UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Deartamento de Matemática Tesis del Doctorado en Matemática PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PARA PROCESOS CON CAMBIO DE FASE EN SEMIESPACIOS POROSOS HÚMEDOS SIGUIENDO FORMULACIONES DE A. V. LUIKOV or EDUARDO ADRIAN SANTILLAN MARCUS Director: DOMINGO ALBERTO TARZIA 6

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3 The search in science is endless; therefore for a true scientist the discovery of a new henomenon does not become the conclusion of his work: It lays the foundation for the beginning of new research; a new eld of knowledge: And then a new road to the unknown ::: O:G:MARTYNENKO de JEP T ER; V ol: 73; N o 5 () A: V : LUIKOV S SCIENTIFIC LEGACY (ON THE 9 th ANNIVERSARY OF HIS BIRTH ) iii

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5 Resumen El objetivo de la resente tesis es la de resolver diversos roblemas de frontera libre ara la ecuación del calor-difusión que ocurren en un medio oroso, en articular ara el roblema de Stefan. El roblema de Stefan (o roblema de cambio de fase) estudia la temeratura en el esacio ocuado or dos fases de un cuero, generalmente una fase sólida y una líquida. Las funciones que reresentan las temeraturas de las dos fases satisfacen las corresondientes ecuaciones del calor. Sobre la suer cie de searación, que uede variar en el tiemo y que se encuentra a temeratura constante, se imone una condición adicional que surge del rinciio de conservación de la energía. El interés y la di cultad del roblema se debe a la resencia de dicha frontera libre, cuya determinación es de fundamental imortancia en la ráctica. Los roblemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase que ocurren en un medio oroso tienen amlia alicación en la industria, y debido a la no-linealidad del roblema, las soluciones usualmente involucran di - cultades matemáticas. Sólo unas ocas soluciones exactas han sido halladas ara casos ideales. Se estudiarán diversos roblemas de frontera libre en los cuales se considerarán las ecuaciones de Luikov; es decir acolamiento de las temeraturas y masa (humedad) de las dos fases del roceso físico. En el caítulo se resenta una introducción de la tesis. En el caítulo se considera un medio oroso semi-in nito que es secado al mantener una condición de ujo de calor en x = : Inicialmente, todo el cuero está a temeratura uniforme t y otencial de humedad uniforme u : La humedad se asume que se evaora or comleto a temeratura constante, al unto de evaoración t v. También se suone que el otencial de humedad en la rimer región es constante en u v. También se suondrá que la humedad en forma de vaor no se lleva ninguna cantidad de calor areciable del sistema. Se halla una solución a este roblema, deendiendo del valor del número de Luikov L u ; luego se discutirá la ecuación que determina la constante adimensional que caracteriza el frente de evaoración cuando el número de Luikov L u es igual o diferente a uno, y nalmente se darán algunos resultados ilustrativos y una condición su ciente ara el número de Luikov L u ara obtener cuando la distribución de temeratura tiene un valor mínimo menor que su temeratura inicial. En el caítulo 3 se considera el ujo de calor y humedad a través de un semiesacio oroso durante el congelamiento con una sobrecondición en el borde jo ara v

6 hallar condiciones necesarias y su cientes sobre los datos ara la determinación de un coe ciente desconocido en un roblema de frontera libre. Se hallan fórmulas ara la determinación de un coe ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera libre s(t); las temeraturas T ; T y la humedad u: En el caítulo 4 se considera un modelo similar al del Caítulo con una sobrecondición en el borde jo ara hallar condiciones necesarias y su cientes sobre los datos ara la determinación de dos coe cientes desconocidos ero considerando un roblema de frontera móvil. Se hallarán fórmulas ara la determinación de dos coe cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a las temeraturas T ; T y la humedad u: En el caítulo 5 se considera un medio oroso semi-in nito, inicialmente a temeratura T i exuesto a una condición de ujo de calor en x = : El líquido comienza a ebullir dentro de los oros cuando la temeratura alcanza condiciones de ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están searadas or una interfase móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. Una tiene el contenido de líquido original, mientras que la otra carece del mismo. El gas, generado en la interfase, uye a través del material oroso y el calor se trans ere or convección en una dirección ouesta a la conducción del ujo de calor. La tasa de ujo de calor es determinada, or un lado, a través de la Ley de Darcy (afectada or el gradiente de resión, la ermeabilidad del material oroso en la region y la viscosidad del gas), y or otro lado, a través del ujo de calor que alcanza la interfase y el coe ciente de calor latente del líquido en ebullición. Estos dos mecanismos gobiernan la tasa buscada de evaoracion y la resión eserada. Un modelo analítico del roceso se de ne y se obtienen soluciones exactas ara distribuciones de temeratura. Teniendo en cuenta una desigualdad ara la temeratura en la interfase x = s(t), T s, una desigualdad ara el coe ciente q es necesaria y su ciente ara obtener la solución exlícita corresondiente. Finalmente, también se obtiene una equivalencia entre un roblema de cambio de fase con condición de temeratura y un roblema de cambio de fase con condición de ujo de calor del tio q = t sobre la suer cie. vi

7 Finalmente, en el caítulo 6 se resenta un análisis matemático teórico del congelamiento (desublimación) de humedad en un medio oroso nito con una condición de ujo en x = : Se robará la existencia local y la unicidad en el tiemo de la solución de este roblema. Además se robará que este roblema P es equivalente a un sistema de ecuaciones integrales de Volterra de segunda esecie. Se verá que este roblema visto como sistema de ecuaciones integrales tiene una solución local única en el tiemo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach. La imortancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización de este tio de sistemas es un roblema de gran interés matemático y relevancia en el camo industrial. Problemas de cambio de fase que ocurren en medios orosos aarecen frecuentemente en rocesos industriales tales como rocesos de searación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en suelos y terrenos, etc, y es fundamental oder establecer condiciones sobre los datos ara asegurar la resencia o no de cambio de fase o de la frontera libre. vii

