1. Producto escalar, métrica y norma asociada

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1 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la base canónica de R n, e i = (0,..., 0, 1 (i), 0,..., 0) El producto escalar es una operación definida entre dos vectores de R n de la siguiente manera: Definición ( Escalar. Espacio Eucĺıdeo.). Dados x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) dos vectores en R n, se define el producto escalar de x por y como < x, y >= n x i y i i=1 El par (R n, <.,. >) se denomina espacio eucĺıdeo. Este producto tiene como propiedades fundamentales las siguientes:

2 Proposición. 1. < x, x > > 0 para todo x 0 2. < x, y >=< y, x > para todos x, y R n 3. < ax + by, z >= a < x, z > +b < y, z > para todos x, y, z R n y todos a, b R La propiedad 2 indica que el producto escalar es simétrico, o conmutativo. La propiedad 3 indica que el producto escalar es lineal respecto a la primera variable. Utilizando las propiedades 2 y 3, se comprueba que también es lineal respecto a la segunda: dados x, y, z X y a, b R, < x, ay + bz >=< ay + bz, x >= a < y, x > +b < z, x >= a < x, y > +b < x, z > Otra consecuencia de la definición es que < x, 0 >=< x, x > < x, x >= 0 y en particular < x, x >= 0 x = 0

3 De hecho, las tres propiedades anteriores determinan el comportamiento de esta operación, y la estructura del espacio R n. El concepto de producto escalar se generaliza a espacios vectoriales sobre R, X, como una operación cualquiera de X X en R que verifique las tres propiedades anteriores. Cuando X es un espacio R n, un producto escalar es una aplicación bilineal simétrica definida positiva no degenerada, que tiene asociada unívocamente una matriz A simétrica de modo que < x, y >= xay t A partir del producto escalar, definimos en R n la longitud de un vector y la distancia entre dos puntos, que es la base para el estudio de los conceptos de ĺımites y continuidad de funciones, y el desarrollo del análisis. Definición (Norma asociada al producto escalar. Módulo). Dado un vector x, llamamos norma de x, módulo de x, o longitud de x, al número x = (< x, x >) 1/2 = ( n i=1 x 2 i ) 1/2 La interpretación geométrica del significado de la norma asociada al producto escalar como la longitud del vector x es obvia en el plano y en el espacio tridimensional, en virtud del Teorema de Pitágoras.

4 Teorema (Desigualdad de Cauchy - Schwarz). Para todos x, y R n se tiene: < x, y > x y Demostración: (Saltar al final de la demostración) Si y = 0, la desigualdad es obvia, pues < x, y >=< x, 0 >= 0 y y = 0 = 0, por lo que se tiene la igualdad. Así que supongamos que y 0. Consideremos los vectores x + ty, con t un número real cualquiera. Calculamos el producto < x + ty, x + ty > que será no negativo por las propiedades del producto escalar. Así 0 < x + ty, x + ty >=< x, x > +t 2 < y, y > +2t < x, y > Si escogemos t = < x, y > < y, y > tenemos < x, y >2 x, y >2 0 < x, x > + 2< < y, y > < y, y > =< x, x > < x, y >2 < y, y > de donde despejando < x, y > se obtiene

5 < x, y > 2 < x, x > < y, y > luego sacando raíces cuadradas positivas, < x, y > x y (Volver al enunciado) Como consecuencia, se demuestran las propiedades fundamentales de la norma Como en el caso del producto escalar, en un espacio vectorial X, se llama norma a cualquier aplicación. : X R que verifique estas cuatro propiedades, generalizando el concepto de módulo de un vector en R n. Cualquier producto escalar tiene asociada una norma mediante esta fórmula, aunque no toda norma proviene de un producto escalar. Proposición. 1. x 0 para todo x R n 2. x = 0 x = 0

6 3. x + y x + y para todos x, y R n (desigualdad triangular de la norma) 4. ax = a x para todos x R n y a R Demostración. Las propiedades 1, 2 y 4 son triviales. Para demostrar la propiedad 3, aplicamos la desigualdad de Cauchy Schwarz: x + y 2 = < x + y, x + y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y > x 2 + y < x, y > x 2 + y x y = = ( x + y ) 2 Tomando raíces cuadradas positivas se tiene la propiedad. Hay además una quinta propiedad, tan importante como las anteriores que definen la norma, que puede demostrarse como consecuencia de ellas: Proposición. Para todos x, y R n se verifica x y x y

