MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

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1 Universidd de Cádiz Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics Tem 1 Nociones mtemátics básics. Los números. Operciones Elbordo por l Profesor Doctor Mrí Teres González Montesinos

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3 Índice 1. Símbolos mtemáticos 1. Teorí de conjuntos.1. Correspondencis. Aplicciones Leyes de composición. Estructurs lgebrics básics Números nturles 8 4. Números enteros 9 5. Números rcionles Números reles 1 7. L rect rel. Intervlos 1 8. Números complejos 1 9. Potencis y rdicles Potencis de exponente entero Definición de rdicl. Relción entre potencis y rdicles Propieddes de los rdicles Operciones con rdicles Notción científic 0 11.Ejercicios propuestos 0

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5 Tem Símbolos mtemáticos Ls Mtemátics se pueden definir como el estudio de ls relciones entre cntiddes, mgnitudes y propieddes, y de ls operciones lógics utilizds pr deducir cntiddes, mgnitudes y propieddes desconocids. En el psdo ls mtemátics ern considerds como l cienci de l cntidd, referid ls mgnitudes (como en l geometrí), los números (como en l ritmétic), o l generlizción de mbos (como en el álgebr). Hci medidos del siglo XIX ls mtemátics empezron considerrse como l cienci de ls relciones, o como l cienci que produce condiciones necesris. Est últim noción brc l lógic mtemátic o simbólic, cienci que consiste en utilizr símbolos pr generr un teorí exct de deducción e inferenci lógic bsd en definiciones, xioms, postuldos y regls que trnsformn elementos primitivos en relciones y teorems más complejos. En mtemátics es fundmentl utilizr un buen nomencltur pr que los conceptos puedn ser mnejdos de form clr, precis y concis. Aquí es donde entrn en juego los signos o símbolos mtemáticos, que están constituidos por figurs, señles y breviturs utilizdos en mtemátics pr denotr entiddes, relciones y operciones. El origen y l evolución de los símbolos mtemáticos no se conocen bien. El origen del cero es desconocido, unque hy confirmción de su existenci ntes del ño 400 d.c. L extensión del sistem de lugres decimles los que representn vlores inferiores l unidd se tribuye l mtemático holndés Simon Stevin (conocido tmbién como Simon de Brujs), que llmó ls décims, centésims y milésims prims, secunds y tercis. Antes de 149 y se empezó utilizr un punto pr seprr l prte deciml de un número. Más trde se usó tmbién un ry verticl. En su Exempelbüchlein de 150, el mtemático lemán Christoff Rudolf resolví un problem de interés compuesto hciendo uso de frcciones decimles. El strónomo lemán Johnnes Kepler empezó utilizr l com pr seprr los espcios decimles, y el mtemático suizo Justus Byrgius utilizb frcciones decimles de l form,. A pesr de que los ntiguos egipcios tenín símbolos pr l dición y l iguldd, y los griegos, hindúes y árbes tenín símbolos pr l iguldd y ls incógnits, en esos primeros tiempos ls operciones mtemátics solín ser bstnte engorross debido l flt de signos propidos. Ls expresiones de dichs operciones tenín que ser escrits por completo o expresds medinte breviturs de ls plbrs. Más trde, los griegos, los hindúes y el mtemático lemán Jordnus Nemorrius empezron indicr l sum medinte yuxtposición, mientrs que los itlinos l denotbn con ls letrs P o p trvesds con un ry, pero estos símbolos no ern uniformes. Ciertos mtemáticos utilizbn l p, otros l e, y el itlino Niccolò Trtgli solí expresr est operción como. Los lgebrists lemnes e ingleses introdujeron el signo +, l que denominron signum dditorum, unque l principio sólo se utilizb pr indicr excedentes. El mtemático griego Diofnte utilizb el signo ր pr indicr l sustrcción. Los hindúes usbn un punto y los lgebrists itlinos l representbn con un M o m y con un ry trvesndo l letr. Los lgebrists lemnes e ingleses fueron los primeros en utilizr el signo ctul, l que denominron signum subtrctorum. Los signos + y fueron usdos por primer vez en 1489 por el lemán Johnn Widmn. El mtemático inglés Willim Oughtred fue el primero en usr el signo en vez de l plbr veces. El mtemático lemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizb un punto pr indicr l multiplicción y, en 167, el frncés René Descrtes empezó usr l yuxtposición de los fctores. En 1688 Leibniz utilizó el símbolo pr denotr l multiplicción y pr l división. Los hindúes colocbn el divisor debjo del dividendo. Leibniz usó l form más conocid : b. Descrtes populrizó l notción n pr l potencición y el mtemático inglés John Wllis definió los exponentes negtivos y utilizó el símbolo pr representr infinito. El signo de iguldd, =, lo creó el mtemático inglés Robert Recorde. Otro mtemático inglés, Thoms Hrriot, fue el primero en utilizr los símbolos > y <, myor que y menor que. El m-