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9 Resumen Extendido El objetivo de la resente tesis es la de resolver diversos roblemas de frontera libre ara la ecuación del calor-difusión que ocurren en un medio oroso, en articular ara el roblema de cambio de fase conocido en la literatura como roblema de Stefan. El roblema de Stefan (o roblema de cambio de fase) estudia la temeratura en el esacio ocuado or dos fases de un cuero, generalmente una fase sólida y una líquida. Las funciones que reresentan las temeraturas de las dos fases satisfacen las corresondientes ecuaciones del calor. Sobre la suer cie de searación, que uede variar en el tiemo y que se encuentra a temeratura constante, se imone una condición adicional que surge del rinciio de conservación de la energía. El interés y la di cultad del roblema se debe a la resencia de dicha frontera libre, cuya determinación es de fundamental imortancia en la ráctica. Los roblemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase que ocurren en un medio oroso tienen amlia alicación en la industria, y debido a la no-linealidad del roblema, las soluciones usualmente involucran di cultades matemáticas. Sólo unas ocas soluciones exactas han sido halladas ara casos ideales. En el caítulo se resenta una introducción de la tesis. En el caítulo se considera un roblema similar al lanteado or S. H. Cho, en "An exact solution of the couled hase change roblem in a orous medium"[int. J. Heat and Mass Transfer 8 (975) 39-4]. Un medio oroso semi-in nito es secado al mantener una condición de ujo de calor en x = del tio q = t; con q > ; que fue considerado or rimera vez or D. A. Tarzia en "An inequality for the coe cient of the free boundary s(t) = t of the Neumann solution for the two-hase Stefan roblem"[quart. Al. Math. 39 (98) ]. Inicialmente, todo el cuero está a temeratura uniforme t y otencial de humedad uniforme u : La humedad se asume que se evaora or comleto a temeratura constante, al unto de evaoración t v. También se suone que el otencial de humedad en la rimer región, < x < s () ; es constante (de valor u v ); donde x = s () localiza el frente de evaoración al tiemo >. También se suondrá que la humedad en forma de vaor no se lleva ninguna cantidad de calor areciable del sistema. Desreciando la difusión de masa debido a variaciones de temeratura, el roblema uede (x; ) = (x; ) ; < x < s () ; > (region ) () ix

10 u = u v ; < x < s () ; > (region (x; ) = + "Lc ; x > s () ; > (region ) @ (x; ) = u (x; ) ; x > s () ; > (region ) (4) Las condiciones iniciales y de borde = q en x = ; > (5) t = t en x > ; = (6) u = u en x > ; = (7) t (s () ; ) = t (s () ; ) = t v > t en x = s () (8) u (s () ; ) = u (s () ; ) = u v < u en x = s () (s () ; ) + (s () ; ) = ") ml ds dt en x = s () () donde t (x; ) es la temeratura del medio oroso secado, t (x; ) es la temeratura del medio oroso húmedo, u (x; ) es el otencial de transferencia de masa del medio oroso húmedo, x es la variable esacial, es la variable temoral, a i ; i = ; es la difusividad termal de la fase i; a m es la difusividad de humedad, c m es la caacidad de masa esecí ca, c es el calor esecí co, k i ; i = ; es la conductividad térmica de la fase i; L es el calor latente de evaoración de líquido or unidad de masa, q = t es el ujo de calor sobre el borde jo x = ; m es la densidad de humedad del medio, t es la temeratura inicial, t v es la temeratura de cambio de fase, u es el otencial de transferencia de masa inicial, u v es el otencial de transferencia de masa de cambio de fase, y " es el coe ciente de evaoración interna. Se hallará una solución a este roblema, deendiendo del valor del número de Luikov L u = am a, luego se discutirá la ecuación que determina la constante adimensional que caracteriza el frente de evaoración cuando el número de Luikov L u es igual a uno y L u es diferente a uno, y nalmente se darán algunos resultados ilustrativos y una condición su ciente ara el número de Luikov L u ara obtener cuando la distribución de temeratura tiene un valor mínimo menor que su temeratura inicial. Estos resultados en colaboración con D. A. Tarzia fueron ublicados en Comutational and Alied Mathematics, Vol., N.3 (3) x

11 En el caítulo 3 se considerará el modelo resentado en los trabajos: M. D. Mikhailov, "Exact solution for freezing of humid orous half-sace"[int. J. Heat Mass Transfer 9, (976)] y E. A. Santillan Marcus - D. A. Tarzia, "Exlicit solution for freezing of humid orous half-sace with a heat ux condition"[int. J. Eng. Science 38, ()] con una sobrecondición en el borde jo ara hallar condiciones necesarias y su cientes sobre los datos ara la determinación de un coe ciente desconocido en un roblema de frontera libre siguiendo la idea de D. A. Tarzia, en "Determination of the unknown coe cients in the Lamé-Claeyron roblem (or one-hase Stefan roblem)"[adv Al. Math. 3, 74-8 (98)] ara una fase, y de M.B. Stamella - D. A. Tarzia en "Determination of one or two unknown thermal coe cients of a semi-in nite material through a two-hase Stefan roblem"[int.j.eng.sci., 7, (989)] ara dos fases. Se considera el ujo de calor y humedad a través de un semiesacio oroso durante el congelamiento. La osición del frente de cambio de fase al tiemo t está dada or x = s (t) que divide al cuero oroso en dos regiones. En la región congelada, < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de temeratura está descrita or la ecuación (x; t) = T (x; t) ; < x < s (t) ; t > ; () La región s (t) < x < + es la arte húmeda del cuero de cailares orosos en donde uyen acolados el calor y la humedad. El roceso está descrito or A.V. Luikov en Systems of di erential equations of heat and mass transfer in caillary orous bodies" [Int. J. Heat Mass Transfer 8, (975) -4]. ara el caso " = (" es el factor de conversión de fase de líquido en vaor) (x; t) = T (x; t) ; x > s (t) ; t > ; @t (x; t) = u m (x; t) ; x > s (t) ; t > : Las distribuciones iniciales de temeratura y humedad son uniformes T (x; ) = T (+; t) = t ; u (x; ) = u (+; t) = u : Se suone que sobre la suer cie del semiesacio el ujo de calor deende del tiemo de la siguiente manera: (; t) = q t (5) xi

