Ondas periódicas en una dimensión

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1 CÍULO 7 84 Capítulo 7 ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. Onda periódica en una dienión Ya heo vito coo un pulo puede tranferir energía de un lugar a otro del epacio in deplazar aa. hora analizareo qué ocurre cuando teneo un conjunto de pulo que e repiten periódicaente. En ee cao obteneo una uceión de pulo, un tren de pulo que e denoina onda periódica. Onda periódica e denoina al conjunto de pulo que on eitido a intervalo iguale de tiepo. E decir en cada período e provoca una perturbación idéntica a la anterior. Cuando un punto del edio elático e eparado de u poición de equilibrio, e le realiza un trabajo, cediéndole energía. Éta e propaga por la interaccione entre la partícula del edio, cada una epuja a u vecina. Si eto ucede, decio que la energía e tranfiere por un oviiento ondulatorio. eneo en el iguiente ejeplo: una cuerda tena y larga, con uno de u extreo unido a una aa que puede ocilar al etar unida a un reorte (fig 1). H Separao la aa de u poición de equilibrio una ditancia y la liberao ( e la aplitud de la ocilación de la aa unida al reorte). E natural penar que el punto, que e el punto de la cuerda que etá unido a la aa, adquiera el io oviiento que el cuerpo. Se overá verticalente alejándoe de la poición de equilibrio una ditancia tabién. Eta ditancia la llaareo aplitud de la onda. (Fig. 2). El io razonaiento podeo hacer del punto de la cuerda vecino a, y aí uceivaente. Eta traniión no e intantánea, por ejeplo el punto coenzará a overe un tiepo depué. H plitud e la áxia eparación de cada punto del edio elático con repecto a la poición de equilibrio. La repreentao con la letra. Su unidad en el Sitea Internacional e el etro () y etá relacionada con la energía que tranite la onda. H Fig 1. Onda periódica propagándoe en una cuerda

2 interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN Capítulo 7 85 La energía que tranfiere contanteente la aa al punto coienza a viajar por la cuerda, ientra que cada punto de la ia ólo e ueve hacia arriba y abajo, al igual que la aa. Lo pulo generado viajan hacia la derecha ientra que cada punto de la cuerda ocila en fora vertical. or lo tanto heo generado una onda periódica tranveral que viaja a travé de la cuerda. E iportante detacar que el itea aa-reorte no crea la energía, algún agente externo que no e enciona en ete ejeplo e el encargado de aportarla. aplitud creta aplitud oición de equilibrio de la cuerda. Un tiepo depué que coienza a overe, el punto, realiza el io oviiento que éte. Luego que coienza a ocilar, abo punto tienen en todo oento la ia poición y la ia velocidad. Si iguiérao la ecuencia veríao que ucede lo io con el punto H. Direo que lo punto que cuplen eta condición etán en fae (fig 3). Do punto del edio e encuentran en fae cuando etán a la ia ditancia de la poición de equilibrio y con la ia velocidad en todo oento. valle Fig 2. plitud de una onda. Llaareo creta a la elongacione hacia arriba y valle a la elongacione hacia abajo. H Longitud de onda la ditancia entre do punto conecutivo en fae la denoinao longitud de onda (fig 4). La repreentao con la letra labda del alfabeto grieto λ. Su unidad en el itea internacional e el etro, coo toda ditancia. Longitud de onda e la ditancia entre do punto conecutivo del edio, que e ueven en fae. Se repreenta con la letra labda del alfabeto griego λ. Su unidad en el itea internacional e el etro. Fig 3. Lo punto, y H etán en fae. Etán a la ia ditancia de la poición de equilibrio y tienen la ia velocidad en todo oento. creta Longitud de onda Longitud de onda creta eríodo En el tiepo que tarda una onda en viajar una ditancia λ, cada punto de la cuerda realiza una ocilación copleta. Recuerda que una ocilación copleta e cuando un punto del edio que e perturbado, vuelve a etar en la poición inicial y con la ia velocidad que tenía. ete tiepo lo denoinareo período y lo repreentao con la letra. Su unidad en el itea internacional e el egundo. odo lo punto de la cuerda e ueven con el io período, que e el io del agente externo que genera lo pulo. valle Fig 4. Longitud de onda e la ditancia ente do punto en fae. abién e la ditancie entre do creta o valle conecutivo eríodo e el tiepo que deora cada punto del edio en realizar una ocilación copleta. Lo repreentao con la letra. Su unidad en el itea internacional e el egundo.

