UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES

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1 RISI 1(1), 9-18 (2004) Rev nvestg sst nform Facultad de Ingenería de Sstemas e Informátca Unversdad Naconal Mayor de San Marcos ISSN: (mpreso) MANUEL TUPIA et al ARTÍCULOS UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES Manuel Tupa *, Davd Maurco ** RESUMEN La planfcacón ndustral ha expermentado notables avances desde sus orígenes a medados del sglo XX tanto en mportanca de aplcacón dentro de todas las ndustras en donde es usada, como en la efcenca y sofstcacón de los algortmos que buscan resolver todas sus varantes exstentes El nterés por la aplcacón de métodos heurístcos ante la necesdad de dar respuestas a los problemas del área de planfcacón nos ha llevado a desarrollar nuevos algortmos para resolver una de las varantes del problema de la planfcacón desde el punto de vsta de la Intelgenca Artfcal: la programacón de tareas o tas schedulng defnda como un conjunto de tareas dependentes de una línea de produccón a ser programadas en un determnado grupo de máqunas dferentes, encontrar un orden adecuado de ejecucón que mnmce el tempo total de trabajo de las máqunas o maespan El presente trabajo muestra un algortmo voraz para resolver dcha varante del problema del tas schedulng Palabras clave: algortmos golosos, programacón de tareas, optmzacón combnatora, heurístcas, Intelgenca Artfcal ABSTRACT A GREEDY ALGORITHM FOR TASK SCHEDULING PROBLEM The ndustral plannng has expermented great advances snce ts begnnng for a mddle of 20 th century It has been demonstrated ts applcatons mportance nto the several ndustral where ts nvolved even though the dffcult of desgn exact algorthms that resolved the varants It has been appled heurstcs methods for the plannng problems due ther hgh complexty; especally Artfcal Intellgence when develop new strateges for resolvng one of the most mportant varant, called tas schedulng It s able to defne the tas schedulng problem le: a set of N producton lne s tass and M machnes, whch ones can execute those tass The goal s to fnd an order that mnmze the accumulated executon tme, nown as maespan Ths paper presents a meta heurstc strategy GRASP for the problem of programmng of dependent tass n dfferent sngle machnes Keywords: greedy myopc algorthms, tas schedulng, combnatoral optmzaton, heurstcs, Artfcal Intellgence 1 INTRODUCCIÓN El problema de la programacón de tareas o tas schedulng presenta sus antecedentes en la planfcacón ndustral [1] y en la programacón de trabajos de procesadores en los ncos de la mcroelectrónca [2] Ese tpo de problema puede defnrse, desde el punto de vsta de la optmzacón combnatora [3], como sgue: * Pontfca Unversdad Católca del Perú, Departamento de Ingenería, Seccón Informátca, Lma-Perú E-mal: tupamf@pucpedupe ** Unversdad Naconal Mayor de San Marcos, Insttuto de Investgacón de la Facultad de Ingenería de Sstemas e Informátca, Lma-Perú E-mal: dms@terracom 9

2 UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES Dadas M máqunas (consderadas procesadores) y N tareas con T j undades de tempo de duracón de cada tarea -ésma ejecutada en la máquna j-ésma Se desea programar las N tareas en las M máqunas, procurando el orden de ejecucón más apropado, cumplendo determnadas condcones que satsfagan la optmaldad de la solucón requerda para el problema El problema del schedulng presenta una sere de varantes dependendo de la naturaleza y el comportamento; tanto de las tareas como de las máqunas Una de las varantes más dfícles de plantear, debdo a su alta complejdad computaconal, es aquella en donde las tareas son dependentes y las máqunas son dferentes En esta varante cada tarea presenta una lsta de tareas que la preceden y para ser ejecutada deben esperar el procesamento de dcha lsta en su totaldad A esta stuacón hay que agregarle la característca de heterogenedad de las máqunas: cada tarea demora tempos dstntos de ejecucón en cada máquna El objetvo será mnmzar el tempo acumulado de ejecucón de las máqunas, conocdo