12 donde q > es un coe ciente que caracteriza el ujo de calor en el borde jo x =. Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temeraturas donde t v < t : T (s (t) ; t) = T (s (t) ; t) = t v ; t > ; (6) Del balance de calor y humedad en el frente de congelamiento surge (s (t) ; t) ds (s (t) ; t) = r u (s (t) ; t) (t) ; t > ; dt (s (t) ; t) (s (t) ; t) = ; t > : Se considera además una sobre condición en el borde jo x = dada or donde t s < t v : T (; t) = t s (9) Se hallarán fórmulas ara la determinación de un coe ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera libre s(t); las temeraturas T ; T y la humedad u: Estos resultados han sido sometidos a ublicación en International Communications in Heat and Mass Transfer. En el caítulo 4 se considerará un modelo similar al del Caítulo 3 con una sobrecondición en el borde jo ara hallar condiciones necesarias y su cientes sobre los datos ara la determinación de un coe ciente desconocido, ero considerando un roblema de frontera móvil. Se hallarán fórmulas ara la determinación de dos coe- cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a las temeraturas T ; T y la humedad u: xii

13 En el caítulo 5 se considera un modelo semejante al lanteado or S. Haber, A. Shavit, y A. Dayan, en "The e ect of heat convection on drying of orous semiin nite sace"[int. J. Heat Mass Transfer 7 (984) ]. Su análisis estuvo basado en las siguientes suosiciones básicas: (a) existen dos regiones distintas que están searadas or una interfase móvil donde ocurre el cambio de fase; (b) Una región mantiene su concentración inicial de agua mientras que la otra carece de ella; (c) el roceso ocurre a una tasa cinética in nita; (d) el vaor es comresible y obedece la ley del gas ideal; (e) La ecuación de Claeyron relaciona resiones y temeraturas de interfase; (f) el mecanismo de evaoración-recondensación descrito or S. H. Cho, en "An exact solution of the couled hase change roblem in a orous medium"[int. J. Heat and Mass Transfer 8 (975) 39-4] es desreciado; (g) Los ujos de difusión de masa debido a gradientes de concentración y los efectos de Dufour y Soret no serán tomados en cuenta. Considerando estas mismas suosiciones, se estudiará un medio oroso semi-in nito, inicialmente a temeratura T i exuesto a una condición de ujo de calor en x = del tio q = t ; con q >. El liquido comienza a ebullir dentro de los oros cuando la temeratura alcanza condiciones de ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están searadas or una interfase móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. La región tiene el contenido de líquido original, mientras que la región carece de liquido. El gas, generado en la interfase, uye a través del material oroso y el calor se trans ere or convección en una dirección ouesta a la conducción del ujo de calor. La tasa de ujo de calor es determinada, or un lado, a través de la Ley de Darcy (afectada or el gradiente de resión, la ermeabilidad del material oroso en la región y la viscosidad del gas), y or otro lado, a través del ujo de calor que alcanza la interfase y el coe ciente de calor latente del líquido en ebullición. Estos dos mecanismos gobiernan la tasa buscada de evaoración y la resión eserada. Se de ne un modelo analítico del roceso y se obtienen soluciones exactas ara distribuciones de temeratura. Teniendo en cuenta una desigualdad ara T s, una desigualdad ara el coe ciente q es necesaria y su ciente ara obtener la solución exlícita corresondiente. Finalmente, también se obtiene una equivalencia entre un roblema de cambio de fase con condición de temeratura y un roblema de cambio de fase con condición de ujo de calor del tio q = t sobre la suer cie. Estos resultados en colaboración con M. F. Natale fueron ublicados en Alied Mathematics and Comutation 37, (3), 9-9. Finalmente, el caítulo 6 es un análisis matemático teórico del congelamiento (desublimación) de humedad en un medio oroso nito con una condición de ujo en x = ; siguiendo los trabajos de M. D. Mikhailov, "Exact solution of temerature xiii

14 and moisture distribution in a orous half-sace with moving evaoration front"[int. J. Heat Mass Transfer 8 (975), ] y de E. A. Santillan Marcus y D. A. Tarzia, "Exlicit solution for freezing of humid orous half-sace with a heat ux condition"[int.j.engng. Sci. 38 (), ]. Se considera el ujo de calor y humedad a través de un semi-esacio nito oroso durante el congelamiento. La osición del frente de cambio de fase al tiemo t está dada or x = s (t) : Divide al cuero oroso en dos regiones. Sean u = u(x; t); v = v(x; t) y w = w(x; t) la distribución de temeratura en la región congelada y la distribución de temeratura y la distribución de humedad en la región en donde uyen el calor y la humedad acolados resectivamente. Consideramos en nuestro modelo que a 6= a m : Consideramos los conjuntos T = f(x; t) / < x < s (t) ; < t < T g () y T = f(x; t) /s (t) < x < ; < t < T g : () En la región congelada T no hay movimiento de humedad y la distribución de temeratura está descrita or la ecuación (x; t) = (x; t) ; < x < s (t) ; < t < T () donde a es la difusividad termal en T. La región T es la zona del cuero de cailares orosos en donde uyen acolados el calor y la humedad. El roceso fue descrito or A.V. Luikov en Heat and mass transfer in caillary-orous bodies [Pergamon Press, Oxford, 966] ara el caso en que " = (" es el factor de conversión de fase de líquido (x; t) = (x; t) ; s (t) < x < ; < t < (x; t) = w (x; t) + a (x; t) ; s (t) < x < ; < t < T (4) donde a es la difusividad termal y a m es la difusividad de humedad en T, y es el coe ciente de gradiente termal. Las distribuciones iniciales de temeratura y humedad están dadas or: u(x; ) = (x) ; < x < s (t) (5) v (x; ) = (x) ; s (t) < x < (6) xiv