3 86 Capítulo 7 ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. Frecuencia Definireo la frecuencia coo la cantidad de ocilacione o ciclo que cada punto realiza en una unidad de tiepo. f N de ocilacione t 1 1 Su unidad en el itea internacional de edida, e. eta unidad e le denoinó Hertz, Hz en honor al fíico aleán. (Fig. 5) Frecuencia e la cantidad de ocilacione copleta que cada punto del edio realiza por unidad de tiepo. Se repreenta con la letra f. Su unidad en el itea internacional e el Hertz Hz. Fig. 5. Heinrich Rudolf Hertz, fíico aleán, nació en Haburgo el 22 de febrero de 1857 y falleció en onn el 1 de enero de En 1885 en la univeridad de Karlruhe decubrió la onda electroagnética. Fue el priero en deotrar la exitencia de la radiación electroagnética contruyendo un aparato para producir onda de radio. partir del experiento de ichelon en 1881 probó experientalente que la eñale eléctrica pueden viajar a travé del aire, coo había ido predicho por Jae axwell y ichael Faraday. abién decubrió el efecto fotoeléctrico que fue explicado á adelante por lbert Eintein. Relación entre el período y la frecuencia naliceo ahora la relación que exite entra el período y la frecuencia. Retoeo el concepto de frecuencia, coo el núero de ocilacione por unidad de tiepo: N de ocilacione f y recordeo que el período e el tiepo que t deora cada punto del edio en realizar una ocilación copleta. or lo tanto, cuando e realiza una 1 ocilación, el tiepo que tarda en producire e un período. Sutituio en la ecuación de definición de frecuencia y no queda expreada la iguiente relación: N de ocilacione 1 f f 1 t Veao otro ejeplo para reforzar la relación funcional entre el período y la frecuencia. Si un punto deora edio egundo en cuplir un ciclo, podrá copletar do ciclo por egundo. Si deora un cuarto de egundo, podrá copletar cuatro. Con ete razonaiento e pone en evidencia la relación invera entre la frecuencia y el período: 1 f f Velocidad de propagación de una onda 1 La figura 6 uetra un tren de pulo que e ueven hacia la derecha por una cuerda tena. En la ecuencia aparece una foto intantánea de la fora de la cuerda cada un tiepo. Se detacó con trazo azul un 10 io pulo en cada iagen. Se puede obervar que e deplaza hacia la

4 interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN Capítulo 7 87 derecha. ara edir u velocidad deberíao aber el deplazaiento del pulo y dividirlo entre el tiepo que tarda en realizarlo. Ya heo vito que i el edio e hoogéneo, la velocidad de propagación e contante, por lo que podeo utilizar una expreión del oviiento Rectilíneo Unifore que eguraente ya etudiate en año anteriore. v x t x deplazaiento t tiepo Coo ya heo vito, la velocidad e ide en en el S.I. Si obervao detalladaente la ecuencia de iágene, veo que ientra el pulo viaja entre do punto en fae, todo lo punto de la cuerda cuplen una ocilación copleta. La fora de la cuerda en eto do intante e la ia. Entonce, cuando el pulo viaja una ditancia λ trancurre un tiepo, En un ciclo el deplazaiento que tiene la onda e igual a una longitud de onda x λ y el tiepo que trancurre, e un período t. Sutituyendo en la ecuación de velocidad no queda expreada la iguiente relación entre la velocidad de propagación, la longitud de onda y el período. x v t λ v λ La ecuación recién obtenida v λ 1 podeo exprearla coo, v λ que e exactaente lo io. Recordando que f 1, y utituyendo en la expreión anterior y no queda expreada la relación funcional entre la velocidad de propagación, la longitud de onda y la frecuencia. v λ f Fig. 6. Velocidad de propagación de una onda periódica en una cuerda l igual que para lo pulo, la velocidad de propagación de una onda no depende del ecanio que origine la onda, ni de u aplitud, ni de la frecuencia, ni tapoco de la longitud de onda. E una caracterítica propia del edio por donde viaja. Eta e una propiedad uy iportante de todo lo fenóeno ondulatorio. En ete cao, depende únicaente de propiedade de la cuerda. La velocidad de propagación de la onda por una cuerda e independiente de la frecuencia y la longitud de onda. E una caracterítica propia del edio por donde viaja. Fig. 7. l auentar al doble la frecuencia de la ocilación, a la ia cuerda, oetida a la ia tenión, la longitud de onda e reduce a la itad. La velocidad de propagación de la onda e la ia, ya que olo depende del edio.