en la lteratura como maespan [3] Al observar el estado del arte del problema, vemos que tanto su aplcacón práctca de forma drecta en la ndustra como su mportanca académca, al ser un problema NP-dfícl, se justfca en dseño de un algortmo heurístco que busque una solucón óptma al problema, dado que no exsten métodos exactos para resolver el problema En muchas ndustras como las del ensamblado, embotellado, manufactura, etc, vemos líneas de produccón en donde los períodos de espera por trabajo de las máqunas nvolucradas y el ahorro del recurso tempo son temas muy mportantes y requeren de una convenente planfcacón A partr de la defncón dada, podemos presentar el problema como un modelo matemátco de optmzacón combnatora en su forma más general, en la sguente fgura y en donde: X 0 representa al maespan X j será 0 s la máquna j-ésma no ejecuta la tarea -ésma y 1 en caso contraro MnmzaX 0 r s a X 0 n m = 1 T j * X j 1 M X = 0 X j 1 1 N j = 1 Fgura Nº 1 Modelo matemátco del tas schedulng II MÉTODOS EXISTENTES PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS Y SUS VARIANTES Resumremos aquí partes mportantes de trabajos que pretenden resolver el problema del schedulng en general tanto de forma exacta como aproxmada 21 Métodos exstentes Las solucones exstentes que pretenden resolver el problema de la planfcacón ndustral en general pueden ser dvddas en dos grupos: métodos exactos y métodos aproxmados Los métodos exactos [6,7,8,9,10] pretenden hallar un plan jerárquco únco analzando todos los posbles ordenamentos de las tareas o procesos nvolucrados en la línea de produccón (exploracón exhaustva) Sn embargo, una estratega de búsqueda y ordenamento que analce todas las combnacones posbles es computaconalmente cara y sólo funcona para algunos tpos (tamaños) de nstanca Los métodos aproxmados [3,4,5], por su parte, sí buscan resolver las varantes más complejas en las que ntervene el comportamento de tareas y máqunas, como se menconó en el apartado anteror Dchos métodos no analzan exhaustvamente todas las posbles combnacones de patrones del problema, sno que más ben elgen los que cumplan determnados crteros Obtenen fnalmente solucones lo sufcentemente buenas para las nstancas que resuelven, lo que justfca su uso Segudamente presentamos los métodos de solucón exstentes para las varantes más conocdas del schedulng j 10

3 RISI 1(1), 9-18 (2004) MANUEL TUPIA et al 211 Métodos heurístcos para resolver la varante del Job Schedulng Dentro de la teoría de colas podemos encontrar la prmera y más estudada varante del schedulng: el problema de la planfcacón de trabajos en cola o atencón en cola, conocdo en la lteratura como job schedulng [11] Este problema consste en: Dado un lote fnto de trabajos a ser procesados Dado un nfnto número de procesadores (máqunas) Cada trabajo (job) esta caracterzado por un conjunto de operacones convenentemente ordenadas; por su parte, las máqunas pueden procesar una únca tarea a la vez, sn nterrupcones El objetvo del JSP es encontrar una programacón determnada que mnmce el tempo de procesamento Exsten numerosos algortmos heurístcos planteados para resolver el problema del job schedulng, entre los que destacamos: Usando ramfcacón y acotacón: Bard y Feo [12,13] presentan el conocdo método de búsqueda en grafos drgdos de ramfcacón y acotacón, con el cual proceden a recorrer un árbol cuyos nodos son secuencas de operacones en líneas de manufacturas No consderan líneas con penaldades por retrasos n por los pasos de las tareas de una máquna a otra; de allí la aplcabldad drecta de un método de barrdo de árboles en el proceso de seleccón de nstrumentos y trayectoras Smlares trabajos fueron presentados por Brucer, Jursch y Severs [14] Usando algortmos GRASP: Bnato, Hery y Resende [15] ncorporan dos nuevos conceptos en el desarrollo de una GRASP convenconal para el JSP: un procedmento de ntensfcacón estratégca (otra forma de dstrbucón probablístca) para crear canddatas a solucón y una técnca POP (del nglés Proxmate Optmalty Prncple) tambén en la fase de construccón