15 w (x; ) = (x) > ; s (t) < x < (7) En x = ; las distribuciones de temeratura y humedad satisfacen: v (; t) = h (t) > ; < t < T (8) w (; t) = w > ; < t < T (9) Se suone que en x = el ujo de calor deende del tiemo de la manera k (; t) = j(t) ; < t < T Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temeraturas: u (s (t) ; t) = v (s (t) ; t) = ; < t < T (3) Allí, del balance de calor y humedad (s (t) ; (s (t) ; t) = w (s () ; ) r ds dt (t) ; < t < (s (t) ; (s (t) ; t) = ; < t < T (33) donde k i ; i = ; son las conductividades termales en i T ; es la densidad del cuero oroso en T, y r es el calor latente de congelamiento. Entonces, el esquema matemático es el siguiente: Hallar las funciones u = u(x; t); v = v(x; t); w = w(x; t) en las variables esacial x y temoral t; y la frontera libre s = s(t) de manera que se satisfagan las ecuaciones y condiciones ()-(33). El conjunto de ecuaciones y condiciones ()-(33) se llama roblema P. Se robará la existencia local y la unicidad en el tiemo de la solución del roblema P. Además se robará que P es equivalente a un sistema de ecuaciones integrales de Volterra siguiendo el método de Friedman-Rubinstein dado en A. Friedman, "Free Boundary Problems for Parabolic Equations"[I. Melting of Solids, J. Math. Mech. 8 (959) ] y en L.I. Rubinstein, "The Stefan roblem"[trans. Math. Monograhs # 7, Amer. Math. Soc., Providence (97)]. Se verá que este roblema visto como sistema de ecuaciones integrales tiene una solución local única en el tiemo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach. Estos resultados en colaboración con A. C. Briozzo fueron acetados ara la ublicación en Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Alications. xv

16 La imortancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización de este tio de sistemas es un roblema de gran interés matemático y relevancia en el camo industrial. Problemas de cambio de fase que ocurren en medios orosos aarecen frecuentemente en rocesos industriales tales como rocesos de searación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en suelos y terrenos, etc, y es fundamental oder establecer condiciones sobre los datos ara asegurar la resencia o no de cambio de fase o de la frontera libre. xvi

17 Agradecimientos CAP : Este caítulo ha sido arcialmente nanciado or el royecto "Free Boundary Problems for the Heat-Di usion Equation" de CONICET - UA, Rosario (Argentina) y "Partial Di erential Equations and Numerical Otimization with Alications"de la Fundación Antorchas (Argentina). CAP 3: Este caítulo ha sido arcialmente nanciado or el royecto # 4798 / 96 "Free Boundary Problems for the Unidimensional Heat-Di usion Equation" de CONICET - UA, Rosario (Argentina). CAP 4 y 5: Estos caítulos han sido arcialmente nanciados or los Proyectos PIP N o 5379 de CONICET - UA, (Argentina) y or el "Fondo de Ayuda a la Investigación" bajo el Proyecto "Problemas de frontera libre ara la ecuación del calor y sus alicaciones" de la Universidad Austral, Rosario (Argentina). CAP 6: Este caítulo ha sido nanciado or el "Fondo de Ayuda a la Investigación"bajo el royecto "Problemas de frontera libre ara la ecuación del calor y sus alicaciones" de la Universidad Austral, Rosario (Argentina). Se agradecen in nitamente el gran aoyo y las miles de discusiones útiles sobre estos temas con el Profesor D. A. Tarzia. También quiero agradecer el aoyo de mis comañeros de trabajo (en orden alfabético): Adriana C. Briozzo, Mariela Cirelli, Graciela G. Garguichevich, María Fernanda Natale, y Luciano Ponzellini Marinelli, y a todos y cada uno del lantel docente y no docente de la Universidad Austral Rosario. xvii

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19 Dedicado Para mi madre y mis abuelos, or sobre todas las cosas. Para los que creyeron que yo odía, y también ara los que no. Para los amigos que siemre están. xix

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21 Índice general. Introducción. Soluciones exactas ara el secado con cambio de fase acolado en un medio oroso con una condición de ujo de calor en el borde jo... Resumen Nomenclatura Introducción Solución del roblema Discusión sobre la ecuación que determina a, considerando el caso en que el número de Luikov es igual a uno Discusión sobre la ecuación que determina a, considerando el caso cuando el número de Luikov es distinto a uno Algunos resultados ilustrativos y una condición su ciente ara el número de Luikov ara obtener el valor mínimo de la distribución de temeratura Conclusión Determinación de coe cientes térmicos desconocidos de un material oroso semi-in nito durante un roblema de frontera libre con ujos de calor y humedad acolados Resumen Introducción xxi

22 3.3. Coe cientes térmicos desconocidos en un ro-blema de frontera libre Conclusiones Determinación de coe cientes térmicos desconocidos de un material oroso semi-in nito durante un roblema de frontera móvil con ujos de calor y humedad acolados Resumen Introducción Coe cientes térmicos desconocidos en un roblema de frontera móvil Conclusiones El efecto de la convección de calor durante el secado de un esacio oroso semi-in nito con una condición de ujo en el borde jo x = Resumen Introducción Presentación matemática Solución del roblema Enunciado del roblema e P Relación entre los roblemas de transferencia de calor con temeratura y ujo de calor en el borde jo Algunos resultados ilustrativos Conclusión Sobre el congelamiento de un medio oroso húmedo nito con una condición de ujo de calor Enunciado del roblema Formulación integral Resultados rinciales A. Aleksey Vassillevich Luikov: Biografía 7 xxii

