Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable Real

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1 Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Precáculo I

2 Tabla de

3 : Discutiremos: la definición de valor absoluto.

4 : Discutiremos: la definición de valor absoluto. propiedades de valor absoluto.

5 : Discutiremos: la definición de valor absoluto. propiedades de valor absoluto. resolución de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.

6 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por:

7 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por:

8 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: =

9 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = 2.5

10 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = =

11 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = 4

12 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = =

13 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = = 0

14 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = = ( 8 ( 3)) =

15 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = = ( 8 ( 3)) = 6

16 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = = ( 8 ( 3)) = 6 ( 3) 3 + (5 2 3) 5 = 15 ( 3)(2)

17 Definición: El valor absoluto de un número real x, denotado por x está dado por: Ejemplos: = = = ( 8 ( 3)) = 6 ( 3) 3 + (5 2 3) 5 = 1 15 ( 3)(2) 2

18 Algunas Propiedades del valor absoluto:

19 Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. x R, x 0; además, x = 0 x = 0.

20 Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. x R, x 0; además, x = 0 x = x R, x = x.

21 Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. x R, x 0; además, x = 0 x = x R, x = x. 3. x R, x 2 = x 2.

22 Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. x R, x 0; además, x = 0 x = x R, x = x. 3. x R, x 2 = x x, y R, x y = x y.

23 Algunas Propiedades del valor absoluto: 1. x R, x 0; además, x = 0 x = x R, x = x. 3. x R, x 2 = x x, y R, x y = x y. 5. x, y R, x y = x y ; y 0.

24 Interpretación geométrica del valor absoluto:

25 Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica.

26 Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica.

27 Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos interpretar el valor absoluto de un número real a como la distancia de a al origen de una recta numérica.

28 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b.

29 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como:

30 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como: d(a, B) = b - a

31 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como: Nota: a b = b a d(a, B) = b - a

32 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como: Nota: a b = b a Razón: b a = (a b). d(a, B) = b - a

33 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como: d(a, B) = b - a Nota: a b = b a Razón: b a = (a b). Por lo tanto, por la propiedad que establece que x = x, se tiene que a b = b a.

34 Fórmula de la distancia en la recta numérica real Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a B, denotada por d(a, B) se define como: d(a, B) = b - a Nota: a b = b a Razón: b a = (a b). Por lo tanto, por la propiedad que establece que x = x, se tiene que a b = b a. Por lo tanto, d(a, B) = d(b, A)

35 Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b.

36 Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9

37 Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9 2 a = 9, b = 4

38 Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con coordenadas respectivas a y b. 1 a = 4, b = 9 2 a = 9, b = 4 3 a = 0, b = 6

39 Propiedad de ecuaciones que envuelven x Para p > 0 x = p x = p o x = p

40 Propiedad de ecuaciones que envuelven x Para p > 0 x = p x = p o x = p Ejemplo: x = 5 x = 5 o x = 5

41 Propiedad de ecuaciones que envuelven x Para p > 0 x = p x = p o x = p Ejemplo: x = 5 x = 5 o x = 5

42 Propiedad de ecuaciones que envuelven x Para p > 0 x = p x = p o x = p Ejemplo: x = 5 x = 5 o x = 5 Nota: Si p < 0, la ecuación x = p no tienen solución.

43 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p

44 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p Ejemplo: 3x 5 = 7

45 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p Ejemplo: 3x 5 = 7 3x 5 = 7 o 3x 5 = 7

46 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p Ejemplo: 3x 5 = 7 3x 5 = 7 o 3x 5 = 7 3x = 12 o 3x = 2

47 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p Ejemplo: 3x 5 = 7 3x 5 = 7 o 3x 5 = 7 3x = 12 o 3x = 2 x = 4 o x = 2 3

48 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0 ax + b = p ax + b = p o ax + b = p Ejemplo: 3x 5 = 7 3x 5 = 7 o 3x 5 = 7 3x = 12 o 3x = 2 x = 4 o x = 2 3 C. S. = {- 2 3, 4} Nota: Si p < 0, la ecuación ax + b = p no tiene solución.

49 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b y cx + d ax + b = cx + d ax + b = cx + d o ax + b = (cx + d)

50 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b y cx + d ax + b = cx + d ax + b = cx + d o ax + b = (cx + d) Ejemplo: Resuelva la ecuación 2x 7 = 4x + 6

51 Propiedad de ecuaciones que envuelven ax + b y cx + d ax + b = cx + d ax + b = cx + d o ax + b = (cx + d) Ejemplo: Resuelva la ecuación 2x 7 = 4x + 6 Solución: C.S. = {- 13 2, 1 6 }

52 Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto solución.

53 Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto solución.(continuación.)

54 Soluciones:

55 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0,

56 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0, x < p p < x < p

57 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0, x < p p < x < p x p p x p

58 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0, x < p p < x < p x p p x p x > p x < p o x > p

59 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0, x < p p < x < p x p p x p x > p x < p o x > p x p x p o x p

60 Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven x Para p > 0, x < p p < x < p x p p x p x > p x < p o x > p x p x p o x p

61 Ejemplo 1: x 3

62 Ejemplo 1: x 3 3 x 3

63 Ejemplo 1: x 3 3 x 3

64 Ejemplo 1: x 3 3 x 3 Ejemplo 2: x > 5

65 Ejemplo 1: x 3 3 x 3 Ejemplo 2: x > 5 x < 5 o x > 5

66 Ejemplo 1: x 3 3 x 3 Ejemplo 2: x > 5 x < 5 o x > 5

67 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos:

68 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0, ax + b < p p < ax + b < p

69 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0, ax + b < p p < ax + b < p ax + b p p ax + b p

70 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0, ax + b < p p < ax + b < p ax + b p p ax + b p ax + b > p ax + b < p o ax + b > p

71 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0, ax + b < p p < ax + b < p ax + b p p ax + b p ax + b > p ax + b < p o ax + b > p ax + b p ax + b p o ax + b p

72 Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b, obtenemos: Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven ax + b Para p > 0, ax + b < p p < ax + b < p ax + b p p ax + b p ax + b > p ax + b < p o ax + b > p ax + b p ax + b p o ax + b p Nota: Si p < 0, las ecuaciones x < p y ax + b < p no tienen solución.

73 Ejemplo 1: x 9 < 2

74 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2

75 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11

76 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11

77 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11 Ejemplo 2: 3x + 5 > 2

78 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11 Ejemplo 2: 3x + 5 > 2 3x + 5 < 2 o 3x + 5 > 2

79 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11 Ejemplo 2: 3x + 5 > 2 3x + 5 < 2 o 3x + 5 > 2 3x < 7 o 3x > 3

80 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11 Ejemplo 2: 3x + 5 > 2 3x + 5 < 2 o 3x + 5 > 2 3x < 7 o 3x > 3 x < 7 3 o x > 1

81 Ejemplo 1: x 9 < 2 2 < x 9 < 2 7 < x < 11 Ejemplo 2: 3x + 5 > 2 3x + 5 < 2 o 3x + 5 > 2 3x < 7 o 3x > 3 x < 7 3 o x > 1

82 Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto solución.

83 Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto solución.(continuación.)

84 Soluciones:

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