5 88 Capítulo 7 ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. La velocidad de propagación de la onda por una cuerda e independiente de la frecuencia y de la longitud de onda. Éta agnitude etán vinculada de tal anera que u producto e un valor contante. (Fig. 7) Si el agente externo que genera lo pulo auenta u frecuencia, la frecuencia de la onda tabién auentará. En ete cao la longitud de la onda diinuirá de fora tal que λ x f K. E decir λ e inveraente proporcional a f (fig 8). Eta relación la expreao de la iguiente fora: Fig. 8. La gráfica de do agnitude inveraente proporcionale e un arco de una curva llaada hipérbola. f Ejeplo 1 λ 1 f En una cuerda hoogénea e generan 120 pulo cada 1,0 inuto. La cuerda tiene un largo de 16 y cada pulo la recorre copletaente en 4,0. a) Deterina la velocidad de propagación de la onda por la cuerda. La velocidad de propagación la podeo calcular coo el cociente entre la ditancia recorrida por cualquier pulo de la cuerda y el tiepo que deora en hacerlo: v x t 16 v 4, 0 4, 0 b) Deterina la frecuencia y el período de la onda en la cuerda. Si e generan 120 pulo cada 1,0 inuto (60 egundo), quiere decir que e crean 2,0 pulo por egundo, por lo tanto la frecuencia e de 2,0Hz. Coprobeo ete razonaiento, utilizando la definición de frecuencia, f f 2, 0Hz f 2, 0Hz t 60 El período lo podeo calcular de la relación 1 N de ocilacione 120oc f 1 0, 50 0,50 2, 0Hz c) Calcula la longitud de onda de la onda en la cuerda. λ x f v por lo tanto λ v 4, 0 λ f 2, 0Hz λ2,0 d) Si auentao la frecuencia cuatro vece, cóo varían la velocidad de propagación y la longitud de onda? La velocidad de propagación no depende de la fora coo e generan lo pulo, por lo tanto no depende de la frecuencia. ientra no cabie la tenión y la denidad lineal de aa, la velocidad peranecerá contante.

6 interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN Capítulo 7 89 La longitud de onda i cabiará. Coniderando que λ x f v contante, i la frecuencia auenta cuatro vece, la longitud de onda debe diinuir a la cuarta parte, entonce el producto e antiene igual. Eto e λ v f 4, 0 8, 0Hz λ 0,50 Reflexión de onda periódica en una dienión Cuando un tren de onda periódica viaja por una cuerda tena y llega a un extreo fijo que no ocila, cada uno de u pulo e refleja invertido. La velocidad de propagación cabia ólo de entido, ientra que la frecuencia y longitud de onda no varían. Si el extreo e óvil, cada pulo e refleja derecho, y la onda reflejada tiene la ia caracterítica que la onda incidente. Lo único que cabia e el entido de la velocidad de propagación. anto en el extreo libre coo fijo, la aplitud de la onda reflejada erá la ia que la de la onda incidente, iepre y cuando el extreo fijo no aborba una fracción de la energía de la onda. Refracción de onda periódica en una dienión Hata aquí heo coniderado onda que e propagan por un edio hoogéneo. En nuetro ejeplo la perturbacione viajan por una cuerda cuyo punto tienen idéntica propiedade. No etudiareo en ete curo qué ocurre i la cuerda no e hoogénea, o ea que u propiedade van cabiando. Sí analizareo el cao en que la onda e tranite de un edio a otro. Eto puede uceder i teneo do cuerda unida, una a continuación de la otra. Dado que lo edio on diferente, la velocidade de propagación no erán iguale. En la figura 9 e uetra una onda periódica viajando por una cuerda, que llega al punto de unión con otra cuerda de diferente. La cuerda tienen diferente denidad lineal de aa y podeo uponer que la tenión en aba e la ia. l llegar al punto de unión, parte de la onda incidente e refleja y parte e refracta a la cuerda 2. Refracción de onda en una dienión, e el fenóeno fíico que e lleva a cabo cuando una onda incidente cabia de edio de propagación. Sentido de propagación de la onda Fig. 9. Onda incidente propagándoe con v 1, l 1 y f 1, por una cuerda de denidad lineal de aa 1.