Ambos conceptos ya habían sdo aplcados para resolver el problema de la asgnacón cuadrátca Usando algortmos genétcos: Trabajos de Goncalves, De Magalahes y Resende [16] y Davs [17] La representacón de los cromosomas se basa en tasas del eltsmo aleatoras; los autores pretenden asemejar el comportamento de un entorno de trabajo varable en una línea de produccón flexble Por otro lado, la nvestgacón de Davs [18] consstó báscamente en la dvsón de las tareas en cromosomas muy pequeños de tal forma que las poblacones generadas sean lo más varadas posbles Usando búsqueda Tabú: Tallard [19] consderaba como vecndades para la aplcacón de las lstas Tabú al movmento de una canddata a operacón -ésma (tarea) a programar en una máquna haca otra máquna, sendo la lsta Tabú aquella matrz formada por las operacones y las máqunas donde ejecutarlas; otros trabajos nteresantes son los de Chambers y Barnes [20] que consderaban una ruta flexble; ruta flexble es aquella en la que exsten máqunas que pueden operar más de un tpo de operacón, extendendo la defncón del JSP; y fnalmente los trabajos de Subraman [21] donde aplca los conceptos de JSP sobre las técncas de Grd (Grd Computng) en la programacón de tareas de súper computadoras Las estrategas Grd conssten en la programacón de varos trabajos recurrentes y smultáneos que aparecen en la atencón de los procesadores 212 Métodos heurístcos para resolver la varante del Tas Schedulng Los algortmos para esta varante pueden ser usados para resolver complcados problemas de planfcacón o programacón de accones y operacones en células de trabajo Se plantea un determnado número fnto de máqunas y tareas y se busca, al gual que en el JSP, una programacón adecuada donde se mnmce el tempo de procesamento de lote o maespan Por la naturaleza de las máqunas y las tareas, puede hacerse la sguente subdvsón vsta anterormente: Máqunas déntcas y tareas ndependentes Máqunas déntcas y tareas dependentes Máqunas dferentes y tareas ndependentes Máqunas dferentes y tareas dependentes: el modelo más complejo que será motvo de estudo en este trabajo Algunos algortmos planteados son: Usando algortmos voraces: Campello, Maculan [3] para máqunas déntcas El planteamento que realzan los autores es a partr de la defncón del problema como uno de programacón dscreta (posble al ser de la clase NP-dfícl), como se vo anterormente 11

4 UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES Usando algortmos voraces: Tupa [22] para máqunas dferentes y tareas ndependentes El autor presenta el caso de las máqunas dferentes y tareas ndependentes Se adaptó el modelo de Campello y Maculan consderando que habían tempos dstntos de ejecucón para cada máquna: es decr aparece el concepto matrcal de que es el tempo que se demora la tarea -ésma en ser ejecutada por la máquna j-ésma Usando algortmos GRASP: Tupa [22] presenta el caso de las máqunas dferentes y tareas ndependentes En este trabajo, el autor ampló el crtero voraz del algortmo anteror aplcando las fases convenconales de la técnca GRASP y mejorando en cerca del 10% los resultados del algortmo voraz para nstancas de hasta varables (250 tareas por 50 máqunas) 213 Métodos heurístcos para resolver el problema de la planfcacón de tareas en tempo real (STR) Planfcacón basada en el reloj (basada en el tempo) [23]: El plan de ejecucón se calcula fuera de línea y se basa en el conocmento de los tempos de nco y de cómputo de todos los trabajos El plan de ejecucón está en una tabla y no es concurrente Planfcacón round robn [24] con y sn prordades: Las tareas tenen prordades asgnadas por el usuaro (fuera de línea) Dentro de cada prordad, las tareas se planfcan en round robn con un determnado tempo asgnado a cada una de ellas (quantum) Planfcacón basada en prordades [25]: Las prordades las asgna el algortmo de planfcacón La tarea con mayor prordad se ejecuta en cualquer nstante Algortmo Dual Prorty y sus adaptacones [26] para la asgnacón dnámca de tareas en entornos de multprocesador con memora compartda 214 Métodos heurístcos para resolver