23 Índice de guras.. Comortamiento de como función de q Comortamiento de la temeratura adimensional con resecto a la variable adimensional ; tomando L u igual a Comortamiento de la temeratura adimensional con resecto a la variable adimensional ; tomando L u igual a Comortamiento de la temeratura adimensional con resecto a la variable adimensional ; tomando L u igual a Comortamiento de como función de q variando el arámetro Comortamiento de como función de q variando el arámetro Comortamiento de como función de q variando el arámetro Q Comortamiento de como función de variando el arámetro q Comortamiento de como función de variando el arámetro Comortamiento de como función de variando el arámetro Q Comortamiento de () como función de variando el arámetro Comortamiento de () como función de variando el arámetro Comortamiento de () como función de variando el arámetro Q Comortamiento de () como función de variando el arámetro K Comortamiento de () como función de variando el arámetro H 97 xxiii

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25 Caítulo Introducción Los rocesos de transferencia de calor y masa de una sustancia están entre los gruos más imortantes de la ciencia moderna, y tienen una gran imortancia ráctica en la ingeniería de las industrias y en los rocesos tecnológicos de roducción química y de industrias livianas. Los roblemas de intercambio de masa y calor adquieren esecial imortancia en los nuevos rocesos. Al mismo tiemo, una característica eculiar de los fenómenos de transferencia de calor y masa en las áreas mencionadas es su interdeendencia, cuando la transferencia de calor y masa se vuelve un roceso combinado. Es imortante notar que las leyes que gobiernan los rocesos de intercambio de calor y masa son cercanamente similares y las generalizaciones obtenidas en un camo ueden ser usadas exitosamente en el otro. Una característica del desarrollo de esta tecnología es la transferencia de métodos y diseños de rocesos de una rama de la industria hacia otra. Esto hace osible cambios radicales en el roceso de roducción y la creación de nuevos métodos de roducción de materiales y artículos manufacturados. La base cientí ca de muchos rocesos de ingeniería termal es la teoría de transferencia de calor y masa, que incluye la hidrodinámica de medios continuos y la física molecular, termodinámica y la química física de medios disersos. La teoría cinética molecular del fenómeno de intercambio de calor y masa es muy comlicado y no ha sido lo su cientemente trabajado: Sin embargo al día de hoy la teoría de intercambio de calor y masa es rincialmente una teoría fenomenológica, basada en la hidrodinámica y la termodinámica de los medios continuos. En los últimos años, gracias a los trabajos de físicos alemanes y belgas se han originado nuevos métodos oderosos de investigación emírica del fenómeno de transferencia llamado la termodinámica de rocesos irreversibles o la termodinámica de los estados en no-equilibrio. Este método nos ermite estudiar la transfe-

26 rencia de calor y masa de una sustancia en su asociación insearable. Abraza la hidrodinámica de líquidos viscosos, conductividad de calor, difusión y fricción interna. Como resultado, en vez de ecuaciones diferenciales searadas de movimiento (Navier - Stokes), transferencia de calor (Fourier - Kirchho ), y difusión (Fick), un sistema de ecuaciones diferenciales interconectadas de transferencia de masa y energía es obtenido. La solución de tal sistema de ecuaciones diferenciales resenta grandes di cultades matemáticas, luego en la mayor arte de los casos se emlean métodos numéricos de resolución usando comutadoras. No obstante, en algunos casos articulares de transferencia de calor y masa (en soluciones moleculares, mezclas jas binarias, medios disersos y cueros de cailares orosos), este sistema de ecuaciones diferenciales uede resolverse comletamente. Estas soluciones ofrecen sin duda un gran interés no sólo or el cálculo del roceso de transferencia de calor y masa sino también or el estudio de las leyes fundamentales de intercambio de calor y masa y, en articular, ara trabajar nuevos métodos de determinación de características termofísicas. Los rocesos de transferencia de masa son imortantes ya que la mayoría de los rocesos químicos requieren de la uri cación inicial de las materias rimas o de la searación nal de roductos y subroductos. Para esto en general, se utilizan las oeraciones de transferencia de masa. Con frecuencia, el costo rincial de un roceso deriva de las searaciones. Los costos or searación o uri cación deenden directamente de la relación entre la concentración inicial y nal de las sustancias searadas; sí esta relación es elevada, también serán los costos de roducción. En muchos casos, es necesario conocer la velocidad de transorte de masa a n de diseñar o analizar el equio industrial ara oeraciones unitarias, en la determinación de la e ciencia de etaa, que debe conocerse ara determinar el número de etaas reales que se necesita ara una searación dada. Algunos de los ejemlos del ael que juega la transferencia de masa en los rocesos industriales son: la remoción de materiales contaminantes de las corrientes de descarga de los gases y aguas contaminadas, la difusión de neutrones dentro de los reactores nucleares, la difusión de sustancias al interior de oros de carbón activado, la raidez de las reacciones químicas catalizadas y biológicas así como el acondicionamiento del aire, etc. En la industria farmacéutica también ocurren rocesos de transferencia de masa tal como la disolución de un fármaco, la transferencia de nutrientes y medicamento a la sangre, etc. Debido a la no-linealidad del roblema, la obtención de soluciones exlícitas usualmente tiene di cultades matemáticas. Sólo unas ocas soluciones exactas han sido halladas ara casos ideales, or ejemlo [4], [47], [5], [3], [36], [37], y [48]. La imortancia cientí ca y tecnológica de los roblemas de frontera libre queda

