Uso de Mathematica para análisis de error y elaboración de informes

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1 Uso de Mathematica para análisis de error y elaboración de informes Laboratorio de Física 1 Segundo Semestre de 2013 ocentes: Mauricio Suárez urán; Christian Sarmiento Cano Escuela de Física - Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Los datos recopilados en el laboratorio estan organizados en tablas. Mathematica permite cargar y manipular éstos datos bajo el concepto de matriz, es decir, cada renglón de la tabla, Mathematica lo representa como una fila, y cada columna como la respectiva columna de la matriz. Ejemplo: Suponga que tiene la siguiente tabla de datos: onde t1, t2, t3, etc, representan, cada uno el registro del tiempo en que un determinado móvil recorrio una cierta distancia (primer columna de la tabla). La forma en que debemos cargar estos datos en Mathematica es la siguiente: tabla1 = 8 8, , , 2.774, , <, 8, 2.44, , , , <, 8, 2.158, , 2.162, , <, 8, 1.47, 1.71, 1.64, 1.17, 1.52< <; Aquí, el primer y último corchete encierran todos los datos que estarán contenidos en tabla1, y los corchetes siguientes encierran los datos contenidos en cada fila de tabla1. Esto quiere decir que la primer fila de tabla1 contiene los tiempos registrados para la distancia de cm. Para visualizar estos datos como una tabla (o matriz), aplicamos la siguiente instrucción:

2 2 Frame All Supanga que queremos ver el tiempo del tercer registro (columna 4 de latabla1) para una distancia de cm (fila 3 de latabla1), esto lo podemos hacer digitando lo siguiente : tabla1@@3, La anterior instrucción Mathematica la interpreta como imprimir el elemento que se encuentra ubicado en la fila 3 y la columna 4. Una variante de la anterior instrucción, es la siguiente: tabla1@@3, En este caso, Mathematica interpreta el -3 como la tercer columna contada de derecha a izquierda. Ahora supunga que queremos que nos muestre los elementos que se ubican desde la columna 2 a la 5 de la fila 2. La instrucción que nos hacerlo es la siguiente: tabla1@@2, 2 ;; , , , < El doble punto y coma (;;) le dice a Mathematica que muestre todos los elementos que se ubican entre la columna 2 y la 5. Una variante puede ser: tabla1@@2, 2 ;; , , , , < Para los análisis de datos de los laboratorios es importante manipular los datos de éstas tablas, de tal forma que nos permitan calcular promedios, realizar operaciones algebraicas entre columnas, gráficar datos, etc. En el caso partícular de la tabla1, es importante conocer el tiempo promedio para cada distancia, esto quiere decir que debemos calcular el promedio de los valores ubicados entre la columna 2 y la 6 para cada linea. Para el caso de la línea 2, podemos calcular el valor medio de la siguiente forma: Mean@tabla1@@2, 2 ;; Como vemos, el comando Mean calcula el promedio de los valores ubicados en la línea 2, entre las columnas 2 a la 6. Con los comandos vistos hasta el momento, podemos hacer una nueva tabla -a la que llamaremos tabla2- que contenga dos columnas, distancia (columna 1 de la tabla1) y los promedios respectivos. Mathematica puede hacer la tabla2 por medio de la siguiente instrucción: tabla2 = Table@8tabla1@@i, 1, Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6<, 8i, 1, 4< 88, <, 8, <, 8, <, 8, 1.502<< Qué fue lo que hicimos? Para crear la tabla2 usamos el comando Table y una iteración. El comando Table permite construir tablas a partir de instrucciones que se repiten. En nuestro caso, la instrucción que requerimos repetir fue el cálculo del valor medio para cada fila de la tabla1. Para esto le dijimos a Mathematica que calculara el valor medio de cada fila i desde la columna 2 a la 6, donde i toma valores de 1, 2, 3 y 4 (que es la instrucciónprinted contendia en el último parentésis: {i, 1, 4}). Un cálculo que se puede by Wolfram Mathematica Student Edition hacer a partir de la tabla1, es la velocidad media para cada tramo recorrido, es decir, dividir cada valor de la columna 1 entre el promedio de cada fila desde la columna 2 a la 6, de la tabla1. Mathematica