6 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics temático frncés Frnçois Viète introdujo vrios signos de grupción. Los símbolos de diferencición, dx, y de integrción,, empledos en el cálculo, son originles de Leibniz, lo mismo que el símbolo de semejnz, utilizdo en geometrí. El mtemático suizo Leonhrd Euler es el principl responsble de los símbolos, f, F, usdos en l teorí de funciones. En l siguiente tbl se proporcionn los símbolos mtemáticos más utilizdos: = igul distinto <, menor, menor o igul >, myor, myor o igul, incluido o contenido, que contiene o incluye pertenece / no pertenece equivlente proximdmente igul pr todo, pr culquier, pr cd existe!, existe un/ único/ no existe /, : tl(es) que A= B si ocurre A entonces ocurre B A =B si ocurre B entonces ocurre A A B sucede A si y sólo si (siempre y cundo) suced B. Teorí de conjuntos Aunque l definición de conjunto puede ser muy complicd, nos conformremos con decir que un conjunto es un grupo de elementos que poseen un ciert propiedd. Además se cuent con el llmdo conjunto vcío, que se denot por, y es el único conjunto que no contiene ningún elemento. Los conjuntos se denotrán siempre con letrs myúsculs y sus elementos, que se escribirán siempre en minúsculs, se incluirán entre llves y seprdos por coms: A = {,b,c}, B = {x}, C = {7,90}. Ddos dos conjuntos A y B, diremos que B es un subconjunto de A o que B está incluido en A si todos los elementos de B pertenecen A. Lo escribimos B A x A, x B Ejemplo.1 Se el conjunto A = {x,y,z,t}. Podemos decir que Éste está constituido por cutro elementos: x,y,z,t. 1. x A, y A, z A, t A.. / A.. B = {y,z} = B A.

7 Tem 1 Diremos que dos conjuntos, A y B, son igules si mbos están formdos por los mismos elementos: A = B [x A x B]. Además se tiene que el conjunto vcío está incluido en culquier conjunto. Entre conjuntos se pueden relizr operciones como l unión, l intersección y l diferenci. Así, si A y B son dos conjuntos culesquier tendremos que A B, (A unión B), es el conjunto constituido por los elementos de A y de B: L unión posee ls siguientes propieddes: 1. A A B, es decir:. B A B. A B = {x : x A, y/o x B}. x A, x A B [x A = x A B]. A B, (A intersección B), es el conjunto formdo por los elementos que pertenecen A y B: A B = {x : x A, x B}. Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos cundo A B =. L intersección posee ls siguientes propieddes: 1. A B A, es decir:. A B B.. A B A B. x A B, x A [x A B = x A]. A B, (A menos B), es el conjunto formdo por los elementos de A que no pertenecen B: A B = {x A : x / B}. Si B A, se define el conjunto complementrio de B en A como B c = {x A : x / B}. Ls propieddes de l diferenci son ls que siguen: 1. A B A, esto es:. A B A B. x A B, x A [x A B = x A] Vemos todo esto en un cso concreto. Considérense los conjuntos A = {,b,c,d,f} y B = {x,y,s}. Como puede observse en l figur 1, se tiene que A B = {,b,c,d,f,x,y,s}, A B = {,b,c}, A B = {d,f,s}, B A = {x,y}.

8 4 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics A B b d s f x y c Figur 1 Por último, ddos dos conjuntos A y B, se define el producto crtesino de A y B como el conjunto de pres ordendos A B = {(,b) : A, b B}. Ejemplo. Si A = {, b, c} y B = {1, }, el producto crtesino de mbos conjuntos será.1. Correspondencis. Aplicciones A B = {(,1),(,),(b,1),(b, ),(c,1),(c,)}. Ddos dos conjuntos culesquier, A y B, se pueden estblecer relciones que liguen de lgun form los elementos del conjunto A con los del conjunto B. Así, se llm correspondenci de A en B culquier criterio que signe elementos de B elementos de A. Un correspondenci f de A en B se denotrá hbitulmente por f : A B, y diremos que A es el conjunto inicil y B el conjunto finl. L imgen de un elemento de A es el elemento o elementos de B que se le signn, y l ntiimgen de un elemento de B es el elemento o elementos de A los que es signdo. De este modo, si b B es imgen de A, se escribirá f() = b. Ejemplo. Considérense los conjuntos A = {1,,} y B = {,b,c,d}. Entre mbos puede estblecerse un correspondenci f medinte l figur que sigue: A 1 f b c d B

9 Tem 1 5 Se tiene que 1. l imgen de 1 es y b,. el elemento no tiene imgen,. l ntiimgen de c es, 4. el elemento d no tiene ntiimgen. Un plicción o función es un correspondenci que sign cd elemento del conjunto inicil un único elemento del conjunto finl. A b c d f x y z B Figur : Aplicción. Sen A y B dos conjuntos y f : A B un plicción. Si S A, se define el conjunto imgen de S por f, o simplemente l imgen de S por f, como f(s) = {f(x) : x S} = {y B : x S, y = f(x)} B. En el cso en que se S = A tendremos que f(a) = {f(x) : x A} es el conjunto imgen de f o l imgen de f. Por convenio será f( ) =. Si T B, se define el conjunto ntiimgen de T por f, o simplemente l ntiimgen de T por f, como Tendremos demás que f 1 ( ) = por convenio. f 1 (T) = {x A : f(x) T } A. A B A B S f(s) f 1 (T) T f f 1 () Imgen de S por f. (b) Antiimgen de T por f. Figur : Imgen y ntiimgen por un plicción.