27 mani esta or los trabajos [], [34], y [5]. La formulación matemática de la transferencia de calor y masa en cueros de cailares orosos ha sido establecida or Luikov en [3], [3] y [33]. La resolución del roblema de la evaoración de humedad líquida desde un medio oroso con dos modelos diferentes fue resentada or Mikhailov en [36]. Para la resolución del roblema del congelamiento (desublimación) de un semiesacio oroso húmedo, Mikhailov también resentó una solución exacta en [37]. Lin resentó en [6] una solución exacta del roblema de desublimación en un medio oroso ara una condición de temeratura sobre un borde jo. Otros roblemas en esta dirección fueron dados or Fasano y otros en [], Gonzalez y Tarzia en [8]. Recaitulando, numerosos trabajos con diferentes enfoques en el tema han sido encarados y motivan la resente Tesis. Entre estos trabajos ueden mencionarse: [], [], [5], [6],.[7], [8], [], [3], [5], [8], [], [], [], [5], [7], [8], [9], [3], [35], [36], [37], [39], [4], [44], [45], [48], [5], [5], [53], [54]. En la resente Tesis se obtienen nuevos resultados acerca de la existencia de solución ara roblemas de frontera libre ara rocesos con cambio de fase en semi-esacios orosos húmedos: a) El roblema de secado con un cambio de fase acolado en un medio oroso con condición de ujo en el borde jo del tio q t. Este roblema se detalla en el caítulo : Se considera un roblema similar al lanteado or S. H. Cho en [7]. Un medio oroso semi-in nito es secado al mantener una condición de ujo de calor en x = del tio q = t; con q > ; que fue considerado or rimera vez or D. A. Tarzia en [48]. Inicialmente, todo el cuero está a temeratura uniforme t y otencial de humedad uniforme u : La humedad se asume que se evaora or comleto a temeratura constante, al unto de evaoración t v. También se suone que el otencial de humedad en la rimer región, < x < s () ; es constante en u v ; donde x = s () localiza el frente de evaoración al tiemo >. También se suondrá que la humedad en forma de vaor no se lleva ninguna cantidad de calor areciable del sistema. Desreciando la difusión de masa debido a variaciones de temeratura, el roblema uede (x; ) = t (x; ) ; < x < s () ; > (region 3

28 u = u v ; < x < s () ; > (x; ) = + "Lc ; x > s () ; > (region @ (x; ) = u m (x; ) ; x > s () ; > (region Las condiciones iniciales y de borde = q en x = ; > t = t en x > ; = u = u en x > ; = t (s () ; ) = t (s () ; ) = t v > t en x = s () u (s () ; ) = u (s () ; ) = u v < u en x = s (s () ; ) + (s () ; ) = ") ml ds dt en x = s () donde t (x; ) es la temeratura del medio oroso secado, t (x; ) es la temeratura del medio oroso húmedo, u (x; ) es el otencial de transferencia de masa del medio oroso húmedo, x es la variable esacial, es la variable temoral, a i ; i = ; es la difusividad termal de la fase i; a m es la difusividad de humedad, c m es la caacidad de masa esecí ca, c es el calor esecí co, k i ; i = ; es la conductividad térmica de la fase i; L es el calor latente de evaoración de líquido or unidad de masa, q = t es el ujo de calor sobre el borde jo x = ; m es la densidad de humedad del medio, t es la temeratura inicial, t v es la temeratura de cambio de fase, u es el otencial de transferencia de masa inicial, u v es el otencial de transferencia de masa de cambio de fase, y " es el coe ciente de evaoración interna. Se hallará una solución a este roblema, deendiendo del valor del número de Luikov L u, luego se discutirá la ecuación que determina la constante adimensional que caracteriza el frente de evaoración cuando el número de Luikov L u es igual a uno y L u es diferente a uno, y nalmente se darán algunos resultados ilustrativos y una condición su ciente ara el número de Luikov L u ara obtener cuando la distribución de temeratura tiene un valor mínimo menor que su temeratura inicial, motivado or un análisis matemático y físico del roblema. b) El roblema de determinación de coe cientes en un roblema de secado con un cambio de fase acolado en un medio oroso con condición de temeratura en el borde jo. 4

29 Este roblema se detalla en el Caítulo 3 y 4: Primero en el Caítulo 3 se considerará el modelo resentado en los trabajos [37] y [44] con una sobrecondición en el borde jo ara hallar condiciones necesarias y su cientes sobre los datos ara la determinación de un coe ciente desconocido en un roblema de frontera libre siguiendo la idea de D. A. Tarzia en [49] ara una fase, y de M.B. Stamella - D.A. Tarzia en [46] ara dos fases. Se considera el ujo de calor y humedad a través de un semiesacio oroso durante el congelamiento. La osición del frente de cambio de fase al tiemo t está dada or x = s (t) que divide al cuero oroso en dos regiones. En la región congelada, < x < s (t), no hay movimiento de humedad y la distribución de temeratura está descrita or la ecuación (x; t) = T (x; t) ; < x < s (t) ; t > ; La región s (t) < x < + es la arte húmeda del cuero de cailares orosos en donde uyen acolados el calor y la humedad. El roceso está descrito or A.V. Luikov en [3]. ara el caso " = (" es el factor de conversión de fase de líquido en vaor) (x; t) = T (x; t) ; x > s (t) ; t > @t (x; t) = u m (x; t) ; x > s (t) ; t > Las distribuciones iniciales de temeratura y humedad son uniformes T (x; ) = T (+; t) = t ; u (x; ) = u (+; t) = u : Se suone que sobre la suer cie del semiesacio el ujo de calor deende del tiemo de la siguiente (; t) = q t donde q > es un coe ciente que caracteriza el ujo de calor en el borde jo x =. Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temeraturas T (s (t) ; t) = T (s (t) ; t) = t v ; t > ; 5