3 3 Qué fue lo que hicimos? Para crear la tabla2 usamos el comando Table y una iteración. El comando Table permite construir tablas a partir de instrucciones que se repiten. En nuestro caso, la instrucción que requerimos repetir fue el cálculo del valor medio para cada fila de la tabla1. Para esto le dijimos a Mathematica que calculara el valor medio de cada fila i desde la columna 2 a la 6, donde i toma valores de 1, 2, 3 y 4 (que es la instrucción contendia en el último parentésis: {i, 1, 4}). Un cálculo que se puede hacer a partir de la tabla1, es la velocidad media para cada tramo recorrido, es decir, dividir cada valor de la columna 1 entre el promedio de cada fila desde la columna 2 a la 6, de la tabla1. Mathematica puede hacer esta cuenta de manera sencilla, y en este caso vamos hacerlo, agregando una nueva columna a la tabla2 de la siguiente manera: tabla2 = Table@8tabla1@@i, 1, Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6, tabla1@@i, 1 Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6<, 8i, 1, 4<; Que visualmente luce como Grid@tabla2, Frame All Como se puede ver, lo que hicimos fue agregar una nueva instrucción (tabla1[[i,1]]/mean[tabla1[[i,2;;6]]]) al comando Table, ejecudato previamente. Ésta nueva instrucción divide el valor de la columna 1 entre el valor medio desde la columna 2 a la 6, para cada fila, respectivamente. Con estas instrucciones, podemos agregar el número de columnas que queramos a nuestra nueva tabla2. A continuación agregaremos una columna que contenga la siguiente operación: sqrt( 2X ). onde sqrt se entiende como raíz cuadrada, X es una constante que para nosotros será 20 y son los valores de distancia ubicados en la columna 1 de la tabla1. La instrucción para hacer esto es la siguiente: tabla2 = Table@ 8tabla1@@i, 1, Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6, tabla1@@i, 1 Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6, N@Sqrt@Abs@H2 * 20L - tabla1@@i, 1, 3<, 8i, 1, 4<; Grid@tabla2, Frame All Es de notar que la instrucción para sqrt( 2X- ), incluye el número 3 al final. Éste número representa la presición con la que deseamos calcular esta raíz cuadrada. Por ejemplo, si calculamos este valor para la cuarta fila (cm) entonces la instrucción queda de la forma, N@Sqrt@Abs@H2 * 20L - tabla1@@4, 1, Finalmente, vamos a insertar una fila que contenga la etiqueta que explica qué es el valor ubicado en cada columna. Para esto primero debemos crear una matriz de 1x4 con las respectivas etiquetas, y luego insertar ésta matriz en la primera fila de latabla2.es importante anotar que al agregar esta matriz debemos crear una nueva tabla, que la llamaremostabla3. Entonces,

4 4 etiquetas = s", 2L"<; Posteriormente, insertamos la matriz etiquetas a la tabla2: tabla3 = Insert@tabla2, etiquetas, 1; Grid@tabla3, Frame All s 2L El comando Insert de Mathematica, me permite agregar matrices de 1x4 en cualquier fila de la tabla2, donde la fila en la que se desea insertar es especifica en la última instrucción, en nuestro caso el número Gráficas, barras de error y ajustes. 2.1 Gráficas A partir de la información de la tabla3, graficaremos la distancia recorrida (columna 1), como función del tiempo promedio (columna 2). Para esto debemos escribir lo siguiente:

5 5 1, 2<, 8i, 2, 5<, GridLines Automatic, PlotStyle Red<, Frame True, BaseStyle 8FontWeight "Bold", FontSize 18<, ImageSize Large, PlotLabel "Tiempo promedio como función de la distancia recorrida", FrameLabel "Tiempo Tiempo promedio como función de la distancia recorrida 2.8 Tiempo Es importante notar que todas las gráficas deben lucir como ésta. eben tener un título y nombre en los ejes con sus respectivas unidades. Es importante revisar línea por línea las instrucciones que dicen a Mathematica como hacer este tipo de gráfica. 2.2 Barras de error Toda medición tiene un error implicito. La tabla tabla3 no contiene información sobre los errores de las mediciones. Lo que viene a continuación es cómo construir una nueva tabla (tabla4) que contenga los respectivos errores. Para el caso de los tiempos vamos a suponer que el error esta dado por la desviación estándar de los datos, y para las longitudes un error de 0.1cm, que representa la sensibilidad del instrumento de medición. Para construir la tabla4, primero debemos calculamos la desviación estandar de los tiempos medidos para cada distancia (o cada fila de la tabla1), y almacenarlos en la variable errortiempos. Para esto escribimos:

6 6 errortiempos = Table@8Standardeviation@tabla1@@i, 2 ;; 6<, 8i, 1, 4< <, <, <, << Con esto, ya tenemos una matriz de 4x1 que contiene los errores para cada fila de la tabla3. Ahora, vamos a crear la tabla4 que contenga esta información. Primero, vamos a modificar la tabla2, haciendo uso de las instrucciones con las que creamos la tabla2 y la tabla3. tabla2 = Table@ 8tabla1@@i, 1, 0.1, Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6, errortiempos@@i, 1, tabla1@@i, 1 Mean@tabla1@@i, 2 ;; 6, N@Sqrt@Abs@H2 * 20L - tabla1@@i, 1, 3<, 8i, 1, 4<; etiquetas2 = "Error "Error s", 2L"<; tabla4 = Insert@tabla2, etiquetas2, 1; Grid@tabla4, Frame All Error Error s A=sqrtHÈ2X-ÈL L Teniendo la tabla4, lo siguiente que vamos a hacer es graficar el tiempo promedio como función de la distancia recorrida, con las respectivas barras de error. Para este paso es importante agregar la siguiente instrucción: Needs@"ErrorBarPlots`"; Esta línea le dice a Mathematica que reconozca los comando y/o instrucciones referentes a la representación de la barras de error, que serán utilizadas para la presentación de gráficas. Con esta línea incluida, procedemos a realizar la respectiva gráfica:

7 7 1, 3<, 8i, 2, 5<, PlotStyle Red<, 1, 3<, 4<, 8i, 2, 5<, Frame True, BaseStyle 8FontWeight "Bold", FontSize 18<, ImageSize Large, PlotRange 8875, 145<, 81.5, 3.5<<, AxesOrigin 875, 1.5<, PlotLabel "Tiempo promedio como función de la distancia recorrida", FrameLabel "Tiempo Tiempo promedio como función de la distancia recorrida 3.5 Tiempo En este caso, los errores en los tiempos para las distancias de, 90,, 110 y cm son más pequeños que el tamaño del punto estamos usando para graficar. Sin embargo, para la distancia de cm la barra de error es apreciable. 2.3 Ajustes Lo más importante de la experimentación, es encontrar el modelo matemático (ecuación) que describa el comportamiento de los datos. En nuestro caso partícular, vamos a buscar un modelo matemático de tipo lineal. Para esto, Mathematica cuanta con la instrucción LinearModelFit. Ésta instrucción usa el método de minímos cuadrados para buscar la recta que más se aproxima a los datos. Para esto escribimos la siguiente:

8 8 Lo más importante de la experimentación, es encontrar el modelo matemático (ecuación) que describa de los datos. En nuestro caso partícular, vamos a buscar un modelo matemático de tipo lineal. Para esto, Mathematica cuanta con la instrucción LinearModelFit. Ésta instrucción usa el método de minímos cuadrados para buscar la recta que más se aproxima a los datos. Para esto escribimos la siguiente: el comportamiento modelolineal = LinearModelFit@ Table@8tabla4@@i, 1, tabla4@@i, 3<, 8i, 2, 4<, x, x FittedModelB x F Como vemos, la variable modelolineal contiene el ajuste que realiza Mathematica por minímos cuadrados a travéz de la instrucción LinearModelFit. Ahora, para visualizar correctamente la forma el modelo lineal, escribimos lo siguiente: Normal@modelolineal x A partir de esta información, graficaremos los datos de tiempo promedio como función de la distancia recorrida y el modelo lineal encontrado por Mathematica,

9 9 1, 3<, 8i, 2, 5<, PlotStyle Red<, 8x, 75, 145<, 1, 3<, 4<, 8i, 2, 5<, Frame True, BaseStyle 8FontWeight "Bold", FontSize 18<, ImageSize Large, PlotRange 8875, 145<, 81.5, 3.5<<, AxesOrigin 875, 1.5<, PlotLabel "Tiempo promedio como función de la distancia recorrida", FrameLabel "Tiempo Tiempo promedio como función de la distancia recorrida 3.5 Tiempo Es importante notar que para gráficar modelolinal agregamos el argumento BestFit. Mathematica puede ajustar diferentes modelos matemáticos a los datos. Por ejemplo, y solo a manera de ilustración, podemos buscar por un modelo parabólico:

10 modeloparabolico = LinearModelFit@ Table@8tabla4@@i, 1, tabla4@@i, 3<, 8i, 2, 4<, 8x ^ H2L<, x FittedModelB x2 F Note quel a instrucción {1,x^(2)},x determina el tipo de modelo que queremos ajustar a los datos. Ahora vamos a ver como quedan graficados, juntos, estos dos modelos: Show@ListPlot@Table@8tabla4@@i, 1, tabla4@@i, 3<, 8i, 2, 5<, PlotStyle Red<, Plot@8modelolineal@"BestFit", modeloparabolico@x<, 8x, 75, 145<, ErrorListPlot@ Table@88tabla4@@i, 1, tabla4@@i, 3<, ErrorBar@tabla4@@i, 4<, 8i, 2, 5<, Frame True, BaseStyle 8FontWeight "Bold", FontSize 18<, ImageSize Large, PlotRange 8875, 145<, 81.5, 3.5<<, AxesOrigin 875, 1.5<, PlotLabel "Tiempo promedio como función de la distancia recorrida", FrameLabel "Tiempo Tiempo promedio como función de la distancia recorrida Tiempo Finalmente, es importante conocer el error del ajuste que realizar Mathematica a nuestros datos. Para esto

11 11 Finalmente, es importante conocer el error del ajuste que realizar Mathematica a nuestros datos. Para esto modelolineal@"anovatable" modeloparabolico@"anovatable" F SS x Error Total F SS x2 Error Total MS F-Statistic P-Value MS F-Statistic P-Value