Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional

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1 MA2006

2 El concepto de la probabilidad condicional Imagine la probabilidad de que un hombre presente cáncer pulmonar antes de los 70 años. Imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer pulmonar antes de los 70 años, dado que fuma. Imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer pulmonar antes de los 70 años, dado que fuma y que su padre fumaba y tuvo cáncer pulmonar antes de los 70 años. Por otro lado, imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer pulmonar antes de los 70 años dado que tal hombre nunca ha fumado y hace deporte 4 días de la semana.

3 Probabilidad Condicional Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado que (cuando) B ha ocurrido se define como: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(B) de donde P(A B) = P(A B) P(B)

4 Ejemplo Suponga que P(X ) = 0.2, P(Y ) = 0.3 y que P(X Y ) = 0.1. Determine 1) P(Y X ) 2) P(X Y ) 3) P(Y X ) 4) P(Y X )

5 Ejemplo Supóngase que de todos los individuos que compran cierta cámara digital, 60% incluyen una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluyen una batería extra y 30% incluyen tanto una tarjeta como una batería. Considere seleccionar al azar un comprador y sea A = {tarjeta de memoria adquirida} y B = {batería adquirida}. Entonces, P(A) = 0.60, P(B) = 0.40 y P(ambas adquiridas) = P(A B) = Obtenga y verbalice las probabilidades condicionales 1 P(A B) 2 P(B A) 3 P(A B) 4 P(B A)

6 Ejemplo Considere el experimento de seleccionar al azar un estudiante en cierta universidad y que A represente el evento en que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y que B represente el evento análogo para la tarjeta de crédito AMEX. Suponga que P(A) = 0.2 P(B) = 0.19 P(A B) = 0.14 Determine la probabilidad de que un estudiante elegido al azar... 1) tenga Visa dado que no tiene AMEX. 2) tenga AMEX dado que tiene al menos una de las tarjetas. 3) no tenga AMEX dado que tiene al menos una de las tarjetas. 4) tenga AMEX dado que no tiene Visa. 5) no tenga Visa dado que tiene al menos una de las tarjetas.

7 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?

8 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja? Defina R i el evento donde la bola i es roja B i el evento donde la bola i es azul Así P(R 1 ) = 25 40, P(B 1) = 15 40, P(R 2 R 1 ) = 24 39, P(R 2 B 1 ) = y P(B 2 B 1 ) =

9 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? P(R 1 R 2 ) = P(R 2 R 1 ) P(R 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja? Defina R i el evento donde la bola i es roja B i el evento donde la bola i es azul Así P(R 1 ) = 25 40, P(B 1) = 15 40, P(R 2 R 1 ) = 24 39, P(R 2 B 1 ) = y P(B 2 B 1 ) =

10 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? P(R 1 R 2 ) = P(R 2 R 1 ) P(R 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? P(B 1 R 2 ) = P(R 2 B 1 ) P(B 1 ) = 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja? Defina R i el evento donde la bola i es roja B i el evento donde la bola i es azul Así P(R 1 ) = 25 40, P(B 1) = 15 40, P(R 2 R 1 ) = 24 39, P(R 2 B 1 ) = y P(B 2 B 1 ) =

11 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? P(R 1 R 2 ) = P(R 2 R 1 ) P(R 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? P(B 1 R 2 ) = P(R 2 B 1 ) P(B 1 ) = 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? Use R 2 = (B 1 R 2 ) (R 1 R 2 ) y que (B 1 R 2 ) y (R 1 R 2 ) son mutumente excluyentes pues B 1 R 1 = : P(R 2 ) = P(B 1 R 2 ) + P(R 1 R 2 ) 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja? Defina R i el evento donde la bola i es roja B i el evento donde la bola i es azul Así P(R 1 ) = 25 40, P(B 1) = 15 40, P(R 2 R 1 ) = 24 39, P(R 2 B 1 ) = y P(B 2 B 1 ) =