7 Demostración: Poniendo el vector x como x y + y, tenemos x = (x y) + y x y + y de donde se deduce x y x y Análogamente, cambiando los papeles de x e y, y teniendo en cuenta que y x = ( 1)(x y) = 1 x y = x y tenemos: y = (y x) + x y x + x y y x y x = x y De las dos desigualdades se deduce que x y x y

8 Una vez definida la norma de un vector, se define de forma natural la distancia entre dos puntos x e y como la longitud del vector diferencia x y Definición (Distancia entre dos puntos). Dados dos puntos x e y en R n, se define la distancia entre x e y como ( n ) 1/2 d(x, y) = x y = x i y i 2 i=1 Y se verifican las siguientes propiedades: Proposición. 1. d(x, y) 0 para todos x, y R n 2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) para todos x, y R n 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) para todos x, y, z R n

9 Otra consecuencia de la definición del producto escalar es la generalización a R n del concepto de ángulo entre vectores: Definición (Ángulo entre vectores). Dados dos vectores x e y en R n, se llama ángulo entre x e y al ángulo α xy [0, π] que verifica cos α xy = < x, y > x y y x y 0 α xy x La definición anterior es equivalente al teorema del coseno aplicado al triángulo que tiene un vértice en el origen de coordenadas, y lados adyacentes formados por los vectores x e y, que quedaría x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos α xy

10 Se dice que dos vectores son ortogonales cuando α xy = π/2, es decir, cuando < x, y >= 0 Un concepto que nos será útil en la interpretación geométrica de los problemas que vamos a estudiar es la proyección ortogonal. Dado un vector x, cualquier otro vector y de R n se puede proyectar sobre x: se trata de descomponer y en suma de dos vectores, uno de los cuales es paralelo a x, y el otro ortogonal. El primero de los dos es la proyección de y sobre x Definición (Proyección ortogonal). Sea x un vector de R n. Dado un vector y R n, se llama proyección ortogonal de y sobre x al vector y x = < x, y > x 2 y x y y x x x y x

11 2. Como hemos indicado antes, la definición de norma se puede generalizar a espacios vectoriales cualesquiera a partir de sus propiedades: si X es un espacio vectorial (sobre R), se llama norma en X a una aplicación. X : X R que verifique: 1. x X 0 para todo x X 2. x X = 0 x = 0 3. λx X = λ x X para todos x X y λ R 4. x + y X x X + y X para todos x, y X En particular nos interesa destacar dos normas habituales en R n, y su relación con la norma asociada al producto escalar. Definición (Norma. 1 ). Dado x = (x 1,..., x n ) se define x 1 = n x i i=1

12 La métrica asociada a esta norma enr n sería n d 1 (x, y) = x y 1 = x i y i i=1 y 2 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 2 y y 1 x 2 y 2 x 1 y 1 x x 1 x 1 = x 1 + x 2 x y 1 = x 1 y 1 + x 2 y 2 Definición (Norma. ). Dado x = (x 1,..., x n ) se define x = max{ x 1,..., x n }

13 Y la métrica asociada d (x, y) = x y = max{ x i y i, i n} x 2 x x 2 y 2 x 2 y x 2 y 2 x 1 y 1 x 1 x 1 x =máx{ x 1, x 2 } x y 1 x 1 x y =máx{ x 1 y 1, x 2 y 2 } Siguiendo este mismo tipo de notación, la norma asociada al producto escalar se escribirá como ( n ) 1/2 x 2 = x i 2 = (< x, x >) 1/2 i=1

14 Teorema (Relación entre las normas de R n ). Para todo x R n se tiene: x x 2 x 1 n x 2 n x Demostración: (Saltar al final de la demostración) Sea x R n 1. En primer lugar, existirá un i 0 tal que x = max{ x i, 1 i n} = x i0. Entonces trivialmente n x 2 2 = x i 2 x i0 2 = x 2 i=1 y tomando raíces positivas se tiene la primera desigualdad. 2. También es evidente que x 2 2 = ( n n ) 2 x i 2 x i = x 2 i=1 i=1 1 y tomando raíces positivas se tiene la segunda desigualdad.