7 90 Capítulo 7 ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. nalizareo qué propiedade tiene la onda refractada (fig 10). Recordando que v p la velocidad de propagación erá enor µ en la cuerda que tenga ayor denidad lineal de aa µ. Fig. 10. Onda refractada, con u v 2, λ 2, f 2 viajando por una cuerda de µ 2 Oitio repreentar la onda reflejada para centrarno en el fenóeno de la refracción. Veao eto con ayor detalle. Si generao una onda en la cuerda 1, viajará con una velocidad v 1. l paar a la cuerda 2 tendrá una velocidad v 2. Coo µ 1 < µ 2, entonce v 1 >v 2. U ongao atención ahora en el punto de unión de la cuerda (U) (fig 11). Razonando análogaente a coo lo hicio con la aa acoplada al reorte que generaba lo pulo en la cuerda, el punto de unión vibra con la ia frecuencia de u punto contiguo ( y ). or lo tanto, y, que on punto de cuerda diferente, deberán ocilar a la ia frecuencia. La frecuencia de una onda no cabia cuando e tranite de un edio a otro, e decir cuando e refracta. Fig. 11. U e el punto de unión ente la cuerda. pertenece a la cuerda 1, a la cuerda 2 y vibran con la ia frecuencia. Si la velocidade on diferente pero la frecuencia e la ia, recordando v λ f entonce la longitud de onda en cada cuerda deberá er diferente. Si 1 < 2 v 1 > v 2 Depejando λ v f, coo la frecuencia e la ia, Coo f 1 f 2 λ 1 > λ 2 Si 1 > 2 v 1 < v 2 Coo f 1 f 2 λ 1 < λ 2 Fig. 12. Cabio en la longitud de onda al refractare. i v 1 >v 2, entonce λ 1 > λ 2 (fig 12) En el edio en que la onda e propaga con ayor velocidad tendrá ayor longitud de onda, en el edio en e propaga con velocidad enor, tendrá enor longitud de onda. Ejeplo 2 En el extreo de una cuerda de µ 1 1,8 x 10 kg -3 e generan onda periódica con una frecuencia de 16,0Hz. Eta cuerda e encuentra unida a otra de µ 2 5,4 x 10-3 kg. ba etán oetida a una enión de 4,2N. a) Deterina la longitud de onda en la cuerda 1 ( λ 1 ) Coo v λ f λ v f, para deterinar λ neceitao priero cal- 1 cular la velocidad de propagación. v que v p1 1 λ 1 v f 4, 2N 18, 10 3 kg 48 λ 1 16, 0Hz p1 v p1 48 λ 1 3,0 µ 1 utituyendo teneo

8 interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN Capítulo 7 91 b) Deterina la frecuencia de la onda al viajar por la cuerda 2. La frecuencia de la onda en la cuerda 2 e la ia que en la cuerda 1. Si no fuera aí, el punto de unión entre la cuerda debería ocilar con do frecuencia ditinta iultáneaente y eto e fíicaente ipoible. or lo tanto f 2 f 1 16,0 Hz c) Deterina la longitud de onda en la cuerda 2 ( λ 2 ) Repetio lo pao eguido en la parte a). riero deterinao la velocidad de propagación en la cuerda 2. v p2 µ 2 utituyendo, v p2 4, 2N 5, kg V p2 28 hora í podeo deterinar la longitud de onda en la cuerda 2. 2 λ 2 v p f 28 λ 2 16, 0Hz λ 2 1,8 regunta 1) En qué e diferencia un pulo de una onda periódica? 2) Qué e la aplitud de una onda? Cuále on u unidade? 3) Cuándo do punto etán en fae? 4) Qué e la longitud de onda? Cuále on u unidade? 5) Qué e el período de una onda? Cuále on u unidade? 6) Qué e la frecuencia de una onda? Cuále on u unidade? 7) Qué relación hay entre período y frecuencia de una onda? 8) Cuánto avanza una onda en un tiepo igual a un período? 9) Cóo e deterina la velocidad de propagación de una onda en función de la frecuencia y la longitud de onda? 10) Si lo dato on el período y longitud de onda, cóo e deterina la velocidad de propagación en ete cao? 11) Si en una cuerda viaja una onda periódica, y en deterinado intante e triplica u frecuencia, cóo varía u longitud de onda?