10 6 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics Dd l plicción f : A B, si C A, se define l plicción restricción de f C como l plicción Diremos que f : A B es un plicción f C : C B x f C (x) = f(x) inyectiv si elementos distintos de A tienen imágenes distints, es decir, si 1, A, 1 = f( 1 ) f( ), o equivlentemente, 1, A, f( 1 ) = f( ) = 1 = ; sobreyectiv o supryectiv si todo elemento de B tiene ntiimgen, esto es, si b B, A : f() = b, o lo que es lo mismo, si f(a) = B; biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv, o se, si b B,! A : f() = b A b c d f B A b c d f 1 B () Aplicción inyectiv. (b) Aplicción sobreyectiv. A f B 1 b c d 4 (c) Aplicción biyectiv. Figur 4: Tipos de plicciones. Si A, B y C son tres conjuntos, y f : A B y g : B C son dos plicciones, podemos definir un plicción de A en C hciendo uso de f y g: l composición de f con g, que se denotrá por g f. f g f : A B C x y = f(x) g(y) = g (f(x)) g

11 Tem 1 7 A B C f g 1 x b y c z d 4 Figur 5: Composición de plicciones. Ejemplo.4 Sen f : A B y g : B C dos plicciones definids por l figur 5 Obsérvese que (g f)() = g (f()) = g(x) = 4, (g f)(b) = g (f(b)) = g(z) =, (g f)(c) = g (f(c)) = g(x) = 4, (g f)(d) = g (f(d)) = g(y) = 1... Leyes de composición. Estructurs lgebrics básics Llmmos ley de composición intern u operción intern definid en un conjunto A un plicción : A A A (,b) b Llmmos ley de composición extern u operción extern definid en un conjunto A con conjunto de operdores K un plicción : K A A (λ, ) λ Un operción intern definid en un conjunto A puede verificr ls siguientes propieddes: Asocitiv: ( b) c = (b c),,b,c A. Conmuttiv: b = b,,b A. Existenci de elemento neutro:!e A : e = e =, A. Existenci de elemento simétrico: A,!ā A : ā = ā = e, siendo e el elemento neutro del conjunto A. Si y son dos operciones interns definids en un conjunto A, se dirá que es distributiv respecto de si,b,c A se tiene que ( b) c = ( c) (b c), (b c) = ( b) ( c). Si A es un conjunto con un operción intern, diremos que el pr (A, ) es un grupo si stisfce ls propieddes siguientes:

12 8 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics socitiv, existe elemento neutro, existe elemento simétrico. Se dice que el grupo (A, ) es belino o conmuttivo si es conmuttiv. Si A es un conjunto con dos operciones interns, y, se dirá que l tern (A,, ) es un nillo si (A, ) es un grupo, es socitiv, es distributiv respecto de. Se dice que (A,, ) es un nillo belino o conmuttivo si conmuttiv, y que es un nillo unitrio si posee elemento neutro. si Si A es un conjunto con dos operciones interns, y, l tern (A,, ) se dice que es un cuerpo (A, ) es un grupo conmuttivo, (A {0}, ) es grupo, siendo 0 el elemento neutro de, es distributiv respecto de. Cundo es conmuttiv, se dirá que (A,, ) es un cuerpo belino o conmuttivo.. Números nturles L Aritmétic se bs en el concepto de número nturl; prescindiendo del nálisis de este concepto, nos limitremos indicr que mtemáticmente puede introducirse prtiendo de tres conceptos bse: el 1 el uno en el sentido hbitul, número que indic 1,,,..., y sig o siguiente por el que se indic el que le sigue en el orden nturl. A prtir de ellos se definen los números nturles como el conjunto de entes que stisfcen los cinco xioms siguientes: I. 1 es un número nturl. II. A cd número nturl n, le corresponde unívocmente otro que se llm el siguiente: sig n. III. El 1 no tiene precedente. IV. Si sig n = sig m entonces n = m. V. Principio de inducción complet. Si un conjunto C de números nturles cumple ls siguientes condiciones: ) C contiene l 1, b) si C contiene n, tmbién contiene sig n, entonces C contiene todos los números nturles.

13 Tem 1 9 Estos xioms, que pueden considerrse como un definición implícit de los números nturles, permiten edificr de modo riguroso tod l Aritmétic. Así, pueden definirse por recurrenci l sum y multiplicción de números nturles y demostrrse ls leyes usules de cálculo. L sum se define por ls regls siguientes, válids pr culesquier n y m: n + 1 = sig n, n + sig m = sig (n + m). Por ejemplo: n + = n + sig 1 = sig (n + 1), n + = n + sig = sig (n + ),... L multiplicción se define medinte ls dos regls siguientes, válids pr culesquier n y m: Por ejemplo: n 1 = n, n sig m = nm + n. n = n sig 1 = n 1 + n = n + n, n = n sig = n + n,... Siguiendo el método de inducción se pruebn ls regls usules de cálculo: Sum Multiplicción Ley conmuttiv n + m = m + n nm = mn Ley socitiv (n + m) + k = n + (m + k) (nm)k = n(mk) Ley distributiv (n + m)k = nk + mk Además se tienen ls leyes cnceltivs de l sum y l multiplicción: n + k = m + k = n = m, nk = mk = n = m A prtir de lo nterior se definen los conceptos de myor y menor, grcis los cules puede estblecerse un ordención de los números nturles. De este modo, se dice que n es myor que m, y se escribe n > m o bien m < n, si existe un número nturl k tl que n = m + k. Tmbién por inducción se demuestrn ls leyes usules de l desiguldd: Ley de tricotomí. Pr cd dos números nturles n y m, vle un y sólo un de ls relciones siguientes: n > m, n = m, n < m. Ley trnsitiv de l monotoní. Si n > m y m > k entonces n > k. Ley de monotoní de l sum. Si n > m entonces n + k > m + k. Ley de monotoní de l multiplicción. Si n > m entonces nk > mk. De ést se sigue que si n > m y k > j entonces nk > mj. Finlmente, decir que el conjunto de los números nturles se represent por N. 4. Números enteros En el conjunto de los números nturles son siempre posibles l sum y l multiplicción, pero no ls operciones inverss. Ejemplo 4.1 No tienen solución ls operciones 4 7, 17 :, ni en generl n m si n < m, ni n : m si n no es múltiplo de m.