15 3. Para la tercera, podemos escribir x 1 como un producto escalar, y aplicar la desigualdad de Cauchy Schwarz: n x 1 = x i =< ( x 1,..., x n ), (1,..., 1) > i=1 ( x 1,..., x n ) 2 (1,..., 1) 2 = n x 2 4. Por último, si x = max{ x i, 1 i n} = x i0, entonces n x 2 2 = x i 2 n x i0 2 = n x 2 i=1 y tomando raíces positivas de tiene x 2 n x de donde se obtiene la última desigualdad multiplicando a ambos lados por n (Volver al enunciado)

16 3. Una vez definidos el producto escalar, la norma y la métrica en R n, introducimos la topología de R n como un lenguaje en el que expresar las propiedades de conjuntos y puntos del espacio referentes a aspectos métricos de proximidad, acotación, etc, que nos van a permitir describir a su vez las propiedades de limites y continuidad de funciones, y desarrollar el análisis de varias variables. En primer lugar introducimos la siguiente definición: Definición. Sea x R n y r > 0. se definen: Bola abierta de centro x y radio r: B(x, r) = {y R n : d(x, y) < r} = {y R n : x y < r} Bola cerrada de centro x y radio r: B(x, r) = {y R n : d(x, y) r} = {y R n : x y r} Esfera de centro x y radio r: S(x, r) = {y R n : d(x, y) = r} = {y R n : x y = r}

17 Ejemplos: 1.- En R con la distancia del valor absoluto, B(x, r) = (x r, x + r), B(x, r) = [x r, x + r] y S(x, r) = {x r, x + r} 2.- En R 2, B((x 0, y 0 ), r) = {(x, y) : (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r} es el círculo de centro (x 0, y 0 ) y radio r, sin incluir la circunferencia; B((x 0, y 0 ), r) = {(x, y) : (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 r} es el circulo más la circunferencia; y la esfera S((x 0, y 0 ), r) = {(x, y) : (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r} es la circunferencia de centro (x 0, y 0 ) y radio r. (x, y) (x, y) (x, y) (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 )

18 3.- En R 2, utilizando la norma. 1, tenemos B 1 (0, 1) = {(x, y) : x + y < 1} Para dibujar este conjunto, tenemos: Si x 0, tiene que ser x + y < 1, luego y < 1 x y y =1+x y = 1+x 1 + x < y < 1 x Si x < 0, queda x + y < 1, de donde 1 x < y < 1 + x y = 1 x x y =1 x

19 4.- En R 2 utilizando la norma., tenemos B (0, 1) = {(x, y) : max{ x, y } < 1}} luego tiene que ser x < 1 y y < 1, o lo que es lo mismo, y y =1 x 1 < x < 1, 1 < y < 1 y = 1 x = 1 x =1

20 5.- De las desigualdades entre las normas. 1,. 2 y., se deducen contenidos entre las bolas de centro x, B 1 (x, r) B 2 (x, r) B (x, r) B (x, r) B 2 (x, nr) B 1 (x, nr)

21 Definición (Conjuntos abiertos y cerrados). Se dice que un conjunto A R n es abierto si verifica: para cada x A existe una bola B(x, r x ) centrada en x que está contenida en A ( x A r x > 0 / B(x, r x ) A) Se dice que un conjunto B R n es cerrado si su complementario es abierto. En particular R n y el vacío son abiertos, y cerrados. Y definimos también los siguientes conceptos, que clasifican los puntos según su posición respecto a un conjunto: Definición (Interior, adherencia, acumulación, frontera, aislados). 1. x es interior a A, si existe r > 0 tal que B(x, r) A. 2. x es adherente a A, si para todo r > 0, B(x, r) A. 3. x es de acumulación de A, si para todo r > 0, (B(x, r) \ {x}) A 4. x está en la frontera de A, si para todo r > 0, B(x, r) A y B(x, r) (R n \ A) 5. x es un punto aislado de A si existe r > 0 tal que B(x, r) A = {x} Se llama interior de A, y se escribe A 0, al conjunto de puntos interiores de A. Se llama adherencia o clausura de A, y se escribe A, al conjunto de puntos adherentes de A Se llama acumulación de A, y se escribe A, al conjunto de puntos de acumulación de A. Se llama frontera de A, y se escribe F r(a) o A, al conjunto de puntos de la frontera de A.