12 Ejemplo Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo. 1 Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas? P(R 1 R 2 ) = P(R 2 R 1 ) P(R 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado que la primera es azul? P(B 1 R 2 ) = P(R 2 B 1 ) P(B 1 ) = 3 Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? Use R 2 = (B 1 R 2 ) (R 1 R 2 ) y que (B 1 R 2 ) y (R 1 R 2 ) son mutumente excluyentes pues B 1 R 1 = : P(R 2 ) = P(B 1 R 2 ) + P(R 1 R 2 ) 4 Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja? P(R 1 R 2 ) = P(R 1 ) + P(R 2 ) P(R 1 R 2 ) = Defina R i el evento donde la bola i es roja B i el evento donde la bola i es azul Así P(R 1 ) = 25 40, P(B 1) = 15 40, P(R 2 R 1 ) = 24 39, P(R 2 B 1 ) = y P(B 2 B 1 ) =

13 Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7 hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno después de otro. 1 Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres? 2 Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? 3 Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer? Defina W i el evento en el cual se escoge una mujer en la selección i; M i el evento en e cual se escoge hombre en la selección i (i = 1, 2).

14 Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7 hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno después de otro. 1 Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres? 2 Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? 3 Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer? Defina W i el evento en el cual se escoge una mujer en la selección i; M i el evento en e cual se escoge hombre en la selección i (i = 1, 2). Así P(W 1 ) = 3 10, P(M 1) = 7 10, P(W 2 W 1 ) = 2 9, P(W 2 M 1 ) = 3 9, P(M 2 M 1 ) = 6 9, P(M 2 W 1 ) = 7 9

15 Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7 hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno después de otro. 1 Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres? P(W 2 W 1 ) = P(W 2 W 1 ) P(W 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? 3 Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer? Defina W i el evento en el cual se escoge una mujer en la selección i; M i el evento en e cual se escoge hombre en la selección i (i = 1, 2). Así P(W 1 ) = 3 10, P(M 1) = 7 10, P(W 2 W 1 ) = 2 9, P(W 2 M 1 ) = 3 9, P(M 2 M 1 ) = 6 9, P(M 2 W 1 ) = 7 9

16 Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7 hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno después de otro. 1 Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres? P(W 2 W 1 ) = P(W 2 W 1 ) P(W 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? P(M 2 M 1 ) = P(M 2 M 1 ) P(M 1 ) = 3 Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer? Defina W i el evento en el cual se escoge una mujer en la selección i; M i el evento en e cual se escoge hombre en la selección i (i = 1, 2). Así P(W 1 ) = 3 10, P(M 1) = 7 10, P(W 2 W 1 ) = 2 9, P(W 2 M 1 ) = 3 9, P(M 2 M 1 ) = 6 9, P(M 2 W 1 ) = 7 9

17 Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7 hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno después de otro. 1 Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres? P(W 2 W 1 ) = P(W 2 W 1 ) P(W 1 ) = 2 Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres? P(M 2 M 1 ) = P(M 2 M 1 ) P(M 1 ) = 3 Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer? P(M 2 W 1 W 2 M 1 ) Defina W i el evento en el cual se escoge una mujer en la selección i; M i el evento en e cual se escoge hombre en la selección i (i = 1, 2). Así P(W 1 ) = 3 10, P(M 1) = 7 10, P(W 2 W 1 ) = 2 9, P(W 2 M 1 ) = 3 9, P(M 2 M 1 ) = 6 9, P(M 2 W 1 ) = 7 9

18 Regla del Producto para más Experimentos P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 ) = P(A 3 A 1 A 2 ) P(A 2 A 1 ) P(A 1 )

19 Ley de la Probabilidad Total Sean A 1, A 2,...,A k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. Entonces para cualquier otro evento B: P(B) = P(B A 1 ) P(A 1 ) + + P(B A k ) P(A k ) = k i=1 P(B A i) P(A i ) exhaustivos?: Cuya unión es el espacio muestra A 1 A 2 A k = S

20 Teorema de Bayes Sean A 1, A 2,...,A k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con probabilidades P(A i ). Entonces para cualquier otro evento B para el cual P(B) > 0 y para cada j = 1, 2..., k: P(A j B) = P(A j B) P(B) = P(B A j ) P(A j ) k i=1 P(B A i) P(A i )

21 Considere una prueba médica referente a una enfermedad que tienen 4 personas de cada Suponga que el porcentaje de falsos positivos de la prueba médica (casos donde la prueba indica que sí se tiene la enfermedad cuando realmente no se tiene) es 2 por ciento y que el porcentaje de falsos negativos (casos donde la prueba indica que no se tiene la enfermedad cuando realmente sí se tiene) es 5 por ciento. 1) Determina la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga la enfermedad cuando la prueba indica que la tiene. 2) Determina la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no tenga la enfermendad cuando la prueba indica que no la tiene.