14 10 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics Ello oblig mplir el concepto de número, introduciendo los números negtivos, el cero y los frccionrios. Pr hcer posible l sustrcción se introducen los números enteros. Llmmos números enteros los pres ordendos { b} minuendo sustrendo de números nturles con l condición de que { b} = {c d} si y sólo si + d = b + d. Siendo n N culquier, se llm entero positivo + l representdo por el pr {( + n) n}, cero l entero {n n} y entero negtivo l número = {n (k + n)}. A prtir de ls definiciones nteriores se definen l sum, el producto y l desiguldd: Sum: { b} + {c d} = {( + c) (b + d)}, Producto: { b} {c d} = {(c + bd) (d + bc)}, Desiguldd: { b} < {c d} + d < b + c, cuy fecundidd estrib en que ls regls opertoris serán ls misms que pr los números nturles. Y se demuestrn, l ley uniforme el resultdo es independiente del pr elegido pr representr cd número, socitiv, conmuttiv, cnceltiv, de l sum; distributiv, conmuttiv de l multiplicción; de tricotomí, trnsitiv de l monotoní y de monotoní de l sum pr ls desigulddes; en cmbio, ls leyes cnceltivs y de monotoní de l multiplicción se enuncin continución: Ley cnceltiv. De ser b = c con 0, se deduce que b = c. Ley de monotoní. Si > b y c > 0 (o bien, c < 0, o bien, c = 0) entonces c > bc (o bien, c < bc, o bien, c = bc). Conviene completr ests leyes con l llmd Ley modulr: existe, pr cd un de ls dos operciones sum y multiplicción un número llmdo elemento neutro o módulo que no modific el vlor de otro culquier l que se plique. Pr l sum este número es el cero, y que, siendo p un número entero culquier, es p + 0 = 0 + p = p; y pr l multiplicción es el uno, y que p 1 = 1 p = p. Con ls definiciones y regls nteriores l ecución +x = b siempre posee solución, lo que permite interpretr el signo como de diferenci, y definir el número opuesto de uno ddo como solución de l ecución + x = 0. De dos números opuestos y uno es siempre positivo y éste se define como el vlor bsoluto de y se design por, siendo 0 = 0. Bsándose en ests definiciones se demuestrn su vez ls regls de signos + + = +, + =, + =, = +, y l regl generl de desiguldd: > b b > 0. De ello se sigue que todo número positivo es myor que todo número negtivo y de dos números negtivos es menor el de myor vlor bsoluto. Además, el vlor bsoluto de un sum de dos números y b es l sum de los vlores bsolutos de éstos, si mbos tienen el mismo signo; pero si lo tienen distinto, el vlor bsoluto de + b es b suponiendo que > b, número inferior + b por ser b < b. Resumiendo mbos csos tenemos que + b + b. El conjunto de todos los números enteros se conoce por Z y (Z,+) es un grupo conmuttivo.

15 Tem Números rcionles A fin de hcer posible l división es preciso mplir el conjunto de los números enteros, introduciendo el concepto de número rcionl. Un número rcionl se define como un pr ordendo de números enteros que se representn en l form, siendo b 0; el primero se denomin numerdor y el segundo denomindor, con l b siguiente convención: b = c d = cb. d Amplindo sí, con l introducción de los números frccionrios, el concepto de número, hy que volver definir pr los nuevos entes, ls operciones fundmentles: Sum y multiplicción. Se definen l sum y el producto de dos números rcionles p = b y q = c d, del modo siguiente: p + q = b + c d + bc =, pq = c d bd b d = b cd. L sustrcción y l división se definen, respectivmente, como operciones inverss de ls nteriores. En el cmpo de los números rcionles son siempre posibles ls cutro operciones: sum, sustrcción, multiplicción y división ést con divisor distinto de cero, operciones que, por ello, se denominn rcionles. Definids ésts, se demuestrn fácilmente que ls leyes fundmentles, uniforme, conmuttiv, socitiv, distributiv, modulr y cnceltiv de l dición y multiplicción, estblecids pr los enteros, se mntienen pr ls operciones con números rcionles. Aprte de ls nteriores, se definen ls Leyes de inversión: ddo el número rcionl p siempre tienen solución ls ecuciones p + x = 0 y px = 1 ést siempre que se p 0. El número x se llm opuesto en el primer cso e inverso en el segundo. Los números rcionles se dividen en positivos y negtivos, dependiendo de que el numerdor y denomindor tengn igul signo o distinto. Ddos dos números rcionles p y q, se dice que p > q siempre y cundo p q > 0. De quí se sigue que, si b y c d son positivos, b > c d > bc. d De est definición se deduce fácilmente que, pr ls desigulddes entre números rcionles, se siguen verificndo ls leyes fundmentles de tricotomí, trnsitiv y de monotoní nteriormente estblecids, y ls regls pr operr con desigulddes. Es interesnte el siguiente Teorem 5.1 (de Arquímedes) Si 0 < b < c d, existe un número nturl n tl que n b > c d. Un teorem importnte que señl un diferenci esencil entre los números enteros y los rcionles es el siguiente: Teorem 5. Ddos dos números rcionles p y q tles que p > q, existe siempre otro número rcionl r tl que p > r > q. Así, por ejemplo, el número rcionl 1 (p + q) está siempre comprendido entre los números rcionles p y q. Del teorem nterior se puede deducir el Corolrio 5.1 Ddos dos números rcionles distintos culesquier, existen siempre infinitos números rcionles comprendidos entre ellos. Finlmente, decir que el conjunto de los números rcionles se denot por Q. Es más, (Q,+) y (Q {0}, ) son grupos belinos y (Q,+, ) es un cuerpo conmuttivo.