30 donde t v < t : Del balance de calor y humedad en el frente de congelamiento surge (s (t) ; t) ds (s (t) ; t) = r u (s (t) ; t) (t) ; t > dt (s (t) ; t) (s (t) ; t) = ; t > Se considera además una sobre condición en el borde jo x = dada or donde t s < t v : T (; t) = t s Se hallarán fórmulas ara la determinación de un coe ciente térmico desconocido elegido entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera libre s(t); las temeraturas T ; T y la humedad u: Luego en el Caítulo 4 se contemlará un modelo similar al del Caítulo 3 con una sobrecondición en el borde jo ara hallar condiciones necesarias y su - cientes sobre los datos ara la determinación de un coe ciente desconocido, ero considerando un roblema de frontera móvil, esto es decir que conocemos a x = s(t) (dada or la exresión s(t) = t con > una constante dada). Se hallarán fórmulas ara la determinación de dos coe cientes térmicos desconocidos elegidos entre (densidad de masa); a m (difusividad de la humedad); c (calor esecí co de la región congelada); c (calor esecí co de la región húmeda); k (conductividad térmica de la región congelada); k (conductividad térmica de la región húmeda); (coe ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a las temeraturas T ; T y la humedad u: c) El roblema de untos de ebullición móviles en una sustancia orosa semi-in nita exuesta a una condición de ujo en el borde jo q del tio t Este roblema se considera en el Caítulo 5: Se examinará un modelo semejante al lanteado or []. Su análisis estuvo basado en las siguientes suosiciones básicas: (a) existen dos regiones distintas que están se-aradas or una interfase 6

31 móvil donde ocurre el cambio de fase; (b) Una región mantiene su concentración inicial de agua mientras que la otra carece de ella; (c) el roceso ocurre a una tasa cinética in nita; (d) el vaor es comresible y obedece la ley del gas ideal; (e) La ecuación de Claeyron relaciona resiones y teme-raturas de interfase; (f) el mecanismo de evaoración-recondensación descrito or S. H. Cho en [7] es desreciado; (g) Los ujos de difusión de masa debido a gradientes de concentración y los efectos de Dufour y Soret no serán tomados en cuenta. Considerando estas mismas suosiciones, se estudiará un medio oroso semi-in nito, inicialmente a temeratura T i exuesto a una condición de ujo de calor en x = del tio q = t ; con q >. El liquido comienza a ebullir dentro de los oros cuando la temeratura alcanza condiciones de ebullición locales. Dos regiones existen, las cuales están searadas or una interfase móvil distinta s (t) ; donde sucede la ebullición. La región tiene el contenido de líquido original, mientras que la región carece de líquido. El gas, generado en la interfase, uye a través del material oroso y el calor se trans ere or convección en una dirección ouesta a la conducción del ujo de calor. La tasa de ujo de calor es determinada, or un lado, a través de la Ley de Darcy (afectada or el gradiente de resión, la ermeabilidad del material oroso en la región y la viscosidad del gas), y or otro lado, a través del ujo de calor que alcanza la interfase y el coe ciente de calor latente del líquido en ebullición. Estos dos mecanismos gobiernan la tasa buscada de evaoracion y la resión eserada. Un modelo analítico del roceso se de ne y se obtienen soluciones exactas ara distribuciones de temeratura. Teniendo en cuenta una desigualdad ara T s, una desigualdad ara el coe ciente q es necesaria y su ciente ara obtener la solución exlícita corresondiente. Finalmente, también se obtiene una equivalencia entre un roblema de cambio de fase con condición de temeratura y un roblema de cambio de fase con condición de ujo de calor del tio q = t sobre la suer cie. d) El roblema de desublimación de humedad en un medio oroso nito con una condición de ujo en el borde jo. Este roblema se considera en el Caítulo 6: Es un análisis matemático teórico del congelamiento (desublimación) de humedad en un medio oroso nito con una condición de ujo en x = ; siguiendo los trabajos de M. D. Mikhailov [36] y de E. A. Santillan Marcus y D. A. Tarzia [44]. Se considera el ujo de calor y humedad a través de un semi-esacio nito oroso durante el congelamiento. La osición del frente de cambio de fase al tiemo t está dada or x = s (t) : Divide al cuero oroso en dos regiones. Sean u = u(x; t); v = v(x; t) y w = w(x; t) la distribución de temeratura en la región congelada y la distribución de temeratura y la distribución de humedad en la región en donde 7

32 uyen el calor y la humedad acolados resectivamente. Consideramos en nuestro modelo que a 6= a m : Consideramos los conjuntos T = f(x; t) / < x < s (t) ; < t < T g y T = f(x; t) /s (t) < x < ; < t < T g : En la región congelada T no hay movimiento de humedad y la distribución de temeratura está descrita or la ecuación (x; t) = (x; t) ; < x < s (t) ; < t < T (.) donde a es la difusividad termal en T. La región T es la zona del cuero de cailares orosos en donde uyen acolados el calor y la humedad. El roceso fue descrito or A.V. Luikov en Heat and mass transfer in caillary-orous bodies [Pergamon Press, Oxford, 966] ara el caso en que " = (" es el factor de conversión de fase de líquido (x; t) = (x; t) ; s (t) < x < ; < t < (x; t) = w (x; t) + a (x; t) ; s (t) < x < ; < t < T (.3) donde a es la difusividad termal y a m es la difusividad de humedad en T, y es el coe ciente de gradiente termal. Las distribuciones iniciales de temeratura y humedad están dadas or: u(x; ) = (x) ; < x < s (t) (.4) v (x; ) = (x) ; s (t) < x < (.5) w (x; ) = (x) > ; s (t) < x < (.6) En x = ; las distribuciones de temeratura y humedad satisfacen: v (; t) = h (t) > ; < t < T (.7) w (; t) = w > ; < t < T (.8) Se suone que en x = el ujo de calor deende del tiemo de la manera k (; t) = j(t) ; < t < T 8