9 92 Capítulo 7 ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. 12) En una cuerda viaja una onda de cierta longitud de onda y período. Si quereo que la longitud de onda diinuya a la itad, cóo debeo variar el período? 13) Indica qué caracterítica de la onda e verán afectada i auentao al doble la frecuencia con la que perturbao el extreo de una cuerda, anteniendo contante la tenión a la que etá oetida: a. Velocidad de propagación. b. eríodo. c. Longitud de onda. 14) En una ia cuerda genero onda de diferente aplitude Cuál tendrá ayor velocidad? 15) En do cuerda idéntica oetida a la ia tenión generao onda de ditinta frecuencia. En la priera generao onda del doble de frecuencia que en la egunda. En qué cuerda la onda e propaga con ayor velocidad? En cuál tiene ayor longitud de onda? 16) idiendo el tiepo que trancurre entre que veo el detello de un rayo y ecuchao el trueno y dividiéndolo entre tre, obteneo aproxiadaente la ditancia en k a la que cayó el rayo. Explica por qué ete cálculo e una buena aproxiación. 17) Una onda periódica viaja por una cuerda y paa a otra que tiene ayor denidad lineal de aa. Suponiendo que la tenión e la ia en aba cuerda, explica cóo varían la frecuencia, el período, la velocidad de propagación y la longitud de onda en la egunda cuerda. roblea 1) i abuelo ecucha radio Clarín que tranite en, a una frecuencia de 560 KHz. Deterina el período y la longitud de la onda, abiendo que la onda de radio e propagan a la ia velocidad que la luz. 2) Cuando pulo la cuerda de una guitarra para eitir la nota L, eta genera onda de onido de frecuencia 440 Hz. Deterina la longitud de onda y el período del onido generado. V onido 3,4x10 2 / 3) Se generan onda periódica en una cuerda de tal fora que la ditancia entre do valle uceivo e de 0,80 y cada punto deora 0,10 en cuplir un ciclo. Deterina u frecuencia y velocidad de propagación. 2 c 0 Fig. 13. roblea 4 0,60 4) Una onda periódica e propaga por una cuerda hacia la izquierda. En cierto intante, la fora de la cuerda e la que uetra en la figura 13. Cada punto de la cuerda deora 0,20 en copletar un ciclo. a) Deterina u aplitud, frecuencia y longitud de onda. b) Deterina u velocidad de propagación. c) Un intante depué, el punto e encuentra por encia o por debajo de la poición que uetra la figura?

10 interaccione capo y onda / fíica 1º b.d. ONDS ERIÓDICS EN UN DIENSIÓN Capítulo ) Una onda periódica e propaga en una cuerda de l 50,0 y 400g. La cuerda etá oetida a una tenión de 500N a) Deterina la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. b) Si la frecuencia de la onda e 10Hz, deterina la ditancia entre do creta conecutiva. 6) Una onda periódica de λ20c y 0,12 e propaga por una cuerda. a) Deterina u frecuencia. b) Deterina u velocidad de propagación. c) Si e duplica u frecuencia in variar la tenión cóo varía u velocidad de propagación? cóo varía u longitud de onda? 7) En una cuerda e generan 4 pulo por egundo. La cuerda tiene un largo de 20 y cada pulo la recorre copletaente en 2,0. a) Deterina la velocidad de propagación de la onda. b) Deterina u longitud de onda. c) Si la cuerda etá oetida a una tenión de 12,5N, deterina u denidad lineal de aa. 8) re cuerda perturbada con la ia frecuencia e ven coo uetra la figura 14. Ordena en fora creciente: a) Su longitude de onda. b) Su velocidade de propagación. 9) re cuerda de igual denidad lineal de aa y oetida a la ia tenión e ven coo uetra la figura 15. Ordena en fora creciente: a) Su longitude de onda. b) Su velocidade de propagación. c) Su frecuencia 10) En el extreo de una cuerda de µ 1 4,8 x 10 kg -3 e generan onda periódica con una frecuencia de 12,0Hz. (Fig. 16). kg Eta cuerda e encuentra unida a otra de µ 2 1,2 x ba etán oetida a una tenión de 5,4N. a) Deterina frecuencia y longitud de onda en la cuerda 1. b) Deterina frecuencia y longitud de onda en la cuerda 2. Cuerda 1 Cuerda 2 Cuerda 3 Fig. 14. roblea 8. Cuerda 1 Cuerda 2 Cuerda 3 Fig. 15. roblea 9. Cuerda 2 Fig. 16. roblea 10. Cuerda 1

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