16 1 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics 6. Números reles Además de ls cutro operciones descrits con nterioridd, hy otrs que tmbién se pueden relizr en el conjunto de los números rcionles, como puede ser l potencición de números rcionles con exponente entero: p n. L operción invers, llmd rdicción o extrcción de ríces, no siempre es posible en Q, y d lugr un mplición de dicho conjunto: el conjunto R de los números reles. Extrer l ríz n ésim de un número ddo p consiste en hllr otro número q que, elevdo l potenci n, se igul p. Es decir, n p = q q n = p, donde p recibe el nombre de rdicndo. Ejemplo =, y que = 8; 64 = 8, y que 8 = 64; 4 9 =, y que ( ) = 4 9. Cundo el rdicndo es un cudrdo perfecto, su ríz es un número rcionl, como puede verse en el ejemplo nterior. Sin embrgo, si el rdicndo no es un cudrdo perfecto, l ríz cudrd no es un número rcionl. Por ejemplo, no es un número rcionl, y que no puede expresrse como cociente de dos números enteros. Tmpoco son rcionles los números, 4 9, 15 por l mism rzón. Todos estos números constituyen un conjunto llmdo conjunto de los números irrcionles, I, y que puede definirse como el conjunto de números que no pueden expresrse como cociente de dos números enteros. L unión de los números rcionles y de los irrcionles constituyen el conjunto de los números reles, denotdo por R. Con los números que formn este conjunto se pueden relizr tods ls operciones hst hor definids, y se verificn tods ls leyes fundmentles y de desiguldd y estudids. Más ún, los teorems y el corolrio enuncidos pr los números rcionles tmbién son válidos pr los números reles. Se tiene que (R,+) y (R {0}, ) son grupos belinos y (R,+, ) tiene estructur de cuerpo conmuttivo. 7. L rect rel. Intervlos Los números reles se representn gráficmente sobre un rect llmd rect rel, de modo que cd número rel le corresponde un único punto de l rect y vicevers, como se muestr en l figur 6. x y z R Figur 6: Rect rel con tres puntos culesquier x < y < z. Estudiemos hor los denomindos intervlos; pr ello, considérense dos números culesquier, b R tles que < b. Se tienen los siguientes tipos de intervlos: Intervlo bierto de extremos y b: (,b) = {x R : < x < b}.

17 Tem 1 1 Intervlo cerrdo de extremos y b: [,b] = {x R : x b}. Intervlos semibiertos o semicerrdos de extremos y b: (,b] = {x R : < x b}, [,b) = {x R : x < b}. Intervlos infinitos: (,+ ) = {x R : x > }, [,+ ) = {x R : x }, (,) = {x R : x < }, (,] = {x R : x }. En l figur 7 precen representdos sobre l rect rel todos los intervlos nteriores. Obsérvese que en dich figur precen puntos huecos puntos rellenos ; ést es l notción hbitul pr representr el extremo bierto del intervlo, en el primer cso, y el extremo cerrdo del intervlo, en el segundo. R b b R () Intervlos (,b) y [,b], respectivmente. R b b R (b) Intervlos (,b] y [,b), respectivmente. R R R R (c) Intervlos (,+ ), [,+ ), (,) y (,], respectivmente. Figur 7: Intervlos en l rect rel. 8. Números complejos Los números complejos precieron l buscr soluciones pr ecuciones como x = 1. No existe ningún número rel x cuyo cudrdo se -1, por lo que los mtemáticos de l ntigüedd concluyeron que no tení solución. Sin embrgo, medidos del siglo XVI, el filósofo y mtemático itlino Gerolmo Crdno y sus contemporáneos comenzron experimentr con soluciones de ecuciones que incluín ls ríces cudrds de números negtivos.

