INECUACIONES: DESIGUALDADES. 3. Usa métodos para solucionar desigualdades lineales y cuadráticas.

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1 FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA EDUARDO CABALLERO CALDERON Espacio Académico: Matemáticas Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda CICLO: V INICIADORES DE LOGRO INECUACIONES: DESIGUALDADES 1. Adquiere la noción de intervalo y de desigualdad.. Aplica las reglas de signos en la solución de desigualdades. 3. Usa métodos para solucionar desigualdades lineales y cuadráticas. 1. Intervalos Intervalo: se define como un subconjunto de la recta real, esto quiere decir que, el intervalo es un conjunto formado por números reales. Los intervalos suelen denotarse mediante una pareja ordenada que presenta alguna de las siguientes formas: (a, b), [a, b], (a, b] y [a, b), usando habitualmente los signos de agrupación, parétesis y corchetes, como delimitadores de inclusión y en donde las letras a y b son los límites inferior y superior respectivamente (a y b son números reales). A continuación se muestran los tipos de intervalos: Intervalo abierto: De la forma (a, b), su signo delimitador es el parentésis, indicando que sólo se tienen en cuenta los valores reales comprendidos entre a y b, sin incluir a a y b. Gráficamente, el intervalo abierto es: Ejemplo: (1, 5) = {1,01, 1,0,...,... 3,... 4,... 4,99}. Intervalo cerrado: De la forma [a, b], su signo delimitador es el corchete, indicando que se tienen en cuenta los valores reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a y b. Gráficamente, el intervalo cerrado es: Ejemplo: [, 3] = {,,01,...,5,...,99, 3}. 1

2 Intervalo semicerrado o semiabierto: De la forma [a, b) o (a, b], presenta signos delimitadores mixtos, indicando que el límite del parentésis no se incluye. Ejemplo: (8, 9] = {8,01, 8,41,... 8,5,... 8,99, 9}. Intervalo infinito: De la forma (, ), representa todos los valores reales. Gráficamente, el intervalo infinito es:. Desigualdades e inecuaciones Para valores particulares de a y b, puede tenerse algunos de los siguientes casos: a > b, que se lee "a mayor que b ", cuando la diferencia a b es positiva. a < b que se lee "a menor que b ", cuando la diferencia a b es negativa. a b, que se lee "a es mayor o igual que b", significa que a > b o que a = b pero no ambos. a b que se lee "a es menor o igual que b", significa que a < b o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >, <, o. Ejemplos: 1. 4 > 3.. a < b x 1. De la definición de desigualdad, se deduce que: Todo número positivo es mayor que cero. Todo número negativo es menor que cero. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Si a > b entonces b < a. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x + 1 > x. Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x 15 > 0 que solamente se satisface para x > 5. En este caso se dice que 5 es el límite de x.

3 .1. Propiedades de las desigualdades: Sean a, b, c tres números reales. 1. si a > b, entonces se cumple que a + c > b + c.. Dado un número c > 0, si a > b entonces se cumple que a c > b c y que a c > b c. 3. Dado un número c < 0, si a > b entonces se cumple que a c < b c y que a c < b c. Ejemplo: Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 6( 4) < 3( 4), ya que 4 < 1... Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades. La solución de una inecuación se llama conjunto solución...1. Inecuaciones lineales Una desigualdad de primer grado o desigualdad lineal, tiene la forma: ax > b o ax b > 0 donde a y b son números reales y a 0; su conjunto solución generalmente es un intervalo. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación 4x + 6 > x 8. Solución: Se transponen términos: 4x x > 8 6 se reducen los términos semejantes: despejando a x: x > 14 x > 14 x > 7 Así el conjunto solución es x ( 7, ), el cual gráficamente se observa a continuación: Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación 3 4(x + 1). Solución: Se desarrolla el producto del medio: 3 4x + 4 Se transponen términos: 3 4 4x 4 3

4 se reducen los términos semejantes: dividiendo por 4: 7 4x 7 4 x 4 7 x 1 4 [ Así el conjunto solución es x 7 ] 4, 1, el cual gráficamente se observa a continuación:... Inecuaciones cuaráticas Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma: ax + bx + c > 0 o ax + bx + c 0 o ax + bx + c < 0 o ax + bx + c 0 donde a, b y c son números reales y a 0. Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación x 9 > 0. Solución: Se transponen términos: x > 9 se saca raíz a ambos lados: x > ±3 de aquí salen tres intervalos de solución (, 3), ( 3, 3) y (3, ). Se Prueba con tres números ubicados en esos intervalos si cumplen la desigualdad x 9 > 0: para x = 4 del intervalo (, 3) se tiene: ( 4) 9 = 16 9 = 7 > 0. para x = 0 del intervalo ( 3, 3) se tiene: 0 9 = 0 9 = 9 < 0. para x = 4 del intervalo (3, ) se tiene: (4) 9 = 16 9 = 7 > 0. Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que el conjunto solución es: (, 3) (3, ). La gráfica del conjunto solución se aprecia a continuación: Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación x + x 15 Solución: Se desiguala a cero: x + x 15 0 se factoriza el trinomio: se separa cada factor y se solucionan aparte: resolvemos por el método gráfico: (x + 5)(x 3) 0 (x + 5) 0 entonces x 5 (x 3) 0 entonces x 3 4

5 Luego el conjunto solución está dado por x (, 5] [3, ). 3. TALLER El siguiente trabajo se entrega a mano el día 15 de Febrero 014: 1. Encontrar el conjunto solución y r ealizar su gráfica: a) 3 > 3x b) 1 < 4x 1 < 5 3 c) > 3 3x 7 d) x < 4 e) x 4x f ) x + 6x BIBLIOGRAFÍA 1. Leithold L., Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Harla, (1994). 5

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