33 Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temeraturas: u (s (t) ; t) = v (s (t) ; t) = ; < t < T (.) Allí, del balance de calor y humedad (s (t) ; (s (t) ; t) = w (s () ; ) r ds dt (t) ; < t < (s (t) ; (s (t) ; t) = ; < t < T (.) donde k i ; i = ; son las conductividades termales en i T ; es la densidad del cuero oroso en T, y r es el calor latente de congelamiento. Entonces, el esquema matemático es el siguiente: Hallar las funciones u = u(x; t); v = v(x; t); w = w(x; t) en las variables esacial x y temoral t; y la frontera libre s = s(t) de manera que se satisfagan las ecuaciones y condiciones.-.. El conjunto de ecuaciones y condiciones.-. se llama roblema P. Se robará la existencia local y la unicidad en el tiemo de la solución de este roblema P. Además se robará que este roblema P es equivalente a un sistema de ecuaciones integrales de Volterra siguiendo el método de Friedman-Rubinstein dado en [6] y en [43]. Se verá que este roblema visto como sistema de ecuaciones integrales tiene una solución local única en el tiemo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach. La resente tesis está dividida en cinco Caítulos. En cada uno de ellos se resenta el roblema, se resuelve el modelo rouesto y se exhibe la solución y la conclusión del mismo Para los roblemas corresondientes a las artes a), b) y c) se harán distintas transformaciones ara obtener un roblema clásico de Stefan equivalente al dado mediante la alicación de transformación recíroca, método de similaridad y resolución de roblemas de contorno ara ecuaciones diferenciales ordinarias, y se reveen encontrar condiciones necesarias y su cientes ara la existencia de solución exlícita en función de los datos del roblema. En cuanto a la arte d) se realizarán distintas transformaciones ara llevar el roblema a uno equivalente con un sistema de ecuaciones integrales no lineales de tio Volterra, siguiendo el método de Friedman-Rubinstein. Luego se robará que el roblema tiene una única solución local en el tiemo usando el Teorema de Punto Fijo de Contracción de Banach. En todos estos roblemas se buscarán condiciones sobre los datos ara garantizar la existencia de solución (exlícita o no). 9

34 La imortancia de los resultados a obtener reside en el hecho de que la modelización en rocesos de cambio de fase en medios orosos es un roblema de gran interés matemático e imortancia industrial. Problemas de este tio aarecen frecuentemente en rocesos industriales tales como rocesamiento de alimentos, solidi cación de suelos húmedos, arovechamiento de energía solar, etc. y es fundamental oder establecer condiciones sobre los datos ara asegurar la resencia o no de cambio de fase o de la frontera libre.

35 Caítulo Soluciones exactas ara el secado con cambio de fase acolado en un medio oroso con una condición de ujo de calor en el borde jo... Resumen Se obtienen soluciones exactas ara el roblema de secado con cambio de fase acolado en un medio oroso con una condición de ujo en x = del tio q = ; con q >, ara cualquier valor del número de Luikov L u. Esta solución sólo uede obtenerse cuando q veri ca una cierta desigualdad. Además, ara números de Luikov grandes (más recisamente, L u > ; donde " es el coe ciente de "K + evaoración interna, y K es el número de Kossovitch), obtenemos que la distribución de temeratura t alcanza un valor mínimo que es menor que su temeratura inicial o su valor límite alcanzado en +... Nomenclatura Subíndices

36 al tiemo inicial, t = medio oroso secado; < x < s () medio oroso húmedo; x > s () v en el frente de evaoración, x = s () a i ; i = ; difusividad térmica de la fase -i: a razón de difusividades térmicas de fase a fase a m difusividad de humedad c m caacidad de masa esecí ca c caacidad de calor esecí co k i ; i = ; conductividad térmica de la fase-i: k razón de conductividades térmicas de fase a fase K = Lc m (u u v ) c (t v t ) Número de Kossovitch L calor latente de evaoración de líquido or unidad de masa L u = a m a Número de Luikov q coe ciente que caracteriza el ujo de calor en x = s() t i (x; ); i = ; t t v T i ; i = ; u u U i ; i = ; x X Símbolos Griegos osición del frente de evaoración temeratura de la fase-i: temeratura inicial temeratura al estado de cambio de fase temeratura adimensional de la fase-i otencial de transferencia de masa otencial de transferencia de masa inicial otencial de transferencia de masa adimensional de la fase-i coordenada esacial longitud adimensional " coe ciente de evaoración interna variable adimensional constante adimensional que caracteriza al frente de evaoración m densidad de humedad tiemo.3. Introducción.

37 Los roblemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase, que ocurren en un medio oroso, tales como evaoración, condensación, congelamiento, derretimiento, sublimación y desublimación, tienen amlia alicación en rocesos de searación, tecnología de alimentos, migración de calor y mezclas en suelos y terrenos, etc. Debido a la no-linealidad del roblema, las soluciones usualmente involucran di cultades matemáticas. Sólo unas ocas soluciones exactas han sido halladas ara casos ideales. La formulación matemática de la transferencia de calor y masa en cueros de cailares orosos ha sido establecida or Luikov [9], [3], [3], [3], [33]. Otros roblemas en esta dirección son [5], [8], [3], [8], [44], [5]. Una gran bibliografía sobre roblemas de frontera libre y móvil ara la ecuación del calor-difusión fue dada or [53]. Guta [] resentó una solución aroximada al roblema de transferencia de calor y masa acolados que involucraba evaoración. El roblema que Guta [] trató tiene solución analítica, la que fue resentada or Cho [7]. La transferencia de calor y masa durante el secado desde un unto de vista homogéneo también fue considerado en [], [5], [6], [5], [], [35], y [4]. En lo que sigue, estudiaremos un roblema similar al de [7]. Un medio oroso semi-in nito es secado al mantener una condición de ujo de calor en x = del tio q = t; con q > ; que fue considerado or rimera vez en [48]: Inicialmente, todo el cuero está a temeratura uniforme t y otencial de humedad uniforme u : La humedad se asume que se evaora or comleto a temeratura constante, al unto de evaoración t v. También se suone que el otencial de humedad en la rimer región, < x < s () ; es constante en u v ; donde x = s () localiza el frente de evaoración al tiemo >. También se suondrá que la humedad en forma de vaor no se lleva ninguna cantidad de calor areciable del sistema. Desreciando la difusión de masa debido a variaciones de temeratura, el roblema uede (x; ) = (x; ) ; < x < s () ; > (region ) (.) u = u v ; < x < s () ; > (region (x; ) = + "Lc ; x > s () ; > (region (x; ) = u (x; ) ; x > s () ; > (region ) (.4) Las condiciones iniciales y de borde = q en x = ; > (.5) 3