j de cubos dsjuntos dos a dos. El hecho de que 2 t 2 es consecuenca de (3.15): s x 2 t y x y x son los centros de t y, respectvamente, entonces x x x x + x x l( t ) + 1 l() l(), 2 por lo tanto, x 2. Obsérvese que hemos usado que, t D y (3.15) mplcan que l( t ) l()/2. Veamos ahora que 2 t Ω t, para todo : prmero, fjamos x 2 t, y por lo tanto d(x, t ) l( t )/2. Esto junto con la defncón de dstanca y la propedad fundamental del ínfmo mplca que dado ǫ > 0 exste x ǫ t tal que Por lo tanto, s y Ω c t, tenemos que x x ǫ d(x, t ) + ǫ l(t ) 2 + ǫ. d( t, Ωc t ) x ǫ y x y + x ǫ x x y + l(t ) 2 Puesto que la desgualdad anteror se satsface para todo x 2 t, y Ω c t y para todo ǫ > 0, podemos utlzar de nuevo la defncón de dstanca y escrbr que d( t, Ωc t ) d(2 t, Ωc t ) + l(t ) 2. Por últmo, observamos que esta desgualdad y el apartado (c) del Teorema 3.16 mplcan que + ǫ. (3.19) 0 < l(t ) 2 < d(2 t, Ω c t) 4 l( t ), y en partcular, 2 t Ω t, para todo. Veamos ahora que para cada x Ω t, se tene que s x k =1 2 t, entonces k 48n : sea d = d(x, Ω c t ) > 0, comprobamos que (3.20) k 2 t (x, 8 d), =1 42