22 Definición (Conjuntos densos). Dados dos conjuntos B A R n, se dice que B es denso en A si A B Es decir, B es denso en A si cerca de cada punto de A siempre hay puntos de B. Por ejemplo, Q es denso en R, y Q n es denso en R n. Definición (Conjuntos acotados). Un conjunto A es acotado si existe alguna bola B(0, r) que contenga a A; es decir, si existe un número r > 0 tal que para todo x A se tiene x < r Algunas propiedades evidentes de estos conjuntos son A 0 A A A A F ra(a) A Si B A, entones B 0 A 0, B A y B A A es acotado si y sólo si A es acotado Pero hay otras muchas propiedades, algunas de las cuales se ven en los problemas.

23 Teorema. 1. Un conjunto A es abierto si y sólo si A = A 0 2. Un conjunto A es cerrado si y sólo si A = A Demostración: El primer apartado es trivial, por la propia definición de conjunto abierto. Para el segundo apartado, supongamos primero que A es cerrado. Sabemos que A A, así que sólo hay que demostrar que A A, o equivalentemente demostrar que R n \ A R n \ A Como A es cerrado, R n \ A es abierto, y por tanto si x R n \ A existe una bola centrada en x contenida en R n \ A, B(x, r) R n \ A. Entonces B(x, r) A =, luego x A y tenemos lo que queríamos. Recíprocamente, supongamos ahora que A = A, y veamos que A es cerrado, es decir, que R n \ A es abierto: Sea x R n \ A, x A = A, luego existe alguna bola centrada en x que no corta a A, B(x, r) y B(x, r) A =. Entonces B(x, r) R n \ A, es decir, x es interior a R n \ A, luego efectivamente R n \ A es abierto.

24 Teorema. 1. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos. 2. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados. 3. A 0 es el mayor conjunto abierto contenido en A (es decir, A 0 es abierto, y si B es abierto y está contenido en A, entonces B A 0 ) 4. A es el menor cerrado que contiene a A (es decir, A es cerrado, y si C es un cerrado que contiene a A, entonces A C) x y r s x r y s Demostración: 1) Consideremos una bola abierta B(x, r), y sea y B(x, r) un punto de la bola. Para demostrar que B(x, r) es abierto hay que probar que existe una bola centrada en y contenida en B(x, r), B(y, s) B(x, r).

25 Como d(x, y) = x y < r, podemos definir s = r x y que es mayor que cero. Ahora si z B(y, s), tenemos x z = x y + y z x y + y z < x y + s = x y + r x y = s así que z B(x, r). Es decir, todo punto z de la bola B(y, s) está en B(x, r), como queríamos demostrar. 2) Para demostrar que una bola cerrada B(x, r) es un conjunto cerrado, hay que demostrar que su complementario, R n \ B(x, r) = {y R n : x y > r} es abierto. Sea entonces y R n \B(x, r); hay que demostrar que existe una bola centrada en y contenida en R n \ B(x, r), B(y, s) R n \ B(x, r) Como ahora d(x, y) = x y > r, podemos definir s = x y r, que es mayor que cero. Entonces si z B(y, r) se tiene de donde x y = x z + z y x z + z y x z x y y z > x y s = x y x y + r = r luego en efecto z R n \ B(x, r). Es decir, todo punto de la bola B(y, s) está en R n \ B(x, r), como queríamos demostrar.

26 3) En primer lugar, A 0 es abierto: en efecto,dado x A 0 hay que demostrar que existe una bola B(x, r) contenida en A 0. Como x A 0, por definición de punto interior, existe al menos una bola B(x, r) A. Ahora bien, si y es un punto de esa bola, y B(x, r), que por el apartado (1) es un conjunto abierto, existirá otra bola B(y, s) B(x, r) A, luego y A 0. Es decir todo punto de la bola B(x, r) está en A 0, como queríamos demostrar. En segundo lugar, es evidente, como ya hemos dicho, que para cualquier conjunto A 0 A. Y en tercer lugar, si B es otro conjunto abierto contenido en A, B A, entonces utilizando el teorema anterior B = B 0 A 0 4) Para terminar, A es cerrado, ya que su complementario es (R n \ A) 0 : en efecto, si x A, quiere decir que existe alguna bola centrada en x que no corta a A, B(x, r) A =, o lo que es lo mismo, B(x, r) (R n \ A), luego x es interior a R n \ A Es evidente que A A. Y si C es un conjunto cerrado que contiene a A, utilizando el teorema anterior A C = C Teorema. 1. La unión de conjuntos abiertos es abierto. La intersección finita de abiertos es abierto. 2. La unión finita de conjuntos cerrados es cerrado. La intersección de cerrados es cerrado. 3. La unión finita de conjuntos acotados es acotado.