la varante del flow-shop schedulng Usando algortmos GRASP: Los trabajos de Feo, Sarathy, McGahan [27] para máqunas smples consstían en asgnar un costo a la ejecucón de cada trabajo Representaba el costo de ejecutar nmedatamente la tarea j después de la 12 tarea ; luego agregaba el tempo de ejecucón para cada trabajo y el concepto de penaldad por retrasos en la línea Se pretendía aplcar las técncas GRASP para mnmzar la suma de las penaldades En la msma línea nvestgatva, Ríos y Bard [28] plantean una GRASP para secuencamento de líneas de flujo de trabajo: encontrar una secuenca de N tareas en un ambente de flow-shop Presentaron dos heurístcas: la prmera basada en el trabajo de Nawaz [29], quen busca construr una secuenca factble de ejecucón, y otro algortmo propuesto es un procedmento GRASP cuya fase de construccón se basa en el algortmo anteror; otro trabajo nteresante de Feo y Venatraman [30] para un únco tpo de máquna con penalzacón de tempo de flujo y costos por termnacón adelantada Usando heurístcas de búsqueda Tabú: Encontramos el trabajo de Acero y Torres [31] para líneas de produccón flexble Propuseron una representacón natural de una solucón factble por medo de un vector de dmensones 2 x N x M componentes (sendo N el número de trabajos y M el número de etapas) Usando algortmos voraces: Trabajos de Chand y Scheneeberger [32] para líneas con máqunas smples y trabajos sn demoras III ALGORITMOS VORACES Los algortmos golosos-mopes o voraces (del nglés greedy-myopc) recben esta denomnacón por las sguentes razones [34]: Es goloso o voraz porque sempre escoge el mejor canddato para formar parte de la solucón: aquel que tenga mejor valor de la funcón objetvo, lo que consttuye el cumplmento de certo crtero goloso de seleccón Es mope porque esta eleccón es únca e nmodfcable dado que no analza más allá los efectos de haber selecconado un elemento como parte de la solucón No deshacen una seleccón ya realzada: una vez ncorporado un elemento a la solucón permanece hasta el fnal y cada vez que un canddato es rechazado, lo es permanentemente Se sabe sn embargo, que la caldad de los algortmos golosos está en relacón con las característcas de las nstancas que pretenden resolver: puede arrojar muy buenos resultados para determnadas nstancas del problema pero para otras no Otro nconvenente que presentan es que

5 RISI 1(1), 9-18 (2004) MANUEL TUPIA et al se estancan en óptmos locales de las funcones que pretenden optmzar y quzá no analzan vecndades más allá del crtero goloso por lo que pueden estar dejando de consderar al óptmo global Analcemos la sguente fgura: IV ALGORITMO VORAZ PROPUESTO Fgura 2: Mopía de los algortmos voraces y estancamento en óptmos locales Puede verse que en valores de entre 5 y 10, la funcón a optmzar arroja óptmos locales pero que no puede aprecar más allá, la presenca de un mejor valor global pco Vamos a presentar un algortmo voraz planteado en su forma genérca Prevamente consderemos las sguentes varables: E = {e1, e2, e3, e4,, en} es una coleccón de N objetos o varables del problema F: es una coleccón de subconjuntos de elementos de E que cumple con una determnada propedad c: E à R es la funcón a optmzar S: conjunto solucón Fgura Nº 3: Estructuras de datos para un algortmo voraz El algortmo voraz en su forma general sería como sgue: Algortmo Voraz General(N,c,S,E,F) Inco 0 Leer N, c, E, F 1 Ordenar bajo algún crtero, los elementos de E de acuerdo al valor de c 2 S:= φ 3 Para : 1 a N, hacer 31S S {e } es una solucón vable entonces S = S {e } Fn Voraz General Fgura Nº 4: Algortmo voraz en su formato genérco Debemos partr del supuesto que se tene una nstanca de trabajo completa que ncluya lo sguente: cantdad de tareas y máqunas (N y M respectvamente), matrz de tempos de ejecucón T y lsta de predecesoras por tarea 41 Estructuras de datos usadas por el algortmo Consderemos que en el lote hay al menos una tarea sn predecesoras que se convertrá en la ncal, así como no exsten referencas crculares entre las predecesoras de las tareas que mpdan su correcta