18 14 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics L llmd unidd imginri, definid como 1 y denotd por i, result ser un de ls soluciones de l ecución nterior: x = 1 x = ±i. Decimos que tod expresión de l form + bi se llm número complejo, donde y b son números reles. Con estos números se pueden relizr tods ls operciones: sum, rest, multiplicción, división, potencición y rdicción. El conjunto de todos los números complejos se denot por C, y (C,+, ) tiene estructur de cuerpo conmuttivo. En ests condiciones, se puede resolver, por ejemplo, l ecución x x + = 0: x + x + = 0 x = ± 4 8 = ± 4 = ± 4 ( 1) = ± i = 1 ± i. Esto es, l soluciones de l ecución son 1 + i y 1 i. El grn logro de Guss fue demostrr que todo polinomio no trivil (es decir, que tiene l menos un ríz distint de cero) con coeficientes complejos tiene l menos un ríz complej. De quí se deduce que todo polinomio complejo de grdo n tiene exctmente n ríces, no necesrimente distints. 9. Potencis y rdicles 9.1. Potencis de exponente entero L potencición con exponente nturl es un cso prticulr del producto en R; en efecto, si R y n N entonces n n {}}{ =. A continución se exponen ls propieddes fundmentles de ls potencis de exponente entero: Producto de potencis de igul bse: n m = n+m. Cociente de potencis de igul bse: n : m = n m = n m. Producto de potencis de igul exponente: n b n = (b) n. Cociente de potencis de igul exponente: n : b n = n ( ) n. b n = b Potenci de un potenci: ( m ) n = ( n ) m = mn. Potenci con exponente nulo: 0 = 1 y que, si n Z, 0 = n n = n n = 1. Potenci con exponente negtivo: n = 1 n. Ejemplo ( ) ( ) 9 = ( ) +9 = ( ) 1.. ( 5 41) 7 : ( 5 41) = ( 5 41) 7 = ( 5 41) 4.

19 Tem Tenemos por un ldo que = 5 5 = 5, mientrs que por otro = = 1 5, de modo que 5 = ( ) 6 = 1 (/) 6 = ( ) 6. Otrs propieddes importntes que resultn de ls nteriores son: Producto de potencis monomis: ( n b m )( i b j )( k b l ) = n+i+k b m+j+l. Cociente de potencis monomis: ( n b m ) : ( i b j ) = n b m Ejemplo ( b 5 )( b) = 5 b 6.. (x y)(y z) = x y 4 z.. ( 4 bc) : ( b cd) = b c 0 d 1 = b d. i b j = n i b m j. 9.. Definición de rdicl. Relción entre potencis y rdicles Llmremos ríz n ésim de un número R, otro número b R, si existe, que elevdo l potenci n se igul l rdicndo, esto es n = b b n =. El número n es el índice del rdicl, es el rdicndo y el signo se denomin signo rdicl. Cundo n = se escribirá y se llmrá ríz cudrd de, si n = hblremos de l ríz cúbic de. Si n = 4,5,... estremos hblndo de ls ríces curt, quint,... de. En cunto l notción, decir que se escribirá tmbién n = 1/n, n pues si = b entonces, por definición, = b n = ( n ) n = n/n = ( 1/n ) n. Con est notción se pueden demostrr fácilmente ls propieddes de los rdicles, pues son ls misms que ls de ls potencis con exponente entero. Obsérvese que l potenci n ésim y l ríz n ésim son operciones recíprocs o inverss. Por ejemplo, ( ) 5 =, 5 =. Nótese que, plicndo ls propieddes de l potenci con exponente entero en los csos nteriores, tenemos que ( ) = ( 1/ ) = / = 1 =, 5 5 = ( 5 ) 1/5 = 5/5 = 1 =.

20 16 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics 9.. Propieddes de los rdicles Propiedd fundmentl de los rdicles. pn qn = p q. Pr probr est iguldd, bst con elevr el segundo miembro l potenci pn y observr que se obtiene el rdicndo del primer miembro: ( p [ q ) pn = ( p q ) p] n = ( q ) n = qn. Ejemplo 9. = 4 () = 4 9, (x + y) = 6 4 (x + y) = (x + y), 4 6 = 4 6 = 6, 10 = 10 5 =. Trnsformción de rdicles. Un rdicl puede trnsformrse de infinits forms en otro sin más que multiplicr o dividir el exponente y el índice del rdicndo por un mismo número. Ejemplo 9.4 Los rdicles siguientes son igules o equivlentes: 1 9 6, 6, , Reducción de rdicles índice común. Se oper de form similr l de reducción de frcciones común denomindor: Se hll el m.c.m. de los índices, que será el índice común. Se divide el índice común por cd índice y el cociente se multiplic por el exponente del rdicndo. Ejemplo 9.5 Reduzcmos los siguientes rdicles índice común: x, 6 4 (x ), 5 b,. Como el m.c.m.(, 6, 4, 1) = 1, los rdicles nteriores se convierten en x 1, 1 (x ), b 6, Ríz de un producto. n bc = n n b n c. En efecto; ( n n b n ) n ( c = n ) ( ) n n n ( b n ) n c = bc. Ejemplo = = 7 9 = 189. Ríz de un cociente. n : b = n b = n : n b = n n b. Así es, puesto que ( n ) n n ( : b = n ) ( ) n n n : b = : b. Ejemplo = = 1 7 =.