27 Observaciones: Sin embargo la intersección numerable de infinitos abiertos puede ser cerrado, y la unión numerable de infinitos cerrados puede ser abierto: a) sean A n = B(0, 1 + 1/n). A n son conjuntos cerrados, y sin embargo A n = B(0, 1) n=1 es abierto b) sean B n = B(0, 1 1/n). B n son conjuntos abiertos, y sin embargo B n = B(0, 1) n=1 es cerrado.

28 4. En muchas ocasiones trabajaremos con espacios que son subconjuntos de R n. En este caso, la forma de medir distancias entre dos puntos es la misma que como puntos de R n, paro hay que darse cuenta de que ya no tendremos una estructura de espacio eucĺıdeo: en general ni siquiera tendremos un espacio vectorial. Si Y es un subconjunto de R n, podemos considerar la restricción de d a Y Y, definiendo lo que llamamos un subespacio métrico de R n. Por ejemplo, si x Y, la bola de centro x y radio r en el espacio (Y, d) es B Y (x, r) = {y Y : d(x, y) < r} = B(x, r) Y x B(x, r) Y Y B(x, r)

29 y un conjunto M Y será abierto en Y si para cada punto m M existe una bola B Y (m, r m ) en Y de modo que B Y (m, r m ) M, o lo que es lo mismo, si para cada m M existe un número r m > 0 tal que B(m, r m ) Y M. Y M es cerrado en Y si Y \ M es abierto en Y Proposición. Un conjunto M Y es abierto en Y si y sólo si existe un abierto A en X tal que M = A Y, y es cerrado en Y si y sólo si existe un cerrado C en X tal que M = C Y Cuando trabajamos con subconjuntos Y de R n, nos interesará destacar en algunos casos el hecho de que el conjunto Y esté formado por un sólo trozo. Esta propiedad tiene un nombre específico dentro del estudio de la topología de R n : Definición (Conjuntos conexos). Sea Y R n. Se dice que Y es conexo si no se puede descomponer como unión de dos conjuntos abiertos (en Y como subespacio métrico) disjuntos no vacíos. Si Y no es conexo, se dice que es disconexo. Así, la definición anterior es equivalente a decir que Y es disconexo si existen dos conjuntos U, V abiertos en Y, no vacíos, tales que U V = y Y = U V O, teniendo en cuenta que los complementarios de conjuntos abiertos son cerrados, Y es disconexo si existen dos conjuntos M, N cerrados en Y, no vacíos, tales que M N = y Y = M N

30 Y también es equivalente a decir que Y es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos de Y que son a la vez abiertos y cerrados en Y son el propio conjunto Y y el vacío. Definición (Segmentos). Dados dos puntos x, y R n, se llama segmento de x a y a [x, y] = {z = ty + (1 t)x, 0 t 1} = {z = x + t(y x), 0 t 1} Teorema (Abiertos conexos). Sea A un conjunto abierto y conexo en R n, y sean x, y A. Entonces existe una poligonal contenida en A que une x e y. Una poligonal es una familia de segmentos de recta, unidos de modo que el extremo final de un segmento sea en extremo inicial del siguiente. Para demostrar el teorema, escogemos un punto cualquiera x en A, y llamamos M al conjunto de puntos de A que se pueden unir a x por una poligonal contenida en A, y N al conjunto de puntos de A que no se pueden unir a x por una poligonal contenida en A. Se trata de demostrar que M y N son conjuntos abiertos en A; como evidentemente M y N son disjuntos, y su unión es todo el conjunto A, y A conexo por hipótesis, uno se ellos tendrá que ser vacío y el otro tendrá que ser todo el conjunto A. Por último, como M no es vacío, pues al menos contiene al propio punto x, tendrá que ser M = A, luego todo punto de A puede unirse a x por una poligonal, y esto termina la demostración.

31 Veamos entonces que M es abierto. Sea y M; como A es abierto, existe una bola centrada en y contenida en A, B(y, r) A; vamos a ver que esa bola está contenida en M: Sea z B(y, r); el segmento que une y y z, [y, z] está contenido en la bola. Por otra parte, como y M, existe una poligonal de x a y contenida en A. Si a esa poligonal le añadimos el segmento [y, z], tendremos una poligonal de x a z contenida en A, luego efectivamente z M. De forma análoga se demuestra que N es abierto, lo que termina la demostración del teorema.

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