programacón En la sguente fgura vemos las estructuras de datos que vamos a necestar para la presentacón del algortmo: J J,, J N: número de tareas, 1 2 N M: número de máqunas M, 1 M 2,, M M Matrz T: [ T j ] MxN de tempos de procesamento, donde cada entrada representa el tempo que se demora la máquna j-ésma en ejecutar la tarea -ésma Vector A: [ A ] de tempos de procesamento acumulado, donde cada entrada A es el tempo de trabajo acumulado de la máquna M P : Conjunto de tareas predecesoras de la tarea J Vector U: [ U ] de tempos de fnalzacón de cada tarea J Vector V: [ V ] de tempos de fnalzacón de las tareas predecesoras de J, donde se cumple que V = max{ U }, J P r r S : Conjunto de tareas asgnadas a la máquna E: Conjunto de tareas programadas C: Conjunto de tareas canddatas a ser programadas M Fgura Nº 5 Estructuras de datos usadas por el algortmo 13

6 UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES 42 Consderacones Generales Los lneamentos generales de este algortmo son los sguentes: Selecconar las tareas aptas o canddatas a ser ejecutadas sguendo los sguentes crteros: El crtero goloso de seleccón de la mejor tarea a ejecutar: Se escoge aquella tarea cuyo tempo de ejecucón sea el más bajo para evtar perturbacones El crtero goloso de seleccón de la mejor máquna ejecutora: La tarea se asgna a la máquna que la ejecuta en menor tempo Una tarea se consderará apta para ser ejecutada s todas sus predecesoras ya han sdo programadas o carece de ellas En el caso partcular de las tareas cuyas predecesoras ya han sdo ejecutadas en su totaldad seguremos así: Como la tarea J se debe ejecutar después de todas sus predecesoras, debemos ubcar la predecesora que fnalza más tarde (termna de ser ejecutada en el mayor tempo) La mejor máquna M se elegrá de entre los M valores posbles: será aquella que mnmce el valor de la suma de la entrada de la matrz de tempos de ejecucón T j con el máxmo de entre la entrada correspondente al vector de tempos acumulados respectva A y al tempo de fnalzacón de la últma de las predecesoras de: J : V = max{ U }, J P r r A la mejor máquna le asgnamos tarea J, actualzando al vector A en la entrada correspondente a M Se repte el proceso para el resto de tareas Fnalmente el mayor tempo o entrada de la lsta A será el maespan 421 Crtero de seleccón de la mejor tarea Sean por ejemplo, las tareas y tareas sn predecesoras; se tenen 3 máqunas M 1, M 2, M 3 y un extracto de la matrz de tempos de ejecucón T en la tabla Nº 1: Tabla Nº 1 Extracto de una matrz de tempos de ejecucón T M1 M2 M3 J J Sn perder generaldad y basándonos en el extracto de la tabla anteror formaremos dos lstas 1 con los tempos acumulados de trabajo: Lsta para la tarea J : {10, 12, 11} Determnamos el mínmo: 1 10 Lsta para la tarea J : {23, 9, 8} Determnamos el mínmo: 2 8 A partr de los datos anterores, nuestro crtero de seleccón de la mejor tarea escogería la tarea para ser ejecutada en prmer lugar, debdo a que su tempo de acumulado goloso es más bajo (10>8) que el tempo acumulado 422 Crtero goloso de seleccón de la mejor máquna Por su parte, el crtero goloso de seleccón de la mejor máquna será el de aquella que ejecuta la tarea apta para ser programada (elegda desde el crtero anteror) en el menor tempo Luego, sguendo el ejemplo: para J 2 tenemos que el menor tempo de ejecucón es 8 undades, correspondente a la máquna M 3 A la máquna M 3 se le asgnaría la ejecucón de la tarea J 2 43 Presentacón del algortmo propuesto Inco Algortmo_Voraz_HETDEP(M, N, T, A, S, U, V) 1 Leer e ncalzar N, M, J 1, J 2,, J N, T, A, S, U, V 2 E = φ 3 Mentras E N hacer Inco 31 C = φ 32 Para : 1 a N, hacer S (P E) (J E) C = C { J } 33 Para cada J C hacer Inco 331 V l = maxj l P { Ul} 332 = ArgMn [ 1, M ]{ Tl + max{ A, Vl }} J l C 333 = ArgMn p [ 1, M ]{ Tp + max{ Ap, V}} Fn para 34 S = S { J } 35 E = E J } { 36 A = T + max{ A, V} 37 U = A 1 La formacón de las lstas no es tan trval como la smple copa drecta de los datos de la matrz T Más adelante se explca el proceso correspondente 14