21 Tem 1 17 Potenci de un ríz o ríz de un potenci. ( n ) m = n m. En efecto, como cso prticulr del producto de rdicles se tiene: m ( n ) m = n n {}}{ n = n = n m. Ejemplo 9.8 ( 4 ) = 4 = 64 = 8, ( ) 4 = 4 = = 8. Ríz de un ríz. m n = mn. Pr probr est iguldd bst con elevr el primer miembro de l potenci mn ésim y observr que result el rdicndo del segundo miembro: ( ) mn [( ) m ] n m n m = n = ( n ) n =. Ejemplo = 4 81 = 4 4 =, 6 64 = 64 = 6 6 =, = = = 6; = 6561 = 81 = 9, = 4096 = 64 = 4, = 6561 = 81 = 9 =. Extrcción e introducción de fctores de un rdicl. Como l ríz de un producto es igul l producto de ls ríces de los fctores, si el exponente de lguno los fctores del rdicndo es múltiplo del índice, podremos extrer del rdicl dicho fctor, con sólo dividir su exponente por el índice. Pr introducir un fctor en un rdicl hbrá que proceder de form invers, es decir, hbrá que elevr el fctor l potenci que indic el índice. Ejemplo = 6 = 6, 81 9 (x + y) = (x + y), 8 4 b b 4 = 8 4 b (1 + b ) = b (1 + b ); = 4 = 1, b c = 16 7 b c. Rdicles semejntes. Son quellos que tienen el mismo índice y mismo rdicndo. Pueden diferir únicmente en el coeficiente que los multiplic. Ejemplo x 1, x 1, x x, 19x y 6 9x son semejntes y que, simplificándolos, se trnsformn en 1 x, 8 x y x, respectivmente.. 45, 1 0 y 5 son semejntes, pues equivlen 5, 6 5 y 5, respectivmente. 5

22 18 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics 9.4. Operciones con rdicles Sum y sustrcción. L sum lgebric de vrios rdicles semejntes puede expresrse scndo el rdicl como fctor común de l sum lgebric de los coeficientes. Si los rdicles no son semejntes, l operción se dej indicd. Ejemplo y x y y x y + x y = (y y + 1) x y = = = = ( ) ( = +. 5) 0 Multiplicción y división. Pr multiplicr o dividir vrios rdicles con el mismo índice, se multiplicn o dividen los rdicndos y se le coloc l resultdo de l ríz el mismo índice. Si los rdicles no tienen el mismo índice, se reducen índice común y se plic l regl nterior. Ejemplo = = x y. y x = x 6 6 y y x = x y x 6 xy 6 y x = 6 y = 5. y 1. 4 : 4 = 4 : 1 4 = = 6 = 6. Rcionlizción de denomindores. Suele ser frecuente que prezcn en los cálculos expresiones frccionris cuyo denomindor está constituido por un o vris ríces cudrds no excts. Los cálculos numéricos resultn más fáciles cundo se trnsformn dichs frcciones en otrs equivlentes cuyo denomindor se un número entero. L operción medinte l cul se logr esto se denomin rcionlizción de denomindores. Se presentn dos csos: Si el denomindor es un monomio se multiplicn el numerdor y el denomindor por l ríz que prece en el denomindor. Es conveniente simplificr ntes los rdicles, si es pertinente, scndo fuer del rdicl los fctores que se posible. Ejemplo = 5 = 5 9 = = 5 9 = 15 = 15 = 0 = 6. 5xy = = 5xy = 5xy 5xy 5xy 5xy 5xy. 10.

23 Tem 1 19 El denomindor de l frcción puede ser un ríz de índice culquier m. En este cso se multiplicn tnto el numerdor como el denomindor por l ríz m ésim de un expresión, cuyo producto por el rdicndo del denomindor se un potenci m ésim perfect: m b n = m b m n m b n m b = m b m n. m n b Ejemplo = = 1 = Cundo el denomindor es un binomio se multiplicn numerdor y denomindor por el binomio conjugdo del denomindor, el cul se obtiene cmbindo el signo de uno de los términos. Así, el conjugdo de + b es b o bien + b. Al operr de est form, resultrá en el denomindor un sum diferenci=diferenci de cudrdos, con lo que desprecerán ls ríces cudrds. Ejemplo = 5 + = ( ) ( ) = = + 1. ( ) ( ) 5 ( ) ( ) = = Simplificción de rdicles. Simplificr un rdicl es escribirlo de l form más sencill posible, pr lo cul se hn de prcticr ls operciones siguientes: Hcer que el índice y el exponente sen primos entre sí, lo cul se logr dividiendo el índice y los exponentes por su m.c.d. Ejemplo = = b 6 c = 8 ( b c) = 4 b c. Extrer del rdicl todos los fctores posibles. Ejemplo = 9 = = 64 = =.. 7x 8 108x 6 y = 7x 6 (x 4y ) = x x 4y. Hcer que el rdicndo no conteng ningun frcción. Ejemplo = 5 5 = 5 = = = 15 = = 10. 5

24 0 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics x = 7x 7x 7x = 5x 1 49x = 49x 5x = 1 5x. 7x Potencis de exponente frccionrio. Y vimos nteriormente que podímos escribir n = 1/n. Est iguldd se puede generlizr como sigue: n m = m/n, esto es, todo número fectdo de exponente frccionrio represent un rdicl que tiene por índice el denomindor de l frcción y por rdicndo l bse de l potenci con exponente igul l numerdor. Ejemplo / = 8 = 4; (b ) / = (b ) = b 4 = b b. 10. Notción científic L notción científic consiste en expresr números decimles hciendo uso de potencis de 10, teniendo en cuent que. = = = = = = = = = = =. Un número escrito en notción científic debe tener un único número como prte enter y el resto debe ser deciml. Así, pr expresr un número culquier en notción científic hbrá que tener en cuent si el número, en vlor bsoluto, es myor o menor que uno: Si es myor que uno, se correrá l com hci l izquierd dejndo un únic cifr enter no nul, y se multiplicrá por un potenci positiv de 10 cuyo exponente es el número de lugres que se h corrido l com. Ejemplo = 54 0 = , = , = Si es menor que uno, se correrá l com hci l derech dejndo un únic cifr enter no nul, y se multiplicrá por un potenci negtiv de 10 cuyo exponente es el número de lugres que se h corrido l com. Ejemplo = 10 4, = , = Ejercicios propuestos (1) Reliz ls siguientes operciones: ) { + 5[9( 5 + 4) ] + 4};