22 Eventos y datos: considerando una persona al azar en la población: A 1 = la persona sale positiva en la prueba, A 2 = A 1 B 1 = la persona efectivamente tiene la enfermedad, B 2 = B 1 P(B 1 ) = 4/1000 P(B 2 ) = 1 P(B 1 ) = 996/1000 Falsos positivos P(A 1 B 2 ) = 2/100 P(A 2 B 2 ) = 1 P(A 1 B 2 ) = 98/100 Falsos negativos P(A 2 B 1 ) = 5/100 P(A 1 B 1 ) = 1 P(A 2 B 1 ) = 95/100 Piden: 1) P(B 1 A 1 ) = P(A 1 B 1) P(B 1) P(A 1 B 1) P(B 1)+P(A 1 B 2) P(B 2) 2) P(B 2 A 2 ) = P(A 2 B 2) P(B 2) P(A 2 B 1) P(B 1)+P(A 2 B 2) P(B 2)

23 Ejemplo Suponga que una urna contiene 5 bolitas rojas y 6 bolitas blancas y que una segunda urna contiene 7 bolitas rojas y 5 bolitas blancas. Una bolita se selecciona primero escogiendo una urna al azar y después escogiendo una bolita de esa urna. Si la bolita saliente es roja, indique la probabilidad de que tal bolita haya sido sacada de la primera urna. Evento: A la bola seleccionada es roja Evento: B 1 la bola seleccionada salió de la urna 1 Evento: B 2 la bola seleccionada salió de la urna 2 P(A B 1 ) = P(A B 2 ) = P(B 1 ) = P(B 2 ) = P(A B 1 ) = P(A B 2 ) = P(A) = P(B 1 A) =

24 Sólo 1 de cada 1000 adultos padece de una enfermedad rara para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal que cuando se aplica a un individuo que realmente tiene la enfermedad un resultado positivo en la prueba se presentará en 99% de las veces, mientras que cuando se aplica a un individuo sin la enfermedad el examen será positivo el 2% de las veces. Si se somente un individuo de la población al azar y el resultado es positivo, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

25 Sólo 1 de cada 1000 adultos padece de una enfermedad rara para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal que cuando se aplica a un individuo que realmente tiene la enfermedad un resultado positivo en la prueba se presentará en 99% de las veces, mientras que cuando se aplica a un individuo sin la enfermedad el examen será positivo el 2% de las veces. Si se somente un individuo de la población al azar y el resultado es positivo, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad? Sea entonces A 1 = {el individuo sí tiene la enfermedad} A 2 = A 1 = {el individuo no tiene la enfermedad} B = {el individuo da positivo en el diagnóstico}, P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1 P(A 1 ) = P(B A 1 ) = 0.99 P(B A 2 ) = 0.02

26 Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos. Suponga que sólo se desea el tipo 0+ y sólo uno de los cuatro tiene ese tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan en orden aleatorio para determinar su tipo de sangre, cuál es la probabilidad de que por los menos tres individuos tengan que ser examinados para deteminar su tipo de sangre y obtener el tipo deseado?

27 Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos. Suponga que sólo se desea el tipo 0+ y sólo uno de los cuatro tiene ese tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan en orden aleatorio para determinar su tipo de sangre, cuál es la probabilidad de que por los menos tres individuos tengan que ser examinados para deteminar su tipo de sangre y obtener el tipo deseado? Si A={primero no O+}, B={segundo no 0+}, C = {por lo menos tres fueron examinados}

28 Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de reproductores de DVD. De sus ventas de reproductores de DVD, 50% son de la marca 1 (la menos cara), 30% son de la marca 2 y 20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece 1 año de garantía en las partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los reproductores de DVD de la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del periodo de garantía, mientras que los porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%, respectivamente. Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya adquirido un reproductor de DVD marca 1 que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía? Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un reproductor de DVD que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía. Si un cliente regresa a la tienda con un reproductor de DVD que necesita reparación dentro de garantía, cuál es la probabilidad de que sea un reproductor de DVD marca 1?

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