7 RISI 1(1), 9-18 (2004) MANUEL TUPIA et al Fgura Nº 6 Algortmo voraz propuesto 431 Comentaros Línea 1: Se ncalzan las estructuras de datos Línea 2: Se ncalza el conjunto E en vacío porque nnguna tarea ha sdo programada aún Línea 6: El proceso de programacón termnará cuando en el conjunto E estén contendas las N tareas (cardnaldad de E gual a N) Línea 31: El conjunto C de tareas canddatas a ser programadas (aptas) se nca en vacío para cada teracón Línea 32: Se procede a determnar las tareas canddatas Sabemos que una tarea J l formará parte de C s sus predecesoras ya han sdo ejecutadas (ncludas en E) o no presenta predecesoras (vacío ncludo en E) y s además dcha J l no ha sdo programada (no pertenece a E) Línea 33: Para las tareas canddata de C selecconaremos la mejor, así como la mejor máquna ejecutora sguendo los crteros explcados en apartados anterores Fn Mentras 4 maespan = max A 1 M 5 Retornar maespan, S [ 1, M ] Fn Algortmo_Voraz_HETDEP Línea 331: Actualzamos al vector V Escogemos la predecesora de la tarea J l que fnalza más tarde (mayor entrada de U de las predecesoras de J l ) Línea 332: Crtero de seleccón de la mejor tarea: para cada tarea J l en C, formamos una lsta de M elementos contenendo el tempo de ejecucón T l para cada M máquna, más el máxmo valor entre la entrada correspondente de A y el tempo de la últma predecesora de J! en ser ejecutada (V! ) Esto repetmos, debdo a que J! debe programarse después de la fnalzacón de todas sus predecesoras (en partcular de la que acaba al fnal) De cada lsta obtenemos el mínmo valor, y de entre todos los mínmos hallados (uno por cada tarea J l canddata) escogemos el menor Aquella tarea que posee ese tempo mínmo (el mejor de los mínmos locales), será la mejor a programar (argumento ) Línea 333: Crtero de seleccón de la mejor máquna: una vez conocda la tarea -ésma ( calculado en la línea anteror) a programar, usando el crtero goloso de mejor a aquella máquna que ejecute a en el menor tempo, volvemos a generar la lsta anteror para J : esta vez elegmos la menor entrada correspondente a la mejor máquna (argumento ) - Línea 34: Actualzamos S para la entrada S, pues ahora la máquna M ejecuta a la tarea J - Línea 35: Actualzamos E, con J porque ya está programada - Línea 36: Actualzamos al vector A - Línea 37: Actualzamos al vector U El tempo de fnalzacón de J será gual a la entrada de A Línea 4: Se calcula el maespan que es la mayor entrada del vector A Línea 5: Se presentan el maespan y las tareas asgnadas a cada máquna V EXPERIENCIAS NUMÉRICAS Las nstancas con las que se probó el algortmo están conformadas por la cantdad M de máqunas, N de tareas y por una matrz T de tempos de ejecucón Los valores que se manejaron para M y N respectvamente fueron: Número de tareas N: En el ntervalo 100 a 250, tomando como puntos de referenca los valores de 100, 150, 200, 250 Número de máqunas M: Un máxmo de 50 máqunas tomando como puntos de referenca los valores de 12, 25, 37, 50 Matrz de tempos de proceso: Se generará de forma aleatora con valores entre 1 y 100 undades de tempo 2 2 Notemos que un tempo de ejecucón muy alto (+α) puede nterpretarse como que la máquna no ejecuta una tarea determnada Usar en este caso un tempo de ejecucón gual a 0 podría confundrse como que la máquna ejecuta tan rápdo la tarea que se puede asumr que lo hace de forma nstantánea, sn ocupar tempo 15

8 UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES En total tenemos 16 combnacones para las combnacones de máqunas-tareas De la msma forma, para cada combnacón se generarán 10 nstancas dferentes, lo que arroja un total de 160 problemas-test realzados Se enfrentó el algortmo voraz con una meta heurístca GRASP [36]: Tabla Nº 2 Efcenca del algortmo voraz frente a una meta heurístca GRASP Máqunas\ \ GOLOSO GRASP C Tareas Maespan Maespan % 100 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Efcenca algortmo GRASP sobre el algortmo Goloso De otro lado, para determnar la real caldad de las solucones decdmos aplcar el modelo matemátco del problema a paquetes soluconadores de problemas de