25 Tem 1 1 b) 1 [ ( 4 + )] 4 ; ( ) ( c) 4 : 1 8 ) + 1 ; [( ) ( d) 1 : 4 5 ) ( )( )] 1 { [ ( )]} () Represent en l rect rel los siguientes intervlos: (,+ ), [4,8), (,1), [ 5, ], (0,5). () Reduce ls siguientes expresiones un sol potenci, plicndo ls propieddes de ls potencis: ( ) 1 ( ) 1 5 ( ) 1 ) ( ) ( ) 1 ( ), ; b) [ ( ) ] (, ) (, 1 4 ) ; [ (1 ) ] 5 { [( c), ) ] } 5 { [( 0, 1) ] } ; ( d) ( 4) 5 : ( 4), ( : ) ). (4) Clcul ls potencis siguientes: [ (1 ) ( ) ] [ ( ), 1 ) 6 5 ] 4 5 ( 5) ; b) ( 4 : 5 ), 6 [ ( ) ] 5 : ; 4 c) [ ] ( ), 6 [ ( )( ) ]. 9 (5) Resuelve ls siguientes expresiones: [ ( ) ) ( ] ( : 5 5) ) 15 ( ) 4 ( ) 4 5 ; { [(1 )( b) ( : 4)] ) } [ ( + 1 ) ( 5 ) ] ( ) ; [( ) ( c) 4 : 1 8 ) ( 1 + ] ) ( 1. 5) (6) Clcul ls potencis con exponente negtivo: ), ( ), ( ) 1, ( ) 1 ; ( b) 1 1 ( ) (,, ) ; 4) ( c) ) 1 1 ( ) 1 ( ) 16, 5, 5 1.

26 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics (7) Busc tres forms distints pr cd rdicl: 4 4, 15 8, , (8) Reduce los siguientes rdicles l mínimo índice común: ) 4 6 n, m, n 5 ; b) 4, 5 m, n 5 10, ; c) 5xy, 6x 6 xy z, z. (9) Clcul ls siguientes ríces de l form más sencill posible: ) , , ; b) 5 : , 8 : 0 064, : 56, 5 4 : ; c) 4 49, 0 064, 197 4, (10) Reliz ls siguientes operciones indicds: ) ; b) ; c) ; ( d) b c d). (11) Extre los fctores del rdicl: ) 8, 1, 16, 54, 5 64; 7 b) 4, 5 5x 10 y 8, 8x 4 y z n 6 ; c) 8, x y x 4 y, xy 7xy. (1) Introduce el coeficiente en el rdicl y simplific: ) 7, 1, x x, x y xy; b) 1 4 7,, x, xz xy y ; c) ( 81 4, ) 4 81 ; d) b + b x y + b b, (1 ), (x + y) x + y. (1) Demuestr que los siguientes rdicles son semejntes: ) 5, 8, 18;

27 Tem 1 b) 1 4, 7,, 7 ; c) 81, 4, 6 9, 1 9. (14) Efectú ls siguientes diciones y sustrcciones: ) , , 7 + 1; b) , 5 + 7, 16 54; c) , ; x 1 d) + x x + 8x, 4 8b 9 18b + 16 b; 6 cd b d x x 6x e) , cd x + y f) (x y) x y + 9x 9y + x + y x y (15) Reliz ls siguientes operciones indicds: ),, 4 ; b) ( ), ; 4 4 c b d + d b 4 c c d ; 5xy 5y. x + y c) ( ) ( ), x y x y 7x 7y; ( d) )( b ) + b, ( xy x y ) ; e) 1 ( (x 1) x 1, ( ) 4b f) b : g) 1 : 4, 8 5 bc 4 : 4 : 4 : h) :, b )( + ) b ; b, 6 1 ( 5 : ( ) b c 6 ; ( ) ) ; (16) Rcionliz el denomindor de ls siguientes expresiones: ) 6, b) c), y x y, 7 5, 8 ;, 4 ; x y y x, 1 5 ;

28 4 Mtemátics pr estudintes de primer curso de fcultdes y escuels técnics d) e) f) g) + 5, + x + x,, 1, x y x + x, xy x y ; 6( y), 1 ; ( y) + 5 5, ; y. y (17) Escribe bjo rdicl único y simplific los resultdos: ) 8,, 4, ; 19 1 b), 1, 4; c) 1,, 4 b 1 1 b 4 b b ; d) b b, b b b b. (18) Escribe sin rdicl ls siguientes expresiones: ),,, 4 b, 5 + b; b) 1 1, , 1, 4 + ; c) x x, x 1 b x, x 1 x. (19) Formul ls siguientes expresiones sin exponente frccionrio ni negtivo: ) /, 1/4, () /5 ; b) 5/, ( x) 5/, 1/ 4 / ; c) /, ( x) 1/ ; d) / [ 5 / (b 5) /], 1/ b 1/ c /4.

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