la programacón lneal como la herramenta LINDO [35] en su versón estudantl 3, a fín de obtener solucones exactas y enfrentarlas con las que arrojaba el algortmo voraz propuesto Para que los modelos sean manejables se dsmnuyó consderablemente el tamaño de las nstancas de prueba A contnuacón se presenta la confguracón de dchas nstancas (recuérdese que N es el número de tareas y M el número de máqunas): Tabla Nº 3: Confguracón de nstancas N x M para los expermentos exactos N M Las Tablas N os 10 y 11 resumen los resultados exactos obtendos frente a los resultados heurístcos (solucón voraz) y meta heurístcos (solucón GRASP) Asmsmo, presentaremos los valores de las constantes de relajacón usadas para la fase de construccón GRASP en donde se realzaron cerca de 7000 teracones para todos los casos Los promedos de efcenca están hacendo referenca a qué tan cerca está la solucón del método respectvo de la solucón consderada exacta Tabla Nº 4 Efcenca de la solucón voraz para nstancas con M gual a 3 Matrz N M Resultado del LINDO Algortmo voraz A GRASP 6x3_ x3_1 6x3_ x3_ x3_ Esta versón gratuta del LINDO tene lmtantes en el número de restrccones que puede contener el modelo, de allí que con las versones profesonales del programa podríamos trabajar con nstancas de mayor porte 16

9 RISI 1(1), 9-18 (2004) MANUEL TUPIA et al Tabla Nº 5 Efcenca de la solucón voraz para nstancas con M gual a 5 Matrz N M Resultado del LINDO Algortmo voraz Algortmo GRASP % Exacto/Voraz % Exacto/GRASP α θ 25x5_ % 465% Promedos de efcenca VI CONCLUSIONES El algortmo voraz arroja solucones que están muy cerca de las solucones exactas El tempo que le ocupa al computador ejecutar este algortmo es nsgnfcante para cas cualquer nstanca de prueba (por debajo de los 2 segundos) Sendo tan solo una heurístca, apenas es superada por los algortmos meta heurístcos a los que se enfrentó, sendo muy buenos los resultados para nstancas de gran porte Los sstemas exstentes en el mercado que pueden ser consderados como planfcadores de tareas no han aplcado técncas meta heurístcas sno más ben métodos exactos No buscan la optmzacón del ordenamento de las tareas a ejecutar, sno más ben dan énfass a encontrar planes factbles de ser ejecutados (penaldades más que orden) Tampoco exsten sstemas que planfquen líneas de produccón completas consderando entre otras cosas: el desplazamento de los productos, la ejecucón de las operacones, la dsposcón de la maqunara (layout) y de las facldades (nstalacones), potencales reduccones de los tempos muertos, etc El tempo de ejecucón es bastante bajo para la confguracón del hardware donde se realzaron las pruebas Esto nos lleva a nferr que, con una confguracón más potente sí se podría pasar esta barrera El tempo de CPU empleado no pasaba de los 2 segundos para las nstancas más grandes (250x50) VII BIBLIOGRAFÍA 1 Mller G, Galanter E Plans and the Structure of Behavor, Edtoral Holt, New Yor-USA (1960) 2 Drozdows M Schedulng multprocessor tass: An overvew, European Journal, Operaton Research 94: (1996) 3 Campello R, Maculan N Algortmos e Heurístcas Desenvolvmento e avalaçao de performance Apolo Naconal Edtores, Brasl (1992) 4 Pnedo M Schedulng, Theory, Algorthms and Systems Prentce Hall (1995 y 2002) 5 Feo T, Resende M, Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure Journal of Global Optmzaton, 6: (1995) 6 Rauch W Aplcacones de la ntelgenca Artfcal en la actvdad empresaral, la cenca y la ndustra Tomo II, Edtoral Díaz de Santos, España (1989) 7 Kumara P Artfcal Intellgence: Manufacturng theory and practce Edtoral NorthCross Insttute of ndustral Engneers, USA (1988) 8 Blum A, Furst M Fast Plannng through Plangraph Analyss Artcle of memores from 14th Internatonal Jont Conference on Artfcal Intellgence, pp Edcones Morgan- Kaufmann - USA (1995) 9 Conway R Theory of Schedulng Addson Wesley Publshng Company, Massachussets USA, (1967) 10Mller G; Galanter E Plans and the Structure of Behavor Edtoral Holt, New Yor-USA, (1960) 11Suárez R, Bautsta J, Mateo M Secuencacón de tareas de ensamblado con recursos lmtados medante algortmos de exploracón de entornos wwwupces/solupces/~suarez/ pubhtml Insttuto de Organzacón y Control de Sstemas Industrales Unversdad Poltécnca de Cataluña (1999) 17

10 UN ALGORITMO VORAZ PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN DE TAREAS DEPENDIENTES EN MÁQUINAS DIFERENTES 12 Bard J; Feo T Operatons sequencng n dscrete parts manufacturng Journal of Management Scence 35: (1989) 13 Bard J; Feo T An algorthm for manufacturng equpment selecton problem IEEE Transactons, 23: 83-91, (1991) 14 Brucer P; Jursch B; Severs B A branch and bound algorthm for the job-shop schedulng problem Journal of Dscrete Appled Mathematcs, 49: (1994) 15 Bnato S, Hery W, Loewenstern D y Resende M A GRASP for Job Schedulng Techncal Report N 0061 AT&T Labs Research ( ) 16 Gonçalves J, Magalhäes J, Resende M A Hbrd Genetc algorth for the Jos Shop Schedulng AT&T Labs Research Techncal Report TD- 5EAL6J (2002) 17 Davs L Job shop schedulng wth genetc algorthms Frst Internatonal Conference on Genetc Algorthms and ther Applcatons, Morgan Kaufmann USA, (1985) 18 Internatonal Conference on Genetc Algorthms and ther Applcatons (1, 1985, USA) Job shop schedulng wth genetc algorthms (reporte) Ed Davs L, Morgan Kaufmann USA, Tallard E Parallel Taboo Search Technque for the Job shop Schedulng Problem Journal on Computng Scence, 6: , (1994) 20 Chambers J; Barnes W Taboo Search for the Flexble-Routng Job Shop Problem Department of Computer Scences, Unversty of Texas- USA, Reporte técnco TAY 2124, (1997) 21 Subraman V; Kettmuthu R; Srnvasan S; Sadayappan P Dstrbuted Job Schedulng on Computatonal Grds usng Multple Smultaneous Requests Department of Computer and Informaton Scence of Oho State Unversty, USA Dsponble wwwgrdforumorg (2003) 22 Tupa, M Un algortmo Voraz Adaptatvo y Randómco para resolver el problema de la Programacón de Tareas ndependentes en máqunas homogéneas Pontfca Unversdad Católca del Perú (2001) 23 Klenroc L Querng Systems John Wley Edtons, USA, (1974) 24 Yongpe Guan Y, Wen-Qang Xao, Cheung R; Chung-Lu Ln A multprocessor tas schedulng model for berth allocaton heurstc and worstcase analyss Operatons Research Letters, 30: , Elsever Scence, (2002) AFIPS Fall Jont Computer Conference (1962, USA) An expermental tme-sharng system memora Eds Corbato F, Merwn M, Daley R, USA, Banús J; Moncusí A; Labarta J The Last Call Schedulng Algorthm for Perodc and Soft Aperodc Tass n Real-Tme Systems Departament d Engnyera Informàtca Unverstat Rovra Vrgl, Tarragona España (2000) 27 Feo T; Sarathy K; McGahan J A GRASP for sngle machne schedulng wth sequence dependt setup cost and lnear delay penaltes Unversty of Texas USA, reporte técnco TX (1994) 28 Ríos R; Bard J Heurístcas para el secuencamento de tareas en líneas de flujo (en línea) Unversdad Autónoma de Nuevo León (Méxco) Dsponble ososfmeuanlmx/~roger/ papers (2000) 29 Nawaz M; Enscore E; Ham I A heurstc algorthm for the m-machne, n-job flow-shop sequencng problem Omega, 11(1): (1983) 30 Feo T; Venatraman K A Grasp for a dffcult sngle machne schedulng problem Journal of Computer and Operaton Research, No18 (1991) 31 Acero R; Torres J Aplcacón de una heurístca de búsqueda tabú en un problema de programacón de tareas en línea flexble de manufactura Revsta de la Socedad de Estadístca e Investgacón Operatva, Colomba, 5(2): , (1997) 32 Chand S; Schneeberger H Sngle machne schedulng to mnmze earlness subject to notardy jobs European Journal of Operatonal Research, 34: (1988) 33 Laguna M; Gonzalez J A search heurstc for just-n-tme schedulng n parallel machnes Journal of Intellgent Manufacturng, No 2: , (1991) 34 Cormen T; Leserson Ch; Rvest R Introducton to Algorthms, MIT Press, Edtoral McGraw Hll (2001) 35 Scharage L Optmzaton modelng wth LIN- DO Duxbury Press USA (1997) 36 Conferenca Latnoamercana de Informátca (30,2004, Perú) (a mprmrse) Un algortmo GRASP para resolver el problema de la programacón de tareas dependentes en maqunas dferentes, memora Eds M Solar, D Fernández-Baca, E Cuadros-Vargas, Arequpa Perú, p , (2004)